EEL420_Modulo3

7/25/2019 EEL420_Modulo3

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Universidade Federal do Rio de Janeiro

Circuitos Eltricos I EEL420

Mdulo 3
http://en.wikipedia.org/wiki/Willem_Einthoven

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Contedo

3 Teoremas e anlise sistemtica de redes...............................................................................1

3.1 Reviso de definies....................................................................................................1

3.2 Anlise de ns e malhas................................................................................................1

3.2.1 Anlise de ns........................................................................................................1

3.2.2 Anlise de malhas..................................................................................................3

3.3 Teoremas de rede e transformaes de fontes...............................................................5

3.3.1 Teorema da suerosio......................................................................................!

3.3.2 Teorema de Th"venin#$orton................................................................................%

3.3.3 &'loso (transformao ou deslocamento) de fontes..........................................*

3.+ ,rafos de rede e teorema de Telle-en.........................................................................11

3.+.1 onceito e definies de -rafos...........................................................................11

3.+.2 ortes e lei das correntes de /irchhoff................................................................12

3.+.3 Teorema de Telle-en...........................................................................................1+

3.5 ,rafos de rede alicados a anlise de ns...................................................................1+

3.! ,rafos de rede alicados a anlise de malhas..............................................................1*

3.% &'erc0cios....................................................................................................................2

3. olues.......................................................................................................................2+

ircuitos &l"tricos 4 &&+2 67R8 Aostila no " livro. &stude elo livro9 2
https://archive.org/stream/FundamentalsOfElectricCircuits4thEdition/Fundamentals%20of%20Electric%20Circuits%20(Alexander%20and%20Sadiku),%204th%20Edition#page/n111/mode/2uphttps://archive.org/stream/FundamentalsOfElectricCircuits4thEdition/Fundamentals%20of%20Electric%20Circuits%20(Alexander%20and%20Sadiku),%204th%20Edition#page/n111/mode/2up

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3 Teoremas e anlise sistemtica de redes

3.1 Reviso de definies

Revisando os conceitos anteriores odemos classificar os circuitos como: ircuitos

ineares; onde cada elemento do circuito " linear ou uma fonte indeendente< ircuito

4nvariante; onde cada elemento do circuito " invariante ou uma fonte indeendente< ircuito

inear e 4nvariante; onde cada elemento do circuito " linear e invariante ou uma fonte

indeendente< al"m dos ircuitos $o ineares ou dos ircuitos =ariantes; >ue no so

lineares ou no so invariantes.

$estas definies as fontes indeendentes recisam ser tratadas searadamente ois

elas e'ercem um ael diferente dos demais elementos da rede. Al"m disto todas as fontes

indeendentes so elementos no lineares (suas caracter0sticas v? icorresondem a uma linha

reta >ue no assa ela ori-em).

3.2 Anlise de ns e malhas

A soluo de ro@lemas de e>ueno tamanho ode ser feita facilmente o@tida

emre-ando#se sistematicamente as duas leis de /irchhoff. estes m"todos resultam um

sistema de e>uaes de tamanho i-ual ao nBmero de ns ou malhas indeendentes da rede.

Cor esta raDo este m"todo " aroriado ara o clculo comutacional da soluo ou ara

anlise de ro@lemas e>uenos.

3.2.1 Anlise de ns

Cara ilustrar esta t"cnica de resoluo sistemtica de circuitos considere a fi-ura

a@ai'o.


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Crimeiro deve#se contar os ns essenciais (ns A; E e ). omo as tenses = A=Ee

=AE se relacionam ela lei das tenses de /irchhoff; aenas duas destas tenses so

indeendentes; a terceira " uma com@inao linear das anteriores. endo assim; " oss0vel

escrever duas e>uaes indeendentes ara as tenses de ns. Fuais>uer duas tenses odem

ser utiliDadas; mas; normalmente; se escolhem as tenses com relao ao n de referGncia

(terra). Assim; chamamos de tenso de n a diferena de otencial entre um determinado n e

a referGncia. $o e'emlo; as tenses dos ns sero =Ae =E. Assim; ara uma rede com nns

essenciais e'iste n-1e>uaes de tenses indeendentes. Resolvendo o ro@lema ara as

tenses dos ns todas as tenses de @rao tam@"m ficam determinadas. As correntes de @rao

odem ser esecificadas em funo das e>uaes de @rao imostas elos elementos

individualmente ou elas leis de /irchhoff (ara o caso das fontes).

Cara escrever as e>uaes dos ns usamos a lei das correntes de /irchhoff. Assim ara

o e'emlo em >uesto temos

ara o n A

i1i 2is1=

vA

R1

v

A v

B

R2

is1= ; e

ara o n E

i3i

+i

5=

vBv

A

R2

vBv

1

R+

vB

R3= .

