Determinantes - UNIFAVIP (1)
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Determinantes Prof o . Ms. Jonh Cleidson Determinantes e Geometria Determinantes Propriedades dos Determinantes Exerc´ ıcios Determinantes Prof o . Ms. Jonh Cleidson UNIFAVIP 1 de setembro de 2014
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Estude de Determinantees
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DeterminantesProfo. Ms.JonhCleidsonDeterminanteseGeometriaDeterminantesPropriedadesdosDeterminantesExercciosDeterminantesProfo. Ms. JonhCleidsonUNIFAVIP1desetembrode2014DeterminantesProfo. Ms.JonhCleidsonDeterminanteseGeometriaDeterminantesPropriedadesdosDeterminantesExercciosSumario1 DeterminanteseGeometria2 Determinantes3 PropriedadesdosDeterminantes4 ExercciosDeterminantesProfo. Ms.JonhCleidsonDeterminanteseGeometriaDeterminantesPropriedadesdosDeterminantesExercciosSumario1 DeterminanteseGeometria2 Determinantes3 PropriedadesdosDeterminantes4 ExercciosDeterminantesProfo. Ms.JonhCleidsonDeterminanteseGeometriaDeterminantesPropriedadesdosDeterminantesExercciosDeterminanteseGeometriaNestecaptulointroduziremososdeterminantesdematrizes2x2e3x3,paraposteriormenteaplica-losaoestudodageometriaem R3. Determinantessaofuncoesmuitoespeciaisdenidasnosespa cosdasmatrizesquadradascomvaloresnocorpoondeestaooscoecientesdamatriz. Autilidadedosdeterminantes em ultipla. Porexemplo,elesservemparadarumcriterioparainvertibilidadedematrizeseummetodoparaocalculodamatrizinversa,casoamatrizsejainvertvel.DeterminantesProfo. Ms.JonhCleidsonDeterminanteseGeometriaDeterminantesPropriedadesdosDeterminantesExercciosDeterminanteseGeometriaNestecaptulointroduziremososdeterminantesdematrizes2x2e3x3,paraposteriormenteaplica-losaoestudodageometriaem R3. Determinantessaofunc oesmuitoespeciaisdenidasnosespa cosdasmatrizesquadradascomvaloresnocorpoondeestaooscoecientesdamatriz.Autilidadedosdeterminantes em ultipla. Porexemplo,elesservemparadarumcriterioparainvertibilidadedematrizeseummetodoparaocalculodamatrizinversa,casoamatrizsejainvertvel.DeterminantesProfo. Ms.JonhCleidsonDeterminanteseGeometriaDeterminantesPropriedadesdosDeterminantesExercciosDeterminanteseGeometriaNestecaptulointroduziremososdeterminantesdematrizes2x2e3x3,paraposteriormenteaplica-losaoestudodageometriaem R3. Determinantessaofunc oesmuitoespeciaisdenidasnosespa cosdasmatrizesquadradascomvaloresnocorpoondeestaooscoecientesdamatriz. Autilidadedosdeterminantes em ultipla. Porexemplo,elesservemparadarumcriterioparainvertibilidadedematrizeseummetodoparaocalculodamatrizinversa,casoamatrizsejainvertvel.DeterminantesProfo. Ms.JonhCleidsonDeterminanteseGeometriaDeterminantesPropriedadesdosDeterminantesExercciosDeterminanteseGeometriaElespermitemdarformulasexplcitasparaassolucoesdesistemasdeequa coeslineares. Pormeiodeles,dene-setambemaimportantenocaodepolinomiocaractersticodeumamatriz. OconceitodedeterminanteapareceemvariosoutroscontextosdaMatematica. Porexemplo,emGeometria,eleaparececomoaareadeumparalelogramoeovolumedeumparaleleppedo. Nestecaptuloestaremosinteressadosnasaplicacoesdosdeterminantes`ageometriaem R3.DeterminantesProfo. Ms.JonhCleidsonDeterminanteseGeometriaDeterminantesPropriedadesdosDeterminantesExercciosDeterminanteseGeometriaElespermitemdarformulasexplcitasparaassolucoesdesistemasdeequa coeslineares. Pormeiodeles,dene-setambemaimportantenocaodepolinomiocaractersticodeumamatriz. OconceitodedeterminanteapareceemvariosoutroscontextosdaMatematica.Porexemplo,emGeometria,eleaparececomoaareadeumparalelogramoeovolumedeumparaleleppedo. Nestecaptuloestaremosinteressadosnasaplicacoesdosdeterminantes`ageometriaem R3.DeterminantesProfo. Ms.JonhCleidsonDeterminanteseGeometriaDeterminantesPropriedadesdosDeterminantesExercciosDeterminanteseGeometriaElespermitemdarformulasexplcitasparaassolucoesdesistemasdeequa coeslineares. Pormeiodeles,dene-setambemaimportantenocaodepolinomiocaractersticodeumamatriz. OconceitodedeterminanteapareceemvariosoutroscontextosdaMatematica. Porexemplo,emGeometria,eleaparececomoaareadeumparalelogramoeovolumedeumparaleleppedo.Nestecaptuloestaremosinteressadosnasaplicacoesdosdeterminantes`ageometriaem