Apostila Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares

V – MATRIZES E DETERMINANTES

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Onde usar os conhecimentOnde usar os conhecimentOnde usar os conhecimentOnde usar os conhecimentOnde usar os conhecimentososososossobrsobrsobrsobrsobre Matrizee Matrizee Matrizee Matrizee Matrizes e Dets e Dets e Dets e Dets e Deterererererminantminantminantminantminanteeeees?s?s?s?s?

Algumas vezes, para indicar com clarezadeterminadas situações, é necessário formar umgrupo ordenado de números dispostos em linhas ecolunas, ou seja, tabelas de números reais, que sãochamadas de Matrizes.

Essa prática é muito usada em nossa vida, daí aimportância desse aprendizado.

. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

As tabelas que encontramos nos jornais e revistas sãoexemplos de Matrizes. Observe:

População PopulaçãoUrbana (%) Rural (%)

1960 45% 55%

1970 56% 44%

1980 64% 36%

1990 72% 28%

Procurando dados na tabela dada, na 3a linha e3a coluna, teremos a porcentagem da populaçãorural no ano de 1980, que é de 36%.

Como você pode perceber, as matrizes estão maispróximas de nós do que imaginamos.

. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Manual de Matemática

268

Capítulo 1

MATRIZES

Introdução

As matrizes foram criadas no século XIX pelo matemático e astrônomoinglês Arthur Cayley.

Elas são utilizadas para resolver sistemas lineares, também tendo grandeaplicação na Física.

Quando presenciamos numa festividade um painel humano, conjuntode pessoas em que cada uma tem uma placa contendo a parte dafigura correspondente à sua posição, colocando o painel emmovimento formando imagens, podemos observar que esse painel éuma tabela de linhas e colunas, formando assim uma matriz.


269

Noção de Matriz

Uma tabela é definida por matriz quando seus números estão dispostosem linhas e colunas.

Representação:Uma matriz é representada entre parênteses ou colchetes.Exemplos:

1 0 12 0

2 4 61 1

0 1 3

− −

Nas matrizes, as linhas são colocadas de cima para baixo e as colunas daesquerda para a direita.

Genericamente, as tabelas com m linhas e n colunas são denominadasmatrizes m x n.

Tipo de uma Matriz

As matrizes são representadas por letras maiúsculas e seus elementospor letras minúsculas.

A matriz M do tipo m x n é representada por:

11 12 13 1n

21 22 23 2n

m1 m2 m3 mn m x n

a a a aa a a a

M

a a a a

=

ij m x nEm que M (a )

i e j representam a linha e a coluna que cada elemento ocupa.

=


270

Exemplos:• a31 é o elemento da 3ª linha e da 1ª coluna.• a24 é o elemento da 2ª linha e da 4ª coluna.

• A matriz 2x2

2 4A

6 8

=

é do tipo 2 x 2.

• A matriz

3x2

0 1B 3 2

1 4

− =

é do tipo 3 x 2.

• A matriz ( )1x3D 1 3 4= do tipo 1 x 3.

Essa matriz é denominada matriz linha, pois apresenta uma única linha.

• A matriz

3x1

0E 4

6

=

é do tipo 3 x 1.

Essa matriz é denominada matriz coluna, pois apresenta uma única coluna.

• A matriz

3x3

0 0 0N 0 0 0

0 0 0

=

é do tipo 3 x 3.

Consideramos uma matriz nula quando todos os seus elementos foremiguais a zero.

Construção de uma Matriz

Partindo da representação genérica de uma matriz, podemos construir qual-quer matriz.

Exemplos:1) Construa a matriz A = (aij)2x3 , definida por aij = i – 2j.Solução:

A matriz do tipo 2x3 é representada por 11 12 13

21 22 23 2x3

a a aa a a


271

Como aij = i – 2j, temos:

a11 = 1 – 2 · 1 = –1 (pois i = 1 e j = 1)

a12 = 1 – 2 · 2 = –3

a13 = 1 – 2 · 3 = –5

a21 = 2 – 2 · 1 = 0

a22 = 2 – 2 · 2 = –2

a23 = 2 – 2 · 3 = –4

Assim, temos:

2x3

1 3 50 2 4

− − − − −

2) Construa a matriz C = (cij)4x2, tal que cij = 2i j( 1) , se i j

0, se i j

− − =

≠

Solução:

Assim teremos:

4x2

1 00 10 00 0

− −


272

Tipos de Matrizes

Algumas matrizes recebem nomes especiais como matriz linha, matrizcoluna e matriz nula, como já vimos.

Veja agora outras matrizes importantes.

Matriz Quadrada

Uma matriz é quadrada quando o número de linhas é igual ao número decolunas. Assim, denominamos a matriz quadrada de ordem n.

Exemplos:

a) 2x2

4 30 2

−

Leitura: matriz quadrada de ordem 2.

UTILIZANDO A MATEMÁTICA NOS ESPORTES

É comum as matrizes estarem presentes nos jornais e na televisão.Um exemplo comum são as tabelas de classificação de um

campeonato de futebol.Observe:

J V E D PG PP

Time X 5 3 1 0 6 3

Time Y 5 2 2 1 5 4

Time Z 5 1 0 4 3 6

Em que,

J: jogos E: empates PG: pontos ganhos

V: vitórias D: derrotas PP: pontos perdidos


273

b) (1)1x1 Leitura: matriz quadrada de ordem 1.

c)

3x3

4 3 15 2 03 1 2

Leitura: matriz quadrada de ordem 3.

Diagonal Principal de uma Matriz

São os elementos onde i = j, ou seja:{a11, a22, a33, ..., an, n}

Exemplos:

Diagonal Secundária de uma Matriz

São elementos onde i + j = n + 1.Exemplos:

Matriz Diagonal

Uma matriz é diagonal quando os elementos da diagonal principal são quais-quer e os elementos que não são da diagonal principal são iguais a 0.

Exemplos:


274

Matriz Identidade

Chama-se matriz identidade a matriz em que os elementos da diagonalprincipal são todos iguais a 1 e os demais são iguais a 0.

Representamos a matriz identidade por In onde n indica a ordem da matriz;

Exemplos:

a) I2 = 1 00 1

b) I3 =

1 0 00 1 00 0 1

Matriz Oposta ou Simétrica

A matriz oposta é obtida a partir de uma matriz conhecida, trocando o sinalde todos os seus elementos.

Sendo A uma matriz, a oposta será – A.

Exemplo:

A = 3 10 42 5

− −

– A = 3 1

0 42 5

− − −

Matriz Transposta

Sendo uma matriz B de ordem m x n, denomina-se matriz transposta de B,indicada por Bt, a matriz n x m, em que as linhas e as colunas são trocadasordenadamente.