Reescrevendo as e>uaes ara os ns A e E; resectivamente; temos

vA 1R1

1

R2vB 1R

2=is1

vA

1

R2

vB

1

R2

1

R3

1

R+

=v1

1

R+


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esta forma o@temos um sistema de e>uaes com duas inc-nitas e duas e>uaes

>ue ode ser resolvido sem maiores ro@lemas. omo soluo ara o ro@lema o@teremos as

tenses em cada n. As correntes de cada ramo ficam definidas ela tenso e elo valor da

resistGncia; ou elo valor da fonte de corrente. As correntes nas fontes de tenso odem ser

determinadas ela /.

H@serve >ue h uma lei de formao ara o sistema de e>uaes o@tido. 4sto si-nifica

>ue ele oderia ter sido o@tido or inseo da rede. Cara um determinado n Na e>uao "

o@tida da se-uinte forma: A tenso do nNmultilicada elo somatrio das condutIncias >ue

vo do nN aos nsJ. &sta arcela " su@tra0da das tenses nos ns Jmultilicadas elas

condutIncias >ue interli-am os ns J ao n N. H resultado " i-ual a soma das fontes de

correntes >ue saem do nNmultilicadas or 1.

vNGNJ vJG JN= iN

onde GXY " a condutIncia >ue li-a o nXao n Y.

3.2.2 Anlise de malhas

6m outro m"todo de analisar uma rede -en"rica " o m"todo das malhas. Cara ilustrar

sua alicao considere a fi-ura a se-uir.

4nicialmente contamos o nBmero de malhas essenciais (malhas J1; J2 e J3). Cara

cada malha estiula#se uma corrente com sentido de referGncia ar@itrrio (4J1; 4J2 e 4J3). A


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artir do sentido de referGncia ar@itrado os sentidos das tenses de referGncia tam@"m ficam

@em definidos. A artir dos sentidos de tenso e utiliDando a lei das tenses de /irchhoff

odemos escrever as e>uaes >ue re-em as correntes de cada malha. &m elementos >ue

ertencem a mais de uma malha; a corrente resultante ser a soma al-"@rica das correntes de

cada malha; levando#se em conta o sentido de cada corrente. Cara o circuito acima;

ercorrendo as malhas no sentido horrio; com onto de artida inferior es>uerdo; temos

ara a malha 1

v1vR2vR3v2vR1=

v1R2IM1IM3R3IM1IM2v2R1IM1= ,

ara a malha 2

v2vR3v

R4v

R5v

R6=

v2R3IM2IM1R

+IM2IM3R

5IM2R

!IM2= ,

e ara a malha 3

vR7v3vR4vR2=

R%IM3v3R

+IM3IM2R

2IM3IM1= .

Reescrevendo as e>uaes temos

IM1R1R

2R

3IM2R

3IM3R

2=v1v2

IM1R3IM2R

3R

+R

5R

!IM3R

+=v2

IM1R2IM2R

+IM3R

2R

+R

%=v3

Fue resulta num sistema com trGs e>uaes e trGs inc-nitas >ue ode ser resolvido de

forma simles. As correntes de ramo odem ser determinadas or uma simles relao

al-"@rica entre correntes de malha.

i1=IM1 ; i2=IM2

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i3=IM3 ; i4=IM1IM2

i5=IM2IM3

As tenses de ramo odem ser o@tidas a artir dos valores das fontes de tenso e das

>uedas de tenso so@re os resistores. As tenses so@re as fontes de corrente deve ser

determinada ela T/.

H@serve >ue h uma lei de formao ara o sistema de e>uaes >ue determinam as

correntes de malha de modo >ue ele oderia ter sido o@tido or simles inseo da rede. Cara

uma determinada malha Ma e>uao " o@tida da se-uinte maneira: A corrente da malha M

multilica o somatrio de todas as resistGncias >ue come a malha. &sta arcela deve ser

su@tra0da das demais correntes de malha multilicas elas resistGncias em comum com a

malhaM. H resultado " i-ual ao somatrio das fontes de tenso da malha multilicado or 1.

iM RMJ iJRJM= vM

onde RXY" a resistGncia da malhaX>ue tam@"m ertence a malha Y.

3.3 Teoremas de rede e transformaes de fontes

Aesar das leis de /irchhoff se alicarem a todas as classes de ro@lemas >ue sero

estudados nesta discilina nem semre seu uso " simles. Al-umas veDes " necessrio montar

-randes sistemas de e>uaes ara solucionar um determinado circuito. omutacionalmente

falando isto no reresenta uma dificuldade; or"m ara anlise manual de circuitos a soluo

de sistemas de e>uaes com ordem suerior a trGs ode se tornar @astante tra@alhosa.

