MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES

01) Se A, B e C são matrizes de ordens respectivamente iguais a 2 x 3, 3 x 4 e 4 x 2, então (A . (B . C)) tem 2

ordem a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 12

SOLUÇÃO REGRA: Para multiplicar matrizes, o número de colunas da primeira matriz deve ser igual ao número de linhas da segunda matriz, ou seja: B ⇒ cujo quadrado também é de mesma ordem ( ) 232443 . xxx BCC = ( ) ( )[ ] 222332 . xxx BCABCA =RESPOSTA: A

02) Se A = , então A é a matriz

−− 1111 2

a)

−− 1111

b)

0000

c)

1111

d)

−−1111

e)

−− 2222

SOLUÇÃO

A A x A ⇒ =2

⇒

+−+−−−

=

−−

−− 00

001111

111111

11.

1111

RESPOSTA: B

03) Na igualdade matricial

=

++++++

111

3202001

xyx

o valor de x + y é: a) –2 b) –1 c) 0 d) 1 e) 2

SOLUÇÃO

=

++++++

111

3202001

xyx x + 2 = 1 121 −=−=x⇒ 1−=⇒ y + 2x + 3 =1 ⇒ y + 2(-1)+3=1 x

y – 2+3=1 022 =+−=⇒ y 0=⇒ Logo, x + y = -1 yRESPOSTA: B 04) O diagrama abaixo representa uma mapa rodoviário, mostrando as estradas que ligam as cidades 1, 2, 3 e 4. A matriz A = [ ]

44xija associada a este mapa é definida da seguinte forma:

a 1 se i está ligada diretamente a j =ij

a 0 se i = j ou i não tem ligação direta com j . Sabendo que i, j referem-se às cidades do mapa e variam no conjunto { , assinale a alternativa incorreta

=ij}4,3,2,1

a) a jiij a=b) a 242321 aa ==c) a 0=iid) a 1=+ jiij ae) a 0≥ij

SOLUÇÃO Trata-se de uma questão sobre composição de matrizes.

A = conforme os dados, teremos:

44434241

34333231

24232221

14131211

aaaaaaaaaaaaaaaa

0110101011010010

Analisando as alternativas verificamos que jiij aa = , então 1≠+ jiij aa

RESPOSTA: D

05) Considere as afirmativas I - Uma matriz de ordem 3 x 4 jamais admitirá inversa II – Nem toda matriz quadrada tem determinante III- A transposta de uma matriz linha é uma matriz coluna

Está errada/ estão erradas a) apenas I b) apenas II c) apenas III d) apenas I e II e) apenas II e III

SOLUÇÃO Afirmativa I é correta pois somente as matrizes quadradas, cujo determinante é diferente de zero, admitem a matriz inversa Afirmativa II é errada pois todas as matrizes quadradas tem determinante Afirmativa III é correta pois a matriz transposta é obtida trocando-se, ordenadamente as linhas pelas colunas RESPOSTA: B

06) Sendo A = em relação ao determinante da matriz transposta de A, podemos afirmar que ,2041

32

−

a) vale 9 b) vale –9 c) vale 0

d) vale -91

f) não existe

SOLUÇÃO

Calculando-se a transposta da matriz dada teremos: A t .Conforme sabemos, somente as

matrizes quadradas admitem determinante. Como a transposta de A não é quadrada, o determinante para ela não existe.

−

=243012

RESPOSTA: E

07) A matriz A de ordem 3, é definida na forma a jiij −= 2 . Se a matriz B é igual a a soma

dos elementos da diagonal principal da matriz C = A . B é

,213110211

−−

a) 10 b) 12 c) 14 d) –12 e) –26

SOLUÇÃO

Inicialmente devemos compor a matriz A

A = = Substituindo-se em C = A . B teremos:

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

−

345123101

C = ⇒ ⇒

−−

−

213110211

.345123101

+++−+−+++++−+−++−++−+−+−−++

2.31.42.51.3)1.(4)1.(53.30.41.52.11.22.31.1)1.(2)1.(33.10.21.3

2).1(1.02.11).1()1.(0)1.(13).1(0.01.1

C = . Somando-se os elementos da diagonal principal, teremos: (-2) + (-4) + 20 = 14

−−−−

206141046022

RESPOSTA: C

08) Sendo A = , B = e sendo a matriz C o resultado do produto matricial B x A,

−−

−654

321

1243

então o elemento de maior valor absoluto dessa matriz é a) C13 b) C12 c) C11 d) C 21

e) C 23

SOLUÇÃO

Fazendo-se o produto C = A x B teremos:

C =

⇒ C =

⇒ C =

−−

−

654321

.1243

−+−++−−+−++−

)6(13.2)5(12.24.1)1(2)6(43.3)5(42.34.4)1(3

−

−−012151413

Para achar o valor absoluto devemos considerar o valor do elemento independentemente do sinal, logo o algarismo de maior valor absoluto é o –15 localizado na primeira linha e na terceira coluna, ou seja C13 RESPOSTA: A

09) Seja a matriz A = em que a = 21 , , c = ,

dcba 3log2+ 25log55=b 27log 3 e 32log 2=d . Uma matriz real

B, quadrada de ordem 2, tal que A . B é igual a matriz identidade de ordem 2, é:

a)

−

−

91

151

185

151

b)

−

−

151

151

185

91

c)

91

151

185

151

d) e)

106256

251055

SOLUÇÃO

3log1 22 +=a 3log2log 222 +=⇒ a ⇒ ⇒)3.2(log22=a 6log22=a 6=⇒ a

b = 5 ⇒ 25log5 25=b

c = c

32727log 3 =⇒ 23 33 c=⇒ 2

3 c=⇒ 6=⇒ c

d = 232322 =⇒log d 25 22 d=⇒ 2

5 d=⇒ 10=⇒ d

Logo, a matriz A será igual a: A = . Consideremos a matriz B = . Considerando-se o

enunciado A . B = I 2 , teremos:

106256

kzyx

=

++++

⇒

=

1001

106106256256

1001

.106256

kyzxkyzx

kzyx

. Fazendo-se a propriedade de igualdade de

matrizes fica:

=+=+

01061256

zxzx

e . Resolvendo-se os sistemas teremos: x = -

=+=+

11060256

kyky

91 , y =

185 , z =

151 e

k = -151 . Então, a matriz B =

−

−

151

151

185

91

RESPOSTA: B

10) Se A = , B = e , então x + y + z é

01yx

zz

01 tBBA =.

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

SOLUÇÃO

Fazendo-se o produto entre A e B, teremos: . Aplicando-se a

igualdade de matrizes, teremos: , logo, substituindo valor de z em

tBzyzxzx

=

++++

0010

==+

=

⇒

+

zzz

yxzx

zyxz

1(

1)(

+=⇒

zyxzx

Bt1

)(

= 0)

=

xzz 101

( ) 0=+ yxz 00).(1 =+⇒=+⇒ yxyx x + y + z = 0 + 1 ⇒ x + y + z = 1 RESPOSTA: B

11) Sendo A = [ ]ija uma matriz quadrada de ordem 2, com , e B = ijaij 22 −= [ ]22xijb onde b ,

então:

jiij

+−= 2

a) ( ) 9det −=+ BAb) ( ) 11det =+ BAc) ( ) 24det =+ BAd) ( ) 10det −=+ BAe) ( ) 10det =+ BA