R3.DeterminantesProfo. Ms.JonhCleidsonDeterminanteseGeometriaDeterminantesPropriedadesdosDeterminantesExercciosDeterminanteseGeometriaElespermitemdarformulasexplcitasparaassolucoesdesistemasdeequa coeslineares. Pormeiodeles,dene-setambemaimportantenocaodepolinomiocaractersticodeumamatriz. OconceitodedeterminanteapareceemvariosoutroscontextosdaMatematica. Porexemplo,emGeometria,eleaparececomoaareadeumparalelogramoeovolumedeumparaleleppedo. Nestecaptuloestaremosinteressadosnasaplicacoesdosdeterminantes`ageometriaem R3.DeterminantesProfo. Ms.JonhCleidsonDeterminanteseGeometriaDeterminantesPropriedadesdosDeterminantesExercciosDeterminantesNotrabalhoUmTratadosobreAlgebraemTresPartes, deColinMaclaurin(Escocia,1698-1746),publicadoem1748,foiapresentadooqueelechamoudeteoremageral,queerausadopararesolverumsistemalinearnxnonden 4. Defato,emseutrabalhonadafoimencionadosobreocasoemquen 5.OmetodoapresentadoporMaclaurin econhecidohojecomoRegradeCramer,aposomatematicoGabrielCramer(Suca,1704-1752)terutilizadoosmetodosdeMaclaurinemseulivrosobrecurvasalgebricasem1750.Dadoumsistemalinear2x2nasincognitasxey,digamos,_ax + by= ecx + dy= f(1)DeterminantesProfo. Ms.JonhCleidsonDeterminanteseGeometriaDeterminantesPropriedadesdosDeterminantesExercciosDeterminantesNotrabalhoUmTratadosobreAlgebraemTresPartes, deColinMaclaurin(Escocia,1698-1746),publicadoem1748,foiapresentadooqueelechamoudeteoremageral,queerausadopararesolverumsistemalinearnxnonden 4.Defato,emseutrabalhonadafoimencionadosobreocasoemquen 5.OmetodoapresentadoporMaclaurin econhecidohojecomoRegradeCramer,aposomatematicoGabrielCramer(Suca,1704-1752)terutilizadoosmetodosdeMaclaurinemseulivrosobrecurvasalgebricasem1750.Dadoumsistemalinear2x2nasincognitasxey,digamos,_ax + by= ecx + dy= f(1)DeterminantesProfo. Ms.JonhCleidsonDeterminanteseGeometriaDeterminantesPropriedadesdosDeterminantesExercciosDeterminantesNotrabalhoUmTratadosobreAlgebraemTresPartes, deColinMaclaurin(Escocia,1698-1746),publicadoem1748,foiapresentadooqueelechamoudeteoremageral,queerausadopararesolverumsistemalinearnxnonden 4. Defato,emseutrabalhonadafoimencionadosobreocasoemquen 5.OmetodoapresentadoporMaclaurin econhecidohojecomoRegradeCramer,aposomatematicoGabrielCramer(Suca,1704-1752)terutilizadoosmetodosdeMaclaurinemseulivrosobrecurvasalgebricasem1750.Dadoumsistemalinear2x2nasincognitasxey,digamos,_ax + by= ecx + dy= f(1)DeterminantesProfo. Ms.JonhCleidsonDeterminanteseGeometriaDeterminantesPropriedadesdosDeterminantesExercciosDeterminantesNotrabalhoUmTratadosobreAlgebraemTresPartes, deColinMaclaurin(Escocia,1698-1746),publicadoem1748,foiapresentadooqueelechamoudeteoremageral,queerausadopararesolverumsistemalinearnxnonden 4. Defato,emseutrabalhonadafoimencionadosobreocasoemquen 5.OmetodoapresentadoporMaclaurin econhecidohojecomoRegradeCramer,aposomatematicoGabrielCramer(Suca,1704-1752)terutilizadoosmetodosdeMaclaurinemseulivrosobrecurvasalgebricasem1750.Dadoumsistemalinear2x2nasincognitasxey,digamos,_ax + by= ecx + dy= f(1)DeterminantesProfo. Ms.JonhCleidsonDeterminanteseGeometriaDeterminantesPropriedadesdosDeterminantesExercciosDeterminantesSeguequead bc = 0,assolucoessaodadaspelasformulasx=ed bfad bc , y=af ecad bc.ExemploUtilizandoaRegradeCramer,resolvaosistema_2x + 3y= 83x 2y= 1.DeterminantesProfo. Ms.JonhCleidsonDeterminanteseGeometriaDeterminantesPropriedadesdosDeterminantesExercciosDeterminantesSeguequead bc = 0,assolucoessaodadaspelasformulasx=ed bfad bc , y=af ecad bc.ExemploUtilizandoaRegradeCramer,resolvaosistema_2x + 3y= 83x 2y= 1.DeterminantesProfo. Ms.JonhCleidsonDeterminanteseGeometriaDeterminantesPropriedadesdosDeterminantesExercciosDeterminantesSeguequead bc = 0,assolucoessaodadaspelasformulasx=ed bfad bc , y=af ecad bc.ExemploUtilizandoaRegradeCramer,resolvaosistema_2x + 3y= 83x 2y= 1.DeterminantesProfo. Ms.JonhCleidsonDeterminanteseGeometriaDeterminantesPropriedadesdosDeterminantesExercciosDeterminantesSeguequead bc = 0,assolucoessaodadaspelasformulasx=ed bfad bc , y=af ecad bc.ExemploUtilizandoaRegradeCramer,resolvaosistema_2x + 3y= 83x 2y= 