Adicionalmente; durante o roKeto de circuitos estas t"cnicas odem no ser de muitautilidade.

Cara nossa sorte; muitas veDes " oss0vel calcular uma determinada varivel de rede

simlificando a rede ori-inal. 4sto ode ser realiDado utiliDando#se al-uns teoremas;

associaes e transformaes de elementos. &stas simlificaes odem ser alicadas sem

medo desde >ue a resosta deseKada no se encontre Kunto aos elementos simlificados.

Fuando as simlificaes forem realiDadas eliminando ou modificando a resosta deseKada

deve se ter o cuidado de retornar ao ro@lema ori-inal ara desfaDer as simlificaes iniciais.


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3.3.1 Teorema da superposio

eKa uma rede linear; >ue aresente aenas uma resosta ara o conKunto de e'citao

(conKunto de fontes independentes>ue e'cita o circuito); indeendente dos elementos seremvariveis ou no com o temo; ento a resosta da rede causada or vrias fontes

indeendentes " a soma das resostas devidas a cada fonte indeendente a-indo soDinha.

&m outras alavras; se deseKarmos analisar um circuito >ue contenha muitas fontes

indeendentes odemos analisar a resosta da rede (circuito) ara cada fonte em searado

(considerando >ue as demais fontes tGm valor nulo curto circuito ara as fontes de tenso e

circuito a@erto ara as fontes de corrente) e deois somar todas as resostas.

&'emlo: alcular V1 e V2 .

onsiderando como n de referGncia o n de @ai'o e e>uacionando o n de cima (2)

v2v sR1

is+

v2

R2=0

v2= i

s+

vs

R1

R1R2

R1+R

2

=14

3V ; v1=vsv2=

2

3V

Cor suerosio temos >ue

v2(vs, is)=v2(vs, is=)+ v2(vs=;is) e

v1vs, is=v1vs,is=v1vs=; is

ento

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v2=[ vsR

1R

2

R2][ isREQ ]=+32323=1+3 V e

v1=[

vs

R1+R

2

R1]+[isREQ ]=

+

313

2

3=

2

3V

3.3.2 Teorema de Thvenin-Norton

eKa uma rede linearli-ada a uma car-a or dois de seus terminais de forma >ue a

Bnica interao entre rede e car-a se d atrav"s destes terminais; ento o teorema de Th"venin#

$orton afirma >ue as formas de onda de tenso e corrente nestes terminais no se afetam se a

rede for su@stitu0da or uma rede Th"venin e>uivalente ou $orton e>uivalente.

Cara se o@ter esta rede e>uivalente @asta determinar a relao v? inos terminais da

rede. 4sto ode ser realiDado de forma -en"rica alicando#se uma fonte de corrente de valor 4

nos terminais da rede e determinando a e>uao da tenso = so@re esta fonte.

Fual>uer outra forma de determinar a reta v ? iode ser utiliDada. Cor e'emlo;

>uando a rede em anlise aresenta aenas elementos lineares e fontes indeendentesodemos o@ter os e>uivalentes Th"venin ou $orton da se-uinte maneira: 1) A determinao

da tenso de Th"venin corresonde a tenso entre os terminais ara os >uais estamos

@uscando o e>uivalente (os terminais devem ser mantidos em circuito a@erto). 2) A

determinao da corrente de $orton corresonde a corrente >ue circularia elos terminais ara

os >uais se deseKa determinar o e>uivalente caso eles estivessem curto circuitados. 3) A

resistGncia ode ser calculada su@stituindo as fontes indeendentes ela sua resistGncia interna

(R= ara fonte de tenso e R= ara fonte de corrente) e determinando a resistGnciae>uivalente nos terminais ara os >uais se deseKa determinar o e>uivalente. Alternativamente a

resistGncia oderia ser o@tida ela diviso da tenso de Th"venin ela corrente de $orton.

&'emlo: eterminar os e>uivalentes Th"venin e $orton entre os terminaisAe Bda

rede a@ai'o.