SOLUÇÃO

Construindo-se a matriz A, teremos: A = ⇒ a11 ; a 12

2221

1211

aaaa

11.212 −=−= 21.222 =−=

a ; a ⇒ 32.21221 −=−= 02.222

22 =−=

−−

=0321

A

Construindo-se a matriz B, teremos: B = ⇒ b11 ; b12 12 11 == +− 22 21 == +−

b212 12

21 == +− ; b 12 2222 == +−

=⇒

15,021

B

Somando-se os elementos correspondentes de A e B fica: A + B = ⇒

− 15,2

40

( ) ( ) ( ) 10det5,2.41.015,240

det =+⇒−−=−

=+ BABA

RESPOSTA: E

12) Dadas as matrizes A = e B = , calcule x e y de modo que A = B

−−

+yx

yx5

1

−− 1513

a) x = 1 e y = 2 b) x = -1 e y = -2 c) x = -2 e y = 1 d) x = y = 2 e) x = y = 1

SOLUÇÃO Igualam-se os elementos correspondentes e após forma-se um sistema de equações

−=−=+

13

yxyx

⇒ ; 1 + y = 3 122 =⇒= xx 2=⇒ y

RESPOSTA: A 13) Os elementos da diagonal principal da matriz A = são tais que: ijaa) i j≠ b) i jπ c) i j≤ d) i jφ e) i = j

SOLUÇÃO RESPOSTA: E 14) Se A é uma matriz do tipo m x n, e se B é uma matriz do tipo p x m, então o produto B.A é

a) não existe b) é de ordem p x n c) é de ordem n x p d) é de ordem m x n e) nenhum resultado

SOLUÇÃO REGRA: Para multiplicar matrizes o número de colunas da 1ª matriz é igual ao número de linhas da 2ª matriz B . A = p x n RESPOSTA: B 15) Sabendo que os produtos das matrizes A e B é tal que AB = I , podemos afirmar que: 2

a) A e B 32x 23x

b) A e B 22x 22x

c) A e B1 12x 2x

d) todas as opções acima estão corretas e) nenhuma resposta certa

SOLUÇÃO

I

=

1001

2

RESPOSTA: D 16) Para que seja possível efetuar o produto de uma matriz A 42x por uma matriz B ( )xmm 1+

a) 1 b) 4 c) 2 d) 3 e) -3

SOLUÇÃO Regra: Para multiplicar matrizes é necessário que o número de colunas da 1ª matriz seja igual ao número de linhas da 2ª. 4 = m + 1 ⇒ 314 =⇒=− mmRESPOSTA: D

17) Dadas as matrizes A = e B = , o determinante da matriz A . B é

− 2112

−1021

a) –7 b) –5 c) 3 d) 4 e) 5 Obs.: Devemos efetuar o produto e após calcular o determinante

A . B = ( ) 5500152

.det0152

22011402

=−−=−−

=⇒

−−

=

−+−++−

BA

RESPOSTA: E 18) Dadas as matrizes

A = , B = e C = , e sabendo que A . B = C, podemos concluir que:

41

2 m

1n

04

a) m + n = 10 b) m – n = 8 c) m . n = -48 d) 3=nm e) m 144=n

SOLUÇÃO

=

04

1.

412 nm

=

++

⇒04

42n

mn Através da igualdade formamos um sistema de equações

−=⇒=+=+

40442nn

mn Substituindo-se o valor de n na 1ª equação, teremos 2 . ( ) ⇒ 44 =+− m

1248 =⇒=+− mm Logo, fica ( ) 484.12. −=−=nm RESPOSTA: C

19) Para que a matriz B = admita inversa, x deverá ser

x231

a) = -6 b) = 6 c) 6≠ d) 6−≠ e) 0≠

SOLUÇÃO REGRA: Para uma matriz admitir inversa ⇒ determinante tem que ser diferente de zero ( ) 0≠∆

60602.3.102

31≠⇒≠−⇒≠−⇒≠ xxx

x

RESPOSTA: C

20) Se então x + y é igual a: ,21

.5112

−=

− y

x

a) -114 b) -

112 c) -

111 d)

112 e)

113

SOLUÇÃO

Fazendo-se o produto, formamos um sistema de equações, ou seja:

( )

=+−−=+

2.2512

yxyx

Multiplicando-se por 2 a segunda equação teremos:

=+−−=+

410212yx

yx Anulando-se os termos em x, fica: 11y = 3

113

=⇒ y . Substituindo-se o valor de y

na 2ª equação, teremos: -x + 5y = 2 ⇒ -x = 2 – 5 . ⇒

113

- x = 2 - ⇒

1115 - x =

117 . x = - ( )⇒−1

117

Conclusão: x + y = -114

113

117

−=+

RESPOSTA: A

20) Para que o sistema linear tenha solução, K não pode ser

−=++−−=−−−=−+

62221042

zyxzyxzkyx

a) 0 b) –4 c) 4 d) –12 e) 12

SOLUÇÃO Regra: Sistema com solução ⇒ (Lembrar que 0≠∆ ∆ é formado coeficientes das variáveis) pelos

∆= 2111

2

22111142

−−−

−−−−− kk

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ⇒+++++−=∆⇒−−−−−−−−−−+− 4288242.1.22.1.2.1.42.1.42 kkk4=

−+−=∆ .1.2.1.2 k0164 −≠⇒≠+ kk

⇒∆ . Concluímos então que K não pode ser –4 RESPOSTA: B

21) A solução do sistema linear é uma terna

=++−=−−

=++

1222232

2

zyxzyx

zyx( ).,, zyx O valor de x é 222 zy ++

a) 14 b) 6 c) 2 d) 8 e) 3

SOLUÇÃO REGRAS: 1ª) Calcula-se inicialmente o determinante principal ( )∆ que é formado coeficientes das incógnitas

pelos

2ª) Calculam-se os determinantes das incógnitas ( )zyx ∆∆∆ ,,

2132

11

221232

111

−−

−−−=∆ 3443426 −=+−−++−=∆⇒

2132

12

221232

112−−−=∆x 38434212 −=+−++−−=∆x⇒

211222

121

−−=∆y 6282244 =+−+++=∆y⇒

9426823121232211

−=−−−+−−=∆⇒−

−=∆ zz

Então, teremos: x = 133=

−− , y = 2

36

−=−

z = 339=

−− ( ) ( ) =+−+=++⇒ 222222 321zyx

1 + 4 + 9 = 14 RESPOSTA: A

22) Para que o sistema de equações seja incompatível, n deve ser

=−+=+−=−+

023022523

nzyxzyxzyx

a) igual a zero b) diferente de zero c) igual a 2 d) diferente de 5 e) igual a 5

SOLUÇÃO REGRA: Sistema incompatível ⇒ determinante ( )∆ igual a zero

0046681802312

31

23212231

=⇒=−++−+⇒=−−

−−

nnnn

RESPOSTA: A 23) Para que o sistema abaixo seja compatível e determinado, m deverá ser

=+=++

=−+

154822

4

myxmzyx

zyx

a) b) –2 e 4 c) ℜ { }4,2−−ℜ d) { }2,4−−ℜ e)ℜ ∗

SOLUÇÃO REGRA: Sistema compatível e determinado ⇒ Determinante (∆ ) 0≠

0422

111

mm−

4..10.2.1 + m22 −⇒ mm

Aplicando-se a Regra de Sarrus teremos:

Usando a fórmula de obteremos: m

0≠

−+8 ≠−( ) ( ) 0820824010.2.14.2.1.2.1 2 ≠++−⇒≠−+−⇒−−−− mmmmmm

0 4.. ≠mm

Baskara ≠ e m 2−≠ RESPOSTA: C 24) O sistema x - y = 2 2x +my=4 terá uma única solução a) somente para m = -2 b) somente para m = 4 c) para qualquer m real d) somente para m = 0 e) para qualquer m 2−≠

SOLUÇÃO REGRA: Sistema com uma única solução refere-se a um sistema possível e determinado 0det ≠⇒

20202

11−≠⇒≠+⇒≠

−mm

m

RESPOSTA: E 25) Dado o sistema de equações lineares

−=−−=+−=++

11

zyxzyxzyxα

β

com ℜ∈βα , , então, a) Se ,1−≠α o sistema é possível e determinado b) Se 1−=α e 1≠β , o sistema é possível e determinado c) Se ,1−≠α o sistema é impossível d) Se 1−≠α e ,1=β o sistema é possível e indeterminado e) Se 1−=α e ,1=β o sistema é possível e determinado