Exemplos:

a) B =

3x2

2 10 46 8

−

Bt =2x3

2 0 61 4 8

−

b) C =

3x1

321

Ct = ( )1x33 2 1


275

Igualdade de MatrizesDuas matrizes do mesmo tipo são iguais se cada elemento da primeira

matriz for correspondente à segunda matriz.Exemplos:

1) Dadas as matrizes A = 3 1b 4

−

e B = a c5 4

−

, se A=B,

calcule a, b e c.Solução:

Se A = B, temos: 3 1b 4

−

= a c5 4

−

a = 3 b = 5 e c = 1 (todos os elementos correspondentes são iguais).

2) Determine os valores de x e y sabendo que:x y 3 9 3

5 x y 5 1+

= −

Solução:Igualando os elementos correspondentes, temos:

x y 9x y 1

+ = − =Resolvendo o sistema:

x y+ 9

x y

=

− 1

=2x = 10

x =102

x = 5

Substituindo x = 5 na 1ª equação:

x + y = 95 + y = 9

y = 9 – 5y = 4


276

Operações com Matrizes

Soma e Subtração

Uma matriz é obtida pela soma ou pela diferença de matrizes do mesmo tipo,somando ou subtraindo elementos correspondentes.

Exemplos:

a)1 0 24 5 3

− −

+ 0 4 38 3 2

−

= 1 0 0 4 2 34 8 5 3 3 2+ + −

+ − + − +

= 1 4 1

12 2 1−

− −

b)2 3 7 24 6 5 1

− −

2 3 7 2 5 14 6 5 1 1 7

− − − + = − − − − −

Obs.:Neste exemplo, definimos A – B como a soma de A com a oposta de B; isto é: A – B = A + (– B).

c) Determine a matriz X tal que1 0 3 4

X 4 1 5 103 2 2 1

− + − = −

Solução:A matriz X é do tipo 3x2.Descobrimos o valor da matriz X isolando-a como uma equação:

3 4 1 0X 5 10 4 1

2 1 3 2

− = − − −

3 4 1 0X 5 10 4 1

2 1 3 2

− − = + − − − −

2 4X 1 11

5 1

− = − −


277

Obs.:Na soma de matrizes são válidas as propriedades:

A + B = B + A (Propriedade Comutativa)

A + (B + C) = (A + B) + C (Propriedade Associativa)

A+ (–A) = 0 (Elemento Simétrico)

A + 0 = A (Elemento Neutro)

Multiplicação de um Número Real por uma Matriz

Sendo um número real K e uma matriz A, o produto de K por A será obtidopela multiplicação de K por cada elemento da matriz A.

Exemplos:

1) Dadas as matrizes A = 2 10 3

−

, B = 3 42 1

−

e C = 6 12 3

,

calcule:a) 2A – 3B +Cb) 3At – 2Ct

Solução:

a) 2A – 3B +C =2 1 3 4 6 1

2 30 3 2 1 2 3

− − + −

4 2 9 12 6 10 6 6 3 2 3

− − − + + −

1 134 12

− −

b) 3At – 2Ct =2 0 6 2

3 21 3 1 3

− −

6 0 12 43 9 2 6

− − + − − −

⇒ 6 45 3

− − −


278

2) Determine o valor de x e y na igualdade:

x 2 2 6 2 203

5 y 1 3y 8 10−

+ =

Solução:

x 6 2 18 2 205 3 y 9y 8 10

− + = + +

Igualando os termos correspondentes:

x – 6 = 2 ⇒ x = 8

10y = 10 ⇒ y = 1

3) Resolva o sistema matricial:

1 0 4 3X Y

3 1 1 6

5 2 4 6X Y

3 1 2 0

− + = + −

− − = − −

Solução:

5 3X Y

4 5

9 4X Y

1 1

− + =

− − − = −

Adicionando membro a membro as equações, temos:

5 3 9 42X

4 5 1 1− − −

= + − ⇒

4 72X

5 4− −

=

⇒ 4 71

X5 42

− − =

72

2X5

22

− − =


279

Substituindo

72

2X5

22

− − =

na 1ª equação:

5 3X Y

4 5−

+ =

5 3Y X

4 5−

= −

725 3 2Y

4 5 52

2

− − − = −

⇒

17

2Y3

32

=

Multiplicação de Matrizes

Se multiplicarmos duas matrizes A e B, o produto só será possível se onúmero de colunas da matriz A for igual ao número de linhas da matriz B.

Amxp · Bpxn = Cmxn

Exemplos:

1) É possível efetuar a multiplicação de uma matriz M = (mij)3x2 eN = (nij)2x4?

É possível multiplicar M · N, pois o número de colunas da matriz M é igualao número de linhas da matriz N.

M3x2 · N2x4 = A3x4

2) Calcule o produto da matriz A =

2 10 31 1

− −

e B =0 3 42 1 3

−


280

Solução:

2 5 56 3 92 2 1

− − − −

3) Resolva a equação matricial:

1 1 x y 1 02 1 z t 1 3

− ⋅ = − −

Solução:Inicialmente calcula-se o produto das matrizes do 1º membro:

x z y t 1 02x z 2y t 1 3

− − = − − −

Logo:

x z 12x z 1

− = − = −

y t 02y t 3

− = − =

Resolvendo os sistemas, obtemos:x = –2, z = –3, y = 3 e t = 3.

Propriedades da Multiplicação

No produto de matrizes, são válidas as seguintes propriedades, para quais-quer matrizes:

A · (B · C) = (A · B) · C (Associativa)A · (B + C) = A · B + A · C (Distributiva à direita)(B + C) · A = B · A + C · A (Distributiva à esquerda)A · In = In · A = A (onde In é a matriz identidade)


281

Obs.:No produto de matrizes não é válida a propriedade comutativa, existem matrizes A e B taisque A· B ¹ B · A. Se ocorrer AB = BA, dizemos que as matrizes A e B comutam.

Potenciação

Dada uma matriz quadrada A, então:An = A · A · A · ..... · A

n vezes

Exemplo:

Calcule A2 e A3, sabendo que A = 1 12 0

−

Solução:

2 1 1 1 1 1 1 ( 1) 2 1 ( 1) ( 1) 0A A A

2 0 2 0 2 1 0 2 2 ( 1) 0− − ⋅ + − ⋅ ⋅ − + − ⋅

= ⋅ = ⋅ = = ⋅ + ⋅ ⋅ − + 1 1

2 2− −

− 3 2 1 1 1 1

A A A2 2 2 0− − −

= ⋅ = ⋅ = −

( 1) 2 ( 1) 2 ( 1) ( 1) ( 1) 0 3 12 1 ( 2) 2 2 ( 1) ( 2) 0 2 2− ⋅ + − ⋅ − ⋅ − + − ⋅ −

= ⋅ + − ⋅ ⋅ − + − ⋅ − −

Matriz Inversa

Considerando uma matriz quadrada A, de ordem n, define-se matriz inver-sa da matriz quadrada A, a matriz A–1, tal que:

A · A–1 = In = A–1 · A

Exemplos:

1) Calcule A · B e B · A, sabendo que A = 4 31 1

e B = 1 31 4

− −

.

