Efeitos da inserção de pólos e zeros

5/16/2018 Efeitos da inser o de p los e zeros - slidepdf.com

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Resposta transitória de

sistemas lineares

Efeitos decorrentes da inser ão de

um pólo ou um zero a um sistema de2.a padrão

Prof. Luiz Carlos Sandoval Góes

Prof. Davi Antônio dos Santos

Março de 2011



Motivação• Sistema de 2.a ordem com controlador proporcional:

Função de transf. de malha fechada (FTMF):



A FTMF é de 2.a ordem padrão, para a qual

conhecemos relações entre os parâmetros(k , kp, a) e as especificações de desempenho

(Mp, tp, ...). Lembrando:

etc.



•

Projeto: – Dados Mp + k , a,

• Calcular e :

kp...

• Calcular kp:



0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Step Response

A m p l i t u d e

• Realização dos cálculos usando o Matlab:

0 5 10 15 20 250

0.2

Time (sec)

kp = 0.3006



Exercício

• Refaça o projeto anterior levando em conta que a

espeficação é tp = 1 seg.



Controle P-D• Sistema de 2.a ordem com controlador P-D:

FTMF:



Novamente, a FTMF é de 2.a ordem padrão,

para a qual conhecemos relações entre os

parâmetros (k , a, kp, kd) e as especificações

de desempenho (Mp, tp, ...).



•

Projeto: – Dados Mp e tp + k , a,

• Calcular e :

kp,

kd...

• Calcular kp e kd:



Exercício

• Faça um programa em Matlab (.m) para realizar o

projeto do “slide” anterior.



Controlador PD

• O que acontece se o PD for em cascata?

FTMF:



Neste caso, não há uma relação algébrica

simples entre Mp, tp, ... e a, k, kp, kd.

Vejamos...



•

Seja R(s)=1/s. Então, a resposta temporal dosistema é dada por:

Usando uma tabela de TLs, obtemos:



• Conclui-se que é interessante que o sistema deMF projetado se comporte aproximadamentecomo um sistema de 2.a ordem adrão. OBS.:

Desafio: Ache uma relação algébrica entre , ,

e , .

De fato, essa é uma hipótese da maioria dosmétodos de controle clássico.)

• Caso essa aproximação não seja viável, é

interessante saber, pelo menosqualitativamente, qual é o efeito da inserçãode zeros ou pólos a um sistema de 2.a ordempadrão.



Efeito da inserção de um zero ou um pólo

a uma FT de 2.a ordem padrão

•• Inserção de um zero de MFInserção de um zero de MF:

FTMF:

a b



•

Pensando com base no gráfico:: Resp. ao degrau de (a)

: Resp. ao degrau de (b)

(Este gráfico foi retirado de [Kuo, B. C.;

Golnaraghi, F. Automatic Control Systems, John

Wiley & Sons, 2003], página 280.)



• Simulação: Considere e . Então,

variando , obtêm-se as seguintescurvas de resposta ao degrau unitário:



•• Inserção de um zero de MAInserção de um zero de MA:

aumenta o “overshoot”

Complicado! Sendo assim, vamos simular

alguns casos...

Reduz o “overshoot”



•• Inserção de um pólo de MAInserção de um pólo de MA:

:

Desafio: Faça, de forma literal, a decomposição

em frações parciais dessa FTMF.



•• Inserção de um pólo de MFInserção de um pólo de MF:

FTMF:

onde,



Note que o aumento de Tp provoca o aumento dasignificância do modo de 1.a ordem em relação ao

par de pólos complexos.

Vamos confirmar comuma simulação...



Conclusão e sugestões de leitura

• Não devemos ignorar a presença de “zeros”;

• Simulação computacional deve ser usadaquando não há resultados analíticos;

•

– Kuo, B. C.; Golnaraghi, F. Automatic ControlSystems, John Wiley & Sons, 2003.[Secs. 7.8, 7.9]

– Franklin, G.F.; Powell, J.D.; Emami-Naeini, A.Feedback Control of Dynamic Systems, PrenticeHall, 2010. [Sec. 3.5]

Efeitos da inserção de pólos e zeros

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