SOLUÇÃO REGRA: Sistema possível e determinado ⇒ determinante diferente de zero ( 0≠∆ )

1221111

11

11111

111−≠⇒−≠⇒

−−

−−− ααα

RESPOSTA: A 26) O sistema será indeterminado se m for igual a

=+=+

1591062

ymxyx

a) –2 b) 0 c) 2 d) 3 e) 6

SOLUÇÃO REGRA: Sistema indeterminado determinante igual a zero ⇒ ( )0=∆

06180962

=−⇒= mm

3186 =⇒= mm⇒

RESPOSTA: D 27) As ternas ordenadas ( ) e são soluções distintas do sistema 111 ,, zyx ( 222 ,, zyx )

=++−=++=++

000

zyxbzyaxbzayx

Então, o valor absoluto de a é a) a b b) a c) b d) 1 e) 0

SOLUÇÃO O enunciado nos dá um sistema homogêneo (termos independentes todos nulos). Tendo mais de uma solução estamos diante de um sistema indeterminado, logo , o determinante principal é nulo.

1101010111

11

222 ±=⇒=⇒=−⇒=−−++−⇒=−

aaababababbaba

Logo 1=a

RESPOSTA: D 28) A condição necessária e suficiente para que o sistema linear sobre

=−=−

ℜ243

163yaxyx

não tenha solução é que seja

a) b) c) 9≥a 9≤a 9φa d) 9≠a e) 9=a

SOLUÇÃO REGRA: Sistema sem solução ⇒ determinante ( )0=∆

9090313

=⇒=+−⇒=−−

aaa

RESPOSTA: E 29) O conjunto solução do sistema sobre

=++=++

ℜ432

62zyxzyx

é

a) θ b) c) ({ 1,0,7 − )} ( ) ( )( ){ }1,1,91,1,6,1,0,7 −−− d) e) ℜ ( ){ }ℜ∈−− ttt /1,,27

SOLUÇÃO Montamos um sistema de equações no qual multiplicamos a 2ª equação por (-1)

(

−=++=++

143262

zyxzyx

)

−=−−−=++

43262zyx

zyx 122 −=⇒=− zz⇒ Substituindo-se o valor de z na 1ª equação, teremos:

x + 2y + z = 6 ⇒ x + 2y – 1 = 6 x = 6 + 1 – 2y ⇒ x = 7 – 2y. Logo, teremos: { } ou

⇒( ) ℜ∈−− yyy /1,,27 ( ){ }ℜ∈−− t/tt 1,,27

RESPOSTA: E

30) O sistema sobre ℜ em x, y tem a única solução

=+=+12

yaxbyax ( )1,0 se e somente se

a) a = 0 e b = 2

b) a ≠ e b = 2 0c) a ≠ 0 e b 1 ≠d) a = 0 ou b = 1 e) b = 2

SOLUÇÃO REGRA: Uma única solução ⇒ Determinante diferente de zero ( )0≠∆

( ) 001001

≠⇒≠−⇒≠−⇒≠ abaabaaba

Solução ( ; substituindo em teremos: a . 0 + b . 1 = 2)1,0 2=+ byax 2=⇒ bRESPOSTA: B 31) O conjunto solução do sistema

=−−=+−=++

023023032

zyxzyxzyx

é

a) ( ){ }1,1,1 −b) constituído apenas pela solução nula c) vazio d) finito, mas constituído por mais de uma solução e) infinito

SOLUÇÃO REGRA: Todos os elementos nulos após a igualdade Sistema homogêneo ⇒Discussão: o sistema admite infinitas soluções 0=∆ ⇒ ⇒o sistema admite uma única solução 0≠∆