Solução:4 3 1 3 4 1 3 ( 1) 4 ( 3) 3 4

A B1 1 1 4 1 1 1 ( 1) 1 ( 3) 1 4

− ⋅ + ⋅ − ⋅ − + ⋅ ⋅ = ⋅ = = − ⋅ + ⋅ − ⋅ − + ⋅

1 00 1


282

1 3 4 3 1 4 ( 3) 1 1 3 ( 3) 1B A

1 4 1 1 ( 1) 4 4 1 ( 1) 3 4 1− ⋅ + − ⋅ ⋅ + − ⋅

⋅ = ⋅ = = − − ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅

1 00 1

Como A · B = I2 e B · A = I2, logo A · B = B · A = I2. Assim, dizemos queA e B são matrizes inversas.

2) Determine a matriz inversa de A = 2 51 3

.

Solução:

Fazendo A–1 = x yz t

e aplicando a relação A · A–1 = I2, obtemos:

2 5 x y 1 01 3 z t 0 1

⋅ =

2x 5z 2y 5t 1 0x 3z y 3t 0 1

+ + = + +

Pela igualdade de matrizes, obtemos os sistemas:

2x 5z 1x 3z 0

+ = + =

e2y 5t 0y 3t 1

+ = + =

Resolvendo os sistemas, obtemos:

x = 3, y = – 5, z = –1 e t = 2

Logo:

1 3 5A

1 2− −

= − Para verificar se o resultado está certo, efetuamos A . A–1 e devemos obter

a identidade I2.

2 5 3 5 1 01 3 1 2 0 1

− ⋅ = −

6 5 ( 1) 2 ( 5) 5 2 1 01 3 3 ( 1) 1 ( 5) 3 (2) 0 1

+ ⋅ − ⋅ − + ⋅ = ⋅ + ⋅ − ⋅ − + ⋅

Neste caso, A e A–1 são matrizes inversas.


283

Propriedades da Matriz Inversa

São válidas as seguintes propriedades:a) (A–1)–1 = Ab) (A · B)–1 = B–1 · A–1

c) (At)–1 = (A–1)t

Exemplo:

Sendo A = 1 01 1

, B = 2 10 1

e X, matrizes inversíveis de ordem n.

Determine X, sabendo que (X · A)–1 = B.

Solução:Aplicando a propriedade da matriz inversa, obtemos:(X · A)–1 = B ⇒ A–1 · X–1 = Bem que X = (A . B)–1

1 0 2 1X

1 1 0 1

= ⋅

12 1

X2 2

−

=

Calculando a matriz inversa de 2 12 2

Obtemos:2 1 a b 1 02 2 c d 0 1

⋅ =

Igualando as matrizes, obtemos os sistemas.

2a c 12a 2c 0

+ = + =

e 2b d 02b 2d 1

+ = + =

Resolvendo os sistemas, obtemos:

a = 1, b = –12

, c = –1 e d = 1

Portanto X = 1

12

1 1

− −


284

Capítulo 2

DETERMINANTES

A teoria dos determinantes surgiu quase simultaneamente na Alemanha eno Japão.

Ela foi desenvolvida por dois matemáticos, Leibniz (1646-1716) e SekiShinsuke Kowa (1642-1708), ao solucionarem um problema de elimina-ções necessárias à resolução de um sistema de n equações lineares com nincógnitas.

Depois vieram, em ordem cronológica, os trabalhos de Cramer, Bezout,Laplace, Vandermonde, Lagrange, Cauchy e Jacobi.

Dada uma matriz quadrada de ordem n, podemos associar um único nú-mero real a essa matriz, que chamaremos determinante dessa matriz.

Indicação:

Determinante da matriz A: det Adet Adet Adet Adet A.....

Determinante de uma Matriz Quadrada de 1ª Ordem

det A = |a11| = a11

Em que o determinante de A é o próprio elemento da matriz.

Exemplos:

det A = |–3| = – 3

det B = 1 12 2

=


Se 11 12

21 22

a aA

a a

=

, então:

det A = a11 · a22 – a21 · a12

O determinante da matriz A é obtido multiplicando os elementos dadiagonal principal subtraído da multiplicação dos elementos da diagonalsecundária.


285

Exemplos:

a) det A = 1 23 1−

= 1 · (– 1) – 3 · 2 = – 7

b) det M = 0 32 4

−= 0 · 4 – 2 (– 3) = 6


Para calcular o determinante de uma matriz de 3ª ordem, podemos aplicarvárias regras.

Regra de Sarrus

Considerando a matriz quadrada de 3ª ordem:

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a aA a a a

a a a

=

Repete-se, à direita, a 1ª e a 2ª coluna:

Det A = a11 · a22 · a33 + a12 · a23 · a31 + a13 · a21 · a32 – a13 · a22 · a31 –a11 · a23 · a32 – a12 · a21 · a33

Exemplo:

Calcule o determinante da matriz M, sendo;

0 1 2M 3 4 2

1 3 4

− = −


286

Solução:Repetindo a 1ª e a 2ª coluna, temos:

det M = 0 · 4 · 4 + (– 1) · (– 2) · 1 + 2 · 3 · 3 – 2 · 4 · 1 –0 · (– 2) · 3 – (– 1) · 3 · 4 =

det M = 0 + 2 + 18 – 8 – 0 + 12det M = 24

Teorema de Laplace

Para calcular um determinante de 3ª ordem podemos escolher uma linhaou uma coluna. Para isso definimos menor complementar e cofator.Menor Complementar

Dada uma matriz A, de ordem n ≥ 2, e aij um elemento de A, definimosmenor complementar de aij o determinante Dij obtido ao eliminarmos a linha ea coluna em que esse elemento se encontra.

Exemplo:

Sendo

2 1 3A 5 4 1

0 3 2

− = −

• o menor complementar de a11 é dado por:

D11 = 4 13 2−

D11 = – 8 – 3D11 = – 11

• o menor complementar de a23 é dado por:

D23 = 2 10 3

−

D23 = 6 – 0D23 = 6


287

Cofator

Chamamos de cofator de um elemento aij (representado por Aij) o produtode (–1)i+j pelo menor complementar.

