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Ensino Superior
7. Integrais DuplasConceitos e Propriedades
Amintas Paiva Afonso
Cálculo 3
Integrais Duplas
• Integral dupla é uma extensão natural do conceito de integral definida para as funções de duas variáveis. Serão utilizadas para analisar diversas situações envolvendo cálculo de áreas e volumes, determinação de grandezas físicas e outros.
Exemplo 1
Exemplo 2
dx
Exemplo 3
2/32
3/2
2
2
131
3u-
du 21
21-dr
21
dr .1
r
u
dur
dudrrur
rr
Exemplo 4
Exemplo 5
Exemplo 6
Exemplo 7
Calcule , onde R = [1, 2] x [0, ].R
dAxyysen )(
R
dAxyy )sin( dydxxyy2
1 0 )sin(
dxxyydx 2
1 0 ))(cos(1 dxdyxyxyy xx 2
1 00 ])cos(|)cos([ 11
dxxyxxx 2
1 02 ]|)sin()cos([ 11 dxxx
xx
2
1 2 ][ )cos()sin(
2
1
2
1 2
)cos()sin( dxdx xx
xx
2
1
2
1 2
)sin()sin(x
xdx
x dx
2
1 2
2
1 2
)sin(2
1)sin()sin( dxdx
xx
xx
xx 0
2
1)sin(
xx
Exemplo 8Calcule a integral Iterada 1 1 2
0sin
xy dy dx
D = {(x, y) / 0 ≤ x ≤ 1, x ≤ y ≤ 1}
1 1 2 2
0sin sin
xD
y dy dx y dA
Exemplo 8Calcule a integral Iterada 1 1 2
0sin
xy dy dx
D = {(x, y) / 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ x ≤ y}
1 1 2 2
0sin sin
xD
y dy dx y dA
Exemplo 8Calcule a integral Iterada 1 1 2
0sin
xy dy dx
1 1 2 2
0
1 2
0 0
1 200
1 2
0
1212 0
12
sin sin
sin
sin
sin
cos
(1 cos1)
xD
y
x y
x
y dy dx y dA
y dx dy
x y dy
y y dy
y
Exercícios
1) Calcule a integral abaixo onde R é o retângulo no plano xy limitado pelo eixo x, pela reta y = x e pela reta x = 1.
dAx
x
R
sen
2) Resolver a integral dupla . 2
0
2
2
)24(.x
x
dydxx
3) Integrar a função f(x,y), considerando o domínio definido pelas retas x = 0, y = 0 e y = x. .
Propriedades das Integrais Duplas
Integrais Dupla para Domínios Não Retangulares
Múltiplo constante:
Soma e diferença:
Aditividade: (R = R1 + R2)
RR
dxdyyxfkdxdyyxfk ),(),(.
RRR
dxdyyxgdxdyyxfdxdyyxgyxf ),(),()],(),([
21
),(),(),(RRR
dxdyyxfdxdyyxfdxdyyxf
Cálculo de Integrais Duplas
Se f (x, y) é contínua no retângulo R = [a, b] × [c, d], a integral dupla é igual a integral iterada.
a bx
y
c
d
x
y
b
a
d
c
d
c
b
aR
dydxyxfdxdyyxfdAyxf ),(),(),(
fixo fixo
Cálculo de Integrais Duplas
a bx
y
h(x)
g(x)
x
b
a
xg
xhA
dydxyxfdAyxf)(
)(
),(),(
A
Se f (x, y) é contínua em A = {(x, y) / x em [a, b] e h(x) y g(x)}, a integral dupla é igual a integral iterada.
Cálculo de Integrais Duplas
d
x
y
d
c
yg
yhR
dxdyyxfdAyxf)(
)(
),(),(
c
h(y) g(y)y
A
Se f (x, y) é contínua em A = {(x, y) / y em [c, d] e h(y) x g(y)}, a integral dupla é igual a integral iterada.
Cálculo de Integrais Duplas
b
a
b
a
xg
xg
dxdyyxfdxxAV)(2
)(1
]),(.[)( b
a
d
c
yh
yh
dydxyxfdyyAV)(2
)(1
]),(.[)(
Integrais Duplas para Domínios Não Retangulares
b
a
b
a
xg
xg
dxdyyxfdxxAV)(2
)(1
]),(.[)(
Cálculo de Integrais Duplas
Integrais Dupla para Domínios Não Retangulares
b
a
d
c
yh
yh
dydxyxfdyyAV)(2
)(1
]),(.[)(
Cálculo de Integrais Duplas
Integrais Iteradas – Definição
d
c
b
a
b
a
d
cR
dydx)y,x(f
dxdy)y,x(fdA)y,x(f
Exercícios
Calcule onde D é a região limitada pelas parábolas
y = 2x2 e y = 1 + x2.
D
dA)y2x(
dxdyyxx
x
1
1
1
2
2
2 )2(
dxyxyxy
xy
2
2
1
2
1
1
2
dxxxxxx
1
1
43222 42)1()1(
dxxxxx
1
1
234 1231
1232
453
345
xxxxx
1532
Exercícios
Resposta: 36
Calcule , onde D é a região limitada pela reta y = x – 1
e pela parábola y2 = 2x + 6.
D
xydA
Exercícios Calcule , onde D é a região limitada pela reta y = x – 1
e pela parábola y2 = 2x + 6.
D
xydA
212
212
4 1
2 3
124
23
4 2 2 21 12 22
54 3 212 2
46 34 21
22
2
( 1) ( 3)
4 2 84
2 4 3624 3
y
yD
x y
x y
xydA xy dx dy
x y dy
y y y dy
y y y y dy
y yy y
Exercícios Calcule , onde D é a região limitada pela reta y = x – 1
e pela parábola y2 = 2x + 6.
D
xydA
1 2 6 5 2 6
3 2 6 1 1
x x
x xD
xydA xy dy dx xy dy dx
Exercícios
Exercícios
)4(2
0
23
2
dydxyxx
x
dxyyx xx
2
0
22
32)
24(
dxxxxxxx 2
0
22323 )(2.)2(22
)8(2
0
52 dx -xx 20
63
638 x -x
332
664
664
364
-
Exercícios
)4(4
02
3 dxdyyxy
ydyxyx y
y2
4
0
4
44
dyyy
y
yyy
4
0
4
.2
442.4
4
2
84
64
4
0
2232
dyyyyy
40
3225
3
32
8.225
464.3
yyyy
Exercícios
40
3225
3
32
8.225
464.3
yyyy
40
3225
3
32
1658
192yyyy
34.2
164
54.8
1924 322
53
332
31281
54.128
31
34.2
164
54.8
1924 322
53
Exercícios
Exercícios
Exercícios
Exercícios
Valor Médio de f(x,y) sobre o domínio R
b
a
d
c
b
a
d
cR
dydx
dydxyxfdxdyyxf
RdeàreaVM
),(),(
..1
Valor Médio de f(x,y) sobre o domínio R
Exemplo:
Calcular o valor médio da função f(x,y) = sen(x + y), no retângulo 0 x e 0 x /2.