1.DeterminantesProfo. Ms.JonhCleidsonDeterminanteseGeometriaDeterminantesPropriedadesdosDeterminantesExercciosDeterminantesSeguequead bc = 0,assolucoessaodadaspelasformulasx=ed bfad bc , y=af ecad bc.ExemploUtilizandoaRegradeCramer,resolvaosistema_2x + 3y= 83x 2y= 1.DeterminantesProfo. Ms.JonhCleidsonDeterminanteseGeometriaDeterminantesPropriedadesdosDeterminantesExercciosDeterminantesVejamosagoraaresolucaodeumsistemalineardetresequacoesnasincognitasx,yez,digamos,___ax + by+ cz= mdx + ey+ fz= ngx + hy+ kz= p(2)EstesistemafoitratadoporMaclaurindemodoanalogoaocaso2x2,notandoque,seon umerorealaek ahf + dhc dbk + gbf gecediferentedezero,entaox=mek mfh + bfp bnk + cnh cepaek ahf + dhc dbk + gbf gec ,y=nak ncg+ mfg mdk + pcd pafaek ahf + dhc dbk + gbf gec,z=aep ahn + dhm dbp + gbn gemaek ahf + dhc dbk + gbf gec.DeterminantesProfo. Ms.JonhCleidsonDeterminanteseGeometriaDeterminantesPropriedadesdosDeterminantesExercciosDeterminantesVejamosagoraaresolucaodeumsistemalineardetresequacoesnasincognitasx,yez,digamos,___ax + by+ cz= mdx + ey+ fz= ngx + hy+ kz= p(2)EstesistemafoitratadoporMaclaurindemodoanalogoaocaso2x2,notandoque,seon umerorealaek ahf + dhc dbk + gbf gecediferentedezero,entaox=mek mfh + bfp bnk + cnh cepaek ahf + dhc dbk + gbf gec ,y=nak ncg+ mfg mdk + pcd pafaek ahf + dhc dbk + gbf gec,z=aep ahn + dhm dbp + gbn gemaek ahf + dhc dbk + gbf gec.DeterminantesProfo. Ms.JonhCleidsonDeterminanteseGeometriaDeterminantesPropriedadesdosDeterminantesExercciosDeterminantesVejamosagoraaresolucaodeumsistemalineardetresequacoesnasincognitasx,yez,digamos,___ax + by+ cz= mdx + ey+ fz= ngx + hy+ kz= p(2)EstesistemafoitratadoporMaclaurindemodoanalogoaocaso2x2,notandoque,seon umerorealaek ahf + dhc dbk + gbf gecediferentedezero,entaox=mek mfh + bfp bnk + cnh cepaek ahf + dhc dbk + gbf gec ,y=nak ncg+ mfg mdk + pcd pafaek ahf + dhc dbk + gbf gec,z=aep ahn + dhm dbp + gbn gemaek ahf + dhc dbk + gbf gec.DeterminantesProfo. Ms.JonhCleidsonDeterminanteseGeometriaDeterminantesPropriedadesdosDeterminantesExercciosDeterminantesVejamosagoraaresolucaodeumsistemalineardetresequacoesnasincognitasx,yez,digamos,___ax + by+ cz= mdx + ey+ fz= ngx + hy+ kz= p(2)EstesistemafoitratadoporMaclaurindemodoanalogoaocaso2x2,notandoque,seon umerorealaek ahf + dhc dbk + gbf gecediferentedezero,entaox=mek mfh + bfp bnk + cnh cepaek ahf + dhc dbk + gbf gec ,y=nak ncg+ mfg mdk + pcd pafaek ahf + dhc dbk + gbf gec,z=aep ahn + dhm dbp + gbn gemaek ahf + dhc dbk + gbf gec.DeterminantesProfo. Ms.JonhCleidsonDeterminanteseGeometriaDeterminantesPropriedadesdosDeterminantesExercciosDeterminantesVejamosagoraaresolucaodeumsistemalineardetresequacoesnasincognitasx,yez,digamos,___ax + by+ cz= mdx + ey+ fz= ngx + hy+ kz= p(2)EstesistemafoitratadoporMaclaurindemodoanalogoaocaso2x2,notandoque,seon umerorealaek ahf + dhc dbk + gbf gecediferentedezero,entaox=mek mfh + bfp bnk + cnh cepaek ahf + dhc dbk + gbf gec ,y=nak ncg+ mfg mdk + pcd pafaek ahf + dhc dbk + gbf gec,z=aep ahn + dhm dbp + gbn gemaek ahf + dhc dbk + gbf gec.DeterminantesProfo. Ms.JonhCleidsonDeterminanteseGeometriaDeterminantesPropriedadesdosDeterminantesExercciosDeterminantesMaclaurinnotouque,talcomonocaso2x2,cadaumadasexpressoesacimatemomesmodenominador,queconsistedesomasalternadasdevariosprodutosdoscoecientesdasincognitasdosistema. Eletambemnotouqueonumeradordaexpressaodecadaumadasincognitasconsistedesomasalternadasdevariosprodutosdoscoecientesdasdemaisincognitasedostermosindependentesdosistema.OsnumeradoreseosdenominadoresqueapareceramnassolucoesdeMaclaurinsaooqueconhecemoshojepordeterminantes. OtermodeterminantefoiintroduzidopelaprimeiravezporGaussem1801.Vamosagorasintetizarassolu coesdeMaclaurin,introduzindoosdeterminantes.DeterminantesProfo. Ms.JonhCleidsonDeterminanteseGeometriaDeterminantesPropriedadesdosDeterminantesExercciosDeterminantesMaclaurinnotouque,talcomonocaso2x2,cadaumadasexpressoesacimatemomesmodenominador,queconsistedesomasalternadasdevariosprodutosdoscoecientesdasincognitasdosistema.Eletambemnotouqueonumeradordaexpressaodecadaumadasincognitasconsistedesomasalternadasdevariosprodutosdoscoecientesdasdemaisincognitasedostermosindependentesdosistema.OsnumeradoreseosdenominadoresqueapareceramnassolucoesdeMaclaurinsaooqueconhecemoshojepordeterminantes. OtermodeterminantefoiintroduzidopelaprimeiravezporGaussem1801.Vamosagorasintetizarassolu