Aij = (–1)i+j · Dij

Exemplo:

Calcule os cofatores de a21 e a33 da matriz A = 6 0 13 4 25 1 3

− − −

.

Solução:

Eliminando a linha e a coluna em que a21 se encontra:

A21 = (–1)2+1 · 0 11 3

−−

A21 = (–1)3 · (0 + 1)A21 = –1

Eliminando a linha e a coluna em que a33 se encontra:

A33 = (–1)3+3 · 6 03 4

A33 = (–1)6 · (24 – 0)A33 = 24

Aplicação do Teorema de Laplace

O determinante de uma matriz é obtido pela soma dos elementos de umade suas linhas ou colunas pelos seus respectivos cofatores.

Exemplo:

1) Calcule o determinante da seguinte matriz, utilizando o teorema deLaplace.

A =

3 1 02 4 13 5 3

− − −


288

Solução:Escolhemos, por exemplo, a primeira linha e calculamos os cofatores de

seus elementos.

A11 = (–1)1+1 · 4 15 3− −

A11 = (–1)2 · (– 12 + 5)A11 = –7

A12 = (–1)1+2 · 2 13 3−

A12 = (–1)3 · (– 6 – 3)A12 = 9

A13 = (–1)1+3 · 2 43 5−

A13 = (–1)4 · (– 10 – 12)A13 = –22

Pelo teorema temos:det A = a11 · A11 + a12 · A12 + a13 · A13

det A = 3 · (– 7) + (– 1) · 9 + 0 (– 22)det A = – 21 – 9det A = – 30

Obs.:É conveniente na aplicação do teorema de Laplace escolhermos uma linha ou uma colunaque tenha maior número de zeros, pois, como no exemplo anterior, não era necessáriocalcular o cofator A13.

Na aplicação da fórmula, o resultado a13 · A13 = 0. Podemos aplicar o teorema de Laplacenos determinantes de uma matriz quadrada de ordem maior ou igual a 3.

Exemplo:Calcule o determinante da matriz

B =

1 1 2 00 4 3 10 1 2 30 4 5 1

− − −


289

Solução:É conveniente escolher a 1ª coluna, pois apresenta maior número de ze-

ros. Calculando o cofator A11:

A11 = (–1)1+1 ·

4 3 11 2 34 5 1

−

−

Calculando o determinante pela regra de Sarrus, obtemos:

det = – 8 + 36 – 5 + 8 – 60 + 3det = – 26

Portanto,det A = a11 · A11 A11 = (– 1)2 · (– 26)det A = 1 · (– 26) A11 = – 26det A = – 26

Propriedades dos Determinantes

1) Um determinante é nulo quando:

• Tem uma linha ou coluna igual a zero.

Exemplos:

a) 2

1 3L0 0

−⇒ = 0, pois L2 é uma linha de zeros.

b)

2

1 0 12 0 33 0 2

C

−

⇑

=0, pois C2 é uma coluna de zeros.

• Tem duas linhas ou colunas iguais.


290

Exemplos:

a) 1

3

4 3 1 L1 3 24 3 1 L

⇒

⇒= 0, pois L1 = L3

b)

42 CC

1 0 2 00 3 4 31 2 5 2

2 4 3 4

⇓ ⇓

−= 0, pois C2 = C4

• Tem duas linhas ou colunas proporcionais.Exemplos:

a) 1 0 33 0 9

1 8 2

−− = 0, pois L2 = 3 · L1

b)

5 0 101 2 2

2 3 4− − = 0, pois C3 = 2 · C1

• Tem uma linha (ou coluna) que é igual a uma combinação linear dasdemais linhas (ou colunas).

Exemplos:

a) 2 1 33 4 15 3 4

−= 0, pois L1 + L2 = L3

b) 1 3 21 1 1

0 4 2− − − = 0, pois C3 = 1 2C C

2+


291

2) Um determinante muda de sinal quando trocamos de lugar, entre si,duas linhas ou duas colunas da matriz.

Exemplo:

0 3 12 4 3 411 2 4

−= −

−

Trocando a primeira coluna com a terceira, vem:

1 3 03 4 2 414 2 1

−=

−

3) Quando se multiplica (ou se divide) uma linha ou uma coluna de umdeterminante por um número, o novo determinante fica multiplicado (ou divi-dido) por esse número.

Exemplo:

1 0 13 1 0 64 0 2

−=

Multiplicando a 2ª linha por 2, obtemos:

1 0 16 2 0 6 2 124 0 2

−= ⋅ =

4) Teorema de Binet

Sendo A e B duas matrizes quadradas, de mesma ordem, então det (A · B) =(det A) · (det B).

Dadas as matrizes A =1 23 1

−

e B =4 35 2


292

det (A · B) = (det A) · (det B)

det A =1 23 1−

= 1 + 6 = 7

det B = 4 35 2

= 8 – 15 = – 7

det (A · B) = 7 · (– 7)det (A · B) = – 49

5) O determinante de uma matriz que tem os elementos abaixo ou acimada diagonal principal é o produto dos elementos dessa diagonal.

Exemplos:

a) 2 3

0 5= 2 · 5 = 10

b)

2 4 3

0 1 2

0 0 3

− = 2 · (– 1) · 3 = – 6

c)

1 0 0 0

3 4 0 0

2 1 4 0

3 0 3 2

− = 1 · 4 · 4 · 2 = 32

6) O determinante de uma matriz e o de sua transposta são iguais.

det (A) =2 1 30 4 11 0 3−

= 35

det (At) =2 0 11 4 03 1 3

−=35


293

7) O determinante de uma matriz quadrada de ordem n, em que todos oselementos abaixo ou acima da diagonal secundária são iguais a zero, é o

produto dos elementos dessa diagonal pelo fator ( )( )n n 1

21⋅ −

− .

Exemplos:

a)

b)

8) Se A é uma matriz quadrada com determinante diferente de zero (A é

inversível), então det A–1 = 1det A

.

Exemplo:

A = 3 1 02 1 30 5 3

−

−= – 60

Como det A ≠ 0, então det A–11 160 60

= = −−

9) Sendo A uma matriz quadrada de ordem n e k um número real, então:det (K · A) = Kn · det A

Exemplo:

Se A é uma matriz quadrada de ordem 4 e det (A) = 3, calculedet (2A).

det (K · A) = Kn · det Adet (2 · A) = 24 · 3 = 48


294

Teorema de JacobiAplicamos o teorema de Jacobi quando a uma linha (ou uma coluna) de

uma matriz adicionarmos uma combinação linear das demais linhas (ou colu-nas) e o determinante dessa matriz não se altera.

