Eletromagnetismo_C1

PUCRS Faculdade de Engenharia Eltrica Departamento de Engenharia EltricaAntenas Cap. I

por F.C.C. De Castro e P.R.G Franco

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Captulo I

O Campo Eletromagntico

1 IntroduoUm Campo , em termos genricos , uma entidade que existe em uma regio do espao e que apresentaum valor definido para uma determinada grandeza a cada ponto dentro daquela regio. Assim, existemCampos de Temperatura, Campos de Velocidade, Campos de Fora Mecnica, etc...

No contexto de Eletromagnetismo, sob o ponto de vista da representao matemtica dos fenmenos queiremos estudar, existem dois tipos de bsicos de campos: Campos Vetoriais e Campos Escalares.

Por exemplo, consideremos um clssico experimento em eletrosttica, que consiste em atritar um objetode material plstico com uma flanela seca. A carga eltrica adquirida pelo objeto de plstico, resultanteda extrao de cargas em conseqncia do atrito, faz com que partculas de p suspensas no ar sejamatradas na direo do objeto (se o ar estiver suficientemente seco). Temos aqui a situao em que umCampo Vetorial observado, visto que as partculas de p so sujeitas a uma fora cuja intensidade edireo dependem da coordenada ( )zyx ,, na qual a partcula se encontra em determinado instante. Poroutro lado, se conectarmos o terminal de um voltmetro eletrnico1 a um ponto de referncia emovimentarmos o terminal + nas proximidades do objeto plstico eletrificado, veremos que a leituraindicada pelo voltmetro varia com a coordenada ( )zyx ,, em que encontra-se o terminal +. Temosagora a situao em que um Campo Escalar observado, visto que o Potencial Eltrico medido pelovoltmetro em relao ao ponto de referncia no apresenta propriedades direcionais, sendocompletamente caracterizado apenas pela sua intensidade.

Vimos, portanto, que em uma mesma regio do espao podem existir dois tipos de campos, um escalar eoutro vetorial. Ambos os campos, no experimento em questo, so gerados pelo mesmo fenmeno fsico a existncia de carga eltrica no nula no objeto de plstico. Ainda, note que para ambos os tipos decampo a carga eltrica do objeto plstico gerou efeitos sobre corpos relativamente distantes dela apartcula de p e o terminal do voltmetro eletrnico. Esta ao distncia da carga eltrica sobreoutros corpos fsicos o fenmeno fundamental que rege o funcionamento de uma antena, visto que dequanto mais distante pudermos gerar efeitos sobre corpos fsicos implicitamente maior a nossa rea deinfluncia. No contexto de aplicao de antenas, esta maior rea de influncia visa atender objetivoseconmicos, militares, geopolticos, etc. Assim, o principal objetivo da Teoria de Antenas estudarmaneiras de maximizar esta ao distncia da carga eltrica, fenmeno este que denominadoIrradiao Eletromagntica.

Especificamente, uma antena uma estrutura geomtrica cujo material constitutivo permite livremovimentao cargas eltricas, a qual, ao ser excitada por energia (tenso ou corrente), gera campos denatureza eletromagntica (escalares e vetoriais) no espao tridimensional ao seu redor. A intensidade edireo destes campos e principalmente a maneira como eles se relacionam entre si depende daforma de variao da carga eltrica no tempo (forma de variao temporal da excitao) , da formade variao das cargas eltricas no espao (geometria da antena), do material do qual a antena constituda e do meio fsico no qual a antena encontra-se inserida.

No contexto de Telecomunicaes, o objetivo de uma antena transmissora, localizada em um ponto( )zyxp ,,0 do espao tridimensional, fazer com que estes campos se propaguem o mais distante dela

possvel de modo que uma outra antena localizada em um ponto ( )zyxp ,,1 a antena receptora reconverta estes campos em tenso (ou corrente) proporcional tenso (ou corrente) aplicada nosterminais da antena transmissora. Desta maneira, informao pode ser transportada entre antenatransmissora e antena receptora visto que qualquer variao da tenso (ou corrente) de excitao naantena transmissora resultar em uma correspondente variao na tenso (ou corrente) da antena

1 Um voltmetro eletrnico apresenta alta resistncia de entrada iR . Em geral, o dispositivo ativo em suaentrada um transistor MOS-FET, sendo no raro > 10500 6iR .



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receptora. O estado da tecnologia atual permite que a antena transmissora e a receptora estejamlocalizadas em pontos separados de distncias planetrias, como foi o caso do rob Sojourner Rover doMars Pathfinder Project , projeto da agncia espacial norte-americana NASA , cujo Lander transmitiudiretamente Terra, via ondas de rdio, imagens da superfcie do planeta Marte (verhttp://nssdc.gsfc.nasa.gov/planetary/mesur.html e http://mpfwww.jpl.nasa.gov/rovercom/rovcom.html ).

Todos os campos (escalares e vetoriais) gerados por uma antena transmissora variam no tempo, e soobrigatoriamente resultado do movimento acelerado de cargas eltricas distribudas por sua estruturageomtrica. Este movimento imposto s cargas eltricas livres na estrutura de uma antena conseqnciada forma de variao temporal da energia (tenso ou corrente) de excitao nela aplicada. Se as cargaseltricas no forem aceleradas, ento os campos gerados ficam limitados s proximidades da antenatransmissora, jamais atingindo a antena receptora.

Portanto, no ocorre irradiao eletromagntica nas seguintes situaes (embora campos sejamgerados prximo antena):

(I) Aplicando a uma antena uma tenso constante com corrente resultante nula de modo que ascargas eltricas permaneam estticas.

(II) Aplicando a uma antena uma corrente constante no tempo sendo a geometria da antena tal queas cargas eltricas movimentam-se com velocidade constante por toda sua estrutura geomtricacondutora.

Para a situao (I) , as cargas eltricas estticas apenas geram um Campo Eltrico (que um CampoVetorial) prximo antena. Podemos tambm enxergar esta situao sob a tica de que gerado umCampo de Potencial Eltrico (que um Campo Escalar) prximo antena. Note que o conceito deCampo Eletromagntico um tanto abstrato de modo que o fenmeno da irradiao eletromagntica abordado na literatura sob diversas ticas (escalares e/ou vetoriais), a critrio do autor. Para a situao(II) as cargas eltricas em velocidade constante apenas geram um Campo Magntico (que um CampoVetorial) prximo antena.

Somente quando a variao temporal da excitao tal que o movimento das cargas livres na estruturageomtrica de uma antena seja um movimento acelerado, de modo que seja imposta uma perturbao navariao temporal do valor da densidade volumtrica da carga eltrica em algum ponto daestrutura geomtrica da antena que campos Eltricos e Magnticos sero gerados em um pontodistante da mesma.

2 Uma alegoria2 inspirada na viso dos fundadores da TeoriaEletromagntica

Os cientistas e pensadores que conceberam os fundamentos da Teoria Eletromagntica, principalmenteMichael Faraday por volta de 1820 e James Clerk Maxwell em 1856, entre outros, imediatamentereconheceram que o motivo de uma perturbao na variao temporal da densidade volumtrica de cargaaumentar o efeito distncia era provavelmente devido ao fato de que, ao perturbar a densidade decarga eltrica estaramos perturbando um fludo imaterial de elasticidade infinita o ter Luminfero conforme infere-se do texto abaixo extrado de uma carta de Faraday a um amigo (verhttp://www.padrak.com/ine/FARADAY1.html ):

...On the other hand, the infinite elasticity assumed as belonging to the particles of the aether,is as striking and positive a force of it as gravity is of ponderable particles, and produces in itsway effects as great; in witness whereof we have all the varieties of radiant agency as exhibitedin luminous, caloric, and actinic phaenomena...

...The aether is assumed as pervading all bodies as well as space: in the view now set forth, itis the forces of the atomic centres which pervade (and make) all bodies, and also penetrate all

2 Segundo o Dicionrio Aurlio, o termo Alegoria pode ter os seguintes significados: (1) Exposio deum pensamento na forma figurada. (2) Fico que representa uma coisa para dar idia de outra. (3)Seqncia de metforas que significam uma coisa nas palavras e outra no sentido. (4) Obra de pintura ouescultura que representa uma idia abstrata por meio de formas que a tornam compreensvel. (5)Simbolismo concreto que abrange o conjunto de toda uma narrativa ou quadro, de maneira que a cadaelemento do smbolo corresponda um elemento significado ou simbolizado.



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space. As regards space, the difference is, that the aether presents successive parts of centres ofaction, and the present supposition only lines of action; as regards matter, the difference is, thatthe aether lies between the particles and so carries on the vibrations, whilst as respects thesupposition, it is by the lines of force between the centres of the particles that the vibration iscontinued. As to the difference in intensity of action within matter under the two views, I supposeit will be very difficult to draw any conclusion, for when we take the simplest state of commonmatter and that which most nearly causes it to approximate to the condition of the aether,namely the state of the rare gas, how soon do we find in its elasticity and the mutual repulsion ofits particles, a departure from the law, that the action is inversely as the square of the distance!...

Uma perturbao propagando-se no ter resultante do movimento acelerado de cargas eltricas seria algosemelhante ao que acontece quando estamos em uma piscina e, com a palma da mo mergulhada na gua,com os dedos esticados e encostados lado a lado, exercemos movimento na gua aplicando uma fora talque esta movimente-se com velocidade no constante. Nesta situao podemos observar que ondassurgem na gua e que se propagam para longe. No entanto, se repetirmos o experimento apenas efetuandoum movimento retilneo com a palma, sob velocidade constante, observaremos somente movimentao dagua nas proximidades da mesma.

A Teoria do ter, no entanto, sofreu um pesado revs em 1886, quando Albert Michelson realizou odenominado Experimento de Michelson e Moreley. Este experimento demonstrou, segundo a cinciaoficial da poca, a inexistncia do ter. A idia seria medir a velocidade com que a Terra se moveatravs do ter, utilizando para tanto um interfermetro tico. O experimento resultou em nenhumavelocidade relativa detectada, o que levou a comunidade cientfica a abandonar o conceito de ter eadotar o abstrato conceito de Campo Eletromagntico. No entanto, alguns pensadores da pocaponderaram que o ter poderia estar se movendo juntamente com a Terra, como se cada corpo celeste doUniverso fosse envolvido por uma gigantesca bolha de fludo etreo, o que invalidaria o Experimento deMichelson e Moreley. De fato, at mesmo na atualidade o Experimento de Michelson e Moreley sujeitoa diversas contestaes e o conceito de ter tem aparecido aqui e acol com alguma freqncia (verhttp://www.keelynet.com/spider/b-108e.htm, http://www.redesignz.fsnet.co.uk/aetheory.html,http://www.magna.com.au/~prfbrown/aether.html e http://www.westworld.com/~srado/ por exemplo).

