Ensino Superior 9. Integrais Duplas Coordenadas Polares Amintas Paiva Afonso Cálculo 3.
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Ensino Superior
9. Integrais DuplasCoordenadas Polares
Amintas Paiva Afonso
Cálculo 3
Mudança de Variáveis em Integrais Duplas
Através de uma mudança de variáveis
x = x(u, v) e y = y(u, v)
uma integral dupla sobre uma região D do plano xy pode ser transformada numa integral dupla sobre uma região D ’ do plano uv.
Mudança de Variáveis em Integrais Duplas
A correspondência entre as regiões D’ e D é BIJETORA, e podemos retornar de D para D’ através da transformação inversa
u = u(x, y) e v = v(x, y).
Considerando que as funções em (1) e (2) são contínuas, com derivadas parciais contínuas em D ’ e D, respectivamente, temos
(3)
Mudança de Variáveis em Integrais Duplas
Onde é o determinante jacobiano de x e y em
relação a u e v, dado por
Mudança de Variáveis em Integrais Duplas
A transformação que leva pontos (r, ) do plano r a pontos (x, y) do plano xy é dada por
e seu jacobiano é dado por
(4)
Portanto, a fórmula (3) pode ser expressa por:
(5)
Coordenadas Polares
Obtenção da Fórmula
Para que (4) seja bijetora, considera-se r para os quais r e satisfazem:
Coordenadas Polares
Área A’ do retângulo em D’
Área A do retângulo polar em D
Coordenadas Polares
Coordenadas Polares
Coordenadas Polares
dA = dxdy = rdrd
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
),(.),(.)(r
r
x
x
x
x
y
y
rdrdrfdydxyxfdxxAV
Coordenadas Polares
Integral Dupla em D’
Assim, obtemos o jacobiano rk da fórmula (5).
Enumerando os retângulos polares e 1 a n, tome um ponto arbitrário (xk , yk) no k-ésimo retângulo. Este ponto pode ser representado por
(rk cosk , rk sink)
é equivalente a
onde A'k = rkk é a área do k-ésimo retângulo em D’.
que tem representação (rk , k) referente à região correspondente em
D’. Assim, a soma de Riemann
Coordenadas Polares
Assim, se tomarmos limite com n com o máximo das diagonais dos n retângulos tendendo a zero, temos
dada pela fórmula (5).
que equivale a integral
Coordenadas Polares
x
y
P(x,y) = P(r,)
r
x
y Relações:r2 = x2 + y2
= arctg(y/x)x = r.cosy = r.senz = z
Coordenadas Polares
Coordenadas Polares
y
r
x x
yPP
y = r sen x = r cos
sen = y/rcos = x/r
r2 = x2 + y2
= arctg y/x
retang. polares
polares retang.
Curvas em Coordenadas Polares
y
2
x1
1 2
r = f ()
PP r
Regiões em Coordenadas Polares
y
2
x1
11 22
ff11 ( () ) r r f f22
(())
r = f2 ()
r = f1 ()
RR
Integrais Duplas em Coordenadas Polares
y
x
RRRk = (r1
2 - r22)( - )/2
r1
r2
Rk
= [(r1 + r2)/2] (r)
unidade de área: Rk
Integrais Duplas em Coordenadas Polares
Cálculo de Integrais Duplas em Coordenadas Polares
R
)(r
)(r
2
1
rdrd),r(fdA),r(f
R: r1 () r r2 ()
Exercícios
Exemplo: Calcular
R
yx dydxe22
R é a região semicircular, x2 + y2 = 1, onde y é positivo.
R = 1
Área de uma superfície
R yx dydxffÁrea 122
Exemplo:
Achar a área do parabolóide z = f(x,y) = x2 + y2
abaixo do plano z = 4. (sugestão: usar coordenadas polares).
Exercícios
Exercícios
Cálculo de Volumes - Aplicações
Para f (x, y) 0, a integral
nos dá o volume do sólido delimitado superiormente pelo gráfico de z = f (x, y), inferiormente pela região D e lateralmente pelo cilindro vertical cuja base é o contorno de D.
Cálculo de Volumes - Aplicações
A Integral dupla dá o volume sob a superfície f(x,y)
Teorema de Fubini
b
a
b
a
d
c
dxdyyxfdxxAdxdyyxf ]).,([)(),(
Teorema de Fubini
d
c
d
c
b
a
dydxyxfdyyAdxdyyxf ]).,([)(),(
Exercícios
Cálculo Áreas de Regiões Planas
Fazendo f (x, y) = 1, a área da região de integração D é dada por:
Exercícios