Exemplo:

Sendo M =

1 1 23 1 04 0 2

− −

det M =

1 1 23 1 04 0 2

−−

= 16

Se multiplicarmos a primeira linha por 2, e a segunda linha por 3 e adicio-narmos à terceira linha, obteremos a matriz:

N = 1 1 23 1 0

15 1 2

− −

A terceira linha de N é a combinação linear das linhas 1 e 2. Pelo teoremade Jacobi, temos:

det N = 16

Regra de Chió

Aplicamos a regra de Chió em matrizes de ordem n ≥ 2 em que pelo menosum elemento seja igual a 1.

Exemplo:

Solução:Inicialmente, isolamos a primeira linha e a primeira coluna.


295

De cada um dos elementos restantes subtraímos o produto dos elemen-tos isolados correspondente à linha e à coluna em que o elemento está re-presentado:

1 2 3 2 3 3 7 70 2 1 3 3 1 2 6

− − ⋅ − ⋅ − −=

− ⋅ − − ⋅ − −

Multiplicamos o determinante obtido por (– 1)i+j.

Como isolamos a 1ª linha e a 1ª coluna, obtemos:

(– 1)1+1 · 7 72 6

− −− −

(– 1)2 · (42 – 14) = 28

Resolução de Equações envolvendo Determinantes

Exemplos:

Determine o conjunto verdade das equações:

a) x 23 2−

= 0

Solução:

Resolvendo o determinante, obtemos:

– 2x – 6 = 0– 2x = 62x = – 6

x = 62

−

x = – 3 S = {–3}

b) 3 4 x

6 0 02 1 2

−=6

0 + 6x + 0 – 0 – 0 – 48 = 66x = 54x = 9 S = {9}


296

c)

2 0 0 0

1 0 0

3 2 3 0

4 3 2 4

− x=48

Aplicando uma das propriedades de determinantes, obtemos:Devemos multiplicar os elementos da diagonal principal e igualar a 48.2 · x · 3 · 4 = 48

24x = 48

x = 4824

x = 2 S = {2}

Obs.:Podemos obter a matriz inversa com o auxílio dos determinantes.A matriz inversa A–1 de uma matriz A existe se, e somente se, det A ≠ 0 e é dado por:

A–1 = 1det A

· adj A

Matriz Adjunta

Matriz adjunta da matriz A é a transposta da matriz dos cofatores da matriz A.adj A = (A)’

Exemplo:

Calcule, se existir, a inversa da matriz A =2 30 4

, aplicando a fórmula

A–1 = 1det A⋅

.adj A

Solução:Calculando o det A, obtemos:

Det A = 2 30 4

Det A = 8 – 0Det A = 8 ≠ 0Portanto ∃ A–1.


297

Calculando os cofatores dos elementos de A:A11 = (– 1)1+1 · 4 = 4A12 = (– 1)1+2 · 0 = 0A21 = (– 1)2+1 · 3 = – 3A22 = (– 1)2+2 · 2 = 2

Assim:4 0

A3 2

= −

adj A = ( A )

adj A =4 30 2

−

Substituindo os dados na fórmula,

A–1 = 4 310 28

− ⋅

A–1 =

1 32 8

10

4

−

Capítulo 3

SISTEMAS LINEARES

O primeiro matemático a resolver problemas que recaem em equações daforma ax + by = c, em que a e b são números inteiros simultaneamentenão-nulos, foi Diofanto de Alexandria.

Equação LinearEquação linear é toda equação na forma a1x1 + a2x2 + a3x3 + ... + anxn = b1,

em que:

a1, a2, a3, ..., são coeficientes;

x1, x2, ..., xn são as incógnitas;

bn é o termo independente.


298

Exemplo:

3x – 2y – z = 2 é uma equação linear, em que

x, y e z são as incógnitas;

3, – 2, – 1 são os coeficientes;

2 é o termo independente;

(2, –1, 6) é uma solução da equação, pois 3 · 2 – 2 (– 1) – 6 = 2.

Sistemas Lineares

Um sistema de equações linear é formado apenas por equações dotipo:

a1x1 + a2x2 + a3x3 + ... + anxn = b

+v2–

R2

R2 v2GI2

I1 I3

Na Física, dado um circuito elétrico para determinarmos asintensidades das correntes elétricas i1, i2 e i3, são obtidas trêsequações com três incógnitas, aplicando assim um sistema linear.


299

Exemplos:

a)x 2y 32x y 1

− = − =

é um sistema linear

b)a b c 1

a b 2c 3a 2b c 2

+ + = − − + = + − =

é um sistema linear

c)x y 2xy 1

+ = =

não é um sistema linear

d)2 2x y 3

x y 1

+ =

+ = não é um sistema linear

Solução de um Sistema Linear

Considere o sistema linear:

x y 12x y 5

+ = − =

Podemos utilizar um sistema de equações matemáticas nobalanceamento de uma equação química.

Exemplo:2C3H6 + 9O2 ⇒ 6CO2 + 6H2O


300

Representamos na reta r a equação x + y = 1 e a reta s a equação 2x – y = 5no plano cartesiano:

yr s

x1

– 1

– 5

1

3

2

P

As retas r e s se interceptam no ponto P (2, – 1). Logo (2, – 1) é solução dosistema.

Exemplo:

Dado o sistema S

a b c 32a b c 03a b 2c 6

− + = + − = − + =

Verifique se (1, – 1, 1) é solução de S.

Solução:

Substituindo no sistema a = 1, b = – 1 e c = 1, obtemos:1 – (– 1) + 1 = 3 (V)2.1 – 1 – 1 = 0 (V)3.1 – (– 1) + 2 · 1 = 6 (V)Portanto (1, – 1, 1) é solução do sistema.

Uma seqüência de números reais (a, b, c, ... n) é solução de um sistemalinear se é solução de todas as equações do sistema.


301

Matrizes Associadas a um Sistema Linear

Dados os sistemas:

1 2 3

1 3

2 3

x 3x x 2x y 2

e x x 3x y 1

2x 4x 1

+ − =+ = + = − + = + =

Podemos representá-los na forma matricial. Assim:

Sistema Homogêneo

Sistema linear homogêneo é aquele que possui todos os termos indepen-dentes nulos:

A seqüência (0, 0, 0, ... 0) recebe o nome de solução trivial ou imprópria.


302

Um sistema homogêneo é classificado em:

• Possível e determinado se a solução trivial é única.

• Possível e indeterminado se a solução trivial não é a única.

Sistemas Lineares Equivalentes

Dizemos que dois sistemas lineares são equivalentes se admitem a mes-ma solução.

Exemplos:

1) Verifique se são equivalentes os sistemas a b 1 3a b 11

e2a b 8 2a b 8

+ = − = − = − =

Solução:

Resolvendo os sistemasa b 1 3a b 11

e2a b 8 2a b 8

+ = − = − = − =

, verificamos que

o par ordenado (3,– 2) é solução dos dois.

