Módulo I: Parte I – Conceitos Básicos de Malhas SISO ... PACOP / Módulo I: Prof. Jorge O....

Módulo I: Estratégias de Controle

l ó óRegulatório e Diagnóstico de Desempenho de de Desempenho de

MalhasMalhasParte I – Conceitos Básicos de Malhas SISO

Jorge Otávio TrierweilerJorge Otávio [email protected]

Departamento de Engenharia QuímicaDepartamento de Engenharia QuímicaUniversidade Federal do Rio Grande do Sul

CAP Linearização FT 1ªord. Freq. Pólos&Zeros Álg. BlocosFT 2ªord.

Parte I Parte I Conceitos Básicos de Malhas SISO Conceitos Básicos de Malhas SISO Parte I Parte I –– Conceitos Básicos de Malhas SISO Conceitos Básicos de Malhas SISO Datas: 03 e 04 de Agosto de 2009a) Conceitos básicos de controle de processos – camadas básicas de

controle e divisão hierárquica de controleb) Linearização, Funções de Transferências, Matriz de Transferência

e Representação no Espaço de Estadop ç p çc) Ganho, pólo e zerosd) Malhas de controle retroalimentadas, antecipativas e cascatas) , pe) Estabilidade de malhas de controle (critérios de nyquist e bode)f) Controladores P PI e PIDf) Controladores P, PI e PIDg) Ajuste de malhas de controle h) Fatores que limitam o desempenho de malhas de controleh) Fatores que limitam o desempenho de malhas de controlei) Malhas de inventário – colunas de destilação

228/7/2009 23:12

Conceitos Básicos de Malhas SISOCurso PACOP / Módulo I: Prof. Jorge O. Trierweiler


Parte II: Sistemas Parte II: Sistemas MultivariáveisMultivariáveisParte II: Sistemas Parte II: Sistemas MultivariáveisMultivariáveisDatas: 24 e 25 de Agosto de 2009a) Generalização de conceitos para sistemas multivariáveis: Ganho,

zeros e pólosb) Interação e Direcionalidadec) Generalização de conceitos de robustez e desempenho para ) ç p p

sistemas multivariáveisd) Determinando o desempenho alcançável de malhas de controle ) p ç

através dos índices RPN e rRPNe) Determinação do grau de não linearidade de sistemase) Determinação do grau de não linearidade de sistemas

multivariáveis através do nRPN, nRPNSTAT e nRPNDYN

f) Ajuste de controladores multivariáveis estruturados de baixaf) Ajuste de controladores multivariáveis estruturados de baixa ordem

g) Camada supervisória – aplicado a colunas de destilação

328/7/2009 23:12


g) Camada supervisória aplicado a colunas de destilação


Parte III: Auditoria e Diagnóstico de MalhasParte III: Auditoria e Diagnóstico de MalhasParte III: Auditoria e Diagnóstico de MalhasParte III: Auditoria e Diagnóstico de MalhasDatas: 14 e 15 de Setembro de 2009a) Conceitos básicos de tratamento de sinais aplicados à auditoria

de malhas de controleb) Revisão das técnicas de auditoria de malhas de controlec) Índices disponíveis para se determinar o desempenho de forma ) p p p

não intrusivad) Técnicas para quantificar o agarramento de malhas de válvulas ) p q g

de controlee) Diagnóstico de desempenho e robusteze) Diagnóstico de desempenho e robustezf) Auditoria e Diagnóstico de oscilações em processos industriais.

428/7/2009 23:12



Afinal para que serve controle de processos ?

528/7/2009 23:12



Típico Processo Industrial Típico Processo Industrial Típico Processo Industrial Típico Processo Industrial

Esquema de Reação:A(g) + C(g) + D(g) → G(liq)A(g) + C(g) + D(g) → G(liq)A(g) + C(g) + E(g) → H(liq)A(g) + E(g) → F(liq)

628/7/2009 23:12


3D(g) → 2F(liq)

CAP Linearização FT 1ªord. Freq. Pólos&Zeros Álg. BlocosFT 2ªord. Importância do Controle de - Segurança e proteção

Q lid d d d t

Controle de Processos

- Qualidade dos produtos

- Operação suaveOperação suave

- Monitoração dos processosç p

Melhoria dos processos

C t lFlexibilidade nos projetos

Controle Limites operacionais

Aumento da produtividade

Lucro7

28/7/2009 23:12Conceitos Básicos de Malhas SISO

Curso PACOP / Módulo I: Prof. Jorge O. Trierweiler

Lucro


MotivaçãoMotivaçãoMotivaçãoMotivação

Especificação

1ª regiãoV i bilid d

2ª regiãoV i bilid d

3ª regiãoP ó iVariabilidade

originalVariabilidade reduzida

Próximaà especificação

828/7/2009 23:12




Ó i PressãoÓtimo econômico

Composição Vazões

‘

Temperatura

DP Coluna

Freq. bombas

928/7/2009 23:12


DP Coluna



Ó PressãoÓtimo econômico


Temperatura

DP Coluna

Freq. bombas

1028/7/2009 23:12


DP Coluna



Ó PressãoÓtimo econômico


Temperatura

DP Coluna

Freq. bombas

1128/7/2009 23:12


DP Coluna


Camadas de ControleCamadas de ControleCamadas de ControleCamadas de Controle

1228/7/2009 23:12



Tipos de Modelos UtilizadosTipos de Modelos UtilizadosTipos de Modelos UtilizadosTipos de Modelos Utilizados

Linearidade Natureza Base IOs Camadas Li Nã E t Di â F S i E SISO MIMOCamadas Linear Não

Linear Esta-

cionária Dinâ- mica

Fen.. Semi Emp. SISO MIMO

Regulatória X X X X Supervisória X X X X RTO X X X X X Programação de X X X X X XProgramação de produção

X X X X X X

Planejamento de produção

X X X X produção

1328/7/2009 23:12



Classificação das Variáveis de ProcessoClassificação das Variáveis de ProcessoClassificação das Variáveis de ProcessoClassificação das Variáveis de Processo

1428/7/2009 23:12


14


Controle Avançado de Processos Controle Avançado de Processos –– CAPCAP

Essência: Trata-se de uma definição que varia com o

Controle Avançado de Processos Controle Avançado de Processos –– CAPCAP

Essência: Trata se de uma definição que varia com o tempo e tem que se adaptar aos desenvolvimentos tecnológicos da área de controle de processos.g p

Atualmente: Se considera que CAP são um conjunto de técnicas que vão além de malhas PID malhas de técnicas que vão além de malhas PID, malhas cascatas ou malhas antecipativas.*

Normalmente: São projetos de controle associados com elevados custos devido não fazerem parte de psistemas de controle comumente utilizados requerendo uma adaptação e customização para cada aplicação.

* Marlin T E Barton G W Brisk M L and Perkins J D (1987) Advanced Process Control: Project

1528/7/2009 23:12


* Marlin, T.E., Barton, G.W., Brisk, M.L. and Perkins, J.D. (1987). Advanced Process Control: Project Report and Technical Papers. Sydney: Warren Centre for Advanced Engineering.