At porque, parece haver uma contradio lgica no conceito de Campo Eletromagntico: A Fsica oficialno aceita a interpretao do fenmeno da irradiao eletromagntica atravs do conceito de ter omeio imaterial, segundo Faraday e Maxwell, no qual as ondas eletromagnticas se propagam mas adotae aceita a teoria matemtica desenvolvida no Sculo XIX por Faraday, Maxwell, Helmholtz e outros, cujoresultado formal a equao de uma onda que se propaga no espao tridimensional ! Esteposicionamento da cincia oficial no mnimo estranho, porque uma onda eletromagntica propaga-se (emuito bem!) no vcuo absoluto. Ora, o vcuo absoluto a total inexistncia de matria, e, portanto, noexiste absolutamente qualquer meio material que permita a existncia de uma onda ou perturbao nelepropagando-se. E inconcebvel sob o ponto de vista da lgica que uma onda ou perturbao possapropagar-se sem a existncia de um meio ao qual ela pertena. A Fsica oficial justifica esta contradiopostulando que a onda eletromagntica uma perturbao nas propriedades do espao tridimensionalonde existe um Campo Eletromagntico. Muito bem, se assim, a contradio lgica maior ainda,porque estaremos atribuindo propriedades ao vcuo algo que materialmente no existe. Como a cinciaoficial a princpio reconhece apenas a realidade material, ao atribuir propriedades ao vcuo, ela acaba poratribuir qualidades a algo inexistente! Portanto, talvez fosse menos contraditrio admitir que existe algono vcuo absoluto, que a cincia atual no sabe exatamente o que , mas que o meio de propagao dasondas eletromagnticas.

Toda esta situao torna-se mais curiosa quando lembramos que a cincia atual adota, reconhece econsidera as equaes desenvolvidas por Maxwell como descritoras corretas do fenmeno da irradiaoeletromagntica, mas no reconhece a interpretao por Maxwell oferecida! Como se Maxwell notivesse tido todo um trabalho de reflexo e interpretao intuitiva at finalmente ter definido um conjuntode equaes consistentes e descritoras das leis do eletromagnetismo!

Mas a situao curiosa da Teoria Eletromagntica no para por a. Segue abaixo texto extrado do livroEletromagnetics, de John D. Kraus e Keith R. Carver, ambos considerados vacas sagradas doeletromagnetismo moderno:

O desenvolvimento das Equaes de Maxwell como generalizaes das relaes da Teoria deCircuitos envolve tanto o raciocnio indutivo como o fsico. Isto no implica que a obteno das



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equaes seja rigorosa. As Equaes de Maxwell justificam-se pelo fato de que as conclusesbaseadas nelas mostraram em inmeros casos estar em excelente harmonia com os resultadosexperimentais, do mesmo modo que as relaes de circuito mais primitivas justificam-se dentrode seu domnio mais restrito pela excelente harmonia das concluses, nelas baseadas, com aexperimentao. Talvez merea ser lembrado o fato de que as Equaes de Maxwell no tiveramaceitao geral durante muitos anos aps a sua postulao (1873). As equaes em rotacional deMaxwell ( E e H ) significavam que campos eltricos e magnticos variando notemo eram interdependentes, sendo um campo eltrico varivel capaz de gerar um campomagntico e vice-versa. A concluso disto que o campo eletromagntico variando no tempopropagaria energia atravs do espao vazio na velocidade da luz e que a luz de naturezaeletromagntica. As ondas de rdio eram desconhecidas na poca e isto foi 15 anos antes deHertz (1888) demonstrar que as ondas eletromagnticas (ou de rdio) eram possveis, como foipredito por Maxwell.

No h garantia de que as Equaes de Maxwell sejam exatas. Todavia, com base na precisode medies experimentais, elas parecem ser exatas e portanto podemos considerar como tal

Em nossa opinio, o texto do pargrafo anterior altera a situao da Teoria Eletromagntica oficial deapenas curiosa para desconfortvel. Analisemos os fatos:

(I) Maxwell, Faraday e todos os demais antigos fundadores da Teoria Eletromagntica definiramum conjunto de equaes consistentes e descritoras das Leis do Eletromagnetismo utilizandocomo ferramentas apenas a lgica e a deduo intuitiva. Nenhum teorema foi por elesdemonstrado que garantisse a exatido do modelo terico por eles concebido. A origem e osustentculo conceitual do modelo concebido a suposio lgica e intuitiva da existncia deum fludo universal e imaterial ao qual eles denominaram ter e as relaes entre variveismecnicas deste fludo.

(II) A cincia oficial adota, reconhece e considera as equaes desenvolvidas pelos antigosfundadores da Teoria Eletromagntica como descritoras corretas dos fenmenoseletromagnticos, mesmo admitindo no haver garantia de que o modelo seja exato, mesmono havendo nenhum teorema que prove a veracidade do modelo. Isto estranho, porque, aprincpio, a cincia oficial s admite como exato o que pode ser demonstrado, relegando aoplano do emprico tudo mais. Neste sentido, se o posicionamento da cincia oficial forcientificamente coerente, ento as Equaes de Maxwell so empricas e temos de admitirque toda a tecnologia de telecomunicaes moderna baseada no empirismo cientfico deuma gang de malucos do sculo XIX!

(III) A cincia oficial adota, reconhece e considera as equaes desenvolvidas pelos antigosfundadores da Teoria Eletromagntica como descritoras corretas dos fenmenoseletromagnticos, porque os resultados experimentais esto em excelente harmonia como modelo terico por eles concebido. Contudo, no reconhece a interpretao por elesoferecida, origem e sustentculo conceitual do modelo concebido, a qual consiste na suposiolgica e intuitiva da existncia do fludo imaterial ter! Mais ainda, a cincia oficial noreconhece a interpretao com base na existncia do fludo imaterial ter, mas, em plenoincio do sculo XXI ainda no conseguiu desenvolver um modelo que substitua aexatido do modelo cuja concepo inspirada na existncia de tal fludo!

Diante de tal situao, somos obrigados a suspeitar por coerncia lgica e consistncia cientfica quea interpretao original oferecida por Faraday, Maxwell e demais fundadores da Teoria Eletromagnticaatravs do conceito de ter talvez no esteja to em desacordo com a realidade do que efetivamenteacontece por detrs dos fenmenos eletromagnticos.

No contexto da Fsica atual h uma teoria relativamente nova denominada String Theory. Esta teoriapostula a existncia de 6 dimenses espaciais definindo o Universo, alm das 3 que visualmente somoscapazes de perceber (ver http://www.superstringtheory.com/index.html ehttp://www.lassp.cornell.edu/GraduateAdmissions/greene/greene.html ). A String Theory permite,conforme veremos a seguir, lanar hipteses sobre o comportamento de uma onda eletromagnticautilizando uma interpretao inspirada na Teoria do ter.

Preliminarmente, imprescindvel deixar claro que as ilaes alegricas relativas interpretao esignificado do campo eletromagntico que discutiremos a seguir pretende apenas servir de auxlio



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didtico compreenso do mecanismo de irradiao de uma antena. Embora ela busque elementos deapoio na String Theory e na Teoria do ter, a interpretao aqui apresentada no as segue fielmente.Novamente, reiteramos que a interpretao aqui apresentada para uma onda eletromagntica objetivaapenas dar a ela a interpretao de uma onda mecnica propagando-se em um meio elstico, que umfenmeno muito menos abstrato e mais assimilvel pela intuio fsica do que a de uma onda depropriedades do espao, usualmente adotada pela Fsica oficial. Absolutamente no pretendemos comisso entrar na seara de ( e muito menos competir com!) Fsica Terica, Estrutura da Matria,Cosmognese, etc... Muito pelo contrrio, mais uma vez reiteramos, nosso objetivo aqui unicamente esimplesmente didtico! Alm disto, dada a interdependncia dos conceitos fundamentais doEletromagnetismo aqui envolvidos, muitas vezes adiantaremos resultados a serem obtidos em seessubsequentes tomando-os como axiomas que sero posteriormente analisados. Nos parece ser esta amaneira mais concisa para a apresentao do assunto em questo, e de mais fcil assimilao pelo leitor,dado o grau de complexidade e abstrao envolvidos.

2.1 Campo Eltrico movim ento linear do terVamos supor que fossemos capazes de perceber apenas duas dimenses espaciais de nosso mundo fsico.Nesta situao, uma esfera no espao tridimensional seria percebida apenas como um crculo.Passaramos nossa vida inteira percebendo crculos, sem sequer supor que o que realmente d origem aoscrculos so esferas que encontram-se definidas na totalidade em uma dimenso superior. Conforme jdiscutimos em pargrafos anteriores, a String Theory postula a existncia de 6 dimenses espaciaisdefinindo o Universo, alm das 3 que percebemos. Logo, no seria absurdo supor que as formas e objetosde nosso espao tridimensional tenham origem a partir de formas e objetos que estejam definidos em suatotalidade nas 9 dimenses postuladas pela String Theory. Se assim for, temos que admitir que boa parteda realidade do Universo invisvel aos nossos olhos!

Discutimos tambm em pargrafos anteriores que os campos eletromagnticos gerados por uma antenaso resultado do movimento acelerado de cargas eltricas distribudas por sua estrutura geomtrica.Portanto, o mecanismo de irradiao intimamente conectado ao conceito de carga eltrica. Mas cargaeltrica, em todos os sistemas de unidades, uma grandeza que no pode ser definida em funo denenhuma grandeza mecnica fundamental (massa, distncia, tempo). Assim, a irradiao eletromagnticafica sendo um fenmeno totalmente desvinculado de fenmenos mecnicos, os quais temos bem maisfacilidade de compreender e intuitivamente assimilar porque fcil perceber com nossos sentidosgrandezas como massa (peso), velocidade, acelerao, fora, tempo, etc. No entanto, se admitirmos queexistem outras dimenses espaciais alm das 3 que percebemos podemos associar o conceito de cargaeltrica ao conceito de um fludo infinitamente elstico (infinitamente compressvel e/ou torcionvel) ,com densidade (concentrao volumtrica) quase nula e com viscosidade (fora mdia de atritoentre as partculas constituintes do fludo) quase inexistente3 o ter conforme descrevemos aseguir.