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onsiderando o n de @ai'o como a referGncia e alicando uma corrente de teste de

valor 4 entrando no terminal A odemos calcular a tenso = so@re a fonte de corrente (=AE).

onsiderando o n de cima como o n L temos

Vx(2ixvs)

R3

+Vx

R4

+Vx V

R5

=0 (e>uao da /)

ix=Vx

R4

(e>uao au'iliar)

u@stituindo a e>uao au'iliar na e>uao da / temos

Vx

R3

2Vx

R3R

4

+vs

R3

+Vx

R4

+Vx

R5

V

R5

=0

0,1Vx 0,066Vx+1,5+0,333Vx+Vx V=1,366Vx+1,5V=0

Vx=VIR5=VI (e>uao au'iliar ara escrever = em funo de 4)

1,366Vx+1,5V=1,366V1,366 I+1,5V=0

V=3,73I 4,098

Cara o modelo Th"venin temos V=RsI+vo . Cor comarao

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Rs=3,73 e vo=4,098V

3.3.3 Exploso (transformao ou desloamento! de fontes

Al-umas veDes " interessante transformar uma fonte indeendente em muitas outras;

ois isto ode simlificar a anlise do restante do circuito. Fuando isto " feito chamamos de

e'loso; transformao (ode ser usado com outro si-nificado) ou deslocamento de fontes.

6ma fonte de tenso indeendente >ue tenha um de seus terminais li-ados a mais de

um elemento de circuito ode ser desmem@rada removendo este n; desde >ue cada elemento

ermanea interli-ado em s"rie com uma fonte de tenso de mesmo valor e olaridade. A

fi-ura a se-uir ilustra o fato. 6ma fonte vse conecta aos resistores R1 e R2 . &la ode ser

desmem@rada em duas fontes em aralelo de mesmo valor e olaridade e; finalmente;

searadas de forma >ue cada uma fi>ue em s"rie com um dos resistores R1 ou R2 . o onto

de vista do resto do circuito as formas de onda de tenso e corrente nos terminais A; E e

ermanecem inalteradas.

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6m rocedimento semelhante ode ser realiDado com as fontes de corrente. $este caso

uma fonte >ue interli-ue dois ontos de um circuito ode ser su@stitu0da or outras tantas

desde >ue elas formem um caminho fechado >ue comece e termine nos mesmos ns da fonte

ori-inal. A fi-ura a@ai'o ilustra esta situao. 6ma fonte de corrente faD circular uma corrente

i1do n E ara o n A. &m aralelo com esta fonte h um outro caminho; formado elos

resistores R1 ; R2 e R3 ; interli-ando o n E ao n A. &nto; a fonte de corrente ori-inal

ode ser removida e outras odem ser colocadas em aralelo com estes resistores. H@serve

>ue a corrente i1movimentada ela fonte em aralelo com R3 e deslocada ela fonte em

aralelo com R2 e esta corrente " deslocada ela fonte em aralelo com R1 de forma >ue

toda a corrente >ue saiu do n E che-ou ao n A; sem alterar o restante do circuito.

&'emlo de alicao: $o circuito a@ai'o deseKa#se calcular o valor da corrente 4; mas

sem montar um sistema de e>uaes ela / nem T/. Jostre uma forma de faDer.

&'lodindo as fontes V1 e I1 e redesenhando o circuito o@temos


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deste onto em diante @asta faDer transformaes sucessivas de modelos Th"venin e $orton

al"m de al-umas associaes de resistores. I=;332A

3.4 Grafos de rede e teorema de Tellegen

Toda a anlise de ns e malhas ode ser sistematiDada ainda mais se for utiliDada a

teoria e -rafos e notao matricial. As r'imas seces aresentam esta a@orda-em

mostrando como esta sistematiDao ode simlificar e muito a anlise de redes. omo ser

visto todos as redes odem ser resolvidas a artir de uma s e>uao entretanto todo o

tra@alho de anlise assa a ser um ro@lema matemtico. &sta a@orda-em; ortanto; se alica

muito @em a simulao e anlise comutacional de redes.

3.".1 #oneito e defini$es de %rafos

6m grafo" um conKunto de @raos e ns com a condio de >ue cada @rao comece e

termine em um n. ircuitos el"tricos tam@"m so formados or @raos e ns e or isso

tam@"m odem ser reresentados or -rafos.

omo as leis de /irchhoff no faDem e'i-Gncia >uanto a natureDa dos elementos da

rede; " natural desreDar a influGncia dessa natureDa ao reduDir a rede a um -rafo. 4deias

tericas de -rafos so ento usadas ara formular de modo reciso a T/ e /. 4sto "

realiDado ara o@ter uma forma sistemtica de anlise de circuitos >ue sirva ara redes de

>ual>uer comle'idade e tamanho e ossa ser simulada em comutadores.