Os cinco pilares do CAPOs cinco pilares do CAP

Estrutura & Estratégia de Controle

Os cinco pilares do CAPOs cinco pilares do CAP

Estrutura & Estratégia de Controle

Analisadores Virtuais (AV)Analisadores Virtuais (AV)

Identificação & Geração de ModelosIdentificação & Geração de Modelos

Algoritmos de Controle (tipos de g ( pcontroladores: PID, MPC, Robusto etc)

Técnicas de Auditoria de Desempenho & Diagnóstico de FalhasDiagnóstico de Falhas (Gerenciamento de Ativos)

1628/7/2009 23:12


16


Camadas de Controle AvançadoCamadas de Controle Avançado

Gestão do Negócio

Camadas de Controle AvançadoCamadas de Controle Avançado

Gestão do Negócio(ERP)

Planej. & Cont. da Produção(PCP)( )

Controle Avançado do Processo(Otimizadores)

(MPCs)

Controle Regulatório do Processo(CLP, PID, Inst. Campo)

1728/7/2009 23:12



GerenciamentoGerenciamento de de AtivosAtivos

Gestão do Negócio

GerenciamentoGerenciamento de de AtivosAtivos

Gestão do Negócio(ERP)

ivos

Planej. & Cont. da Produção(PCP)de

Ati

ento

d

Controle Avançado do Processo(Otimizadores)ia

me

(MPCs)

eren

c

Controle Regulatório do Processo(CLP, PID, Inst. Campo)G

e

1828/7/2009 23:12



PrincipaisPrincipais FerramentasFerramentas de CAPde CAPGerenciamento de Ativos Atuação no Processo

PrincipaisPrincipais FerramentasFerramentas de CAPde CAP

Otimizador (RTO)

MPC NMPC e OutrosMPC, NMPC e Outros

Inferências e Analisadores

Processo(SDCD, SCADA, historiadores)

1928/7/2009 23:12



Custo e benefícios do controleCusto e benefícios do controleCusto e benefícios do controleCusto e benefícios do controle

Item Custo BenefícioSDCD Básico 50% 15%

SDCD Avançado 2% 10%SDCD Avançado 2% 10%APC 12% 40%RTO 36% 35%RTO 36% 35%

2028/7/2009 23:12



Benefício Potencial Benefício Potencial –– Refino do Petróleo Refino do Petróleo Benefício Potencial Benefício Potencial –– Refino do Petróleo Refino do Petróleo

B il 2 MBPD• Brasil processa 2 MBPD

• MPC pode trazer um ganho potencial de:• MPC pode trazer um ganho potencial de:

▫ US$ 0,05 / BP na destilação (2MBPD)

▫ US$ 0,10 / BP no FCC (0,66 MBPD)

▫ US$ 170 mil por dia!

US$ 60 ilhõ !!!▫ US$ 60 milhões por ano!!!

• Por isso são populares na indústria do Petróleo &• Por isso são populares na indústria do Petróleo & Petroquímica!

2128/7/2009 23:12



MPC MPC –– RealidadeRealidadeMPC MPC –– RealidadeRealidadeRealidade – status quo Problemas no Controle

i. Muitos MPCs não saíram do papel!ii. Muitos MPCs desligados após menos

Regulatório!i. Malhas que operam abertas/saturadas

de 1 ano de operação!iii. Muitos MPCs operando parcialmente!

ii. Válvulas com agarramentoiii. Problemas com estratégias de controle

Problemas com os analisadores e inferências!

iv. Problemas de sintonia e instrumentação

Problemas com os modelos!analisadores e inferências!i. Acompanhamento e

manutenção

Problemas com os modelos!i. Processo em nova condição

operacionalmanutenção

Falta de Treinamento dos usuários

operacionalii. Modelos defasados – nova

identificaçãousuáriosi. Acompanhamento e

manutenção

iii. Processos não‐lineares

2228/7/2009 23:12


ç


Aproximando por hiperplanos tangentes hipercurvas no hhiperespaço...

2328/7/2009 23:12



O que é linearidade?O que é linearidade?O que é linearidade?O que é linearidade?

• Matematicamente uma função ou operador F(x) é dito linear se for válido:dito linear se for válido:

F(a.x+b.y) = a.F(x) + b.F(y)

• Em resumo, a única função linear é uma reta, l f ã “ ” é ã li dqualquer função “curva” é não‐linear, mas pode ser

aproximada por uma reta dentro de um intervalo de validade.

E t di t é h d d li i ã• Este procedimento é chamado de linearização.

2428/7/2009 23:12

Conceitos Básicos de Malhas SISOCurso PACOP / Módulo I: Prof. Jorge O. Trierweiler 2


Vamos exemplificarVamos exemplificarVamos exemplificarVamos exemplificarFIN dh hCDF

dtdhA IN −= 2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=CDFh SS

SS

SSSSIN hCDF −= ,0 ⎠⎝ CD

80

100 hSS

FOUT = CD. sqrt(h) 40

60

OUT q ( )

0

20FSS

CD => coeficiente de descargah => nível do tanque A=> área da seção transversal

0 5 100

2528/7/2009 23:12



100hSS

ss Fdhh Δ=Δ80

ssFhss

ss FdF

h Δ=Δ0,0

60ΔhSS = hss –h0

40 ssss dhhm =Δ

=40

ΔF

0,0 Fhssss dFFΔh0

20F

ΔFSS

0 5 100

FSSF0

2628/7/2009 23:12


0 5 10


Linearizando a equação diferencialLinearizando a equação diferencialLinearizando a equação diferencialLinearizando a equação diferencialFIN

hCDFdhA hCDFdtdhA IN −=

{ }1IN hCDF

Adtdh

−= { }44 344 21

),( INFhf

INAdt

( ) ( )FhfFhfhd ∂∂Δ ( ) ( ) hhFhfF

FFhf

dthd

ININ Fh

ININ

FhIN

IN Δ∂

∂+Δ

∂∂

=Δ

0000 ,,

,,

FOUT = CD sqrt(h)

N 00

hCDFhdIN Δ−Δ=

Δ .1FOUT CD. sqrt(h) h

hAF

Adt IN ΔΔ02

.

2 CDhdΔ 21( ) hthh =Δ 20

0 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=CDFh h

AFCDF

Adthd

ININ Δ−Δ=

Δ

0,

2

2.1( )

( ) 0,

0

INININ FtFFhthh

−=Δ−=Δ

2728/7/2009 23:12



LinearizationLinearizationLinearizationLinearization⎧ FFFFFFdV 0

( ) ( )⎪⎪

⎪⎪⎨

⎧

+−+−=

+=⇒=−+=

QTTFTTFdTV

FFFFFFdt

2211

2121 0

( ) ( )⎪⎪⎩ cdt ρ2211

⎧

⎪⎪⎪⎧

=⇒≈+= VKFHseHhRF 0,

⎪⎪⎧ −+= FFF

dtdV

21⎪⎪

⎪⎪

⎨ −+= VKFFdtdV

21

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

+−+=c

QFTTFTFdtVTd

dt

ρ2211 ( ) ( )⎪⎪⎪⎪

⎩+−+−=

cQTTFTTF

dtdTV

ρ2211

2828/7/2009 23:12


28

⎩ ρ⎩ cdt ρ


LinearizationLinearizationLinearizationLinearization

⎪⎪⎧ −+=

44 344 21VKFF

dtdV

21 [ ]TTVx ,,=

( )( )

( ) ( )⎪⎪

⎪⎪⎨

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+−+−=⇔=

2uxf

cQTTFTTF

VdtdT

dtuxf

dtdx

2211

,1

1,

ρ

[ ][ ]Td

Tm

TTu

QFFu

21

21 ,,,

=

=

0 i d t d t t i t

( )⎪⎪⎩

⎭⎩ 444444 3444444 21uxf

cVdt,2

ρ [ ]d TTu 21,=

( ) ( ) ( ) ( ),, 0000 ufuu

xfxxuxfuxf +−+−+=

∂∂

∂∂

=0, since x0 and u0 are steady state point

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0,000

1100

2

00

,

n

uxux

uxfuuxxuxfuuxx

ux

⎪⎬⎫⎪

⎨⎧

⎥⎤

⎢⎡ −+−++⎪

⎬⎫⎪

⎨⎧

⎥⎤

⎢⎡ −+−+

∂∂∂∂

∂∂

ffxddx ⎤⎡⎤⎡Δ ∂∂

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0,00,0

,!

