Ensino Superior 11. Integrais Triplas Amintas Paiva Afonso Cálculo 2.
Ensino Superior 7. Integrais Duplas Conceitos e Propriedades Amintas Paiva Afonso Cálculo 2.
Transcript of Ensino Superior 7. Integrais Duplas Conceitos e Propriedades Amintas Paiva Afonso Cálculo 2.
Ensino Superior
7. Integrais DuplasConceitos e Propriedades
Amintas Paiva Afonso
Cálculo 2
Integrais Duplas
• Integral dupla é uma extensão natural do conceito de integral definida para as funções de duas variáveis. Serão utilizadas para analisar diversas situações envolvendo cálculo de áreas e volumes, determinação de grandezas físicas e outros.
f :IR2IR contínua noretângulo R = [a,b] x [c,d]
y
ba x
d
c
RR
Integrais Duplas
f 0 em RQ = {(x,y,z)/(x,y) R e 0 z
f(x,y)}
x
y
zQQ
RR
Volume de QQ = V = ?
Integrais Duplas
Partição de R
xi
x
ba x
d
c
RRy
x1 x2 xi-1
y1
y2
yj-1
yj
y
RRijij
(x(xijij , y , yijij))
Integrais Duplas
V =
x
y
z QQ
RR
f (xij , yij)
(xij , yij )
Vij
m
1jijij
n
1in,m
A)y,x(flim
Integrais Duplas
Integral Dupla de f sobre o retângulo RIntegral Dupla de f sobre o retângulo R
R
dA)y,x(f
m
1jijij
n
1in,m
A)y,x(flim
R
dA)y,x(fV
Integrais Duplas
Integrais IteradasIntegrais Iteradas
d
c
b
a
b
a
d
cR
dydxyxf
dxdyyxfdAyxf
),(
),(),(
Integrais Duplas
Integrais Duplas em Regiões GenéricasIntegrais Duplas em Regiões Genéricas
1) Regiões inscritas em faixas verticais
D = { (x,y) | a < x < b, g1(x) < y < g2(x) }
x
y
0 bay = g1(x)
y = g2(x)DD
Integrais Duplas
Integrais Duplas em Regiões GenéricasIntegrais Duplas em Regiões Genéricas
1) Regiões inscritas em faixas horizontais
D = { (x,y) | c < y < d, h1(y) < x < h2(y) }
x
y
0
d
c
x = h1(y)
x = h2(y)DD
Integrais Duplas
Propriedades das Integrais Duplas Propriedades das Integrais Duplas
DD
dA)y,x(fcdA)y,x(cf
21 DDD
dA)y,x(fdA)y,x(fdA)y,x(f
DD
D
dA)y,x(gdA)y,x(f
dA)]y,x(g)y,x(f[
Integrais Duplas
Massa e Centro de Massa de uma LâminaMassa e Centro de Massa de uma Lâmina
(x,y) : densidade no ponto (x,y)
D : local ocupado pela lâmina
m : massa da lâmina
D
dA)y,x(m
Integrais Duplas
Centro de Massa : (X,Y)Centro de Massa : (X,Y)
onde XX = My/m e YY = Mx/m
para :
e
D
x dA)y,x(yM
D
y dA)y,x(xM
Integrais Duplas
Exemplo 1
Exemplo 2
dx
Exemplo 3
2/32
3/2
2
2
13
1
3
u-
du 2
1
2
1-dr
21
dr .1
r
u
dur
dudrrur
rr
Exemplo 4
Exemplo 5
Exemplo 6
Exemplo 7
Calcule , onde R = [1, 2] x [0, ].R
dAxyysen )(
R
dAxyy )sin( dydxxyy2
1 0)sin(
dxxyydx 2
1 0))(cos(1 dxdyxyxyy xx 2
1 00])cos(|)cos([ 11
dxxyxxx 2
1 02 ]|)sin()cos([ 11 dxxx
x
x 2
1 2 ][ )cos()sin(
2
1
2
1 2
)cos()sin( dxdx xx
x
x 2
1
2
1 2
)sin()sin(x
xd
x
x dx
2
1 2
2
1 2
)sin(2
1
)sin()sin( dxdxx
x
xx
x
x 02
1
)sin(
xx
Exemplo 8
Calcule a integral Iterada 1 1 2
0sin
xy dy dx
D = {(x, y) / 0 ≤ x ≤ 1, x ≤ y ≤ 1}
1 1 2 2
0sin sin
xD
y dy dx y dA
Exemplo 8
Calcule a integral Iterada 1 1 2
0sin
xy dy dx
D = {(x, y) / 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ x ≤ y}
1 1 2 2
0sin sin
xD
y dy dx y dA
Exemplo 8
Calcule a integral Iterada 1 1 2
0sin
xy dy dx
1 1 2 2
0
1 2
0 0
1 2
00
1 2
0
1212 0
12
sin sin
sin
sin
sin
cos
(1 cos1)
xD
y
x y
x
y dy dx y dA
y dx dy
x y dy
y y dy
y
Exercícios
1) Calcule a integral abaixo onde R é o retângulo no plano xy limitado pelo eixo x, pela reta y = x e pela reta x = 1.
dAx
x
R
sen
2) Resolver a integral dupla . 2
0
2
2
)24(.x
x
dydxx
3) Integrar a função f(x,y), considerando o domínio definido pelas retas x = 0, y = 0 e y = x. .