A reresentao de um circuito or um -rafo ressue a su@stituio dos elementos

de @rao or um se-mento de reta >ue ode estar orientado ( grafo orientado) e >ue "


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chamado de brao(ou ramo). Hs ns do circuito so os nsdo -rafo e tam@"m odem ser

chamados de v"rtices ou Kunes. Hs ns delimitam o in0cio e o fim de um @rao. A

orientao dos @raos coincide com a orientao dos sentidos de referGncia associados de

tenso e corrente; adotados ela conveno assiva. efinidos assim; -rafos mais simles

ossuem aenas um n ou um ramo e um n. Hs -rafos tam@"m odem ser divididos em

subgrafos (su@conKunto de elementos do -rafo) sendo o menor deles chamado de grafo

degenerado(um -rafo formado aenas or um n). A fi-ura a@ai'o aresenta um e'emlo de

-rafo.

1

5 +

321

5

+

3

2

Hs -rafos tam@"m odem ser ligadosse e'istir ao menos um @rao entre >uais>uer

dois ns. 6m -rafo li-ado " chamado de uma parte separada; assim os -rafos no li-ados

ossuem ao menos duas artes searadas. 6m corte" um conKunto de @raos >ue >uandoremovidos do -rafo ori-inal resultam em um -rafo com uma arte searada a mais; or"m; se

um dos @raos do conKunto for mantido; o -rafo resultante mant"m o mesmo nBmero de artes

searadas do -rafo ori-inal.

6m percurso fechado em um -rafo " todo su@-rafo li-ado onde cada n deste

su@-rafo est conectado a aenas dois @raos.

3.".2 #ortes e lei das orrentes de &irhhoff

6sando a nomenclatura de -rafos a lei das correntes de /irchhoff ode ser enunciada

como Paa "#a$"#% %&% &% 'a()%*os +on+%n*a&os, 'aa "#a$"#% &% s%#s +o*%s, % a

"#a$"#% ins*an*%, a so)a a$.i+a &% *o&as as +o%n*%s a*avs &os .a/os &o +o*%

0%o.


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A fi-ura a@ai'o mostra um -rafo li-ado onde uma suerf0cie corta o -rafo em duas

artes searadas. Hs @raos 1; 2 e 3 formam este corte. e ao menos um destes trGs @raos no

forem removidos ento o -rafo continua li-ado.

1

+

325

3

21

%

e adotarmos um sentido de referGncia associado a suerf0cie odemos alicar a

/. Adotaremos a se-uinte conveno: ositivo so as correntes cuKos sentidos so do

interior ara o e'terior da suerf0cie.

$este caso; alicando a / ara os @raos do corte temos

i1 *i

2*i

3 *=

e fossemos alicar a / a todos os ns dentro da suerf0cie ter0amos

$ 1: i1i5i!=

$ 2: i 2i5i %i =

$ 3: i3i=

$ +: i!i%=

A soma de todas estas e>uaes resulta em


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i1i

2i

3=

a mesma forma odemos definir lei das tenses de /irchhoff usando a nomenclatura

de -rafos: Paa "#a$"#% %&% &% 'a()%*os +on+%n*a&os, 'aa "#a$"#% &% s%#s

'%+#sos %+a&os, % a "#a$"#% ins*an*%, a so)a a$.i+a &as *%ns%s &% .a/o ao $ono

&% "#a$"#% '%+#so %+a&o 0%o.

3.".3 Teorema de Telle%en

Cara uma rede de arImetros concentrados cuKo -rafo tenha . @raos e n ns.

Ar@itremos ara cada @rao do -rafo uma tenso de @rao ve uma corrente de @rao i e

suonhamos >ue ve iseKam medidos a artir de um sentido de referGncia associado. e as

tenses e as correntes de @rao satisfaDem a T/ e a / resectivamente ento:

=1

.

vi

=

ou seKa; toda a otGncia fornecida ela rede " consumida na rria rede. &m outras alavras

as leis de /irchhoff imlicam em conservao de ener-ia.

3.5 Grafos de rede ali!ados a anlise de ns

ado um determinado -rafo orientado " oss0vel descrevG#lo listando todos os @raos

e ns e indicando >ual @rao est entrando e saindo de >ual n. 4sto ode ser feito or uma

matriD chamada matriD de incidGncia; onde os elementos ai desta matriD odem assumir

valores M1 se o @rao sai do n i< 1 se o @rao entra no n i< se o @rao no " incidente

(no se conecta) com o n i. Assim; ara o -rafo a@ai'o

1

5 +

321

5

+

3

2

a matriD >ue o descreve "

ircuitos &l"tricos 4 &&+2 67R8 Aostila no " livro. &stude elo livro9 1+

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A=

[

1 1

1 1 1 1 1 1 1

1 1 1

]onde as colunas reresentam os @raos e as linhas reresentam os ns.onsiderando a matriD incidncia reduzida(a matriDAsem a linha corresondente ao

n de referGncia do circuito) " oss0vel escrever a / matricialmente como

A7=

e ela T/ a tenso vem cada @rao da rede ode ser o@tida matricialmente como

v=A8%

onde %" um vetor com tenses de cada n.