Consideremos um tomo eltricamente neutro, isto , um tomo cuja carga eltrica lquida zero. Emboraa carga eltrica lquida total em um tomo eltricamente neutro seja zero, existem cargas eltricas nonulas em seu interior, originadas em seus eltrons e prtons individuais. Cada eltron em um tomopossui uma carga eltrica de C 1060.1 19 e cada prton em um tomo possui uma carga eltrica de

3A Viscosidade funo direta da fora de atrito ou frico entre sub-regies indivisveis e mveis de umfludo. Por exemplo, o fludo azeite de cozinha mais viscoso que o fludo gua, porque as foras deatrito entre as molculas que constituem o leo de cozinha so maiores do que as foras de atrito queocorrem entre as molculas de gua. No entanto, o leo de cozinha menos denso que a gua (leo decozinha flutua na gua!) porque, em regies de mesmo volume, existe menos matria em uma regio quecontem leo do que em uma regio que contem gua. Ainda, o ar um fludo compressvel/expansvelporque, se contido em uma regio (ambiente) fechada, possvel aplicar uma fora externa regio nosentido de diminuir o seu volume, s custas de uma fora elstica de reao contrria. No entanto, para ocaso da gua, pouqussima reduo de volume seria obtida com a mesma fora externa aplicada, o quecategoriza a gua como um fludo incompressvel. Um fludo torcionvel se girarmos um volume Vdeste fludo, V gira de volta posio angular inicial ao soltarmos o volume merc das foras detoro elstica inerentes ao fludo.



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C 1060.1 19+ . Quando o nmero de eltrons que se movimentam em torno do ncleo iguala onmero de prtons no ncleo, ento a carga lquida zero e o tomo eletricamente neutro.

No contexto de interpretar fenmenos eletromagnticos atravs do conceito de ter, podemos imaginarcada prton como uma fonte do fludo ter e cada eltron como um sumidouro. Se substituirmos aunidade de carga eltrica C por uma unidade de vazo mssica sgK , onde gK representa amassa 4 do ter, podemos imaginar um prton como se fosse o bocal de uma mangueira que jorrapara dentro de nosso universo tridimensional gK 1060.1 19 de ter a cada segundo de tempo. Domesmo modo, podemos imaginar cada eltron como se fosse o bocal de uma mangueira que aspirapara fora de nosso universo tridimensional gK 1060.1 19 de ter a cada segundo de tempo. Mas deonde vem e para onde vai o ter jorrado e aspirado respectivamente por prtons e eltrons? No contextoda String Theory, podemos imaginar que o ter flue de e para alguma regio contida nas outras 6dimenses extras de nosso Universo. Cada bocal de mangueira a parte que conseguimos percebercom nossa limitada viso tridimensional de uma estrutura hiperdimensional definida em sua totalidadenas 9 dimenses postuladas pela String Theory. Algo semelhante ao sistema circulatrio do corpohumano: prtons seriam terminaes de canais arteriais e eltrons seriam terminaes de canais venosos,ambos tipos de canais transportando o fludo ter.

O prprio Albert Einsten, em um discurso proferido em 5 de Maio de 1920, na Universidade de Leyden Holanda (ver http://www.tu-harburg.de/rzt/rzt/it/Ether.html ) admitiu:

... we may say that according to the general theory of relativity space is endowed with physicalqualities; in this sense, therefore, there exists an ether. According to the general theory ofrelativity space without ether is unthinkable; for in such space there not only would be nopropagation of light, but also no possibility of existence for standards of space and time(measuring-rods and clocks), nor therefore any space-time intervals in the physical sense. Butthis ether may not be thought of as endowed with the quality characteristic of ponderable media,as consisting of parts which may be tracked through time. The idea of motion may not be appliedto it.

No modelo atmico mais simples, um eltron movimenta-se contido em uma regio definida ao redor doncleo, o que forosamente estabelece uma trajetria curva para o mesmo. Uma vez que a trajetria curva, o vetor velocidade varia com o tempo, e em conseqncia o movimento acelerado. Logo,baseado no que j discutimos em pargrafos anteriores, cada eltron de um tomo, sendo uma cargaeltrica negativa em movimento acelerado, deveria irradiar uma onda eletromagntica. No entanto nuncafoi detectado pela cincia qualquer tipo de irradiao eletromagntica resultante do movimento deeltrons em torno do ncleo de um tomo eletricamente neutro.

Estaria errada ento a nossa premissa bsica (oficialmente reconhecida, aceita e adotada) de que qualquercarga eltrica acelerada gera uma onda eletromagntica? Se nos inspirarmos em Faraday e Maxwell, no.Um tomo eletricamente neutro aquele em que o nmero de sumidouros de ter que se movimentam emtorno do ncleo (eltrons) iguala o nmero de fontes de ter no ncleo (prtons). Os gK 1060.1 19 de ter que cada prton no ncleo jorra a cada segundo de tempo para dentro de nosso Universotridimensional so totalmente aspirados de volta por cada eltron movimentando-se ao redor do ncleo.Portanto nenhuma quantidade de ter pode vazar de um tomo eletricamente neutro j que todo terque jorra dos prtons no ncleo sugado pelos eltrons movimentando-se ao redor do mesmo. Ouseja, um tomo eletricamente neutro um reservatrio fechado para o ter que circula em seu interior.Ora, se Faraday e Maxwell estiverem certos, uma onda eletromagntica uma perturbao no meio depropagao imaterial constitudo pelo ter. Como todo o ter que flue no interior de um tomoeletricamente neutro fica nele contido, no h continuidade do meio propagao para fora do mesmo, e,portanto, qualquer perturbao ou onda no ter no interior do tomo no consegue propagar-se para seuambiente exterior. Da, embora os eltrons sejam cargas eltricas aceleradas movimentando-se contidasem uma regio definida ao redor do ncleo, no ocorre irradiao eletromagntica para o ambienteexterior do tomo.

4 Acrescentamos o qualificador unidade Kg para deixar claro que esta medida de massarefere-se a algo de carter imaterial.



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Ainda, perseguindo o nosso objetivo didtico de tornar palpvel intuio fsica mecnica o fenmeno dairradiao eletromagntica, fenmeno bsico para a compreenso do funcionamento de uma antena, interessante investigar como seria interpretada a atrao-repulso de cargas eltricas na hiptesealegrica da existncia do fludo ter. Vimos que uma carga eltrica positiva pode ser imaginada comouma fonte de ter e uma carga eltrica negativa pode ser imaginada como um sumidouro de ter.Imaginemos uma fonte de um fludo qualquer, cujo bocal por onde jorra o fludo seja de formatoesfrico, fonte esta que encontra-se livremente solta e imersa no fludo. Apelando para nossa intuiomecnica somos obrigados a concluir que, devido distribuio de foras no bocal, a fonte estarsujeita a uma fora mecnica resultante que tender a mov-la no sentido da maior rarefao do fludo(menor presso interna do fludo). Se o fludo uniformemente distribudo no espao tridimensional, afonte tende a ficar imvel. Por outro lado, imaginemos um sumidouro de um fludo qualquer, cujobocal por onde o fludo sugado seja de formato esfrico, sumidouro este que encontra-se livrementesolto e imerso no fludo. Novamente, apelando para nossa intuio mecnica, somos obrigados a concluirque, devido distribuio de foras no bocal, o sumidouro estar sujeito a uma fora resultante quetender a mov-lo no sentido da menor rarefao do fludo (maior presso interna do fludo).Considerando que prximo ao sumidouro de um fludo a sua rarefao maior do que prximo a umafonte do mesmo ento sumidouros devem tender a afastar-se de sumidouros, fontes devem tender aafastar-se de fontes e sumidouros devem tender a aproximar-se de fontes. Assim fica justificado de modoalegrico a razo de cargas eltricas iguais repelirem-se mutuamente enquanto cargas eltricas opostassofrem atrao mtua. Alternativamente, poderamos justificar a alegoria baseado no fato que prximo fonte de um fludo a sua presso interna maior do que prximo a um sumidouro do mesmo.

Tambm interessante sob o ponto de vista didtico investigar o que representa a grandeza CampoEltrico na hiptese didtico-alegrica da existncia do ter. Imaginemos uma regio do espaotridimensional onde h um fludo. Suponhamos, por exemplo, que imersos neste fludo existem uma fontee um sumidouro do mesmo, ambos localizados em coordenadas ( )zyx ,, distintas e constantes, de modoque o fludo flui da fonte para o sumidouro, sendo a vazo da fonte o dobro da vazo do sumidouro emvalor absoluto. No difcil de concluir que a velocidade de movimentao de um fludo em cada ponto( )zyxp ,, maior para aqueles pontos localizados tanto nas proximidades de uma fonte quanto nas

proximidades de um sumidouro basta lembrar-nos do fludo gua escoando pelo ralo de uma pia oucuba. Agora, consideramos momentaneamente o Campo Eltrico entre duas cargas eltricas q2+ e

q , conforme mostra a Figura 1. A seguir, voltemos a imaginar a regio do espao tridimensionalpreenchida por fludo, onde imersos neste fludo existem uma fonte e um sumidouro. Se plotarmos ocampo de velocidade deste fludo obteremos o mesmo padro vetorial da Figura 1.



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Figura 1: Campo Eltrico tridimensional entre duas cargas eltricas esfricas q2+ e q , visto de umplano de corte que contm o centro das cargas. O tamanho de cada vetor representa a intensidade doCampo Eltrico na coordenada vO em que se situa a extremidade de origem do vetor. A direo e osentido para o qual aponta o vetor representa a direo e sentido para o qual aponta o Campo Eltrico nacoordenada vO . Se traarmos todas as possveis curvas orientadas5 para as quais cada vetor da figuradefine a direo e sentido da reta orientada tangente respectiva curva, com ponto de tangncia dadopelas coordenadas vO do respectivo vetor , ento teremos desenhado o grfico das Linhas do Campo.

Esta coincidncia entre a forma do campo de velocidade e a forma do campo eltrico para a situao emquesto talvez possa ser justificada pela alegoria do ter. Se no, vejamos: Uma das relaesfundamentais em Eletrosttica dada pela equao

( ) ( )zyxEqzyxF ,,,, = (1)onde ( )zyxF ,, o vetor que define a fora mecnica que atua sobre uma carga eltrica q localizadanas coordenadas ( )zyx ,, quando nesta coordenada existe um campo eltrico dado pelo vetor( )zyxE ,, . Por exemplo, suponhamos que as cargas q2+ e q na Figura 1 estejam localizadas

respectivamente nas coordenadas dos pontos ( )000 ,, zyxp e ( )111 ,, zyxp . A carga q2+ gera em 5 Uma curva orientada quando existe definio do sentido positivo de percorr-la (uma indicao feitacom uma flecha, por exemplo).