Propriedades das Integrais Duplas
Integrais Dupla para Domínios Não Retangulares
Múltiplo constante:
Soma e diferença:
Aditividade: (R = R1 + R2)
RR
dxdyyxfkdxdyyxfk ),(),(.
RRR
dxdyyxgdxdyyxfdxdyyxgyxf ),(),()],(),([
21
),(),(),(RRR
dxdyyxfdxdyyxfdxdyyxf
Cálculo de Integrais Duplas
Se f (x, y) é contínua no retângulo R = [a, b] × [c, d], a integral dupla é igual a integral iterada.
a bx
y
c
d
x
y
b
a
d
c
d
c
b
aR
dydxyxfdxdyyxfdAyxf ),(),(),(
fixo fixo
Cálculo de Integrais Duplas
a bx
y
h(x)
g(x)
x
b
a
xg
xhA
dydxyxfdAyxf)(
)(
),(),(
A
Se f (x, y) é contínua em A = {(x, y) / x em [a, b] e h(x) y g(x)}, a integral dupla é igual a integral iterada.
Cálculo de Integrais Duplas
d
x
y
d
c
yg
yhR
dxdyyxfdAyxf)(
)(
),(),(
c
h(y) g(y)y
A
Se f (x, y) é contínua em A = {(x, y) / y em [c, d] e h(y) x g(y)}, a integral dupla é igual a integral iterada.
Cálculo de Integrais Duplas
b
a
b
a
xg
xg
dxdyyxfdxxAV)(2
)(1
]),(.[)( b
a
d
c
yh
yh
dydxyxfdyyAV)(2
)(1
]),(.[)(
Integrais Duplas para Domínios Não Retangulares
b
a
b
a
xg
xg
dxdyyxfdxxAV)(2
)(1
]),(.[)(
Cálculo de Integrais Duplas
Integrais Dupla para Domínios Não Retangulares
b
a
d
c
yh
yh
dydxyxfdyyAV)(2
)(1
]),(.[)(
Cálculo de Integrais Duplas
Integrais Iteradas – Definição
d
c
b
a
b
a
d
cR
dydx)y,x(f
dxdy)y,x(fdA)y,x(f
Exercícios
Calcule onde D é a região limitada pelas parábolas
y = 2x2 e y = 1 + x2.
D
dA)y2x(
dxdyyxx
x
1
1
1
2
2
2 )2(
dxyxyxy
xy
2
2
1
2
1
1
2
dxxxxxx
1
1
43222 42)1()1(
dxxxxx
1
1
234 123
1
1232
453
345
x
xxxx
15
32
Exercícios
Resposta: 36
Calcule , onde D é a região limitada pela reta y = x – 1
e pela parábola y2 = 2x + 6.
D
xydA
Exercícios
Calcule , onde D é a região limitada pela reta y = x – 1
e pela parábola y2 = 2x + 6.
D
xydA
212
212
4 1
2 3
124
23
4 2 2 21 12 22
54 3 21
2 2
46 34 21
22
2
( 1) ( 3)
4 2 84
2 4 3624 3
y
yD
x y
x y
xydA xy dx dy
xy dy
y y y dy
yy y y dy
y yy y
Exercícios
Calcule , onde D é a região limitada pela reta y = x – 1
e pela parábola y2 = 2x + 6.
D
xydA
1 2 6 5 2 6
3 2 6 1 1
x x
x xD
xydA xy dy dx xy dy dx
Exercícios
Exercícios
)4(2
0
23
2
dydxyxx
x
dxy
yx xx
2
0
22
32)
2
4(
dxxxxxxx 2
0
22323 )(2.)2(22
)8(2
0
52 dx -xx 20
63
63
8 x -
x
3
32
6
64
6
64
3
64 -
Exercícios
)4(4
02
3 dxdyyxy
y
dyxyx y
y
2
4
0
4
44
dyy
yy
yyy
4
0
4
.2
442.4
4
2
84
64
4
0
22
32
dyyy
yy
40
322
53
3
2
8.22
54
64.3
yyyy
Exercícios
40
322
53
3
2
8.22
54
64.3
yyyy
40
322
53
3
2
165
8
192
yyyy
3
4.2
16
4
5
4.8
192
4 322
53
3
32
3
1281
5
4.128
3
1
3
4.2
16
4
5
4.8
192
4 322
53
Exercícios
Exercícios
Exercícios
Exercícios
Valor Médio de f(x,y) sobre o domínio R
b
a
d
c
b
a
d
cR
dydx
dydxyxfdxdyyxf
RdeàreaVM
),(),(
..
1
Valor Médio de f(x,y) sobre o domínio R
Exemplo:
Calcular o valor médio da função f(x,y) = sen(x + y), no
retângulo 0 x e 0 x /2.