Determinantes
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DeterminantesDeterminante é um número real associado a uma matriz quadrada.Notação: det A ou |A|.
Determinante de uma Matriz Quadrada de 1ª Ordem.
Seja a matriz A = (a11). O determinante de A será o próprio elemento a11.
A = ( 3 ) , logo | A | = 3
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Determinante de uma Matriz Quadrada de 2ª Ordem.Seja a matriz de 2ª ordem:
A = a11 a12
a21 a22
O determinante associado à matriz A é o número real obtido pela diferença entre o produto dos elementos da diagonal
principal e o produto dos elementos da diagonal secundária.
a11 a12
a21 a22
= a11 · a22 – a12 · a21
a11 · a22- (a12 · a21)
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Determinante de uma Matriz Quadrada de 2ª Ordem.
Ex: 1)
5327
A
+-
7 2
3 5= 7.5 - 2.3 = 29
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Ex: 2)
218206.310.210632
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Determinante de uma Matriz Quadrada de 3ª Ordem.
Neste caso utilizamos um processo prático chamado Regra de Sarrus.
Ex: 1)
413125312
132512
16 – 3 + 15 –18 –2 + 20 = 28
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Ex: 2)
10 0 16 2 02 1 1
10 06 20 1
20 + 0 + 6 + 4 + 0 + 0 = 30
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Casos em que um determinante é igual a ZERO:
• Quando todos os elementos de uma fila são nulos
Ex: 1) 0000892531
2) 01605802501
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• Quando possui duas filas paralelas iguais ou proporcionais
3)0
91809212318
0921
4) 0884201
693
31 LL
31 C.C2
Casos em que um determinante é igual a ZERO:
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• Quando uma das filas é a combinação linear de outras filas paralelas.
5)
6)
09114053961
0
0957877097130531
321 LLL
321 CC.C2
Casos em que um determinante é igual a ZERO:
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Outras propriedades:
• det(A)=det(At)
Ex: 1)
2)
612189432
612189342
,10 Se tsrzyxcba
10 então tzcsybrxa
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1)
2)
Ex:
• O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal principal
797035002
427.3.2
2000530068500872
602.3.5.2
Outras propriedades:
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1)Ex:
• Quando trocamos a posição de duas filas paralelas, o determinante troca de sinal
315189352
318153925
2) ,5 Se tsrzyxcba
5 então cbazyxtsr
Outras propriedades:
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Ex: 1)
2)
69432
306.594.532.5
,10 Se tsrzyxcba
7010.7.7.7.7 então tsrzyxcba
• Se uma fila for multiplicada por um no, então o determinante também fica multiplicado por esse no
Outras propriedades:
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• det(k.A)=kn.det(A), onde n é a ordem de A
1)
2)
69432
1506.59.53.54.52.5 2
det(2.A) então 5,det(A) com 3x3 éA Se
2.det(A)
Ex:
Outras propriedades:
3 405.8
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Matriz Inversa
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Definição• Dada uma matriz quadrada A, de ordem n, se X é uma matriz tal que AX = In e XA = In, então X é denominada matriz inversa de A e é indicada por A-1. Quando existe a matriz inversa de A, dizemos que A é uma matriz inversível ou não-singular.
det(A)≠0
ADMITE INVERSA
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• Verifique se existe e, em caso afirmativo,
determine a matriz inversa de A =
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Resolução: Pela definição temos:
1001
32328585
1001
3285
dbcadbca
dcba
23032185
ceacaca
58132085
debdbdb
Então X =
52
83, para AX = I2.
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• det(A.B)=detA.detB
Ex: .3214
B e 7523
A Sejam
det(A.B)? valeQuanto
11011.10det(A.B)
Outras propriedades:
11detA 10detB
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• det(A-1)=1/detA
Ex:
:iaConsequênc IA.A -1 det(I))det(A.A -1
1)(Adet(A).det -1
/detA1)det(A -1
:é 9352
A de inversa da tedeterminan O
1/3/detA1)det(A -1