Portanto, eles são equivalentes.

2) Calcule a e b, de modo que sejam equivalentes os sistemas:

x y 3 ax by 3e

x y 1 2ax by 1+ = + = −

− = − − = Solução:Resolvendo o sistema, obtemos:

x y+ 3

x y

=

− 1

=2x = 4

x = 42

x = 2Substituindo x = 2, na 1ª equação:x + y = 32 + y = 3y = 3 – 2y = 1


303

Como os sistemas são equivalentes, podemos substituir x = 2 ey = 1 em:

ax by 32ax by 1

+ = − − − =

2a b+ 3

4a b

= −

− − 1

=–2a = –2

2a = 2

a = 1

Substituindo a = 1 em 2a + b = – 3, temos:

2 · 1 + b = – 3

b = – 3 – 2

b = – 5

Sistema Normal

Dizemos que um sistema é normal se o número de incógnitas é igual aonúmero de equações e o determinante é ≠ 0.

Exemplo:

a)x y 6

2x y 2+ =

− =

Solução:

O número de equações do sistema é igual ao número de incógnitas (x e y).Calculando o determinante:

det = 1 12 1−

det = – 1 – 2

det = – 3 ≠ 0

Portanto, o sistema é normal.


304

Classificação de um Sistema

Observe os exemplos representados graficamente:

II –r: x + y = 4

s: x + y = 2

y

x2 4

As retas r e s são

paralelas, não

possuem ponto

comum

(não há solução).

4

2

r

s

III –r: 3x + 3y = 6

s: x + y = 2

y

x2

As retas r e s são

coincidentes, possuem

infinitos pontos em

comum

(há infinitas soluções).

2

r = s


305

ResumindoUm sistema é:

Possível e determinado quando a solução do sistema é única (I).

Possível e indeterminado quando admite infinitas soluções (III).

Impossível quando não admite solução (II).

Regra de Cramer

Regra de Cramer é um método prático para resolver um sistema, em que asolução será:

Dx Dy Dzx , y , z , ...

D D D= = =

Exemplos:

a) x 2y 1x 3y 4

+ = − = −

Solução:

• Inicialmente, colocamos o sistema na forma matricial:

1 2 x 11 3 y 4

⋅ = − −

• Resolvemos o determinante formado pelos coeficientes das incógnitas.

D = 1 21 3−

D = – 3 – 2D = – 5

Para calcularmos o Dx, trocamos a coluna da incógnita x pelos termos inde-pendentes:

Dx = 1 24 3− −

Dx = – 3 + 8Dx = + 5


306

Para calcularmos o Dy, trocamos a coluna da incógnita y pelos termosindependentes:

Dy = 1 11 4−

Dy = – 4 – 1

Dy = – 5

Por Cramer, temos:

Dx Dyx y

D D5 5

x y5 5

x 1 y 1

= =

+ −= =− −

= − =

Logo:

S = {(–1, 1)}

b) x y 3

x z 1 0y z 2

+ = + − = + =

⇒ x + z = 1

Solução:

1 1 0 x 31 0 1 y 10 1 1 z 2

⋅ =

D=

1 1 01 0 10 1 1

D= 0 + 0 + 0 – 0 – 1 – 1

D= – 2


307

Dx = 3 1 01 0 12 1 1

Dx = 0 + 0 + 2 – 0 – 3 – 1

Dx = – 2

Dy =

1 3 01 1 10 2 1

Dy = 1 + 0 + 0 – 0 – 2 – 3

Dy = – 4

Dz = 1 1 31 0 10 1 2

Dz = 0 + 3 + 0 – 0 – 1 – 2

Dz = 0

Por Cramer, temos:

Dx Dy Dzx y z

D D D2 4 0

x y z2 2 2

x 1 y 2 z 0

= = =

− −= = =− − −

= = =

Logo:

S = {(1, 2, 0)}

Podemos classificar esses dois sistemas como Sistemas Possíveis Deter-minados.

c) x y 3x y 4

− − = + =


308

Solução:

D = 1 1

1 1− −

Dx = 3 14 1

−

D = – 1 + 1 Dx = 3 + 4D = 0 Dx = 7

Dy = 1 3

1 4−

Dy = – 4 – 3Dy = – 7

Por Cramer, temos:

Logo: S = Ø

Classificamos esse sistema como Sistema Impossível.

d) x y 3

2x 2y 6+ =

+ =

Solução:

D = 1 12 2

Dx = 3 16 2

D = 2 – 2 Dx = 6 – 6D = 0 Dx = 0

Dy = 1 32 6

Dy = 6 – 6Dy = 0


309

Por Cramer, temos:

x = 00

e y= 00

(admite infinitas soluções)

Sistema Possível e Indeterminado.

Discussão de um Sistema Linear

Discutir um sistema é verificar se o sistema é possível determinado, inde-terminado ou impossível.

• Sistema Possível Determinado ⇒ D ≠ 0(admite uma única solução).

• Sistema Possível Indeterminado ⇒ D = 0, Dx = 0, Dy = 0 ...(admite infinitas soluções).

• Sistema Impossível ⇒ D = 0 e pelo menos um dos demais det ≠ 0(não admite solução).

Exemplos:

Discuta os seguintes sistemas:

a) x my 3mx y 1

− + = − =

Solução:

1 m x 3m 1 y 1−

⋅ = −

D = 1 m

m 1−

−Dx =

3 m1 1−

D = 1 – m2 Dx = – 3 – m

Dy = 1 3

m 1−

Dy = – 1 – 3m


310

Discussão:

SPD ⇒ 1 – m2 ≠ 0 ⇒ m2 ≠ 1 ⇒ m ≠ ± 1

(Sistema Possível Determinado)

SPI ⇒ 1 – m2 = 0 ⇒ m ± 1

Substituindo m= ± 1 em Dx e Dy, verificamos que Dx ≠ 0 e Dy ≠ 0. Logo, m para que o sistema seja indeterminado.

SI ⇒ m = ± 1

Substituindo m = ± 1 em Dx e Dy, verificamos que Dx ≠ 0 e Dy ≠ 0. Logo,para o sistema ser impossível, m=±1.

b)

x 2y 2z m3x 6y 4z 42x ny 6z 1

+ + = + − = + − =

Determine m e n para que o sistemaseja indeterminado.