coesdeMaclaurin,introduzindoosdeterminantes.DeterminantesProfo. Ms.JonhCleidsonDeterminanteseGeometriaDeterminantesPropriedadesdosDeterminantesExercciosDeterminantesMaclaurinnotouque,talcomonocaso2x2,cadaumadasexpressoesacimatemomesmodenominador,queconsistedesomasalternadasdevariosprodutosdoscoecientesdasincognitasdosistema. Eletambemnotouqueonumeradordaexpressaodecadaumadasincognitasconsistedesomasalternadasdevariosprodutosdoscoecientesdasdemaisincognitasedostermosindependentesdosistema.OsnumeradoreseosdenominadoresqueapareceramnassolucoesdeMaclaurinsaooqueconhecemoshojepordeterminantes. OtermodeterminantefoiintroduzidopelaprimeiravezporGaussem1801.Vamosagorasintetizarassolu coesdeMaclaurin,introduzindoosdeterminantes.DeterminantesProfo. Ms.JonhCleidsonDeterminanteseGeometriaDeterminantesPropriedadesdosDeterminantesExercciosDeterminantesMaclaurinnotouque,talcomonocaso2x2,cadaumadasexpressoesacimatemomesmodenominador,queconsistedesomasalternadasdevariosprodutosdoscoecientesdasincognitasdosistema. Eletambemnotouqueonumeradordaexpressaodecadaumadasincognitasconsistedesomasalternadasdevariosprodutosdoscoecientesdasdemaisincognitasedostermosindependentesdosistema.OsnumeradoreseosdenominadoresqueapareceramnassolucoesdeMaclaurinsaooqueconhecemoshojepordeterminantes. OtermodeterminantefoiintroduzidopelaprimeiravezporGaussem1801.Vamosagorasintetizarassolu coesdeMaclaurin,introduzindoosdeterminantes.DeterminantesProfo. Ms.JonhCleidsonDeterminanteseGeometriaDeterminantesPropriedadesdosDeterminantesExercciosDeterminantesMaclaurinnotouque,talcomonocaso2x2,cadaumadasexpressoesacimatemomesmodenominador,queconsistedesomasalternadasdevariosprodutosdoscoecientesdasincognitasdosistema. Eletambemnotouqueonumeradordaexpressaodecadaumadasincognitasconsistedesomasalternadasdevariosprodutosdoscoecientesdasdemaisincognitasedostermosindependentesdosistema.OsnumeradoreseosdenominadoresqueapareceramnassolucoesdeMaclaurinsaooqueconhecemoshojepordeterminantes. OtermodeterminantefoiintroduzidopelaprimeiravezporGaussem1801.Vamosagorasintetizarassolu coesdeMaclaurin,introduzindoosdeterminantes.DeterminantesProfo. Ms.JonhCleidsonDeterminanteseGeometriaDeterminantesPropriedadesdosDeterminantesExercciosDeterminantesSeA = [aij] eumamatriz2x2,denimosodeterminantedamatrizAcomodet_a11a12a21a22_= a11.a22a12.a21(3)SeA = [aij] eumamatriz3x3,denimosodeterminantedamatrizAcomodet__a11a12a13a21a22a23a31a32a33__a11 . a22 . a33 a11 . a23 . a32 + a13 . a21 . a32 a12 . a21 . a33 ++a12.a23.a31a13.a22.a31. (4)DeterminantesProfo. Ms.JonhCleidsonDeterminanteseGeometriaDeterminantesPropriedadesdosDeterminantesExercciosDeterminantesSeA = [aij] eumamatriz2x2,denimosodeterminantedamatrizAcomodet_a11a12a21a22_= a11.a22a12.a21(3)SeA = [aij] eumamatriz3x3,denimosodeterminantedamatrizAcomodet__a11a12a13a21a22a23a31a32a33__a11 . a22 . a33 a11 . a23 . a32 + a13 . a21 . a32 a12 . a21 . a33 ++a12.a23.a31a13.a22.a31. (4)DeterminantesProfo. Ms.JonhCleidsonDeterminanteseGeometriaDeterminantesPropriedadesdosDeterminantesExercciosDeterminantesSeA = [aij] eumamatriz2x2,denimosodeterminantedamatrizAcomodet_a11a12a21a22_= a11.a22a12.a21(3)SeA = [aij] eumamatriz3x3,denimosodeterminantedamatrizAcomodet__a11a12a13a21a22a23a31a32a33__a11 . a22 . a33 a11 . a23 . a32 + a13 . a21 . a32 a12 . a21 . a33 ++a12.a23.a31a13.a22.a31. (4)DeterminantesProfo. Ms.JonhCleidsonDeterminanteseGeometriaDeterminantesPropriedadesdosDeterminantesExercciosDeterminantesSeA = [aij] eumamatriz2x2,denimosodeterminantedamatrizAcomodet_a11a12a21a22_= a11.a22a12.a21(3)SeA = [aij] eumamatriz3x3,denimosodeterminantedamatrizAcomodet__a11a12a13a21a22a23a31a32a33__a11 . a22 . a33 a11 . a23 . a32 + a13 . a21 . a32 a12 . a21 . a33 ++a12.a23.a31a13.a22.a31. (4)DeterminantesProfo. Ms.JonhCleidsonDeterminanteseGeometriaDeterminantesPropriedadesdosDeterminantesExercciosDeterminantesSeA = [aij] eumamatriz2x2,denimosodeterminantedamatrizAcomodet_a11a12a21a22_= a11.a22a12.a21(3)SeA = [aij] eumamatriz3x3,denimosodeterminantedamatrizAcomodet__a11a12a13a21a22a23a31a32a33__a11 . a22 . a33 a11 . a23 . a32 + a13 . a21 . a32 a12 . a21 . a33 ++a12.a23.a31a13.a22.a31. (4)DeterminantesProfo. Ms.JonhCleidsonDeterminanteseGeometriaDeterminantesPropriedadesdosDeterminantesExercciosDeterminantesSeA = [aij] eumamatriz2x2,denimosodeterminantedamatrizAcomodet_a11a12a21a22_= a11.a22a12.a21(3)SeA = [aij] eumamatriz3x3,denimosodeterminantedamatrizAcomodet__a11a12a13a21a22a23a31a32a33__a11 . a22 . a33 a11 . a23 . a32 + a13 . a21 . a32 a12 . a21 . a33 ++a12.a23.a31a13.a22.a31. (4)DeterminantesProfo. Ms.JonhCleidsonDeterminanteseGeometriaDeterminantesPropriedadesdosDeterminantesExercciosDeterminantesSeA = [aij] eumamatriz2x2,denimosodeterminantedamatrizAcomodet_a11a12a21a22_= a11.a22a12.a21(3)SeA = [aij] eumamatriz3x3,denimosodeterminantedamatrizAcomodet__a11a12a13a21a22a23a31a32a33__a11 . a22 . a33 a11 . a23 . a32 + a13 . a21 . a32 a12 . a21 . a33 ++a12.a23.a31a13.a22.a31. (4)DeterminantesProfo. Ms.JonhCleidsonDeterminanteseGeometriaDeterminantesPropriedadesdosDeterminantesExercciosDeterminantesNotequeaexpressaoacima,dodeterminantedeumamatrizquadradaAdeordem3podeserescritacomodetA = a11det_a22a23a32a33_a12det_a21a23a31a33_++a13det_a21a22a31a32_.DeterminantesProfo. Ms.JonhCleidsonDeterminanteseGeometriaDeterminantesPropriedadesdosDeterminantesExercciosDeterminantesNotequeaexpressaoacima,dodeterminantedeumamatrizquadradaAdeordem3podeserescritacomodetA = a11det_a22a23a32a33_a12det_a21a23a31a33_++a13det_a21a22a31a32_.DeterminantesProfo. Ms.JonhCleidsonDeterminanteseGeometriaDeterminantesPropriedadesdosDeterminantesExercciosDeterminantesNotequeaexpressaoacima,dodeterminantedeumamatrizquadradaAdeordem3podeserescritacomodetA = a11det_a22a23a32a33_a12det_a21a23a31a33_++a13det_a21a22a31a32_.DeterminantesProfo. Ms.JonhCleidsonDeterminanteseGeometriaDeterminantesPropriedadesdosDeterminantesExercciosDeterminantesNotequeaexpressaoacima,dodeterminantedeumamatrizquadradaAdeordem3podeserescritacomodetA = a11det_a22a23a32a33_a12det_a21a23a31a33_++a13det_a21a22a31a32_.DeterminantesProfo. Ms.JonhCleidsonDeterminanteseGeometriaDeterminantesPropriedadesdosDeterminantesExercciosDeterminantesNotequeaexpressaoacima,dodeterminantedeumamatrizquadradaAdeordem3podeserescritacomodetA = a11det_a22a23a32a33_a12det_a21a23a31a33_++a13det_a21a22a31a32_.DeterminantesProfo. Ms.JonhCleidsonDeterminanteseGeometriaDeterminantesPropriedadesdosDeterminantesExercciosDeterminantesVoltandoaossistemaslineares,temosque,sedet_a bc d_=0entaoassolu coesdosistema(1)podemserescritasnaformaDeterminantesProfo. Ms.JonhCleidsonDeterminanteseGeometriaDeterminantesPropriedadesdosDeterminantesExercciosDeterminantesVoltandoaossistemaslineares,temosque,sedet_a bc d_=0entaoassolu coesdosistema(1)podemserescritasnaformaDeterminantesProfo. Ms.JonhCleidsonDeterminanteseGeometriaDeterminantesPropriedadesdosDeterminantesExercciosDeterminantesVoltandoaossistemaslineares,temosque,sedet_a bc d_=0entaoassolu coesdosistema(1)podemserescritasnaformaDeterminantesProfo. Ms.JonhCleidsonDeterminanteseGeometriaDeterminantesPropriedadesdosDeterminantesExercciosDeterminantesVoltandoaossistemaslineares,temosque,sedet_a bc d_=0entaoassolu coesdosistema(1)podemserescritasnaformaDeterminantesProfo. Ms.JonhCleidsonDeterminanteseGeometriaDeterminantesPropriedadesdosDeterminantesExercciosDeterminantesx= det_a bc d_ _det_a bc d__1,y= det_a ec f_ _det_a bc d__1.Poroutrolado,sedet__a b cd e fg h k__= 0,assolucoesdosistema(2)podemserescritasnaforma:DeterminantesProfo. Ms.JonhCleidsonDeterminanteseGeometriaDeterminantesPropriedadesdosDeterminantesExercciosDeterminantesx= det_a bc d_ _det_a bc d__1,y= det_a ec f_ _det_a bc d__1.Poroutrolado,sedet__a b cd e fg h k__= 0,assolucoesdosistema(2)podemserescritasnaforma:DeterminantesProfo. Ms.JonhCleidsonDeterminanteseGeometriaDeterminantesPropriedadesdosDeterminantesExercciosDeterminantesx= det_a bc d_ _det_a bc d__1,y= det_a ec f_ _det_a bc