( ) 0181866627183123

12

231123312

=+−=∆⇒−−−−−+=∆⇒−−

−−−=∆

RESPOSTA: E

32) O sistema sobre ℜ terá solução apenas se o valor de b for igual a

−=+−−=−−

−=+−

111142

132

zyxbzyx

zyx

a) 6 b) 4 c) 1 d) –11 e) –12

SOLUÇÃO REGRA: Para que o sistema tenha solução 0⇒ ;0;0;0 =∆=∆=∆=∆ zyx Para o calculo de b fazemos:

( ) 4401004010024331222110411121

1141111

321=⇒=⇒=−⇒=−−−−−⇒=

−−−−−

−−−−

−−=∆ bbbbbbbx

RESPOSTA: B

33) Suponha que o sistema linear onde x e y são variáveis e a, b, c, d, e, f são números reais

fixos, admita diferentes soluções. Considere as afirmativas

=+=+feydxcbyax

I. 0=edba

II. 0=fdca

III 0≠efbc

Quais estão corretas? a) Apenas I b) Apenas I e II c) Apenas I e III d) Apenas II e III e) I, II e III

SOLUÇÃO

REGRAS Diferentes soluções ⇒ Sistema Possível e Indeterminado, logo:

⇒≠eb

da Sistema Possível e Determinado (uma única solução)

⇒==fc

eb

da Sistema Possível e Indeterminado ( várias soluções)

fc

eb

da

≠= ⇒ Sistema Impossível ( não tem solução), logo teremos:

I) 0=edba

verdadeiro

II) 0=fdca

verdadeiro

III) 0≠efbc

RESPOSTA: B

34) Se a = 4π , o valor do determinante

aa

aa

aaaa

aa

sen11cos

cossen

cossen1sen1cos

1cossen Com a aplicação da regra de , ficaremos com: Sarrus

a) 21 -

22 b) zero c)

22

21+ d) –2+2 2 e) 4 - 4 2

SOLUÇÃO

( ) ( 33 45sen45cos145cos.45sen.3 °−°−−°°=∆ ) Obs.: sen45°=cos45°=22

22

21

42

421

23

22

221

22.

22.3

33

−=−−−=∆⇒

−

−−=∆

RESPOSTA: A

35) O valor do determinante

1210101201211312 −

é

a) 2 b) 0 c) –2 d) –20 e) –10

SOLUÇÃO REGRA: Determinante de ordem 4 usamos o TEOREMA DE LAPLACE, selecionando-se inicialmente a fila que apresente a maior quantidade de zeros. Selecionando-se a 3ª coluna, teremos:

( ) ( ) ( ) ( )2.20.01.13.3 cofcofcofcof +++=∆

Cálculo do de 3 cofator ( ) ( ) ( ) ( ) 44.14.1110112021

.1 431 −=−⇒−−=− +⇒

Cálculo do de 1 cofator ( ) ( ) ( ) 44.14.1110112112

.1 532 −=−⇒−=−

− +⇒

Cálculo do de 0 ⇒ cofator 0

Cálculo do de 2 cofator ( ) ( ) ( ) 22.12.1112021112

.1 734 −=−⇒−=−

− +⇒

Conclusão: ( ) ( ) ( ) ( ) 202.20.04.14.3 −=∆⇒−++−+−=∆ cof RESPOSTA: D

36) Dada a desigualdade 1231

2111021

−≤

x

x , a alternativa correta é

a) x ∈ b) c) x [ 4,2 ] }{ 42/ ≤≤−ℜ∈ xx 2−≤ ou x ≥ d) x ≤ e) x 4 4 2−≥

SOLUÇÃO REGRAS: Determinante de 3ª ordem Regra de ⇒ Sarrus Determinante de 2ª ordem ⇒ Diagonal Principal menos Diagonal Secundária x 0 . Resolvendo-se a inequação do 2º grau teremos: 8261221 22 ≤−−⇒+≤−−+ xxx[ 4,2− ] ou -2 4≤≤ xRESPOSTA: B 37) Sendo A = [ ]ija uma matriz quadrada de ordem 2 e a , então o determinante da matriz A é igual

a jiij −= 2

a) –3 b) –1 c) 2 d) 3 e) 4

SOLUÇÃO

Construindo-se a matriz A, teremos: A = ⇒ , a12

2221

1211

aaaa

011211 =−=a 1212 −=−=

a 3 , a Logo a matriz A será representada 12221 =−= 2222

22 =−= por A =

−2310

⇒

( ) 33.12.02310

det =−−=−

=A

RESPOSTA: D

38) Sejam a, b e c as raízes do polinômio P(x) = 1

10312

−xxxxxx

, então a é igual a 222 cb ++

a) 425 b)