Solução:

1 2 2 x m3 6 4 y 42 n 6 z 1

− ⋅ = −

D = 1 2 23 6 42 n 6

−−

D = – 36 + 6n – 16 – 24 + 4n + 36

D = 10n – 40

Dx = m 2 24 6 41 n 6

−−

Dx = – 36m + 8n – 8 – 12 + 4mn + 48

Dx = – 36m + 8n + 4mn + 28


311

Dy =

1 m 23 4 42 1 6

−−

Dy = – 24 + 6 – 8m – 16 + 4 + 18mDy = 10m – 30

Dz = 1 2 m3 6 42 n 1

Dz = 6 + 3mn + 16 – 12m – 4n – 6Dz = – 12m – 4n + 3mn + 16

S.P.I.10n – 40 = 0 10m – 30 = 010n = 40 10m = 30n = 4 m = 3

Substituindo m = 3 e n = 4 em Dx, Dy e Dz, concluímos que D = 0, Dx =0, Dy = 0 e Dz = 0.

Portanto, m = 3 e n = 4.

Sistema Retangular

É aquele cujo número de equações é diferente do número de incógnitas.

Discussão de um Sistema Retangular

Quando o número de equações for maior que o número de incógnitas,devemos escolher duas e resolver o sistema.

Classificação de um Sistema Retangular

Sistema possível e determinado

Exemplo:

Seja o sistema

2x y 1x y 5

3x y 9

− = + = + =


312

Se escolhermos a 1ª e 2ª equações e resolvermos o sistema, teremosx = 2 e y = 3.

Substituindo x = 2 e y = 3 na 3ª equação: 3 · 2 + 3 = 9 (V)

A solução (2, 3) é também solução da equação 3x + y = 9; neste caso, osistema será possível e determinado.

Sistema possível e indeterminado

Exemplo:

O sistema

x y 3x y 3

2x 2y 6

− = − + = − − =

é indeterminado.

Tanto x y 3x y 3

− = − + = −

, como x y 3

2x 2y 6− =

− =,

como x y 3

2x 2y 6− + = −

− = são indeterminados.

Sistema ImpossívelExemplo:

O sistema S ⇒ 2x 4y 1

x 2y 2x 3y 3

− = − + = + =

é impossível.

Resolvendo o sistema S ⇒ 2x 4y 1

x 2y 2− =

− + =, concluímos que não admite

solução, portanto ele é impossível.

Logo S também será.

Sistema Não-Linear

Definimos como sistema não-linear aquele em que pelo menos uma equa-ção não é linear.


313

Equação não-linear é toda equação que apresenta pelo menos uma variá-vel com grau maior que 1 ou apresenta produto de variáveis.

Exemplo:

Resolva o sistema:

2

x 2y 0

x 4y 1

− =

− = −

Solução:

Podemos resolver o sistema por algum método já conhecido. Isolando x na1ª equação e substituindo na 2ª, obtemos:

x = 2y

(2y)2 – 4y = – 1

4y2 – 4y + 1 = 0

∆ = (– 4)2 – 4 · 4 · 1

∆ = 0

y = 4 08±

y1 = y2 = 12

Substituindo y = 12

em x = 2 · 12

, obtemos:

x = 1

Logo, a solução será 1

1,2

.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS1) Construa as seguintes matrizes:

a) A = (aij)2x3 com aij = 1, se i ji j, se i j

= − ≠


314

b) A = (aij)3x2 com aij = ji se i j

3 se i j

≥− =

c) B = (bij)3x3 com bij = – i2 – j

d) C = (cij)1x4 com cij = i – 2ij + 3j

2) Dadas as matrizes A = (aij)2x2, sendo aij = i2 e B = (bij)2x2, sendobij = i + j, determine:

a) b12 – a11 b) 2a12 + 222b

3) Dadas as matrizes

1 3 2A 4 2 b

3 1 2

− = −

e 1 a 3

B 3 2 1c 3 2

=

, calcule a, b, e c, sabendo

que B = At.

4) Determine os números reais x e y, tais que:

a) x 1 3 1 3

4 2y 4 6−

=

b) y

8x

9 43 41 31 log

= −−

c) x y 5 1 5

3 2x y 3 5− − −

= +

5) Sendo 1 0

2 3 1A e B 1 2

1 4 33 4

− = = −

, determine X = A + 3Bt.

6)(CISESP-PE) Dadas as matrizes reais A = (aij) e B = (bij), em quei = 1, 2, 3 e j = 1, 2, 3, tais que aij = i + j e bij = 2i – j + 1, indique a alter-nativa correspondente ao elemento c22 da matriz C = A · B.

a) 40 b) 36 c) 4 d) 120 e) 22


315

7) (FATEC-SP) Uma indústria automobilística produz carros X e Y nas ver-sões standard, luxo e superluxo. Na montagem desses carros são utilizadasas peças A, B e C.

Para um certo plano de montagem, são dadas as seguintes informações:

Em termos matriciais, temos:

matriz peça/carro =

4 33 56 2

matriz carro/versão = 2 4 33 2 5

Então, a matriz peça/versão é:17 22 27

a) 21 28 3418 28 22

17 22 27b) 21 22 34

18 28 28

17 22 27e) 21 22 28

18 34 28

17 22 27c) 21 34 22

18 28 28

17 22 27

d) 21 28 2818 34 22


316

8) Resolva a equação matricial X . ( ) 4 6 22 3 1

2 3 1−

− = −

9) Efetue as multiplicações:

a) 0 1 2 73 4 6 5

⋅ − −

b) ( )32 0 3 21

⋅ −

c)

1 21 2 1

2 13 1 2

3 1

⋅

10) Calcule a de modo que as matrizes

2 3 4 aA e B

1 4 0 4−

= =

sejam comutativas.

11) Considere as matrizes:

x y 1 1 1 0A e B

1 1 x 0 1 0−

= = −

Determine x e y, sabendo que: A · Bt = 3 42 1

−

12) (UCS-BA) A equação matricial 2 1 0 x 3

1 1 2 y 20 0 1 z 1

− − ⋅ = −

é verdadeira se x, y e z são tais que x + y + z é igual a:a)–3 b) –1 c) 0 d) 1 e) 3

13) Determine a matriz inversa das matrizes:

a) 1 3

A2 5

=

b)

1 0 1B 2 1 1

0 0 0

=

c) 1 0 0

C 1 1 01 1 1

=

14) Dadas as matrizes 1 3 3 1

M e N0 4 0 2

= = −

, determine (M · N–1)t:


317

15) Calcule o valor dos determinantes:

a) 2 34 1−

c) 42log 1

3 4

b) 3 2

2 2 3−d)

sen a cos acos a sen a−

16) Sendo A = (aij)2x2, em que aij = 3i + j e B = (bij)2x2, e ij

0 se i jb

1se i j=

= − ≠,

calcule o valor dos determinantes:a) A b) B c) At + Bt d) (A . B)t

17) Aplicando a regra de Sarrus, calcule os seguintes determinantes:

a)