...,!2 0000

uxux

uxfu

uux

xxn

uxfu

uux

xx⎪⎭⎬

⎪⎩⎨ ⎥⎦⎢⎣

+++⎪⎭⎬

⎪⎩⎨ ⎥⎦⎢⎣

++∂∂∂∂

ddddΔ ( ) uufx

xf

dtxduxf

dtdx

BAuxux

Δ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡+Δ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=

Δ→=

4342143421 0,000 ,,

∂∂

∂∂

{ dtdx

dtdx

dtdx

dtxd

=−=Δ

=0

0

2928/7/2009 23:12


BA



⎧ dV

( )( )⎪⎪

⎪

⎨

⎧

⎫⎧

−+=

⇔

44 344 21uxf

VKFFdtdV

fdx ,21

1

( )( ) ( )

( )⎪⎪⎪

⎩

⎨

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+−+−=⇔=

444444 3444444 21c

QTTFTTFVdt

dTuxfdt 2211

1,

ρ

⎤⎡ K

( )⎪⎩ uxf ,2

( ) ⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

⎫⎧ +

−

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

⎤⎡011

02

TTFVK

Tf

Vf

f ∂∂

∂∂

∂ ( )

( )⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

+⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+−

+−−

=

⎥⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢⎢

⎣

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

002020

01010

22

,, 0000

0,0

FFcQTTF

TTF

Tf

Vf

TVxf uxux

uxρ∂

∂∂∂

∂∂∂∂

⎥⎥

⎦⎢⎢

⎣

+−

⎪⎭⎪⎩⎥⎦⎢⎣0

20102

0

, 0,000

VFF

VcTV uxux ρ∂∂

3028/7/2009 23:12




⎧ 0

( )( )

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎫⎧

−+=

⇔=

44 344 21001 ,

21

1

0

0uxf

Q

VKFF

uxfSteady State solution:( ) ( ) ( )

( )⎪⎪⎪

⎩

⎨

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+−+−=⇔=

444444 3444444 21002

221100 10

,0

uxf

cQTTFTTF

Vuxf

ρ

2

( )⎪⎩ 002 ,uxf

,0

0

0

0

00

02

20100 ==⇔=∴⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=Δ

FV

VF

VK

VFK

KFFV τ

( ) ( ) 00

020201010

++∴⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

QTTFTTFc

QTFTFT

ρ ( ) ( ) 000202001010

20100 =+−+−∴

+⎠⎝=

cQTTFTTF

FFT

ρ

3128/7/2009 23:12




⎤⎡

( ) ⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

⎫⎧

−

⎥⎤

⎢⎡

⎤⎡011

02

TTFVK

Tf

Vf

∂∂

∂∂

( )

( )⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+−

+−−

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

002020

01010

22

,, 0000

0,0

FFQTTF

TTF

Tf

Vf

TVxf uxux

ux∂∂

∂∂

∂∂∂∂

( )⎥⎥

⎦⎢⎢

⎣

+−

⎪⎭⎪⎩⎥⎥⎦⎢

⎢⎣

0

20102

0

02020, 0,000

VFF

VcTV uxux ρ∂∂

⎤⎡

0=

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡−

=⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡ −

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ τ∂∂

1

0210

2 0

0

FVF

f

⎥⎥

⎦⎢⎢

⎣−

⎥⎥⎦⎢

⎢⎣

−⎥⎦⎢⎣

τ∂ 100

0

00,0

VFx ux

3228/7/2009 23:12



LinearizationLinearizationLinearizationLinearization⎪⎧ −+= VKFF

dtdV

21 [ ]TTVx ,,=( )

( ) ( )⎪

⎪⎪⎪

⎨⎬⎫

⎨⎧

+−+−=

44 344 21uxf

QTTFTTFdT

dt

2211

,1

1

[ ][ ][ ]T

Tm

TT

QFFu 21 ,,,=( ) ( )

( )⎪⎪⎪

⎩⎭⎬

⎩⎨

444444 3444444 21uxf

cVdt,

2211

2

ρ [ ]Td TTu 21,=

( ) ( ) ⎥⎤

⎢⎡⎥

⎥⎤

⎢⎢⎡

⎤⎡1

2

1

1

1

1011

TTTTQf

Ff

Ff

f uxuxux ∂∂

∂∂

∂∂

∂ ( ) ( )⎥⎥

⎦⎢⎢

⎣

−−=

⎥⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢⎢

⎣

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

00

020

0

0102

2

2

1

2

,,2,1 1000000

0,0 cVVTT

VTT

Qf

Ff

Ff

Q

uf uxuxux

uxm ρ∂∂

∂∂

∂∂∂

∂

⎥⎦

⎢⎣ ,2,1 000,000

Q uxuxux

⎥⎤

⎢⎡⎥

⎥⎤

⎢⎢⎡

⎤⎡ 2

1

1

100

FFTf

Tf

f uxux ∂∂

∂∂

∂⎥⎥

⎦⎢⎢

⎣=

⎥⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢⎢

⎣

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

0

20

0

10

2

2

1

2

,2,10000

0,0 VF

VF

Tf

Tfu

f uxux

uxd

∂∂

∂∂∂

∂

3328/7/2009 23:12


⎥⎦

⎢⎣ 2,1

0,000TT uxux ∂∂


LinearizationLinearizationLinearizationLinearizationFinally

7876

7 dm u

u

Fx Δ

Δ

⎤⎡ΔΔ⎤⎡ 1

Finally,

( ) ( )876876

TT

VF

VF

QFF

cVVTT

VTT

TV

TV

dtd

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ΔΔ

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ΔΔΔ

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡−−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ΔΔ

⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

−

−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ΔΔ

2

120102

1

020010

001011

10

02

1

ρτ

43421444444 3444444 2143421

du BVVQ

BcVVV

A

⎦⎣⎥⎦

⎢⎣⎥⎦⎢⎣ Δ

⎥⎦

⎢⎣⎦⎣⎥

⎦⎢⎣

⎦⎣ 2000000 ρτ

equivalently

⎪⎪⎨

⎧ Δ+Δ+Δ−

=Δ

2121 FFV

dtVd

τ( ) ( )

⎪⎪⎩

⎨Δ+Δ+Δ+Δ

−+Δ

−+Δ

−=

Δ2

0

201

0

10

02

0

0201

0

010 11 TVFT

VFQ

cVF

VTTF

VTTT

dtTd

ρτ

3428/7/2009 23:12

Conceitos Básicos de Malhas SISOCurso PACOP / Módulo I: Prof. Jorge O. Trierweiler PPGEQ - Eng. Química / UFRGS - EQP 027 Controle Avançado de Processos - 3


Representação no Espaço de EstadosRepresentação no Espaço de EstadosRepresentação no Espaço de EstadosRepresentação no Espaço de Estados

⎪⎧ = VKF ( ) gg

Δ⎥⎤

⎢⎡+Δ⎥

⎤⎢⎡Δ

∂∂( ) ( )

( ){⎪

⎩

⎪⎨

=∴=

uxg

uxgTT

uxgy ,1,321 ( ) u

ugx

xgyuxgy

DCuxux

Δ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡+Δ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=Δ→=

4342143421 0,000 ,,

∂∂

876 dm u

ux Δ

ΔΔ

( )⎩ uxg ,2 DC

876876 d

TT

FF

x

TV

TF

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ΔΔ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡ΔΔ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

Δ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ΔΔ

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ΔΔ

2

12

1

0000

000000

10

021τ

3214342143421du

TD

QD

T

C

T ⎦⎣Δ⎦⎣⎥⎦⎢⎣ Δ⎦⎣⎦⎣Δ⎥⎦⎢⎣⎦⎣Δ 20000010State Space Representation

⎪⎪⎨

⎧

Δ+Δ+ΔΔ

Δ+Δ+Δ=Δ

DDC

uBuBxAdt

xdddmu

x -> state variablesu -> inputs

(um-> manipulated variables, ud->disturbances)