d__1.Poroutrolado,sedet__a b cd e fg h k__= 0,assolucoesdosistema(2)podemserescritasnaforma:DeterminantesProfo. Ms.JonhCleidsonDeterminanteseGeometriaDeterminantesPropriedadesdosDeterminantesExercciosDeterminantesx= det_a bc d_ _det_a bc d__1,y= det_a ec f_ _det_a bc d__1.Poroutrolado,sedet__a b cd e fg h k__= 0,assolucoesdosistema(2)podemserescritasnaforma:DeterminantesProfo. Ms.JonhCleidsonDeterminanteseGeometriaDeterminantesPropriedadesdosDeterminantesExercciosDeterminantesx= det_a bc d_ _det_a bc d__1,y= det_a ec f_ _det_a bc d__1.Poroutrolado,sedet__a b cd e fg h k__= 0,assolucoesdosistema(2)podemserescritasnaforma:DeterminantesProfo. Ms.JonhCleidsonDeterminanteseGeometriaDeterminantesPropriedadesdosDeterminantesExercciosDeterminantesx= det_a bc d_ _det_a bc d__1,y= det_a ec f_ _det_a bc d__1.Poroutrolado,sedet__a b cd e fg h k__= 0,assolucoesdosistema(2)podemserescritasnaforma:DeterminantesProfo. Ms.JonhCleidsonDeterminanteseGeometriaDeterminantesPropriedadesdosDeterminantesExercciosDeterminantesx= det__m b cn e fp h k____det__a b cd e fg h k____1,y= det__a m cd n fg p k____det__a b cd e fg h k____1,z= det__a b md e ng h p____det__a b cd e fg h k____1.DeterminantesProfo. Ms.JonhCleidsonDeterminanteseGeometriaDeterminantesPropriedadesdosDeterminantesExercciosDeterminantesx= det__m b cn e fp h k____det__a b cd e fg h k____1,y= det__a m cd n fg p k____det__a b cd e fg h k____1,z= det__a b md e ng h p____det__a b cd e fg h k____1.DeterminantesProfo. Ms.JonhCleidsonDeterminanteseGeometriaDeterminantesPropriedadesdosDeterminantesExercciosDeterminantesx= det__m b cn e fp h k____det__a b cd e fg h k____1,y= det__a m cd n fg p k____det__a b cd e fg h k____1,z= det__a b md e ng h p____det__a b cd e fg h k____1.DeterminantesProfo. Ms.JonhCleidsonDeterminanteseGeometriaDeterminantesPropriedadesdosDeterminantesExercciosDeterminantesx= det__m b cn e fp h k____det__a b cd e fg h k____1,y= det__a m cd n fg p k____det__a b cd e fg h k____1,z= det__a b md e ng h p____det__a b cd e fg h k____1.DeterminantesProfo. Ms.JonhCleidsonDeterminanteseGeometriaDeterminantesPropriedadesdosDeterminantesExercciosDeterminantesAexpressaododeterminanteem(3) emuitofacildelembrar.BastatomaroprodutodoselementosdadiagonalprincipaldamatrizAedelesubtrairoprodutodoselementosdaoutradiagonal. Aexpressaododeterminanteem(4)podeserrecuperadaapartirdaregradeSarrus1,muitoutilizadanoEnsinoMedio.1PierreFredericSarrus(Fran ca,1768-1861)couconhecidonaMatematicapelaregrapraticaderesolucaodedeterminantesdematrizesquadradasdeordem3.DeterminantesProfo. Ms.JonhCleidsonDeterminanteseGeometriaDeterminantesPropriedadesdosDeterminantesExercciosDeterminantesAexpressaododeterminanteem(3) emuitofacildelembrar.BastatomaroprodutodoselementosdadiagonalprincipaldamatrizAedelesubtrairoprodutodoselementosdaoutradiagonal. Aexpressaododeterminanteem(4)podeserrecuperadaapartirdaregradeSarrus1,muitoutilizadanoEnsinoMedio.1PierreFredericSarrus(Fran ca,1768-1861)couconhecidonaMatematicapelaregrapraticaderesolucaodedeterminantesdematrizesquadradasdeordem3.DeterminantesProfo. Ms.JonhCleidsonDeterminanteseGeometriaDeterminantesPropriedadesdosDeterminantesExercciosDeterminantesAexpressaododeterminanteem(3) emuitofacildelembrar.BastatomaroprodutodoselementosdadiagonalprincipaldamatrizAedelesubtrairoprodutodoselementosdaoutradiagonal.Aexpressaododeterminanteem(4)podeserrecuperadaapartirdaregradeSarrus1,muitoutilizadanoEnsinoMedio.1PierreFredericSarrus(Fran ca,1768-1861)couconhecidonaMatematicapelaregrapraticaderesolucaodedeterminantesdematrizesquadradasdeordem3.DeterminantesProfo. Ms.JonhCleidsonDeterminanteseGeometriaDeterminantesPropriedadesdosDeterminantesExercciosDeterminantesAexpressaododeterminanteem(3) emuitofacildelembrar.BastatomaroprodutodoselementosdadiagonalprincipaldamatrizAedelesubtrairoprodutodoselementosdaoutradiagonal. Aexpressaododeterminanteem(4)podeserrecuperadaapartirdaregradeSarrus1,muitoutilizadanoEnsinoMedio.1PierreFredericSarrus(Fran