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cada ponto ( )zyxp ,, do espao tridimensional um campo eltrico que aponta para fora de seu centro.Este campo eltrico E gerado pela carga q2+ estende-se at o ponto ( )111 ,, zyxp onde encontra-se acarga q gerando uma fora ( ) ( ) ( )111111 ,,,, zyxEqzyxF = sobre q . Faamos a anlise dimensional de (1):

[ ] [ ] [ ]

=

=

mV C

smKg

mV CN 2 EqFEqF

(2)

onde N a unidade de fora (Newton), C a unidade de carga eltrica (Coulomb) e V/m a unidade deCampo Eltrico (Volt/metro).

Faamos agora a anlise dimensional de (1) mas substituindo a unidade de carga eltrica C pela unidadede vazo mssica de ter sgK , isto , efetuando o mapeamento [ ] [ ]sgKC . Deixando em abertoa unidade dimensional do Campo Eltrico E obtemos:

[ ] [ ]? sgK

smgK

mV C

smKg 22 EqFEqF

=

=

(3)

mas de (3) temos que

[ ] sm

sgKsmgK

?2

=

=E(4)

Portanto, na hiptese didtico-alegrica da existncia do fludo ter, o Campo Eltrico ( )zyxE ,,representa a velocidade linear ( )zyxv ,, com que o ter flui no ponto de coordenadas ( )zyx ,, doespao tridimensional.

Resumindo: Ao efetuarmos o mapeamento de unidades de medida [ ] [ ]sgKC obtemos comoresultado o mapeamento [ ] [ ]smmV .Outra relao fundamental em Eletrosttica a do Campo Eltrico ( )zyxE ,, gerado por uma cargaeltrica q esfrica e de dimetro infinitesimal localizada em um ponto ( )zyxp ,, do espao:

( ) rr

qzyxE 4

,, 2=

(5)

onde r a distncia entre a carga q e o ponto ( )zyxp ,, , r o vetor unitrio (portanto adimensional)que define a direo e sentido do segmento de reta que une q a ( )zyxp ,, e a PermissividadeEltrica do meio, medida em Farads (unidade de capacitncia) por Metro

mF

. Se fizermos a anlise

dimensional de (5) sob o mapeamento [ ] [ ]sgKC , veremos que a dimenso de

3mgK

.



10

Portanto, a Permissividade Eltrica uma medida da Densidade Volumtrica do ter6, o que concordacom o mecanismo descrito por (5): Supondo a carga uma fonte de ter (carga positiva) com vazo q ,tanto maior ser a velocidade do fludo que se afasta sob ao da presso resultante da vazo da fontequanto menor for a sua densidade . Mesmo arrazoado vlido para um sumidouro de ter (carganegativa).

2.2 Campo Magntico mov imento rotacional do terUma vez tendo descrito a interpretao alegrica do Campo Eltrico e da Permissividade Eltrica luz daTeoria do ter, passamos a investigar qual o significado do Campo Magntico.

Preliminarmente, interessante conhecermos qual era a viso do prprio Maxwell no que diz respeito interpretao do Campo Magntico. Maxwell postulou que as regies do espao tridimensional ondeexiste Campo Magntico nada mais so do que regies nas quais o movimento do fludo ter tende a ummovimento em forma de vrtices (redemoinhos), conforme podemos constatar do texto abaixo extradodo livro Aether and Electricity, Whittaker 1951, texto obtido emhttp://www.westworld.com/~srado/Evolut_1.html:

"It was therefore natural to identify the density of the medium (Aether) at any place with themagnetic permeability, and the circumferencial velocity of the vortices with the magnetic force.

But the objection to the proposed analogy now presents itself. Since two neighboring vorticesrotate in the same direction, the particles in the circumference of one vortex must be moving inthe opposite direction to the particles contiguous to them in the circumference of the othervortex; and it seems therefore, as if the motion would be discontinuous. Maxwell escaped fromthis difficulty by imitating a well-known mechanical arrangement.

When it is desired that two wheels should revolve in the same sense, an idle wheel is insertedbetween them so as to be in gear with both. The model of the electromagnetic field to whichMaxwell arrived by the introduction of this device greatly resembles that proposed by Bernoulliin 1736. He supposed a layer of particles, acting as idle wheels, to be interposed between eachvortex and the next, and to roll without sliding on the vortices; so that each vortex tends tomake the neighboring vortices revolve in the same direction as itself. The particles weresupposed to be not otherwise constrained, so that the velocity of the center of any particlewould be the mean of the circumferencial velocities of the vortices between which it is placed.

On comparing the mathematical expression of this system to that which represents Oersted'sdiscovery, (the attraction between current carrying wires), it is seen that the flux of the movableparticles interposed between neighboring vortices is the analog of the electric current. "It shouldbe noticed that in Maxwell's model the relation between electric current and magnetic force issecured by a connection which is not of a dynamical, but of purely kinematical character."

Ou talvez devamos ouvir o prprio Maxwell, conforme texto abaixo extrado do online book The Life ofJames Clerk Maxwell ( ver http://www.hrshowcase.com/maxwell/preface.html):

I think we have good evidence for the opinion that some phenomenon of rotation is going on inthe magnetic field; that this rotation is performed by a great number of very small portions ofmatter, each rotating on its own axis, this axis being parallel to the direction of the magneticforce, and that the rotations of these different vortices are made to depend on one another bymeans of some kind of mechanism connecting them.

6 A capacitncia C de um capacitor de placas paralelas dada por lAC = , onde A a rea das

placas e l a distncia entre as mesmas. Se medido em

3mgK

ento C medido em

2m

gK.

Portanto C uma medida da condensao superficial de ter nas placas do capacitor, j que

2m

gK

mede densidade superficial de ter. Curioso que o nome antigamente adotado para o dispositivocapacitor era condensador.



11

The attempt which I [have] made to imagine a working model of this mechanism must be takenfor no more than it really is, a demonstration that mechanism may be imagined capable ofproducing a connection mechanically equivalent to the actual connection of the parts of theelectromagnetic field. The problem of determining the mechanism required to establish a givenspecies of connection between the motions of the parts of a system always admits of an infinitenumber of solutions. Of these some may be more clumsy or more complex than others, but allmust satisfy the conditions of mechanism in general. The following results of the theory,however, are of higher value:

Magnetic force is the effect of the centrifugal force of the vortices.

Electromagnetic induction of currents is the effect of the forces called in to play when thevelocity of the vortices is changing.

Electromotive force arises from the stress on the connecting mechanism.

Electric displacement arises from the elastic yielding of the connecting mechanism.

2.2.1 A Fora de Lorentz como uma conseqncia do movimento rotacional do ter

Diante desta viso de Maxwell, investiguemos o significado do Campo Magntico luz da hiptese daexistncia do ter atravs da anlise do comportamento de um sistema fsico formado por uma cargaeltrica q+ , esfrica e de dimetro tendendo ao infinitesimal, penetrando a uma velocidade v em umaregio do espao tridimensional onde feito o vcuo e onde existe uma Campo Magntico H constantee uniforme, conforme mostra a Figura 2.

Figura 2: Trajetria resultante (em azul claro) para uma carga eltrica positiva q+ , de formato esfricoe de dimetro tendendo ao infinitesimal, penetrando a uma velocidade v em uma regio do espaotridimensional onde feito o vcuo e onde existe um campo magntico H constante e uniforme. A cargaentra na regio com velocidade inicial v fazendo um ngulo com o campo magntico H .



12

Em 1892, Hendrik Lorentz, aps um criterioso estudo do sistema mostrado na Figura 2, determinou que afora F que surge sobre q+ em conseqncia de H , denominada Fora de Lorentz, a cada ponto( )zyx ,, da trajetria de q+ dada por

( ) ( ) ( )[ ]zyxHzyxvqzyxF ,,,, ,, = (6)onde o operador que denota o Produto Vetorial7 e o escalar que representa a PermeabilidadeMagntica do meio onde encontra-se a carga. No caso, o meio em questo o vcuo, para o qual

H/m 104 7= , sendo H/m a unidade de indutncia (Henry) distribuda por metro linear.

Uma vez tendo deixado claro quais elementos de (6) dependem das coordenadas ( )zyx ,, , porsimplicidade passamos a omiti-las na deduo que segue. Em termos da Norma Euclidiana (= mdulo)dos vetores que definem (6), esta pode ser escrita como

( ) sen HvqF = (7)onde o operador retorna o mdulo do vetor argumento, i.e., 222 ++== zyx

T UUUUUU ,

sendo [ ]Tzyx UUUU = um vetor do espao tridimensional 3 .Sem perder generalidade, a ttulo de simplificar nossa investigao, vamos supor que a carga q+ incidana regio magnetizada sob um ngulo = 90 , conforme mostram as Figuras 3 e 4.

7 O Produto Vetorial entre dois vetores A e B , denotado por BAV = , um terceiro vetor Vcujo mdulo V dado por { }( )BABAV ,sen = , sendo { } $180



13

Figura 3: Vista lateral da Figura 2 para = 90 .

Figura 4: Vista de topo da Figura 2 para = 90 . Para esta situao, de acordo com a Equao (7),HvqF = .

Observamos na Figura 4 que a carga q+ , movendo-se no vcuo absoluto em uma trajetria retilneacom uma velocidade constante v , ao penetrar na regio onde existe 0H , passa a sofrer a ao deuma fora F que faz com que a carga q+ mova-se ento em uma trajetria circular de raio R e emsentido horrio.



14

Note de (6) que a fora F no depende de qualquer massa material ou de qualquer efeito de inrciamecnica, tendo sido originada apenas quando a carga q+ adentrou uma regio do espao 3 ondeocorre 0H constante e uniforme. Note tambm de (6) que se a carga q negativa, ento F temseu sentido invertido e a carga q move-se em uma trajetria circular de raio R mas em sentidoanti-horrio.

Na hiptese de a carga q+ estar contida em um corpsculo material de massa m , fato que totalmente irrelevante para o surgimento da Fora de Lorentz dada por (6), o corpsculo de massam que contm a carga q+ tambm fica submetido a uma Fora de Lorentz como conseqncia dacarga nele contida em movimento atravs de um campo magntico 0H . Mas qualquer corpo demassa m movendo-se em uma trajetria circular de raio R fica sujeito a uma Fora Centrpeta cF cuja

direo e sentido aponta para o centro da trajetria e cuja intensidade cc amF = , sendo

Rv

ac2

= o mdulo da Acelerao Centrpeta ca , de mesmo sentido e direo que cF .