( )⎪⎪⎩

⎨

=ΔΔ+Δ+Δ=Δ

00xuDuDxCy ddmu

( m p , d )

y -> outputs

3528/7/2009 23:12



Transfer FunctionTransfer FunctionTransfer FunctionTransfer Function( ) ( ) TFTFQFTTFTTTTdL 2010020010 11

⎬⎫

⎨⎧

Δ+Δ+Δ+Δ−

+Δ−

=Δ+Δ

( ) ( )sTsTs

TV

TV

QcV

FV

FV

Tdt

L 20

100

20

10

1=Δ+Δ

⎭⎬

⎩⎨ Δ+Δ+Δ+Δ+Δ=Δ+

ρτ

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sTFsTFsQsFTTsFTT

sTsTs

220

110

2020

1010 1

Δ+Δ+Δ+Δ−

+Δ−

=Δ+Δτ

( ) ( ) ( ) ( ) ( )VV

QcVVV 2

01

002

01

0 ρ

( )( ) ( ) ( )010010010 −−− TTTTTT τ( )

( ) ( )1111

10001

1 +=

+=

+=

+==

ΔΔ

sK

sF

sV

s

VsGsFsT

ττττ

( ) ( ) ( )020020020 −−− TTTTTT ττ ( )( ) ( )

11112000

22 +

=+

=+

=+

==ΔΔ

sK

sF

sV

s

VsGsFsT

τττ

τ

111 ττ( )( ) ( )

11113000

3 +=

+=

+=

+==

ΔΔ

sK

scF

scV

s

cVsGsQsT

ττρ

τρ

τρ

3628/7/2009 23:12


+sτ


3728/7/2009 23:12



Funções de TransferênciaFunções de TransferênciaFunções de TransferênciaFunções de Transferência

⎧ Δ 1 CDhd

⎪

⎪⎨⎧ Δ−Δ=

Δ2

.10

hhA

CDFAdt

hdIN

( )⎪⎩ =Δ 00h

CD1( ) ( ) ( ) ( )sHhA

CDsFA

hsHs IN Δ−Δ=Δ−Δ= 00

2.10321

CD ⎞⎛ 1 1( ) ( )sFA

sHhA

CDs INΔ=Δ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

12 0

( )( ) ⎞⎛

=ΔΔ

1

CDA

sFsH( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

Δ

02 hACDs

sFIN

3828/7/2009 23:12



Funções de TransferênciaFunções de TransferênciaFunções de TransferênciaFunções de Transferência

( )Δ1AsH

( )( )

( )sFsKsH INΔ+

=Δ1τ( )

( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=Δ

02 hACDs

AsFIN

( )

⎠⎝ 02 hA

( )2 0h K( )sFINΔ ( )sHΔ

( )( )

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

+=

ΔΔ

12 0 shACD

sFsH

IN

( )1+sτ( )IN ( )

⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

+1sCD

( )( )

( )( )1+

==ΔΔ

sKsG

sFsH

IN τ

3928/7/2009 23:12


( ) ( )IN


Resposta a um degrau unitárioResposta a um degrau unitárioResposta a um degrau unitárioResposta a um degrau unitário

( ) KHΔ1( )

( )( )

{sFIN

sssH

Δ+

=Δ1τ

( )sFIN1

=Δ( )IN

( )1+sK

τ

( )sN

( )sHΔ( ) ( )( )τ/exp1 tKth −−=Δ

( )tF

( )

( )tFIN

t0,INF ( )tFINΔ

t

4028/7/2009 23:12



Step Response

1Δ y(t) / K

0.8

Δ y(t) / K

0.60,63 ( ) ( )( ) KKty 63,0/exp1 =−−=Δ ττ

0 4 ( )0.4 ( ) Kdt

tydmt

=Δ

== τ0

0.2

tym

ΔΔ

=

0 1 2 3 4 50

t /τ

4128/7/2009 23:12



Interpretação do Conceito de Ganho Estacionário 2 0,FIN

100h

Estacionário( )

⎟⎞

⎜⎛

=12 0

20,

hACDsG

IN

80

hSS ss

Fhss

ssss F

dFdhh Δ=Δ

0,0

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+10 s

CD

60 ΔhSS = hss –h0( )( )

ssuy

tutyK

ΔΔ

=∞→Δ∞→Δ

=

4000 Fhss

ss

ss

ssdFdh

Fhm =

ΔΔ

=

h

( ) ssutu Δ∞→Δ

⎞⎛20

FΔFSS

0,0h0 ( ) sss s

ussG ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

= →0lim

0 5 100

FSSF0 ssuΔ

( )0GK42



( )0GK =


Q T

Malhas Malhas T

Q

TTin

Tinf

Malhas Malhas de de

controlecontrole

TanqueT2Tubulação

T1Fin

TA controlecontroleT2

T2

Tinf

T1T T1

• MV =>Q (Manipulated Variable), CV T (C ll d V i bl )

TA

CV => T2 (Controlled Variable) , Distúrbio=>Tin, Fin, TA , Tinf etc

T1

4328/7/2009 23:12



Descrição Matemática Descrição Matemática –– Funções de TransferênciaFunções de TransferênciaDescrição Matemática Descrição Matemática Funções de TransferênciaFunções de Transferência

( ) ( ) ( ) ( )s

FLAin

sF

LAVF

sTFcs⋅

−⋅

− ΔΔΤ1

ρ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) F

in

din

F

in

in inin es

FV

VsGsTsTande

sFV

FcsGsQs

+==

ΔΔ

+==

ΔΔΤ

11

ρ

4428/7/2009 23:12


inin


4528/7/2009 23:12



Resposta no Domínio da FreqüênciaResposta no Domínio da FreqüênciaResposta no Domínio da FreqüênciaResposta no Domínio da Freqüência

• Quando uma FT é perturbada por um sinal senoidal o• Quando uma FT é perturbada por um sinal senoidal, o sinal de saída tb. será senoidal mas com uma d d l d d f ddeterminada amplitude e defasado.

Δu(t) = sen(ωt) Δy(t) = RA sen(ωt + φ)G(s)

Razão de Amplitude (RA): relação entre aRazão de Amplitude (RA): relação entre a amplitude do sinal de saída e o sinal de entradaDefasagem (φ ) entre o sinal de saída e o de entrada

4628/7/2009 23:12


entrada


Algoritmo de Cálculo da RA e da DefasagemAlgoritmo de Cálculo da RA e da DefasagemAlgoritmo de Cálculo da RA e da DefasagemAlgoritmo de Cálculo da RA e da Defasagem• Os valores de RA e φ podem ser calculados da seguinte φ p gforma:a) faça s jω e substitua na FT i e G(s jω)a) faça s=jω e substitua na FT, i.e., G(s=jω)

b) obtenha o número complexo G(jω) = R(ω)+ j I(ω)

c) represente o número complexo gerado em coordenadas polares,c) represente o número complexo gerado em coordenadas polares, RA será igual ao módulo e φ a fase, i.e., RA = |G(jω)| = sqrt (R2(ω)+ I2(ω))RA = |G(jω)| = sqrt (R (ω)+ I (ω))φ = ATAN (I(ω)/R(ω))

4728/7/2009 23:12



Exemplo: FT de 1º OrdemExemplo: FT de 1º Ordem ( ) KGExemplo: FT de 1 OrdemExemplo: FT de 1 Ordem ( )1+

=s

sGτ

K ωτ KjK 1( )1+

=ωτ

ωj

KjG ( )( )( )[ ]ωτωτωτ

ωτωτ

ω jKjj

jKjG −

+=

−−

×+

= 111

11 2

( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )

( )( )22 1,

1 ωτωτω

ωτωωωω

+−

=+

=+=KIKRondejIRjG

( )( ) ( )( )( )