ca,1768-1861)couconhecidonaMatematicapelaregrapraticaderesolucaodedeterminantesdematrizesquadradasdeordem3.DeterminantesProfo. Ms.JonhCleidsonDeterminanteseGeometriaDeterminantesPropriedadesdosDeterminantesExercciosDeterminantesAexpressaododeterminanteem(3) emuitofacildelembrar.BastatomaroprodutodoselementosdadiagonalprincipaldamatrizAedelesubtrairoprodutodoselementosdaoutradiagonal. Aexpressaododeterminanteem(4)podeserrecuperadaapartirdaregradeSarrus1,muitoutilizadanoEnsinoMedio.1PierreFredericSarrus(Fran ca,1768-1861)couconhecidonaMatematicapelaregrapraticaderesolucaodedeterminantesdematrizesquadradasdeordem3.DeterminantesProfo. Ms.JonhCleidsonDeterminanteseGeometriaDeterminantesPropriedadesdosDeterminantesExercciosDeterminantesExemploVamoscalcular det__1 2 01 4 12 1 1__.DeterminantesProfo. Ms.JonhCleidsonDeterminanteseGeometriaDeterminantesPropriedadesdosDeterminantesExercciosDeterminantesExemploVamoscalcular det__1 2 01 4 12 1 1__.DeterminantesProfo. Ms.JonhCleidsonDeterminanteseGeometriaDeterminantesPropriedadesdosDeterminantesExercciosDeterminantesExemploVamoscalculardet__1 2 01 4 12 1 1__.DeterminantesProfo. Ms.JonhCleidsonDeterminanteseGeometriaDeterminantesPropriedadesdosDeterminantesExercciosDeterminantesExemploVamoscalcular det__1 2 01 4 12 1 1__.DeterminantesProfo. Ms.JonhCleidsonDeterminanteseGeometriaDeterminantesPropriedadesdosDeterminantesExercciosPropriedadesdosDeterminantesP.1: Multiplicarumalinhaporumn umeroreal,equivaleamultiplicarodeterminantepor.P.2: Osinaldodeterminantemudaquandosepermutaduasdesuaslinhas.P.3: Seumamatriztemduaslinhasiguais,seudeterminante eigualazero.P.4: Seumalinhadamatriz ecombinacaolineardasoutrasduas,odeterminantedamatriz ezero.P.5: Odeterminantedeumamatriznaosealterasetrocarmosumadesuaslinhaspelasomadelacomumm ultiplodeoutra.DeterminantesProfo. Ms.JonhCleidsonDeterminanteseGeometriaDeterminantesPropriedadesdosDeterminantesExercciosPropriedadesdosDeterminantesP.1: Multiplicarumalinhaporumn umeroreal,equivaleamultiplicarodeterminantepor.P.2: Osinaldodeterminantemudaquandosepermutaduasdesuaslinhas.P.3: Seumamatriztemduaslinhasiguais,seudeterminante eigualazero.P.4: Seumalinhadamatriz ecombinacaolineardasoutrasduas,odeterminantedamatriz ezero.P.5: Odeterminantedeumamatriznaosealterasetrocarmosumadesuaslinhaspelasomadelacomumm ultiplodeoutra.DeterminantesProfo. Ms.JonhCleidsonDeterminanteseGeometriaDeterminantesPropriedadesdosDeterminantesExercciosPropriedadesdosDeterminantesP.1: Multiplicarumalinhaporumn umeroreal,equivaleamultiplicarodeterminantepor.P.2: Osinaldodeterminantemudaquandosepermutaduasdesuaslinhas.P.3: Seumamatriztemduaslinhasiguais,seudeterminante eigualazero.P.4: Seumalinhadamatriz ecombinacaolineardasoutrasduas,odeterminantedamatriz ezero.P.5: Odeterminantedeumamatriznaosealterasetrocarmosumadesuaslinhaspelasomadelacomumm ultiplodeoutra.DeterminantesProfo. Ms.JonhCleidsonDeterminanteseGeometriaDeterminantesPropriedadesdosDeterminantesExercciosPropriedadesdosDeterminantesP.1: Multiplicarumalinhaporumn umeroreal,equivaleamultiplicarodeterminantepor.P.2: Osinaldodeterminantemudaquandosepermutaduasdesuaslinhas.P.3: Seumamatriztemduaslinhasiguais,seudeterminante eigualazero.P.4: Seumalinhadamatriz ecombinacaolineardasoutrasduas,odeterminantedamatriz ezero.P.5: Odeterminantedeumamatriznaosealterasetrocarmosumadesuaslinhaspelasomadelacomumm ultiplodeoutra.DeterminantesProfo. Ms.JonhCleidsonDeterminanteseGeometriaDeterminantesPropriedadesdosDeterminantesExercciosPropriedadesdosDeterminantesP.1: Multiplicarumalinhaporumn umeroreal,equivaleamultiplicarodeterminantepor.P.2: Osinaldodeterminantemudaquandosepermutaduasdesuaslinhas.P.3: Seumamatriztemduaslinhasiguais,seudeterminante eigualazero.P.4: Seumalinhadamatriz ecombinacaolineardasoutrasduas,odeterminantedamatriz ezero.P.5: Odeterminantedeumamatriznaosealterasetrocarmosumadesuaslinhaspelasomadelacomumm ultiplodeoutra.DeterminantesProfo. Ms.JonhCleidsonDeterminanteseGeometriaDeterminantesPropriedadesdosDeterminantesExercciosPropriedadesdosDeterminantesP.1: Multiplicarumalinhaporumn umeroreal,equivaleamultiplicarodeterminantepor.P.2: Osinaldodeterminantemudaquandosepermutaduasdesuaslinhas.P.3: Seumamatriztemduaslinhasiguais,seudeterminante