Cara concluir o e>uacionamento das tenses dos ns de uma rede ser definido um

@rao -en"rico contendo uma resistGncia e um modelo Th"venin ou $orton conforme

aresentado na fi-ura a@ai'o. Cara a continuidade da anlise " imrescind0vel >ue haKa ao

menos uma resistGncia no ramo; mas se isto no ocorrer; o circuito ori-inal ode sr

modificando utiliDando#se e'loso de fontes; or e'emlo.

A corrente no ramo -en"rico >ue est sendo definido nesta seco ode ser

e>uacionado como


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6=s6 G 6vs6G 6v 6

onde o 0ndice denota o N#"simo ramo da rede.

A mesma e>uao ode ser reescrita matricialmente ara todos os ramos; assim a

e>uao acima ode ser reescrita como

=Gv s Gvs

e am@os os lados da e>uao forem multilicados orAa es>uerda ento

A=AGvAs AGvs

=AGvAs AGvs

e su@stituindo vor A8% o@temos

=AGA8%As AGvs ; ou

AGA8%=AGvs As

&'emlo: $o circuito da fi-ura a@ai'o foram numerados os ns e os @raos sendo

ar@itrado um sentido ara cada ramo. Hs ramos foram escolhidos de tal forma >ue udessem

ser e>uacionados de acordo com o modelo acima. As fontes no so dei'adas em ramos

isolados.

A / ode ser escrita como

ircuitos &l"tricos 4 &&+2 67R8 Aostila no " livro. &stude elo livro9 1!

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A=

[

1 1

1 1 1

1 1

]

[

1

2

3

+

5

]=

[

]e as tenses de @rao como

v=A8%=

[

1

1 1 1

1

1

1

]

[

%1

%2

%3

]H e>uacionamento das correntes em cada ramo " dado or

=Gv sGvs

[

1

2

3

+

5]=

[2

1

3

1

1]

[v

1

v2

v3

v+

v5]

[2

]

[2

1

3

1

1]

[

1]e as tenses de n odem ser o@tidas or

AGA8%=AGvs As

>ue ode ser reescrito como

Yn%=is

onde Yn=AGA8 e is=AGvs As .

Assim

ircuitos &l"tricos 4 &&+2 67R8 Aostila no " livro. &stude elo livro9 1%

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Yn=

[

1 1

1 1 1

1 1

]

[

2

1

3

1

1

]

[

1

1 1 1

1

1

1

]Yn=[ 3 1 1 5 1 1 2] e

is=

[

2

1

]o-o; as e>uaes de n; >ue odem ser o@tidas diretamente elas t"cnicas descritas

no ca0tulo anterior; so

[ 3 1 1 5 1

1 2][%

1

%2

%3

]=[2

1] .

Cortanto

%= 1

25[1%1

12]

om estas informaes ode#se calcular as tenses e correntes de cada ramo

v=A8%=

1

25[1%1!113

12

]e

=Gv sGvs


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= 1

25

[

1!

1!3

13

13

]3." Grafos de rede ali!ados a anlise de malhasAlternativamente " oss0vel descrever um -rafo orientado; li-ado; insearvel e lanar

listando todos os @raos e malhas e indicando os @raos >ue ertencem a cada malha. 4sto

ode ser feito or uma matriD onde os elementos aidesta matriD odem assumir valores M1 se

o @rao ertence a malha e tem o mesmo sentido esta@elecido ara ela< 1 se o @rao

ertence a malha e tem sentido contrrio ao esta@elecido ara a malha< se o @rao no

ertence a malha. Assim; ara o -rafo acima ter0amos

M=[1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1]onde as colunas reresentam os @raos e as linhas reresentam os ns.

onsiderando a matriD M reduDida (matriD ) sem a incluso da malha e'terna

aenas com malhas essenciais); odemos escrever a T/ como

Mv=

e ela / as correntes de ramo odem ser o@tidas elas correntes de malha como

=M8i

onde icorresonde ao vetor de correntes de malha.

Jais uma veD a a@orda-em >ue est sendo aresentada re>uer a definio de um ramo

adro de circuito como aresentado na fi-ura a@ai'o.

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A tenso so@re o ramo -en"rico ode ser e>uacionado como

v6=vs6R6s6R 66

onde o 0ndice define o N#"simo ramo da rede.

&sta e>uao ode ser reescrita ara todos os ramos na forma matricial como

v=R. R.svs .