( )( ) ( )2

22 1 ωτω =+==

KKjGRA ( )( )( ) ( )

( )22 11 ωτωτ ++j

ωτ K ⎞⎛( )( )

( )( ) ( )ωτωτωτ

ωωφ ATANK

K

ATANRIATAN −=

⎟⎟⎟⎞

⎜⎜⎜⎛

+−

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=21

( )( )( )ωτ

ω KR⎟⎟

⎠⎜⎜

⎝ +⎠⎝

21

4828/7/2009 23:12



Diagrama de Bode Diagrama de Bode FT 1º Ordem (lag)FT 1º Ordem (lag)Diagrama de Bode Diagrama de Bode –– FT 1 Ordem (lag)FT 1 Ordem (lag)

K ωτ KjK 1( )

1+=

sKsG

τ( )

( )( )ωτ

ωτωτωτ

ωτω jK

jj

jKjG −

+=

−−×

+⋅= 1

111

1 2

( )( )21 ωτ

ω+

==KjGRA ( )ωτφ ATAN−=( )1 ωτ+

( ) ( )( )21log1loglog ωτω += KjG( ) ( )( )101010 1log2

loglog ωτω +−= KjG

A l l í

( ) KjG 1010 loglog0 =⇒→ ωω

Agora vamos calcular as assíntotas:

( ) KjG 1010 loglog0 ⇒→ ωω

( ) ( )ωτωω 101010 logloglog −=⇒∞→ KjG

4928/7/2009 23:12



Diagrama de Bode – FT 1º OrdemDiagrama de Bode – FT 1 Ordem

( ) KjG 1010 loglog0 =⇒→ ωω

( ) ( )ωτωω

logloglog =

⇒∞→

KjGτω 1= ( ) ( )ωτω 101010 logloglog −= KjGτ

5028/7/2009 23:12



Diagrama de Bode – FT 1º OrdemDiagrama de Bode – FT 1 Ordem

5128/7/2009 23:12



Surgimento de pólos complexos e comportamento oscilatório.

5228/7/2009 23:12



FT de 2º OrdemFT de 2º OrdemFT de 2 OrdemFT de 2 Ordem• Surgem de duas formas:• Surgem de duas formas:▫ A partir de sistemas de 1º ordem em série.

1K 2KΔT0(t) ΔT1(t) ΔT2(t)

11

1+sτ 12

2+sτ

21KKΔT0(t) ΔT2(t)

( )( )11 21 ++ ss ττ

A partir de sistemas modelados por equações diferenciais de segunda ordem.

5328/7/2009 23:12



Manômetro em U Manômetro em U Manômetro em U Manômetro em U Equacionamento Matemáticopara detalhes veja Bird et al (1966) pág 229Bird et al. (1966), pág. 229

PA(t) PB(t)( )PPhgdhhd

⎟⎞

⎜⎛+⎟⎟

⎞⎜⎜⎛

+μ 33262

h(t){

( )BA

cba

PPL

hLg

dtRdt−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟⎟

⎠⎜⎜⎝

+ρρ

μ44

222321321

h(t)

h(t)( ) ( ) ( ) )(2 sPcsbHsasHsHs Δ=++

( )( ) b

cP

sH=

Δ 2⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

UUnidadeYUnidadeK

( ) basssP ++Δ 2

[ ] [ ]−==⎦⎣

ζτ ;tempo

Forma genérica de FT 2º ordem

( )1222 ++

=ss

KsGζττ

5428/7/2009 23:12


FT 2 ordem ζ


DenominaçãoZeta Pólos “Cara” resp degrau

1ζ

DenominaçãoZeta Pólos Cara resp. degrau

ζζ 12 −±

−=pSuper-1>ζ ττ2,1 ±=p ( ) tptp ececcty 21

210 ++=Pólos reais distintos

Super-amortecido

1=ζζ−

=p ( ) ( ) ptetcccty ++Amorteci-mentoζ

τp ( ) ( ) petcccty 210 ++=

Pólos reais repetidos

mento crítico

10 << ζ ζζ 2

2,11−

±−

= jp( )

⎟⎞

⎜⎛ −

+=

− ζζ

cty

t 2

0

1Sub-amortecido ττ2,1 jp

⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

+φτ

ζτ tsinec11

Pólos complexos

amortecido

0≤ζPólo(s) instável(is)

Instabilidade seguindo comportamento padrão acima

Sistema Instável

5528/7/2009 23:12



Resposta no domínio do tempoResposta no domínio do tempoResposta no domínio do tempoResposta no domínio do tempo

OVERSHOOT

Razão Decaimento =SO2 / SO1

Tempo de subida

Tempo de Assentamento

5628/7/2009 23:12


CAP Linearização FT 1ªord. Freq. Pólos&Zeros Álg. BlocosFT 2ªord.Frequency Response ofFrequency Response ofSISO SystemsSISO Systems

Freq_int.mdl

5728/7/2009 23:12



5828/7/2009 23:12


Var_zeta.m


Mapeamento do comportamento dinâmico baseado na localização d óldos pólos e zeros.

5928/7/2009 23:12



Resposta Baseada na Localização de Resposta Baseada na Localização de Resposta Baseada na Localização de Resposta Baseada na Localização de Pólos e ZerosPólos e Zeros

( ) K( )( )( )( )1121 32

2221 +−+++

=sssss

KsYτζτττ

( ) ⎟⎞

⎜⎛⎟

⎞⎜⎛ −

⎟⎞

⎜⎛

⎟⎞

⎜⎛ − 21 ζζ ttt( ) ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

33

222

110 exp1senexpexp

ταφ

τζ

τζα

ταα tttty

• A “cara” da inversa depende basicamente das localização dos pólos Cada pólo contribui com uma das basesdos pólos. Cada pólo contribui com uma das bases dinâmicas.

6028/7/2009 23:12



Pólos reais Pólos reais Pólos reais Pólos reais Impulse Response

4.5

5From: U(1)

de

3

3.5

4

)

Am

plitu

1.5

2

2.5

To: Y

(1)

0

0.5

1

Time (sec.)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

ImagImag

Real

6128/7/2009 23:12



Pólos Complexos Pólos Complexos Pólos Complexos Pólos Complexos

1

Imag

0 4

0.6

0.8

0

0.2

0.4

Real

-0.6

-0.4

-0.2Real

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-1

-0.8

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

−⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

φζζt 21

{ ⎟⎟⎟

⎠⎜⎜⎜

⎝

+⎟⎟⎟

⎠⎜⎜⎜

⎝

− φτ

ζτζ

43421IMAGREAL

22senexp

6228/7/2009 23:12


⎠⎝


Inclusão de zerosInclusão de zerosInclusão de zerosInclusão de zerosOs zeros são as raízes do NUMERADOR enquanto que os PÓLOS são asOs zeros são as raízes do NUMERADOR, enquanto que os PÓLOS, são as raízes do denominador

( ) ( )( )( )( )1121

1

3222

21 +−++++

=sssss

sKsYτζτττ

ββ1−

=zero( )( )( )3221 ζ β

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+=

33

2

2

22

110 exp1senexpexp

ταφ

τζ

τζα

ταα tttty

• Observe que a “cara” da inversa independe dos zeros. Os zeros só alteram a

⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝ 3221

ponderação das bases dinâmicas (i.e. os valores dos alfas e fi), mas não a sua forma.

6328/7/2009 23:12



Mas com surgem os zeros????Mas com surgem os zeros????Mas com surgem os zeros????Mas com surgem os zeros????