A Fora de Lorentz gerada independentemente de qualquer efeito de inrcia mecnica na massa m docorpsculo, mas, em havendo massa, esta fica sujeita s leis da inrcia mecnica e, portanto, ocorpsculo com carga q fica sujeito Fora Centrpeta. Por outro lado, a Fora Centrpeta geradaindependentemente de qualquer efeito eletromagntico na carga q sendo regida apenas pelas leis dainrcia que controlam a dinmica de um corpsculo de massa m em movimento circular, mas, emhavendo carga no corpsculo, esta fica sujeita ao mecanismo eletromagntico gerador da Fora deLorentz e, portanto, o corpsculo com massa m fica sujeito Fora de Lorentz.Portanto, a fora, alis nica, qual fica submetido o corpsculo com massa m e carga q resulta deduas causas distintas uma de natureza eletromagntica e outra de natureza inercial-material. Mas, paraque as leis que regem as duas naturezas superpostas no sistema fsico em questo uma eletromagntica eoutra inercial-material possam ser simultaneamente obedecidas, a fora originada pelo mecanismoeletromagntico necessariamente deve ser idntica fora originada pelo mecanismo inercial-material.Portanto mdulo, direo e sentido da Fora de Lorentz igualam o mdulo, direo e sentido daFora Centrpeta. Em conseqncia, o sistema fsico mostrado nas Figuras 3 e 4 permite escrever:

Rvm

Hvq2

= (8)

Em outras palavras, para que as leis que regem o sistema mostrado nas Figuras 3 e 4 possam serobedecidas, leis estas que so de natureza dupla e superpostas (eletromagntica por um lado esimultaneamente inercial-material por outro lado), o sistema deve ajustar-se de modo que (8) sejaatendida.

O nico parmetro livre deste sistema o raio R da rbita circular do corpsculo em torno do centro,visto que os demais parmetros no constituem variveis ajustveis:

: Constante porque caracterstica do meio (vcuo absoluto).

m : Constante porque caracterstica do corpsculo.

q : Constante porque caracterstica do corpsculo.

H : Constante e uniforme (suponha que H seja gerado no entreferro de um eletrom toroidal cujogap no entreferro seja de dimenso desprezvel em comparao ao dimetro da seo circular domaterial magntico).



15

v : Constante porque o corpsculo move-se no vcuo absoluto e, portanto, no existem foras deatrito que possam reduzir a sua Energia Cintica. Alm disto, assume-se no haver nesta regio doespao nenhum outro campo capaz de alterar v .

Assim, de (8), para que possam ser obedecidas as naturezas, eletromagntica por um lado esimultaneamente inercial-material por outro lado, intrnsecas ao sistema das Figuras 3 e 4, o raio R darbita circular do corpsculo automaticamente ajustado no valor

Hqvm

R

= (9)

De que maneira as observaes experimentais vistas nos pargrafos anteriores (e comprovadas pelacincia oficial) se encaixam na viso de Maxwell de que regies do espao tridimensional onde h campomagntico constituem regies onde ocorre tendncia vorticidade (redemoinhos) no movimento do fludoter? Em outras palavras, qual seria o mecanismo gerador da Fora de Lorentz? Acompanhemos oraciocnio apresentado nos pargrafos que seguem.

Seguindo a intuio de Maxwell, vamos substituir na Figura 4 cada vetor que representa o campo H(apontando para fora do plano da pgina) por um pequeno vrtice (redemoinho) de ter girando em umsentido que obedece a conveno da regra da mo direita: Se alinharmos o polegar da mo direita como sentido de H e curvarmos os demais dedos em um semicrculo tal que o polegar seja o eixo de rotaodo semicrculo formado, o sentido de rotao indicado pelos demais dedos define o sentido de rotao dovrtice de ter (crculos vermelhos na Figura 5):

Figura 5: Vista de topo da Figura 2 para = 90 , associando o campo H vrtices de ter,conforme sugerido por Maxwell.

Discutimos em pargrafos anteriores que um sumidouro de um fludo sujeito a uma fora resultante quetende a mov-lo no sentido de menor rarefao (maior presso) do fludo e que uma fonte sujeita a umafora resultante que tende a mov-la no sentido de maior rarefao (menor presso) do fludo. A carga

q+ da Figura 5 uma carga positiva, e, portanto, pode ser imaginada como uma fonte do fludo ter.Quando ela adentra a regio onde existe 0H , toda vez que a sua trajetria intercepta o contorno



16

externo de um vrtice de ter (crculos vermelhos na Figura 5) ela desviada para a direita visto que,devido ao sentido anti-horrio de giro do vrtice (definido pelo sentido de H apontando para fora dapgina), a fonte de ter (i.e., a carga q+ ) estar sujeita a uma maior presso de ter em seu ladoesquerdo e a uma menor presso em seu lado direito. Desta maneira, medida que so interceptadossucessivos contornos externos de vrtices, a carga q+ tende a movimentar-se em uma trajetria circularno sentido horrio. Se a carga for negativa, sempre que a sua trajetria interceptar o contorno externo deum vrtice ela ser desviada para a esquerda visto que um sumidouro de ter (i.e., uma carga q ) , parao sentido anti-horrio de giro dos vrtices da Figura 5, estar sujeito a uma maior presso de ter em seulado esquerdo e a uma menor presso em seu lado direito. Desta maneira, para o sentido de giro dosvrtices da Figura 5, uma carga q movimenta-se em uma trajetria circular no sentido anti-horrio.

Seria oportuno questionar, sempre mantendo em mente que estamos analisando um modelo alegrico comfins apenas didticos, qual seria o dimetro dos vrtices de um campo puramente magntico H (ausnciatotal de campo eltrico), sendo H constante e uniforme como na Figura 5? Com base na Equao (9),arriscaramos a seguinte aproximao: uma vez que o ter imaterial 0m em (9), pelo que resulta

0R , isto , raio infinitesimal. Nesta situao v poderia ser interpretado como a velocidadetangencial do ter no contorno externo do vrtice de raio infinitesimal e q como a massa de termovimentada por unidade de tempo como conseqncia do giro do vrtice. Assim, se (9) for aplicvelpara esta situao, podemos inferir que o dimetro dos vrtices muito pequeno, porque (9) foiexperimentalmente testada e validada pela cincia oficial para corpsculos to pequenos quanto umeltron.

2.2.2 A distribuio de torque mecnico no fludo terMas, qual seria a unidade de medida de H , se H estiver associado a vrtices no movimento do ter,conforme sugeriu Maxwell? Fazendo a anlise dimensional de (6), mas mapeando a unidade de cargaeltrica C na unidade de vazo mssica de ter sgK e deixando em aberto a unidade dimensional docampo magntico H , temos

[ ] [ ]? sm

sgK

mH N HvqF

= (10)

Vimos na Seo 2.1 que a unidade de medida de Campo Eltrico

mV

mapeada na unidade de

velocidade

sm

sob o mapeamento [ ] [ ]sgKC . Logo, em funo disto, a unidade [ ]V de tenso

V mapeada na unidade [ ]

=

sm

sm m

2

sob [ ] [ ]sgKC . Da Teoria de Circuitos temos queindutncia L , medida em Henrys [ ]H , relaciona-se com tenso V , corrente I e carga q atravs de

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ][ ]22 sCHV

sAHV

dtdqLVdtdqI

dtdILV = == (11)

Aplicando o mapeamento [ ] [ ]sgKC em (11) e a substituindo a unidade de tenso [ ]V por

s

m2, temos:



17

[ ] [ ]222

ssgK

?s

mdt

dqLV

=

(12)

De (12)

[ ] [ ]

=

=

gKsm

sgK

ss

m?2222

L (13)

Portanto a unidade de medida de indutncia Henry [ ]H mapeada na unidade

gK

sm 22. Substituindo

este resultado em (10), temos:

[ ]? sm

sgK

gKs m

smgK

2

2 HvqF

=

(14)

E de (14) temos

[ ]

=

= 22

2

s mgK

sm

sgK

gKs m

smgK

? H(15)

que pode ser interpretada como sendo uma unidade de Densidade Volumtrica de TorqueMecnico ( )zyx ,, aplicado sobre um volume de um fludo, sendo a rotao do volume comoum todo uma conseqncia do torque mdio total a ele aplicado, conforme ser visto nos parrafosque seguem.

Consideremos a Figura 6, na qual mostrado um volume de um fludo sujeito em cada ponto( )zyxp ,, a um torque ( ) ( )zyxrzyxF ,,,, . O volume assumido de forma esfrica no s por

simplicidade de representao como tambm por ser a forma geomtrica que, em termos de aproximao,mais se identifica com a de um vrtice em um fludo isotrpico8.

8 Fludo Isotrpico: Fludo com propriedades mecnicas idnticas em todas as coordenadas e direes doespao por ele ocupado.



18

Figura 6: Regio esfrica de volume em um fludo, sujeita em cada ponto ( )zyxp ,, a um torque( ) ( )zyxrzyxF ,,,, . mostrado na figura o torque aplicado aos pontos ( )000 ,, zyxp e( )111 ,, zyxp . A rotao do volume uma conseqncia do torque mdio total a ele aplicado,

resultante da soma de todas as contribuies de torque ( ) ( )zyxrzyxF ,,,, em cada ponto( )zyxp ,, .

Observe que o movimento rotacional do volume condicionado no s pela distribuio de torque( ) ( )zyxrzyxF ,,,, aplicado sobre como tambm condicionado pelo grau da suscetibilidade

toro do fludo. Ao aplicarmos torque mecnico com uma dada distribuio sobre um volume de fludo,o fludo sofrer em cada ponto do volume em questo um deslocamento angular ou toro comoconseqncia da distribuio de torque aplicada. Se as propriedades mecnicas do fludo que infuenciamno seu grau da suscetibilidade toro, em especial a viscosidade e a elasticidade torcional do fludo,forem tais que as foras que reagem distribuio de torque so superadas, ento o fludo entra emmovimento rotacional por ao da distribuio de torque aplicado.

Note que se dividirmos o valor do torque ( ) ( )zyxrzyxF ,,,, em cada ponto ( )zyxp ,, pelo valordo volume total (ver Figura 6) obteremos a densidade volumtrica de torque ( )zyx ,, em cadaponto ( )zyxp ,, de , isto , ( ) ( ) ( )[ ]zyxrzyxFzyx ,,,,1,,

= .

Uma vez que o torque mdio total aplicado a resultante da soma de todas as contribuies detorque ( ) ( )zyxrzyxF ,,,, em cada ponto ( )zyxp ,, , ento podemos expressar em funo dadistribuio de densidade volumtrica de torque ( ) ( ) ( )[ ]zyxrzyxFzyx ,,,,1,,

= , conforme a

Equao (16):



19

( ) ( ) ( )[ ]

=== dzdydxzyxrzyxFdzdydxzyxd ,,,,1 ,, (16)

Se as foras que reagem distribuio de densidade de torque ( )zyx ,, so superadas foras dereao puntuais dependentes das propriedades do fludo que influenciam no seu grau de suscetibilidade toro ento o volume do fludo entra em movimento rotacional em torno do eixo definido por como conseqncia da distribuio de densidade de torque aplicado.