916 c)

416 d)

925 e)

35

SOLUÇÃO

Determinante de 3ª ordem ⇒ Regra de Sarrus

xxxxx

xxxxxx

032

110312

− ⇒ P(x) = ( ) ( ) xxxxxxxxxxx .1.21.3..0.11.3.1.1.1.0.2 −−−−++−

05305 2323 =−⇒=+ xxxx

⇒

. Temos uma equação incompleta do 2º grau 22322 333 xxxx +−+ 2x− 3−⇒

que resolvida nos dará: raízes 0, 0 e ( ) 053.2 =−xx35

Substituindo-se no enunciado, teremos: a925

3500

222222 =

++=++ cb

RESPOSTA: D

39) Em , a solução da equação ℜ 4log8213121

2

2−=−−−xx

, é

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

SOLUÇÃO REGRAS: Determinante de 3ª ordem: Regra de Sarrus Logaritmo: propriedades operatórias -8-3x-x+6x+2x+2=8-log ⇒ 4x – 6 = 8 – 2 . 4x = 14 – 2 . 1 4x = 12 ⇒ x = 3 2

2 2 2log2 ⇒ ⇒RESPOSTA: B

40) Calculando-se o determinante da matriz 1log

log1b

a

a

b=∆ teremos:

a) b) c) 1=∆ 0=∆ 1−=∆ d) 2=∆ e) 3=∆

SOLUÇÃO REGRA: Determinante de 2ª ordem ⇒ diagonal principal – diagonal secundária

011log.log1 =−=∆⇒−=∆ ab ba RESPOSTA: B 43) O valor do determinante associado a matriz identidade é: a) 1 b) 0 c) 3 d) –1 e) –3

SOLUÇÃO Matriz Identidade: A diagonal principal é formada através de elementos unitários e os demais elementos são todos nulos

I 1100010001

3 == Propriedade: elementos situados acima e abaixo da diagonal principal nulos resultado

igual ao produto dos elementos da diagonal principal

⇒

RESPOSTA: A

44) Dada a matriz A = com o valor de x real, a afirmativa correta é:

2311000

xx

a) o determinante de A é positivo se, e somente se, -1 < x < 0

b) o determinante de A é negativo se, e somente se, 223

<< x

c) o determinante de A é negativo se, e somente se, 0 < x < 23

d) o determinante de A é zero se x = 1 e) o determinante de A é sempre deferente de zero, para todo x real

SOLUÇÃO REGRA: Determinante de 3ª ordem ⇒Regra de Sarrus

xxxx

xx

3231

00

2311000

2 −⇒ (inequação do II grau)

REGRAS: Verificar o sinal de a (+)

Calcular as raízes: ( ) 032032 2 =−⇒=− xxxx 01 =⇒ x e x23

2=

2x para 032 <− x23

<< x0

RESPOSTA: C 45) Considere uma matriz A . Se det44x 6−=A e ( ) 972det −= xA , então o valor de x é a) –2 b) –1 c) 0 d) 1 e) 2

SOLUÇÃO PROPRIEDADE: Se uma matriz quadrada M de ordem n for multiplicada por um valor real K, então seu determinante fica multiplicado por k , ou seja: n ( ) MKMK n det.. =det ( ) ( )6.2det.22 44 −⇒= AAdet⇒

16. (-6) = -96 ⇒ ( ) 966 −=− Pelo enunciado, temos: det( ) 196979796972 =−=⇒−=−⇒−= xxxA RESPOSTA: D