Os zeros surgem normalmente através de dinâmicas colocadas em paralelo ouOs zeros surgem normalmente através de dinâmicas colocadas em paralelo, ou seja,

K11

1+s

Kτ

ΔU(t) ΔY(t)+

K

( ) ΔY(t)

+

12

2+

−sK

τ

( ) 1122121 ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −− sKKKKKK ττ ΔY(t)ΔU(t)

( )( )11 21

21

++⎦⎣ ⎠⎝ −

ssKK

ττ

6428/7/2009 23:12



⎤⎡ ⎞⎛( ) 121

122121 ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−−− s

KKKKKK ττ ΔY(t)ΔU(t)

( )( )11 21 ++ ss ττ

Escrevendo de uma forma mais genérica:

[ ]( )( )11

121 +++

sssKττ

β ΔY(t)ΔU(t)

( )( )21

6528/7/2009 23:12



K11

1+s

Kτ

ΔU(t) ΔY(t)+

Tipos de Respostas

K

ΔY(t)

+

12

2+

−sK

τStep Response

5

6From: U(1)

Step Response

5

6From: U(1)

Step Response

5

6From: U(1)

de 2

3

4

)2

3

4

)ude

2

3

4

) Comum Overshoot Resposta

Am

plitu

d

0

1

2

To: Y

(1)

0

1

2

To: Y

(1)

Am

plitu

0

1

2

To: Y

(1 Comum Overshoot RespostaInversa

|K1|>|K2|, τ1 ≈ τ2 |K1|>|K2|, τ1 < τ2

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-3

-2

-1

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-3

-2

-1

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-3

-2

-1 |K1|>|K2|, τ1 > τ2

6628/7/2009 23:12


Time (sec.)

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

Time (sec.)

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

Time (sec.)


ImagImag

Comum Overshoot Resposta InversaOvershoot Resposta Inversa

Real

Step Response

5

6From: U(1)

Step Response

5

6From: U(1)

Step Response

5

6From: U(1)

tude 2

3

4

(1)2

3

4

(1)tude 2

3

4

Y(1)

Am

plit

1

0

1To: Y

(

1

0

1To: Y

(

Am

pli

-1

0

1To: Y

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-3

-2

-1

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-3

-2

-1

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-3

-2

1

6728/7/2009 23:12


Time (sec.)Time (sec.)Time (sec.)


Animação via Internet do efeito dos Animação via Internet do efeito dos Animação via Internet do efeito dos Animação via Internet do efeito dos pólos e zerospólos e zeros

Veja o seguinte SITE para verificar como fica aVeja o seguinte SITE para verificar como fica a resposta a um degrau para sistemas gerados a partir de diversas combinações de Pólos e Zerospartir de diversas combinações de Pólos e Zeros

http://www cheric org/education/control/PZEffect/PZeff• http://www.cheric.org/education/control/PZEffect/PZeffect.html

6828/7/2009 23:12



Animação no MATLABAnimação no MATLABAnimação no MATLABAnimação no MATLABcd v:\grad\controle\apostila\ictools

6928/7/2009 23:12



Exemplos I : Reação de Van de VusseExemplos I : Reação de Van de VusseExemplos I : Reação de Van de VusseExemplos I : Reação de Van de VusseVan de VusseVan de Vussereaction: CBA kk ⎯→⎯⎯→⎯ 21

DA k⎯→⎯ 32

Manipulated Variables

C t ll dControlled Variables

Disturbances

7028/7/2009 23:12



Exemplos I : Reação de Van de Exemplos I : Reação de Van de VusseVusseExemplos I : Reação de Van de Exemplos I : Reação de Van de VusseVusseStationary values of component B for different temperaturesStationary values of component B for different temperatures.

1 4 OR21.2

1.4 OR2

• Negative Gain

Mi i0.8

1

/L] OR3

• Minimum Phase0.6C

B [mol

/

OR1• Positive Gain

0.2

0.4OR1T=110 °C

Gain• Non-minimum Ph

0 5 10 15 20 25 30 350

f [1/h]

7128/7/2009 23:12


Phase


Exemplos I : Reação de Van de Exemplos I : Reação de Van de VusseVusseExemplos I : Reação de Van de Exemplos I : Reação de Van de VusseVusse( ) [ ]

312

31 AAAAinA ckckccf

dtdc

+−−⋅=4444 34444 21

1Fdt

A FfFFFcdΔ⎟⎟

⎞⎜⎜⎛ ∂

Δ⎟⎞

⎜⎛ ∂

Δ⎟⎞

⎜⎛ ∂

Δ⎟⎞

⎜⎛ ∂Δ 1111

AinssAinss

BssB

AssA

A cc

ff

cc

ccdt

Δ⎟⎟⎠

⎜⎜⎝ ∂

+Δ⎟⎠

⎜⎝ ∂

+Δ⎟⎠

⎜⎝ ∂

+Δ⎟⎠

⎜⎝ ∂

= 1111

cdΔ

dc

( ) ( ) ( ) AinssssAAinBAssAA cffccccckkf

dtcd

Δ+Δ−+Δ+Δ−−−=Δ 02 31

[ ]444 3444 21

2

21F

BABB ckckcf

dtdc

−+⋅−=

2

AinA

BB

AA

B ccFf

fFc

cFc

cF

dtcd

Δ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+Δ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

+Δ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

+Δ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

=Δ 2222

ssAinssssBssA cfccdt ⎠⎝ ∂⎠⎝ ∂⎠⎝ ∂⎠⎝ ∂

( ) ( ) ( ) ( ) AinBBAB cfcckfckcd

Δ+Δ−+Δ+−Δ=Δ 021

7228/7/2009 23:12


( ) ( ) ( ) ( ) AinssssBBssAss cfcckfckdt

Δ+Δ+Δ+Δ 021


Exemplos I : Reação de Van de VusseExemplos I : Reação de Van de VusseExemplos I : Reação de Van de VusseExemplos I : Reação de Van de Vusse( ) ( ) ( )A cffccccckkfcd

Δ+Δ−+Δ+Δ−−−=Δ 02( ) ( ) ( ) AinssssAAinBAssA cffccccckkfdt

Δ+Δ−+Δ+Δ−−−= 02 31

( ) ( ) ( ) ( )BcdΔ ( ) ( ) ( ) ( ) AinssssBBssAssB cfcckfck

dtcd

Δ+Δ−+Δ+−Δ=Δ 021

7328/7/2009 23:12



7428/7/2009 23:12



Exemplos II : Biorreator simples Exemplos II : Biorreator simples Exemplos II : Biorreator simples Exemplos II : Biorreator simples

( ) XfdX ( )

XdS

Xfdt

μ ⋅−= ( )( ) ( ) ( )1+

==ΔΔ

sKsG

sfsS

τ( )

YXSSf

dtdS

in μ−−=( ) ( )1+Δ ssf τ

⎪⎪⎧

=S

2maxμ

μ

⎪

⎪⎪⎨

++

i

m

FSkSk 2

1

μ

⎪⎪⎩

=R

in

VFf

7528/7/2009 23:12



Exemplos III : Reação ReversívelExemplos III : Reação ReversívelExemplos III : Reação ReversívelExemplos III : Reação ReversívelBA ⎯→←

Reação reversível em que o controle do componente B é feito at a és da tempe at aB é feito através da temperatura.

Haverá um máximo na curva de produção de B, p çuma vez que a reação é reversível.