Note ainda que a unidade dimensional de ( )zyx ,,

( ) [ ] ( ) ( )[ ]

= 223 s mKg m ,,

s m Kg ,,

m1 ,, zyxrzyxFzyx (17)

que idntica unidade dimensional de H , obtida quando substitui-se a unidade de carga eltrica Cpela unidade de vazo mssica de ter sgK (mapeamento [ ] [ ]sgKC ), conforme podemosconstatar comparando (15) e (17).

Neste contexto, H representa a densidade volumtrica de torque em um vrtice de ter, mas norepresenta especificamente o movimento de rotao do vrtice. Em outras palavras, embora H seja acausa da rotao do vrtice, H no representa o movimento de rotao em si. No entanto, conformeveremos, a densidade volumtrica de torque H (distribuio volumtrica de torque H ) implicitamentesubentende movimento rotacional de ter no exterior imediato ao vrtice.

2.2.3 A formao de vorticidade no fludo terEnto, se a intuio de Maxwell estiver correta, qual grandeza seria especificamente associada aomovimento de rotao de um vrtice, uma vez que H no representa explicitamente rotao, mas sim

torque? Para responder a esta questo, note primeiramente que a unidade

2s m gK de Permeabilidade

Magntica a unidade

gK

s m 2 inversa de H . Recordemos da Teoria Eletromagntica que h uma

grandeza eletromagntica fundamental denominada Densidade de Fluxo Magntico, denotada por B , aqual relaciona-se com H atravs da relao:

HB = (18)Ao fazermos a anlise dimensional de (18) obtemos um resultado aparentemente estranho: B seria uma

grandeza adimensional, j que medido em

gK

s m 2 e H medido em

2s m gK . No entanto, o

fato de B ser uma grandeza adimensional, no implica que B no tenha significado fsico. Porexemplo, consideremos a velocidade de giro de um motor de automvel, a qual medida em [rpm](rotaes por minuto) ou tambm em [rps] (rotaes por segundo). Especificamente, a unidade

dimensional da velocidade de giro

s1

porque rotao , por definio, um fenmeno fsico medido

por unidades angulares adimensionais: rotaes, radianos, graus, etc... Mas, ao sermos especficos



20

medindo a velocidade do motor apenas em

s1

estaremos descartando o poder descritivo das unidades

[rpm] ou [rps] porque estas nos do uma idia intuitiva de qual fenmeno (no caso, rotao do eixo domotor) ocorre por unidade de tempo [ ]s . Em outras palavras, unidades de medida como rotaes,radianos, steroradianos , embora adimensionais, so largamente utilizadas porque caracterizam aforma geomtrica do fenmeno ou ao subentendidos na equao qual estas unidades encontram-seassociadas.

Assim, no absurdo suspeitar que B possua uma unidade adimensional que caracterize a formageomtrica do fenmeno ou ao subentendidos. Esta unidade no ficou evidenciada na anlisedimensional realizada em (18) porque estamos obtendo as unidades de B e H baseados apenas nasimples e especfica substituio da unidade de carga eltrica C pela unidade de vazo mssica de ter

sgK em equaes do eletromagnetismo clssico. Estas unidades so estritamente dimensionais e,portanto, no podem ser decompostas em unidades adimensionais, e nem sintetizar as possveis unidadesadimensionais envolvidas.

Portanto, somente com estes elementos no temos condio de identificar eventuais unidadesadimensionais associadas B e que possam auxiliar na interpretao da forma geomtrica do fenmenoou ao subentendidos em (18). Para que possamos inferir a interpretao de B necessrio investigar asituao sob um ponto de vista no esttico, mas sim dinmico-temporal. Para este fim, ser necessrioantecipar o conceito de Rotacional de um Campo de Velocidade, a ser visto na Seo 3, assim comotambm ser necessrio interpretar luz da Teoria do ter a Equao de Maxwell em Rotacional doCampo Eltrico9.

Se consultarmos o desenvolvimento mostrado na Seo 3 veremos que o Rotacional do Campo deVelocidade de um fludo o vetor definido pelo produto vetorial v , onde

v o vetor velocidade do fludo em cada ponto ( )zyxp ,, do espao 3 , a operador vetorial definido como z

zy

yx

x

+

+

= , denominado Operador Nabla.

x , y e z so os vetores unitrios que definem direo e sentido dos eixos cartesianos do espao3 .

Na Seo 3 (ver Equao (32)), mostrado que o vetor ( )000 ,, zyxv mede a velocidade derotao de um volume infinitesimal dV de um fludo, medida em [rps], no ponto ( )000 ,, zyxp daregio do espao 3 onde encontra-se definido o campo de velocidade ( )zyxv ,, do fludo. O vetor

( )000 ,, zyxv alinha-se com o eixo de rotao do volume infinitesimal dV , sendo a velocidade derotao dada pelo mdulo de ( )000 ,, zyxv . Se dividirmos ( )000 ,, zyxv pelo volume dV ,ento o vetor ( )000 ,, zyxv normalizado por dV pode ser interpretado como a densidadevolumtrica de velocidade de rotao de um fludo no ponto ( )000 ,, zyxp , medida em [rps/m3].

9 Uma discusso formal mas ao mesmo tempo simples das Equaes de Maxwell pode ser encontrada emSeshadri, Fundamentals of Transmission Lines and Electromagnetic Fields, Addison-Wesley, 1971.



21

Continuando nossa investigao sobre qual grandeza associada ao movimento de rotao de um vrticede ter, Maxwell, ainda em 1860, postulou que

( ) ( )t

zyxBzyxE

= ,,- ,, (19)

onde t a unidade de tempo [ ]s .Conforme j discutimos na Seo 2.1, ( )zyxE ,, pode ser interpretado alegoricamente como o campo develocidade do fludo ter. Se isto for verdadeiro, com base em (32), o termo esquerda de (19)representa a velocidade de rotao de um volume infinitesimal dV de ter, medida em [rps], noponto ( )zyxp ,, do espao 3 onde situa-se o centro do volume dV .Embora no seja explicitado em (19), temos a total liberdade de dividir os termos esquerda e direita de(19) por dV , o que absolutamente no altera a sua validade. Esta normalizao transparente aoprocesso fsico por detrs da descrio matemtica efetuada por (19), e, assim, podemos assumir que (19) originalmente normalizada por dV , mas esta normalizao no ficou explcita porque foi canceladanos termos esquerda e direita.

Nesta situao, (19) passa a representar densidade volumtrica de movimento (velocidade) de rotao

de ter, medida neste caso em [rps/m3]. Portanto, o termo ( )t

zyxB

,, direita de (19) tambm

passa a representar a densidade volumtrica de velocidade de rotao de ter, tendo [rps/m3] comounidade de medida.

Uma vez que o denominador do termo ( )

tzyxB

,,

tem tempo [ ]s como unidade de medida, porcoerncia das unidades, o numerador de

( )t

zyxB

,, obrigatoriamente deve ter como unidade

deslocamento angular por unidade de volume (toro por unidade de volume).

Em funo do exposto e com o auxlio de (18), podemos inferir que H representa a densidadevolumtrica de torque aplicada ao ter contido no interior do volume dV de um vrtice enquantoB representa a densidade volumtrica de deslocamento angular (toro) do ter contido no interiorde dV , toro que gerada proporcionalmente distribuio de torque H , sendo a proporcionalidadedefinida pela suscetibilidade toro (Permeabilidade Magntica) do fludo ter.

Na realidade, a distribuio de torque ( )000 zyxH ,, aplicado ao ter no interior de um volumeinfinitesimal dV com centro em um ponto ( )000 zyxp ,, sempre gerado por movimento rotacional10de ter na regio exterior imediata ao volume dV . Desta maneira, o campo magntico ( )000 zyxH ,,

10 Veremos na Seo 2.2.5 que o campo magntico ( )000 zyxH ,, em um ponto ( )000 zyxp ,, gerado por movimento rotacional de ter no exterior imediato de um vrtice de ter de volume dVcom centro em ( )000 zyxp ,, . No existe outra maneira de ser gerado um campo magntico H excetopor movimento rotacional de ter, isto , por vorticidade no campo de velocidade linear E do ter(campo eltrico). Este o motivo de o campo magntico H no possuir fontes e/ou sumidouros, aocontrrio do campo eltrico E cujas fontes/sumidouros so cargas eltricas positivas/negativas.



22

em um ponto ( )000 zyxp ,, implicitamente subentende movimento rotacional de ter no exteriorimediato ao volume dV como causa do torque aplicado ao ter no interior de dV .

Especificamente, para uma velocidade de rotao dtd do ter em torno do exterior imediato aovolume dV gerado uma distribuio de torque ( )000 zyxH ,, sobre o ter no interior de dV devidoao atrito dinmico entre as duas camadas concntricas a interna e a externa a dV . Em conseqnciado torque gerado pelo atrito dinmico, para um deslocamento angular d de ter no exterior do volumedV , em um intervalo de tempo dt gerado um deslocamento angular (toro) ( )000 zyxB ,, do terno interior de dV proporcional distribuio de torque ( )000 zyxH ,, aplicado, sendo o grau deproporcionalidade dado pelo grau da suscetibilidade toro (Permeabilidade Magntica) do fludoter.

Assim, podemos sumarizar:

H representa a densidade volumtrica de torque aplicada ao ter contido no interior de um vrticede volume dV , resultante do atrito dinmico causado pela rotao do ter a uma velocidade

dtd em torno do exterior imediato ao volume dV do vrtice.

B representa a densidade volumtrica de deslocamento angular (toro) do ter contido no interiordo vrtice resultante da distribuio de torque H aplicada durante um intervalo dt , sendo dt ointervalo de tempo de um deslocamento angular d do ter no exterior imediato ao volume dV . Omdulo do deslocamento angular B proporcional ao mdulo do torque H aplicado durante dt ,sendo a proporcionalidade definida pela suscetibilidade toro (Permeabilidade Magntica) dofludo ter. A direo do vetor B perpendicular ao plano de maior toro do fludo interno aovrtice, o qual corresponde ao plano de maior velocidade de rotao do fludo externo ao vrtice.

O grau ou coeficiente de suscetibilidade toro , isto , a Permeabilidade Magntica, oparmetro que representa a combinao de efeitos resultantes de propriedades mecnicas do fludoter que influenciam na sua tendncia vorticidade. Embora no se saiba exatamente quaispropriedades mecnicas estejam envolvidas no processo de vorticidade, porque no se sabe do que constitudo o fludo imaterial denominado ter, muito provavelmente propriedades anlogas spropriedades mecnicas de fludos materiais como elasticidade torcional, compressibilidade,densidade e viscosidade devem estar envolvidas.