1 2 32 2 43 2 1

b)

1 2 13 4 10 1 2

− c)

0 1 32 1 1

3 1 2−

−18) Aplicando o teorema de Laplace, calcule o valor dos determinantes:

a) 0 3 02 3 1

4 2 5−

−b)

3 2 3 22 2 4 35 4 3 24 3 2 2

c)

0 0 0 31 2 1 4

3 4 6 12 0 4 1

−−

19) Calcule o valor dos determinantes a seguir, sem desenvolvê-los. Jus-tifique a resposta:

a) 0 01 3−

b)

3 0 32 1 21 1 1

− c) 2 1 34 0 18 2 7

−

−

d) 1 2 52 4 13 6 7

− e) 4 0 01 3 02 1 2

−f)

1 2 0 31 1 1 2

1 0 1 11 5 1 8

−−


318

20) Determine o conjunto-verdade das equações:

a) 1 2 10 1 x 11 x 1

−=

−b)

2x 1 20

3 3

−= c)

x 4 11 1 0 0

15 3 x

−− =

− (Mauá)

21) Dada a matriz A =

1 0 34 1 25 2 1

− −

, calcule os cofatores de A11, A21

e A33.

22) Seja a matriz B = (bij) de ordem 3, em que bij = i j, se i j

1, se i ji j, se i j

− > − < + =

,

calcule o valor do determinante de B.

23) (Unifor – CE) A inequação x 1 01 x 11 1 1

< 0 tem por conjunto solução:

a) {x | 0 < x < 1} c) b) {x | x > 1 ou x < 0} d)

24) (PUC–SP) O determinante

x 0 0 31 x 0 0

0 1 x 10 0 1 2

−−

− −

representa o polinômio:

a) –2x3 + x2 + 3 d) 2x3 – x2 – 3b) – 2x3 – x2 + 3 e) 2x3 – x2 + 3c) 3x3 + x – 2

25) Sejam A =

1 0 0 01 2 0 0

3 4 3 00 3 1 4

− −

e B =

1 0 3 10 2 1 30 0 6 20 0 0 1

−

, calcule

det (A.B).


319

26) Sendo A e B matrizes quadradas de ordem 3, com det A = 2 edet B = 3, calcule:

a) det (3A) b) det (A · B)

27) Dado o sistema 4x y 0

x y 6+ =

+ =, verifique se é solução cada um dos pares:

a) (– 2, 8) b) (– 1, 2)

28) Verifique quais dos sistemas são normais:

a) 2x y 1x 3y 0

+ = − =

c) x y 2

2x 2y 4− =

− =

b)

x y z 04x y z 1

x 3y 2z 2

+ − = − + = + − =

d)

x y z 12x 3y 2z 5

x y 2z 4

+ + = + + = − + = −

29) Resolva, com o auxílio da regra de Cramer, os seguintes sistemas:

a) 3x 2y 52x y 1

− = + =

c) 3x y 2z 52x 3y 4z 2

x y z 0

− + = + − = − + − =

b) x y z 5

2x y z 14x 2y z 11

+ − = − + + = − + − = −

30) Classifique os sistemas:

a) 3x y 2x 4y 1

− = + =

c) 3x 4y 4

3x 4y 1− + =

− =

b) 2x y 14x 2y 2

− = − =

d) 2x y 4z 05x 2y z 1

x 3y z 2

+ + = + − = − + + =


320

31) (UF-PA) O valor de K para que os sistemasx 2y 3

= =

e Kx 3y 5K

x Ky 11+ =

− − = −sejam equivalentes é um valor pertencente ao intervalo:

a) ] – 3 , 3 [ d) ]3, 3 3 ]

b) [0, 3 ] e) ]– 3 , 0]

c) [3, 3 3 ]

32) (FUVEST-SP) Para quais valores de a o sistema linear

2

x y z 1

2x 3y 4z a

y 2z a

+ + = + + = − − =

admite solução?

33) (UC-MG) O valor de m para que o sistema mx y 04x y 0

+ = + =

seja indeterminado é:a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

34) Determine K, de modo que o sistema 3x 2y 3Kx y 4

+ = + =

seja impossível.

35) (MACK-SP) x y z2x z 3y9y z 4x

+ = − + = + = −

de variáveis x, y e z:

a) não é homogêneo; b) apresenta três soluções distintas;c) é impossível; d) é possível e indeterminado;e) é possível e determinado.

36) (UNESP-SP) Para quais valores reais de p e q o sistema3x py 4z 0x y 3z 52x 3y z q

+ + = + + = − − + =

não admite solução?

a) p = – 2 e q = 5 b) p > – 2 e q ≠ 4 c) p = q = 1d) p = – 2 e q ≠ 5 e) p = 2 e q = 5


321

37) Determine o valor de a para que o sistema

(a 3)x 2y 82x ay 4

+ + = + =

seja possível e indeterminado.

Respostas

1) a) 1 1 21 1 1

− −

c)

0 3 45 6 710 11 12

− − − − − − − −

b) 3 1

2 33 9

− −

d) ( )2 3 4 5

2) a) 2 3) a 4b 3c 2

= − = = − b) 18

4) a) x 2y 3

= =

b) x 2y 2

= =

c) x 2y 1

= =

5) 5 0 81 10 15

6) a 7) b

8) a 2 2

ou X1b 1

= = =

9) a) 6 518 41

− −

b)

0 9 60 6 40 3 2

− − −

c) 8 511 9

10) a = 0 11) x 7y 4

= =

12) d


322

13) a) 1 5 3A

2 1− −

= − b) ∃ B–1 c) 1

1 0 0C 1 1 0

0 1 1

−

= − −

14)

10

34

23

−

15) a) – 14 b) – 7 c) 5 d) 1

16) a) –3 b) –1 c) –4 d) 3

17) a) 122 b) 0 c) 418) a) 42 b) –6 c) 72

19) a) 0 (L1 = 0) d) 0, pois C2 = 2C1

b) 0, pois C1 = C3 e) –24

c) 0, pois L3 = 2L1 + L2 f) 0, pois 2L1 + L2 = L4

20) a) {1} b) { }3± c) {–6, 2}

21) A11 = –3A21 = +6A33 = –1

22) 65 23) a 24) a 25) 288

26) a) 54 b) 6 27) a 28) a, b e d

29) a) S = {(1, –1)} b) {–2, 0, 3} c) {(1, 4, 3)}

30) a) S.P.D. b) S.P.I. c) S.I. d) S.P.D.

31) c 32) a = 1 ou a = –2

33) e 34) K = 32

35) e

36) e 37) a = 1

Apostila Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares

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