46) Sabendo-se que o determinante da matriz inversa de A = é igual a

111

C21 , o valor de C é:

a) –1 b) 0 c) 21 d) 1 e) 2

SOLUÇÃO

REGRA: Para que matriz quadrada admita inversa, seu determinante deve ser diferente de zero 0det ≠⇒ ou seja, 1 – C

A0≠

21det 1 =−A 121

21

11

−=⇒=−⇒=−

CCC

⇒

RESPOSTA: A 47) Sejam A e B matrizes quadradas de ordem 2.

Se det e , então podemos afirmar que é 5=A

−=

3412

.BA Bdet

a) –5 b) –2 c) 2 d) 5 e) 10

SOLUÇÃO Pelo teorema de , temos: Binet

( )5

10det5det101046detdetdet =⇒=⇒=+=⇒= BBxABAxB det BAx =2

RESPOSTA: C 48) Se o sistema correspondente à equação matricial

=

yx

a.

333

4b

é um sistema indeterminado, então a . b é igual a

a) 6 b) 12 c) 18 d) 24 e) 36

SOLUÇÃO

Fazendo-se a multiplicação e montando-se o sistema de equações, teremos:

=+=+

4333ayx

byx Regra: Sistema indeterminado determinante igual a zero ⇒ ⇒ 0930

333

=−⇒= aa

3=a93 ⇒=⇒ a ⇒ 123043

3=⇒= b

b 4=⇒ b Logo: a . b = 12

RESPOSTA: B 49) O conjunto dos números reais x, que tornam a matriz

( ) ( )( ) ( )

−xxxx

sencoscossen

, é inversível

a) θ b) c) { } d) { }0 1 [ ]π2,0 e) ℜ

SOLUÇÃO

REGRA: Para que a matriz seja , seu determinante deve ser diferente de zero inversível

0cossen0sencoscossen 22 ≠+⇒≠

−xx

xxxx

. Ora, para qualquer x ℜ∈ , a relação obtida é igual a 1, portanto,

sempre diferente de zero, o que nos permite concluir que qualquer x ℜ∈ torna a matriz inversível RESPOSTA: E

50) Se ,211=

ba então

221313 ++ ba

vale

a) 3 b) 4 c) 6 d) 8 e) 12

SOLUÇÃO REGRA: Determinante de 2ª ordem ⇒ Diagonal principal menos diagonal secundária Do 1º determinante obtemos: a - b = 2 a = b + 2 ⇒Substituindo no 2º determinante teremos: ( )

221373

2213123 ++=

+++ bbbb ⇒ 1226146 =∆⇒−−+=∆ bb

RESPOSTA: E 51) A soma dos quadrados das raízes da equação

0

09224370050026

=

x

x

é

a) 0 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8

SOLUÇÃO REGRA: Determinante de 4ª ordem ⇒ Teorema de : Selecionamos a fila com a maior quantidade de zeros e após somamos os dos elementos , multiplicando-se cada elemento pelo seu .

Laplaceselecionadcofatores os

cofatorNo determinante fornecido selecionamos a 2ª linha, sendo que aplicamos o teorema de no elemento a

Laplace.22

( ) ( ) 012.52

205.1

0224702

3222 =−=− ++

xx

x

x ⇒ ( )( ) 240104 22 ±=⇒=⇒=−− xxx

x1 x Logo: 4 + 4 = 8 42 2 =⇒−= x 42 22 =⇒= x

RESPOSTA: E

52) A matriz A =

20002000x

é tal que ( ) .24

xA =det O valor de x é

a) 321 b)

21 c)

51 d) 5 e) 32

SOLUÇÃO

REGRA: Determinante de 3ª ordem ⇒ Regra de Sarrus

2200200

20002000

xxx

⇒ ( )21

321

321

64224.16222 5544

=⇒=⇒==⇒=⇒= xxxx

xx

x⇒

RESPOSTA: B