Observe que o processo fsico por detrs da descrio matemtica efetuada por (18) no tem o seu cartertemporal explicitado. De fato, (18) apenas postula que um deslocamento angular B resulta de um torqueH aplicado. No entanto, fica implcito em (18): H originado pelo atrito dinmico gerado por umarotao d durante dt [ ]s Logo o deslocamento angular B ocorrido em dt [ ]s resulta do torqueH aplicado durante dt [ ]s . E, sendo assim, tambm fica implcita a normalizao de (19) pela unidadede tempo.

Mas, qual o significado do sinal negativo no termo direita de (19)? Consideremos a Figura 7:



23

Figura 7: Processo de surgimento de vorticidade para um fludo em movimento contido em determinadoambiente. (a) Estratificao do campo de velocidade linear, possivelmente devido s condies decontorno geomtricas do ambiente que contm o fludo em movimento e da variao temporal do campode velocidade. (b) Ponto de vista de um observador o , localizado no centro geomtrico do vrtice aindaa ser formado, com relao situao mostrada em (a). (c) Formao inicial do vrtice em conseqnciadas velocidades contrrias nos estratos adjacentes. (d) Processo de desenvolvimento do vrtice, o qualdepende de certas propriedades mecnicas do fludo: elasticidade torcional, compressibilidade,densidade (concentrao volumtrica) e viscosidade (fora mdia de atrito entre as partculasconstituintes do fludo), por exemplo. (e) Maturao do vrtice. Nesta fase o fludo tende a rarefazer-seno centro ( )zyxp ,, do vrtice por ao da fora centrfuga resultante da rotao, a qual impele o fludopara fora do vrtice. Portanto, alm do movimento circular, ocorre movimento linear do fludo na direoradial a partir do centro em ( )zyxp ,, . (f) Movimento em espiral resultante da composio dosmovimentos circular e linear mostrado em (e).



24

A Figura 7 descreve o surgimento de vorticidade em um fludo em movimento, fludo este que pode ser,por exemplo, gua movimentando-se em direo ao bocal da mangueira de suco mergulhada no fundode uma piscina ou ter movimentando-se em direo de uma carga eltrica negativa. A Figura 7(a)mostra que qualquer movimento relativo entre estratos ou camadas em uma determinada regio de umfludo isotrpico pode gerar turbulncia local. Um vez que deve haver continuidade no campo develocidade, razovel admitir que a velocidade mdia ov do fludo na superfcie laminar que separa osestratos 1 e 2 seja a mdia das velocidades entre os dois estratos. Portanto, um observador o quemova-se ao longo da superfcie de separao com velocidade ov enxerga o movimento do fludoconforme Figura 7(b). Este movimento relativo do fludo com relao ao observador o pode gerar umadistribuio de torque tal que seja induzido movimento rotacional do fludo em torno de o , conformemostram as Figuras 7 (b) e (c). Dependendo de propriedades mecnicas do fludo, tais como elasticidadetorcional, compressibilidade, densidade, e viscosidade, o movimento rotacional pode evoluir para odesenvolvimento de um vrtice local, conforme mostra a Figura 7(d). Embora a Figura 7 mostre aformao de um vrtice em duas dimenses, o processo idntico para a formao de um vrticetridimensional como o mostrado na Figura 6.

Simultaneamente com a formao do vrtice, ocorre uma tendncia de movimento centrfugo11 do fludocomo conseqncia de seu movimento circular no vrtice, conforme mostra a Figura 7 (f). Portanto, ofludo tende a movimentar-se no somente de modo circular como tambm simultaneamente de modoradial, afastando-se do centro ( )zyxp ,, do vrtice, conforme mostra a Figura 7 (e).Da decorre, portanto, a interpretao do sinal negativo em (19), se assumirmos como vlida anormalizao de (18) e (19) pela unidade de tempo:

Ao ocorrer uma variao no sentido do aumento da densidade volumtrica de velocidade de rotaode ter ( )000 ,, zyxE no exterior imediato ao volume dV do vrtice com centro em( )000 ,, zyxp , ocorrer um aumento simultneo da velocidade de rotao no interior de dV

devido ao atrito dinmico. Em conseqncia, ocorrer uma gradual reduo da densidadevolumtrica de velocidade angular ( )000 ,, zyxB de ter no interior de dV porque o ter tende afluir em movimento centrfugo atravs das paredes do reservatrio formado por dV sob razo

de evaso ( )

tzyxB

000 ,, . Especificamente, se o ter evade do vrtice ento diminui a quantidade

de ter que gira dentro do vrtice e, portanto, diminui a densidade volumtrica de velocidadeangular ( )000 ,, zyxB de ter no interior de dV .

Ao ocorrer uma variao no sentido da reduo da densidade volumtrica de velocidade de rotaode ter ( )000 ,, zyxE no exterior imediato ao volume dV do vrtice com centro em( )000 ,, zyxp , ocorrer uma reduo simultnea da velocidade de rotao no interior de dV

devido ao atrito dinmico. Em conseqncia, ocorrer um gradual aumento da densidadevolumtrica de velocidade angular ( )000 ,, zyxB de ter no interior de dV porque o ter tende afluir em movimento centrpeto12 atravs das paredes do reservatrio formado por dV sob razo

de invaso ( )

tzyxB

000 ,, . Especificamente, se o ter invade o vrtice ento aumenta a

quantidade de ter que gira dentro do vrtice e, portanto, aumenta a densidade volumtrica develocidade angular ( )000 ,, zyxB de ter no interior de dV .

O fluir de ter atravs das paredes do reservatrio formado pelo volume dV do vrtice, seja ofluir um processo de evaso ou invaso do reservatrio, terminar quando as foras radiaisoriginadas pelo movimento circular atinjam o equilbrio dinmico com as foras externas ao vrtice,

11 Centrfugo: Em direo contrria ao centro de rotao.12 Centrpeto: Em direo ao centro de rotao.



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foras que so resultantes da presso interna do fludo ter na regio do em questo do espao 3 .Quando isto acontece cessa o movimento linear radial do ter permanecendo apenas o movimentocircular.

Poderia ser argumentado que, se existem foras centrfugas e centrpetas atuando sobre o ter entoestamos pressupondo massa e efeitos inerciais para algo imaterial. De fato, exatamente o que estamosfazendo ao assumir gK como a unidade de massa imaterial para o ter, muito embora no se tenhacomo saber do que ele seja constitudo nem como seja estruturado (partculas formadoras). De qualquerforma, a Teoria da Estabilidade de Lyapunov13 demonstra que a trajetria do vetor de estado de umsistema fsico estvel tende a ser atrada pelo estado de menor energia. A Lei da Inrcia, a qual rege asaceleraes centrpetas e centrfugas, postula que um corpo tende a manter constante a sua velocidade demovimento. Esta lei mecnica pode ser interpretada como um caso particular deste princpio deLyapunov. Portanto, as aceleraes centrfugas e centrpetas que surgem no ter como conseqncia devariaes na vorticidade podem ser interpretados no contexto da Teoria da Estabilidade de Lyapunov.

2.2.4 A Lei de Induo de Faraday interessante notar que a forma ntegro-diferencial de (19), conhecida como Lei da Induo de Faraday,tambm explicada pelo mesmo arrazoado alegrico utilizado para explicar a Fora de Lorentz,discutida na Seo 2.2.1. A Lei da Induo de Faraday, definida a partir de resultados experimentaisobtidos por Michael Faraday no Sculo XIX, postula que:

( ) ( ) ( ) ( )zyxSdt

zyxBzyxldzyxEVC

,, ,,- ,,,,S == (20)

A Equao (20), luz do que discutimos at este ponto no contexto da alegoria do ter , sugere osseguintes comentrios/interpretao:

(I) Cada elemento que define a soma (integral) indicada pelo termo esquerda de (20) o produtoescalar do vetor velocidade ( )zyxE ,, do ter no ponto ( )zyxp ,, pelo vetor ( )zyxld ,, ,soma esta que efetuada ao longo de um caminho orientado e fechado C , sendo ( )zyxld ,,um vetor de mdulo infinitesimal tangente C a cada ponto ( ) Czyxp ,, . Portanto oproduto escalar ( ) ( )zyxldzyxE ,,,, efetua a projeo do campo de velocidade( )zyxE ,, sobre cada ponto ( )zyxp ,, do caminho fechado C .

(II) Cada elemento que define a soma (integral) indicada pelo termo direita de (20) o produto

escalar da razo de evaso/invaso ( )

tzyxB

,, atravs das paredes do volume dV do

vrtice infinitesimal de ter no ponto ( )zyxq ,, pela superfcie infinitesimal orientada( ) SzyxSd ,, . O centro de rea da superfcie infinitesimal orientada ( ) SzyxSd ,,

localiza-se no ponto ( ) Szyxq ,, , sendo ( ) ( ) ( )zyxnzyxdSzyxSd ,,,,,, = onde S a superfcie delimitada por C e ( )zyxn ,, o vetor normal ( ) SzyxSd ,, a cada ponto( ) Szyxq ,, . Portanto, o produto escalar ( ) ( )zyxSd

tzyxB ,, ,,

efetua a projeo do

campo de evaso/invaso ( )

tzyxB

,, sobre cada ponto ( )zyxq ,, da superfcie S .

(III) O processo fsico descrito pelo termo direita d origem ao processo fsico descrito pelo termo esquerda (desprezemos momentaneamente o sinal negativo): Uma superfcie S contendo uma

13 Uma excelente discusso sobre Teoria da Estabilidade de Lyapunov pode ser encontrada em SimonHaykin, Neural Networks, 2nd ed., Prentice Hall, Upper Saddle River, New Jersey, 1999.



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infinidade de vrtices de ter girando com velocidade angular ( )zyxB ,, varivel no tempo dorigem a um movimento linear ao longo do caminho fechado C que delimita S .

(IV) A orientao relativa entre C e S segue a conveno da regra da mo direita: Se curvarmostodos os dedos da mo direita em um semicrculo acompanhando o sentido da trajetria fechadade C , exceto o polegar que dever ser mantido reto e posicionado tal que constitua o eixo derotao do semicrculo formado, ento o polegar define o sentido positivo do vetor ( )zyxn ,,normal superfcie S em cada ponto ( ) Szyxq ,, .

(V) O vetor ( )zyxB ,, alinha-se com o eixo de rotao do vrtice infinitesimal com centro noponto ( ) Szyxq ,, e perpendicular ao plano de maior velocidade de rotao do vrtice.

(VI) O produto escalar ( ) ( )zyxSd

tzyxB ,, ,,

projeta a regio da superfcie das paredes do

volume dV atravs da qual ocorre maior evaso/invaso de ter sobre a rea ( )zyxdS ,,localizada em ( ) Szyxq ,, , sendo ( )zyxq ,, o centro do vrtice de volume dV .