A mudança no sinal do ganho é decorrente da A mudança no sinal do ganho é decorrente da mundança do sinal do k*

Generalizando:

( ) ( )( ) ( )( )( )21

*

pspszsksG−−

−= ( ) ( )

( )( )21

*0pp

zkGK−−

−==

7628/7/2009 23:12



Exemplos IV : Biorreator mais tchan!Exemplos IV : Biorreator mais tchan!Exemplos IV : Biorreator mais tchan!Exemplos IV : Biorreator mais tchan!Produção de Etanol com Z. mobilisProdução de Etanol com Z. mobilis

( ) ⎫⎧⎞⎛ ( )( )

,10 SoutSinXS

SS

ES

SX

S CDCDCmCK

CCYdt

dC−+−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

( )( )

,0 XoutXin

ESX CDCDCK

CCdt

dC−+

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+=

( )

{ } ( )2321 EEi

ESPP

E

SS

CDCDCCCkCkkdC

CKdt

−+⎬⎫

⎨⎧

+−=

⎭⎩ +

{ }( )

,0321 EoutEin

SSPP CDCD

CKCkCkk

dt+

⎭⎬

⎩⎨ +

+=

( ) ( )PACCdC⎟⎞

⎜⎛⎫⎧

⎟⎞

⎜⎛ 1 ( )

( )( )

mPPF

MPoutPinXP

SS

ES

PX

P CCV

PACDCDCmCK

CCYdt

dC

⎞⎛

−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−−++

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=

0,1

( )moutminm

mPMPMPP

F

MP CDCDCCV

PAdt

dC−+−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛=

0

7728/7/2009 23:12


F ⎠⎝


MatrizMatriz de de TransferênciaTransferênciaFunçãoFunção de de TransferênciaTransferência MatrizMatriz de de TransferênciaTransferência(MIMO)(MIMO)

dx

FunçãoFunção de de TransferênciaTransferência(SISO(SISO))d ( ) ( )

( ) ( ) ( )tDtCt

tButxAdtdx

+=( ) ( ) DBAsICsG +−= −1( ) ( )

( ) ( ) ( )

tbutxadtdx

+=

( ) ( ) ( )tuDtxCty +=( ) ( ) ( )tudtxcty +=

( ) ( ) ( )bUXX + ( ) ( ) ( )BUXAX +( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )sUdscXsY

sbUsXassX+=

+= ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )sDUsCXsY

sBUsXAssX+=

+=

( ) ( ) ( )sbUsXas =− ( ) ( ) ( )sBUsXAsI =−

( ) ( ) ( )sUas

bsX−

=( ) ( )UdbY ⎟⎟

⎞⎜⎜⎛

( ) ( ) ( )sUAsIsX 1−−=( )as

( ) ( ) ( )sUdscXsY +=( ) ( )

( )

( )sUdas

csY

sg44 344 21

⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

+−

=( ) ( ) ( )sUDsCXsY +=

7828/7/2009 23:12


( )sg


Matriz de Transferência (visualizando em um sistema 2x2)(visualizando em um sistema 2x2)

( ) ( ) DBAsICsG +−= −1 ( ) ( ) ( )⎥⎤

⎢⎡

=sgsg

sG 1211( ) ( ) DBAsICsG + ( ) ( ) ( )⎥⎦⎢⎣

=sgsg

sG2221

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )susgsgsy

sUsGsY⎤⎡⎤⎡⎤⎡

=

( )( )

( ) ( )( ) ( )

( )( )313131susu

sgsgsgsg

sysy

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

2

1

2221

1211

2

1

( ) ( ) ( )32144 344 21321

sUsGsY

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )susgsusgsy

susgsusgsy

2221212

2121111

×+×=×+×=

7928/7/2009 23:12


( ) ( ) ( ) ( ) ( )2221212


Transfer MatrixTransfer MatrixTransfer MatrixTransfer Matrix

Simple Example:( ) ( ) DBAsICsG +−= −1

Matrix Inversion

8028/7/2009 23:12



Transfer Matrixd ( ) ( )

( ) ( ) ( )tuDtxCty

tButxAdtdx

+=

+=

( ) ( ) ( )tuDtxCty +=

( ) ( ) DBAsICsG +−= −1

( ) ( ) ( )susGsy =

( ) ( )

SS TMATRIX MDL81



SS_TMATRIX.MDL


A partir de blocos simples se pode gerar dinâmicas complexas.

8228/7/2009 23:12



ÁÁÁlgebra de BlocosÁlgebra de Blocos• Quando se conecta diversos blocos pode‐se gerar diversos comportamentos dinâmicos.

• Para se chegar a função de transferência final que descreve o sistema, deve‐se fazer uso da álgebra de blocos.

• Para que se entenda a álgebra de blocos é fundamental que se acompanhe o fluxo do sinal (da informação) e como ela está conectada entre os diferentes blocos

• Nesta disciplina a álgebra de blocos surge em duas situações:Representação dinâmica e conexão de diversos equipamentos (aqui temos tipicamente malhas de realimentação positivas)M lh d t l á i l t l t áti dMalhas de controle, responsáveis pelo controle automático de processos (aqui imperam as malhas com realimentação negativa)

8328/7/2009 23:12



Álgebra de Blocos Álgebra de Blocos Álgebra de Blocos Álgebra de Blocos --Como surgem nos processos industriaisComo surgem nos processos industriais

Correnstes SistemaI

Sistema

II

Correnstes de Reciclo

• Correntes de reciclo surgem quando dois sistemas são conectados pelo menos

I II

• Correntes de reciclo surgem quando dois sistemas são conectados pelo menos uma corrente de ida e outra de volta.

• Embora que os subsistemas sejam simples (p.ex., pratos de uma coluna de destilação) o seu comportamento global pode ser bastante complexo.

• O comportamento complexo é decorrente da malha feedback positiva formada entre os subsistemas

8428/7/2009 23:12


entre os subsistemas.


Unidade de Aquecimento Unidade de Aquecimento -- Exemplo Exemplo Unidade de Aquecimento Unidade de Aquecimento Exemplo Exemplo

8528/7/2009 23:12



UnidadeUnidade de de AquecimentoAquecimento -- ExemploExemploUnidadeUnidade de de AquecimentoAquecimento ExemploExemplo

( ) ( )s

sGs

sG+

=+

= 21 ,1

1,1

1ττ ( )

( )( )

( )sGkss

ss3

212

21

212

21

11

sEL3TI_301(s)

−++++++

=ττττ

ττττ

( ) ( ) ksGandKsG

ss

==

++

43

3

21

1

11 ττ

( ) 10,if idi

sistema nomantida energia EL

QEL4 ≤≤=

−== kksG

( ) ( ) kss 2121 1sEL3 +++ ττττ

8628/7/2009 23:12


( ) ( )s + 4

33 1τ

( ) ,sistema aofornecida energia EL4


Tin

TA Tinfe=erro=T2SET –T2

T2SET

TanqueT2

Q

TubulaçãoT1Tin

Fine

-C Q

RetroalimentaçãoRetroalimentação(Feedback)(Feedback)

8728/7/2009 23:12

Conceitos Básicos de Malhas SISOCurso PACOP / Módulo I: Prof. Jorge O. Trierweiler 8

( )( )

CAP Linearização FT 1ªord. Freq. Pólos&Zeros Álg. BlocosFT 2ªord.TA Tinf

TanqueT2Tubulação

T1Tin

FinTT2SET

-C1

q

Q

çFin

C2

T1SET

-

TC

TC

MalhasMalhasCascataCascata

8828/7/2009 23:12


CAP Linearização FT 1ªord. Freq. Pólos&Zeros Álg. BlocosFT 2ªord.Tin

T

Tinf

TTanque

T2TubulaçãoT1

Fin

TA

eCF

T2SET

-C

Qe

TYTY

RetroalimentaçãoRetroalimentaçãoRetroalimentaçãoRetroalimentaçãocom com AntecipaçãoAntecipação((FeedforwardFeedforward))

8928/7/2009 23:12


((FeedforwardFeedforward))


Descrição MatemáticaDescrição MatemáticaDescrição MatemáticaDescrição MatemáticaFunções de TransferênciaFunções de Transferência Tin

sLAinF ⋅ sF

in

ines

FV

V −

+1

CT2T2set

Q

1

1

VFc inρ s

FLA

ine⋅−

T1

in

- 1+sF in

e

T

TA Tinf

T2SET

Tanque T2

Q

TubulaçãoT1Tin

Fine2SET

-C Qe

9028/7/2009 23:12



Conexões Básicas Conexões Básicas Série e ParaleloSérie e ParaleloConexões Básicas Conexões Básicas -- Série e ParaleloSérie e Paralelo