Jultilicando orMdos dois lados da e>uao

Mv=MR. MR.sMvs

=MR. MR.sMvs

u@stituindo7or M8i o@tGm#se

MR.M8i=MR.svs

3.# $%er!&!ios

1) Cara o circuito a@ai'o determine a tenso Vso@re R3 .


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2) A rede a@ai'o " o circuito e>uivalente de um amlificador transistoriDado com

emissor comum li-ado a uma car-a resistiva no linear. a) etermine a rede Th"venin

e>uivalente do amlificador. @) etermine a tenso de sa0da so@re a car-a.

3) &ncontrar Voem funo de V1; V2e dos resistores. Cara os clculos; redesenhar o

circuito su@stituindo cada amlificador oeracional elo seu modelo ideal.

+) etermine a tenso V so@re o resistor R2 ara as se-uintes situaes: a) i9=+A e

%9=1Ve @) i9=1A e %9=1V . O oss0vel resolver este ro@lema or suerosioP

5) &ncontre o e>uivalente Th"venin entre os terminais A e E da rede a@ai'o.


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!) $o circuito a@ai'o; calcular as otGncias das fontes de corrente. H @rao L

aresenta uma caracter0stica v:=1i:5 .

%) $o circuito a@ai'o determine a otGncia dissiada elo resistor R6. Cara tanto;

simlifi>ue o circuito at" o@ter aenas duas malhas. As; resolva o ro@lema utiliDando o

m"todo das correntes de malha.


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) Cara o circuito a@ai'o ali>ue uma fonte de tenso de V=olts entre os terminais A e

E. &>uacione o ro@lema utiliDando malhas e isole a tenso Vem funo da corrente ela

fonte. omare com o resultado o@tido no e'emlo de Th"venin#$orton. Reita o rocesso

com uma fonte de corrente deIAmeres.

*) &screva os sistemas de e>uaes >ue resolvem os ro@lemas a@ai'o elos m"todos

das malhas e dos ns.


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3.' (ol)es

1) Cara o circuito a@ai'o determine a tenso Vso@re R3 .

Cor suerosio (Bnica soluo oss0vel)

Cara 41: VI1= I

1GEQ

G1GEQ

1

G3G4=

I1

G2G3G4

G2G

3G

+

G1

G2G3G4

G2G

3G

+

1

G3G4

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Cara =1: VV1= V

1REQ

R4REQ=

V1R

1R

2R

3

R1R

2R

3

R+R

1R

2R

3

R1R2R3

V=VI1VV1

2) A rede a@ai'o " o circuito e>uivalente de um amlificador transistoriDado com

emissor comum li-ado a uma car-a resistiva no linear. a) etermine a rede Th"venin

e>uivalente do amlificador. @) etermine a tenso de sa0da so@re a car-a.

a) Transformando o circuito $orton (E+#R3) em Th"venin o@temos uma fonteV2=IR3 em s"rie comR3. H ositivo da fonte se conecta aR1eR2. Assim; V2=1i1 .

u@stituindo a resistGncia deendente de tenso or uma fonte de tenso = ficamos

com um circuito de duas malhas. &stiulando as correntes de malha em sentido horrio:

Jalha da es>uerda: V1R1i1R2i1i = (1)

Jalha da direita: R2i i1V2R3iV= (2)

e 1: i1=

V1+R 2i

R 1+R 2(3)

e V2=100i1=100V

1+R2i

R1+R2

u@stituindo 3 em 2:


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R 2i V

1+R 2i

R 1+R 2+1

V1+R 2i

R 1+R 2+R 3i+V=

V= R 22

R1+R 21

R 2R 1+R 2

R 2R 3i+ R 2V1R1+R 2

1 V1

R 1+R 2 =R8;i+V8;

RTH=2,99 ; VTH=9,9V

@) H somatrio de tenses no circuito e>uivalente Th"venin em s"rie com a resistGncia

deendente de corrente " dado or

V8;+iR8;+2!i+1i3= .

eterminar a corrente do circuito; 1i3+2!i+R8;i V8;=

ireal=0,32919 A (as outras solues so comle'as)

e V=2!i+1i3=;*15% V

3) &ncontrar Voem funo de V1; V2e dos resistores. Cara os clculos; redesenhar o

circuito su@stituindo cada amlificador oeracional elo seu modelo ideal.

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&>uacionando as + inc-nitas (VX ; VN; V?P e V= ) elo m"todo das tenses de

ns; @astaria resolver o sistema de e>uaes a@ai'o.