(VII) Se o caminho fechado C for um condutor eltrico, e se interrompermos este condutor de talforma a definir terminais onde podemos medir uma tenso V , ento a tenso V que aparece

nos terminais obedece ( ) ( )zyxSd

tzyxBV ,, ,,-

S = . O sinal negativo pode ser

explicado pelo mesma relao de causa e efeito que rege a Fora de Lorentz, conforme sugeremas Figuras 8, 9 e 10:



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Figura 8: Espira de fio condutor eltrico (anel cinza na figura) contida no plano da pgina. A espira interrompida de forma a definir terminais onde possvel medir a tenso V sobre um resistor de cargaR . Em qualquer condutor eltrico existe uma nuvem de eltrons com livre trnsito entre os tomos docondutor (eltrons livres), cada eltron da nuvem possuindo uma carga eltrica e , sendo

C . 1910601=e . A figura mostra (em azul) um dos inmeros eltrons livres do condutor.Perpendicular ao plano da pgina existe um campo magntico 0H , constante no tempo euniformemente distribudo no espao, apontando para fora da pgina, originando uma densidade de fluxomagntico HB = . No contexto da alegoria do fludo ter, no plano da pgina existe uma regio comdensidade volumtrica de torque H constante e uniforme, que d origem nesta regio a uma densidadevolumtrica de rotao HB = (vrtices em vermelho na figura). Se H fosse nulo, os eltrons nanuvem moveriam-se no fio de maneira errtica e aleatria de acordo com a agitao trmica, de modoque a velocidade mdia global da nuvem seria zero. Na presena de 0H os eltrons econtinuam a mover-se de maneira errtica (tambm resultando em velocidade mdia zero para anuvem), mas cada eltron gira como uma engrenagem14 entre os vrtices, conforme mostra a figura.Uma vez que a velocidade mdia da nuvem de eltrons zero, no h corrente eltrica e, portanto, atenso V nos terminais do fio nula.

14 Note a semelhana com o mecanismo proposto por Maxwell, justificando o processo de vorticidade noter: ... a layer of particles, acting as idle wheels, to be interposed between each vortex and the next,and to roll without sliding on the vortices; so that each vortex tends to make the neighboring vorticesrevolve in the same direction as itself .



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Figura 9: Espira da Figura 8 em um instante 0t no qual o campo magntico H (e a densidade de fluxomagntico HB = ) deixa de ser constante e passa a ser crescente com o tempo. A partir de 0t , o ternos vrtices passa a efetuar um movimento radial centrfugo (espirais em vermelho) devido ao aumentoda velocidade de rotao com o tempo, causando um movimento radial de expanso do ter em cadavrtice . Supondo que as coordenadas do ponto central da regio do espao 3 onde existe 0Hcoincida com as coordenadas do centro da espira, o movimento mdio global do fludo ter o indicadopelo campo de velocidade ( )zyxv E ,, (vetores verdes), o qual resulta do movimento individual deexpanso do ter em todos os vrtices ao redor do ponto central. Mas este movimento mdio radial ecentrfugo do ter afastando-se do centro da espira expande toda a regio de vorticidade, fazendo comque o movimento mdio de cada vrtice tenda a seguir uma trajetria definida por ( )zyxv E ,, . Istoocasiona uma situao muito semelhante da Figura 5: Sempre que o contorno externo de um vrticeem movimento mdio radial centrfugo interceptar um eltron da nuvem, este sofrer ao da fora F ,que nada mais do que a Fora de Lorentz, j discutida na Seo 2.2.1. O eltron move-se ento em umatrajetria c (em amarelo), assim como todos os demais eltrons da nuvem movem-se no mesmosentido, gerando uma tenso 0



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Figura 10: Espira da Figura 8 em um instante 0t no qual o campo magntico H (e a densidade defluxo magntico HB = ) deixa de ser constante e passa a ser decrescente com o tempo. A partir de

0t , o ter nos vrtices passa a efetuar um movimento radial centrpeto (espirais em vermelho) devido reduo da velocidade de rotao com o tempo, causando um movimento radial de contrao do ter emcada vrtice . Supondo que as coordenadas do ponto central da regio do espao 3 onde existe 0Hcoincida com as coordenadas do centro da espira, o movimento mdio global do fludo ter o indicadopelo campo de velocidade ( )zyxv E ,, (vetores verdes), o qual resulta do movimento individual decontrao do ter em todos os vrtices ao redor do ponto central. Mas este movimento mdio radial ecentrpeto do ter movendo-se em direo ao centro da espira contrai toda a regio de vorticidade,fazendo com que o movimento mdio de cada vrtice tenda a seguir uma trajetria definida por( )zyxv E ,, . Isto ocasiona uma situao muito semelhante da Figura 5: Sempre que o contorno

externo de um vrtice em movimento mdio radial centrfugo interceptar um eltron da nuvem, estesofrer ao da fora F , que nada mais do que a Fora de Lorentz, j discutida na Seo 2.2.1. Oeltron move-se ento em uma trajetria c (em amarelo), assim como todos os demais eltrons danuvem movem-se no mesmo sentido, gerando uma tenso 0>V . Em um instante 1t , no qual ocampo magntico H volta a ser constante, cessa o movimento radial de contrao da regio devorticidade e, em conseqncia, cessa o movimento do eltron ao longo da trajetria c . O sistema volta,ento, ao estado da Figura 8.



30

2.2.5 A Lei de AmpreUma vez tendo explicado a Lei da Induo de Faraday com inspirao na hiptese alegrica da existnciado ter, no seria absurdo suspeitar que outra equao fundamental do Eletromagnetismo a Lei deAmpre possa ser interpretada em base semelhante. A Lei de Ampre postula que:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )zyxSdzyxJzyxJzyxldzyxH DC

,, ,,,, ,,,,S +== (21)

onde

( )zyxJ ,, , medida em

2m

A, a Densidade Superficial de Corrente de Conduo

(movimento de cargas eltricas) que atravessa a superfcie orientada de integrao S , superfcie que delimitada pelo caminho de integrao fechado e orientado C .

( ) ( )t

zyxDzyxJ D

=

,,,, , medida em

2m

A, a Densidade Superficial de Corrente de

Deslocamento15 que atravessa a superfcie orientada de integrao S , superfcie que delimitadapelo caminho de integrao fechado e orientado C , sendo ( )zyxD ,, a Densidade de FluxoEltrico dada por ( ) ( )zyxEzyxD ,,,, = 16.

A orientao relativa entre C e S segue a conveno da regra da mo direita, j discutida naanlise de (20).

15 O termo ( ) ( ) tzyxDzyxJ D = ,,,, no existia originalmente na equao da Lei de Ampre,tendo sido posteriormente acrescido por Maxwell.

16 Substituindo a unidade de carga eltrica C pela unidade de vazo mssica de ter sgK

(mapeamento [ ] [ ]sgKC ) em ED = obtemos

s2m

gK como unidade de medida. Portanto, no

contexto alegrico da existncia do ter, D significa vazo mssica por unidade de superfcie oudensidade superficial de vazo mssica de ter quando este atravessa uma superfcie S .Explicitamente, D indica quantos gK de ter atravessam uma determinada superfcie S por unidadede tempo. A Lei de Gauss, enunciada por Karl F. Gauss em 1813, postula que QSdD

S

= , isto , asoma da componente normal de D sobre qualquer superfcie fechada S equivalente carga Q

englobada por S . Torna-se fcil interpretar a Lei de Gauss quando D medido em

s2m

gK e Q em

sgK

: Se uma fonte 0>Q do fluido ter (ou de qualquer outro fludo) for envolvida por uma

superfcie fechada imaginria S , ento bvio que toda massa [ ]gK de fludo que a fonte jorra paradentro do volume delimitado por S por unidade de tempo equivale soma da massa de fludo queatravessa S de dentro para fora por unidade de tempo. Raciocnio semelhante valido para umsumidouro 0



31

A equao (21) estabelece que linhas de um campo magntico ( )zyxH ,, so geradas ao longo docaminho fechado C como conseqncia da existncia de correntes eltricas atravessando a superfcie Sdelimitada por C . A intensidade com que o campo magntico ( )zyxH ,, gerado ao longo de Cdepende da densidade superficial ( )zyxJ ,, para correntes de conduo e

( ) ( )t

zyxDzyxJ D

=

,,,, para correntes de deslocamento com que estas correntes atravessam S .

Consideremos a gerao de campo magntico ( )zyxH ,, como conseqncia de correntes eltricas deconduo, isto , correntes eltricas resultantes do movimento de cargas eltricas. A grandeza

( )zyxJ ,,

2m

A a densidade superficial de corrente eltrica de conduo que atravessa a superfcie

de integrao S . Mas corrente eltrica I [ ]A nada mais do que variao da quantidade de cargaeltrica por unidade de tempo ( dtdqI = )

sC

. Aplicando a hiptese de que carga eltrica q [ ]Crepresenta uma fonte/sumidouro de ter de vazo mssica medida em [ ]sgK , ento J passa a sermedida em

2s2mgK

e pode ser interpretada como uma variao temporal (positiva ou negativa) na

vazo mssica do fludo ter por unidade de superfcie quando este atravessa uma superfcie S .

Por exemplo, consideremos a Figura 11:



32

Figura 11: Corrente eltrica originada pelo movimento de cargas positivas q+ (fontes de ter)atravessando uma superfcie imaginria S a uma velocidade v constante. O sentido da corrente eltricaque atravessa S o mesmo de v . Se 0=v ento a carga q+ gera um campo eltrico radial, deacordo com a Equao (5). Mas, conforme j discutido na Seo 2.1, o Campo Eltrico representa avelocidade linear com que o ter flui. Assim, um observador sentado na carga q+ , estando estamovimentando-se com velocidade 0v da esquerda para a direita conforme mostrado na figura,enxerga o movimento do ter como uma composio de velocidade radial, dada pela Equao (5),superposta a um movimento linear de ter da direita para a esquerda com velocidade v . O campo develocidade de movimento de ter resultante desta composio de velocidades, campo que seria vistopor um observador sentado na carga q+ , o campo vetorial definido pelas setas pretas na figura.

Cada fonte de ter com vazo q [ ]sgK que atravessa S da esquerda para a direita, jorra umaquantidade de ter para o lado direito a uma razo de q [ ]gK por unidade de tempo [ ]s . Mas sep fontes com vazo q [ ]sgK atravessam S da esquerda para a direita por unidade de tempo ento a

variao temporal da vazo mssica de ter que atravessa S para o lado direito ocorre a uma razo depq ][ sgK 2 . Ou seja, ocorre uma acelerao na massa de ter que atra

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