Bl Sé iBlocos em Série(já vimos quando introduzimos sistemas de 2ºordem)

ΔU( ) ΔX( ) ΔY( )

( ) ( )( )sUsXsG

ΔΔ

=1

ΔU(s) ΔX(s) ΔY(s)

( ) ( )( )sXsYsG

ΔΔ

=2( )sUΔ ( )sXΔ

( ) ( ) ( )XYY ΔΔΔΔU(s) ΔY (s)( ) ( )( )

( )( )( )

( )( )

( )

( ) ( )sGsGsUsX

sXsY

sUsYsG 12=

ΔΔ

ΔΔ

=ΔΔ

=321321

ΔU(s) ΔY (s)

( ) ( )sGsG 12

9128/7/2009 23:12



C õ Bá i C õ Bá i Sé i P l lSé i P l lConexões Básicas Conexões Básicas -- Série e ParaleloSérie e Paralelo

Bl P l lBlocos em Paralelo (já vimos quando introduzimos o conceito de zeros)

ΔY1(s)

ΔU(s)ΔY(s) ΔY (s)+ ΔY (s)

+( ) ( )

( )sUsYsG

ΔΔ

= 11

ΔY1(s)

( )ΔY(s) = ΔY1 (s)+ ΔY2(s)

+( )YΔ( ) ( )( )sUsYsG

ΔΔ

= 22

ΔY2(s)

( ) ( ) ( ) ( )sYΔ ΔY(s)ΔU(s)( ) ( )

( )( ){

( )321

UY

UY

sGsGsUsYsG

ΔΔ

ΔΔ

+=ΔΔ

=

21

21ΔY(s)( )

9228/7/2009 23:12


UU ΔΔ


Exemplo Exemplo Envolvendo série e paraleloEnvolvendo série e paraleloExemplo Exemplo -- Envolvendo série e paraleloEnvolvendo série e paralelo

U( ) +( )sG1

ΔY(s)ΔU(s) +

( )sG3

+ ΔY(s)

+( )sG2

Resolução tem que ser de dentro para fora ou seja primeiro resolve-se aResolução tem que ser de dentro para fora, ou seja, primeiro resolve-se a conexão em paralelo e depois a série

9328/7/2009 23:12



Exemplo Exemplo Envolvendo série e paralelo (cont )Envolvendo série e paralelo (cont )Exemplo Exemplo -- Envolvendo série e paralelo (cont.)Envolvendo série e paralelo (cont.)

U( ) ΔY(s)ΔU(s)

( ) ( )sGsG 21 + ( )sG3

+ ΔY(s)

Agora vamos resolver o série e depois o paraleloAgora vamos resolver o série e depois o paralelo

9428/7/2009 23:12



Exemplo Exemplo Envolvendo série e paralelo (cont )Envolvendo série e paralelo (cont )Exemplo Exemplo -- Envolvendo série e paralelo (cont.)Envolvendo série e paralelo (cont.)

1

U( ) ΔY(s)ΔU(s)

( ) ( ){ }sGsGG 213 ++ ΔY(s)

Finalemente podemos escrever:p

ΔU(s)

( ) ( ) ( ){ }sGsGGsG 2131 ++=ΔY(s)

9528/7/2009 23:12



Malhas FeedBack Malhas FeedBack -- Versão SISOVersão SISO(M lh R li d R li d )(M lh R li d R li d )(Malhas Realimentadas ou Retroalimentadas)(Malhas Realimentadas ou Retroalimentadas)

ΔU(s) ΔY(s)ΔV(s)ΔU(s)

+( )sG

ΔY(s)ΔV(s)

( ) ( )GYΔ

( )sHΔZ(s)

( )( )

( )( ) ( )sHsG

sGsUsY

−=

ΔΔ

1

( ) ( ) ( )sVsGsY Δ=Δ( ) ( ) ( )sZsUsV Δ+Δ=Δ ( ) ( ) ( )sZsUsV Δ+ΔΔ

( ) ( ) ( )sYsHsZ Δ=Δ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }sYssUsGsY ΔΗ+Δ=Δ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sUsGsYsHsGsY Δ=Δ−Δ

9628/7/2009 23:12


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sUsGsYsHsGsY ΔΔΔ


Malhas FeedBack Malhas FeedBack (M lh R li d R li d )(M lh R li d R li d )(Malhas Realimentadas ou Retroalimentadas)(Malhas Realimentadas ou Retroalimentadas)

ΔU(s) ΔY(s)ΔV(s)ΔU(s)

-( )sG

ΔY(s)ΔV(s)

( ) ( )GYΔ

( )sHΔZ(s)

( )( )

( )( ) ( )sHsG

sGsUsY

+=

ΔΔ

1

( ) ( ) ( )sVsGsY Δ=Δ( ) ( ) ( )sZsUsV Δ−Δ=Δ ( ) ( ) ( )sZsUsV ΔΔΔ

( ) ( ) ( )sYsHsZ Δ=Δ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }sYssUsGsY ΔΗ−Δ=Δ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sUsGsYsHsGsY Δ=Δ+Δ

9728/7/2009 23:12


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sUsGsYsHsGsY ΔΔ+Δ


Malhas FeedBack Malhas FeedBack (M lh R li d R li d )(M lh R li d R li d )(Malhas Realimentadas ou Retroalimentadas)(Malhas Realimentadas ou Retroalimentadas)

ΔV(s)ΔU(s) ΔY(s)

+( )sG

ΔV(s)ΔU(s) ΔY(s)

( )sHΔZ(s)

-

CAMINHO DIRETO

ΔU(s)

ΔY(s) CAMINHO DIRETO

CAMINHO-ΔU(s) CAMINHO do LAÇO

1 +98




Malhas FeedBack – Versão MIMO (Malhas Realimentadas ou Retroalimentadas)( )

ΔU(s)( )sG

ΔY(s)ΔV(s)

-( )sG

ΔZ( )( )sH

ΔZ(s)

( ) ( ) ( )sVsGsY Δ=Δ( ) ( ) ( )( ) ( ) )(1 sUsGsHsGIsY Δ+=Δ −

( ) ( ) ( )sVsGsY ΔΔ( ) ( ) ( )sZsUsV Δ−Δ=Δ

( ) ( ) ( )sYsHsZ Δ=Δ ( ) ( ) ( )sYsHsZ ΔΔ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }sYssUsGsY ΔΗ−Δ=Δ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )99



( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sUsGsYsHsGsY Δ=Δ+Δ


Exemplo de Malhas FeedBackExemplo de Malhas FeedBackExemplo de Malhas FeedBackExemplo de Malhas FeedBack

ΔU(s) ΔY(s)

-s1ΔU(s) ΔY(s)

s1

-

1a

0a

Resolução de dentro para fora.

10028/7/2009 23:12




ΔU(s) ΔY(s)

-s1ΔU(s) ΔY(s)

s1

-

1a

0a

Resolução de dentro para fora.

10128/7/2009 23:12




1ΔU(s) ΔY(s)

-a

s11+

ΔU(s) ΔY(s)

s1

s

0a

10228/7/2009 23:12




ΔU(s) ΔY(s)

- 1

1as +

ΔU(s) ΔY(s)

s1

0a

10328/7/2009 23:12




( )1ΔU(s) ΔY(s)

-( )1ass +

0a

1ΔU(s) ΔY(s)

Resolvendo a malha feedback externa chegamos finalmente à:

012

1asas ++

ΔU(s) ΔY(s)

10428/7/2009 23:12


Módulo I: Parte I – Conceitos Básicos de Malhas SISO ... PACOP / Módulo I: Prof. Jorge O....

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