VX

R2

VXVNR1

=

V2

VN

R3

V2V

1

R=

V1V2R

V1V?P

R3 =

VX

V?P

R1

VXV

=

R2=

+) etermine a tenso V so@re o resistor R2 ara as se-uintes situaes: a) i9=+A e

%9=1Ve @) i9=1A e %9=1V . O oss0vel resolver este ro@lema or suerosioP

Transformando o circuito Th"venin em $orton o@temos uma fonte de corrente

IE9=

%s

R1 em aralelo com o resistorR1. H sentido da correnteI

E9 " ara @ai'o.

a) i9=+A ara cima e IE9=5A ara @ai'o. H diodo estar cortado ois as correntes

or R1 e R2s oderiam circular de @ai'o ara cima. o-o; o diodo " uma chave a@erta e

V== . $o " oss0vel resolver or suerosio; ois neste caso o diodo conduDiria ara i9

@) i9=1A ara cima e IE9=5A ara cima. H diodo estar conduDindo ois as

correntes orR1e R2circulam de cima ara @ai'o. o-o; o diodo " uma chave fechada e a

corrente se divide entre as resistGncias.

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V=iR2R2 ; iR2= i8=8

G1G2G2=

15;5;5

;5=%;5A ; V=15=

5) &ncontre o e>uivalente Th"venin entre os terminais A e E da rede a@ai'o.

imlificando o circuito:

a) R+ ode ser retirado ois est em aralelo com =1< @) R1 e R2 esto em aralelouacionando as tenses de ns:


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$ A: IVA

R@I23IV3=

IVAR@

I23I5

VAV3R12=

VA= R@R12R@R12

i R@R12R@R12

V3R12 I23I5=R8;iV8;

R8;=

R@R12

R@R12; V8;=

R@R12R@R12

V3R12 I23I5!) $o circuito a@ai'o; calcular as otGncias das fontes de corrente. H @rao L

aresenta uma caracter0stica v:=1i:5 .

H @rao L corresonde a uma fonte de tenso de 5= em s"rie com uma resistGncia de

1ou uma fonte de corrente de ;5A em aralelo com uma resistGncia de 1. R+ e R3

esto em s"rie e odem ser associados. R! e R5 esto em s"rie e odem ser associados.

&>uacionando or tenses de ns:

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$ E1: IB1IB2VB1V2VR2

R34 =

$ R2': IXV

R2R2:

VR2V B1V2

R34=

a@endo >ue IB1=;5VR2 ; IB2=3IR3 e IR3=VB1V2VR2

R34

PB1=VB1IB1=VB1;5VR2

PB2=VB2IB2=VB12IR3R563IR33IR3

%) $o circuito a@ai'o determine a otGncia dissiada elo resistor R6. Cara tanto;

simlifi>ue o circuito at" o@ter aenas duas malhas. As; resolva o ro@lema utiliDando o

m"todo das correntes de malha.

A fonteB1ode ser e'lodida so@re V1;R2;R3eR5(e'loses menores so@reR6ou

R4odem ser realiDadas mas " necessrio mais ateno ara no errar as reais correntes so@re

estes resistores). As a e'loso " oss0vel converter todos os modelos $orton em Th"venin.

Assim; a fonteB1e a resistGnciaR1em aralelo com V1 so simlificadas.B1em aralelo

comI1odem ser somadas. H circuito final ode ser visto a@ai'o.


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&>uacionando or malhas e considerando as correntes em sentido horrio:

Jalha da es>uerda: B 1R5i.R5R4i.i2 R3I1R3 B1R3=

Jalha da direita: I1R3 B1R3 i2i.R3i2R2B1R2 V1i2R6=

PR6=R6i22

) Cara o circuito a@ai'o ali>ue uma fonte de tenso de V=olts entre os terminais A e

E. &>uacione o ro@lema utiliDando malhas e isole a tenso Vem funo da corrente ela

fonte. omare com o resultado o@tido no e'emlo de Th"venin#$orton. Reita o rocessocom uma fonte de corrente deIAmeres.

Alicando uma fonte de tenso entre A e E. Cositivo ara cima. orrentes de malha

em sentido anti#horrio.

Jalha da es>uerda: i1R3R4 i2R4V;1 V9=

Jalha da direita: V1i2R4R5 i 1R4=


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a@endo >ue V;1=2iX ; iX=i 2i1 e V1=R 8;i 2V8; ; @asta resolver o sistema de

e>uaes.

Alicando uma fonte de corrente entre A e E. orrente de @ai'o ara cima.

i 2VR4

R4

VR4V;1V9

R3 =

e V;1=2i

X=2

VR4

R4

V1=R5i2VR4=R8;i2V8;

*) &screva os sistemas de e>uaes >ue resolvem os ro@lemas a@ai'o elos m"todos

das malhas e dos ns.


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