eigualazero.P.4: Seumalinhadamatriz ecombinacaolineardasoutrasduas,odeterminantedamatriz ezero.P.5: Odeterminantedeumamatriznaosealterasetrocarmosumadesuaslinhaspelasomadelacomumm ultiplodeoutra.DeterminantesProfo. Ms.JonhCleidsonDeterminanteseGeometriaDeterminantesPropriedadesdosDeterminantesExercciosPropriedadesdosDeterminantesP.1: Multiplicarumalinhaporumn umeroreal,equivaleamultiplicarodeterminantepor.P.2: Osinaldodeterminantemudaquandosepermutaduasdesuaslinhas.P.3: Seumamatriztemduaslinhasiguais,seudeterminante eigualazero.P.4: Seumalinhadamatriz ecombinacaolineardasoutrasduas,odeterminantedamatriz ezero.P.5: Odeterminantedeumamatriznaosealterasetrocarmosumadesuaslinhaspelasomadelacomumm ultiplodeoutra.DeterminantesProfo. Ms.JonhCleidsonDeterminanteseGeometriaDeterminantesPropriedadesdosDeterminantesExercciosExerccios1) Veriquequeossistemastemuma unicasolu caoeencontreasolu cao,usandoaregradeCramer:(A)___x + 2y z= 1x + 3y+ 2z= 32x y+ z= 2(B)___2x + y 3z= 52y+ z= 04x + 3y+ 2z= 7DeterminantesProfo. Ms.JonhCleidsonDeterminanteseGeometriaDeterminantesPropriedadesdosDeterminantesExercciosExerccios1) Veriquequeossistemastemuma unicasolu caoeencontreasolu cao,usandoaregradeCramer:(A)___x + 2y z= 1x + 3y+ 2z= 32x y+ z= 2(B)___2x + y 3z= 52y+ z= 04x + 3y+ 2z= 7DeterminantesProfo. Ms.JonhCleidsonDeterminanteseGeometriaDeterminantesPropriedadesdosDeterminantesExercciosExerccios1) Veriquequeossistemastemuma unicasolu caoeencontreasolu cao,usandoaregradeCramer:(A)___x + 2y z= 1x + 3y+ 2z= 32x y+ z= 2(B)___2x + y 3z= 52y+ z= 04x + 3y+ 2z= 7DeterminantesProfo. Ms.JonhCleidsonDeterminanteseGeometriaDeterminantesPropriedadesdosDeterminantesExercciosExerccios1) Veriquequeossistemastemuma unicasolu caoeencontreasolu cao,usandoaregradeCramer:(A)___x + 2y z= 1x + 3y+ 2z= 32x y+ z= 2(B)___2x + y 3z= 52y+ z= 04x + 3y+ 2z= 7DeterminantesProfo. Ms.JonhCleidsonDeterminanteseGeometriaDeterminantesPropriedadesdosDeterminantesExercciosExerccios1) Veriquequeossistemastemuma unicasolu caoeencontreasolu cao,usandoaregradeCramer:(A)___x + 2y z= 1x + 3y+ 2z= 32x y+ z= 2(B)___2x + y 3z= 52y+ z= 04x + 3y+ 2z= 7DeterminantesProfo. Ms.JonhCleidsonDeterminanteseGeometriaDeterminantesPropriedadesdosDeterminantesExercciosExerccios2) SejamAeBduasmatrizes3x3,sendoBinvertvel.Proveasarma coesabaixo:(A) det(A) = 3det(A),paratodo R.(B) detB1=1detB(C) det(B1AB) = detA.DeterminantesProfo. Ms.JonhCleidsonDeterminanteseGeometriaDeterminantesPropriedadesdosDeterminantesExercciosExerccios2) SejamAeBduasmatrizes3x3,sendoBinvertvel.Proveasarma coesabaixo:(A) det(A) = 3det(A),paratodo R.(B) detB1=1detB(C) det(B1AB) = detA.DeterminantesProfo. Ms.JonhCleidsonDeterminanteseGeometriaDeterminantesPropriedadesdosDeterminantesExercciosExerccios2) SejamAeBduasmatrizes3x3,sendoBinvertvel.Proveasarma coesabaixo:(A) det(A) = 3det(A),paratodo R.(B) detB1=1detB(C) det(B1AB) = detA.DeterminantesProfo. Ms.JonhCleidsonDeterminanteseGeometriaDeterminantesPropriedadesdosDeterminantesExercciosExerccios2) SejamAeBduasmatrizes3x3,sendoBinvertvel.Proveasarma coesabaixo:(A) det(A) = 3det(A),paratodo R.(B) detB1=1detB(C) det(B1AB) = detA.DeterminantesProfo. Ms.JonhCleidsonDeterminanteseGeometriaDeterminantesPropriedadesdosDeterminantesExercciosExerccios2) SejamAeBduasmatrizes3x3,sendoBinvertvel.Proveasarma coesabaixo:(A) det(A) = 3det(A),paratodo R.(B) detB1=1detB(C) det(B1AB) = detA.DeterminantesProfo. Ms.JonhCleidsonDeterminanteseGeometriaDeterminantesPropriedadesdosDeterminantesExercciosExerccios3) (MAPOFEI)Resolver,aplicandoaRegradeCramer,osistema:___x + y= 12x + 3y 3z= 2x + z= 14) Mostrarqueosistemaabaixotemsolucao unica.___2x y+ z= 33x + 2y z= 15x y= 75) Resolverosistemaabaixo:___x + y+ z= 1x y+ z= 12x + 3y+ 2z= 0DeterminantesProfo. Ms.JonhCleidsonDeterminanteseGeometriaDeterminantesPropriedadesdosDeterminantesExercciosExerccios3) (MAPOFEI)Resolver,aplicandoaRegradeCramer,osistema:___x + y= 12x + 3y 3z= 2x + z= 14) Mostrarqueosistemaabaixotemsolucao unica.___2x y+ z= 33x + 2y z= 15x y= 75) Resolverosistemaabaixo:___x + y+ z= 1x y+ z= 12x + 3y+ 2z= 0DeterminantesProfo. Ms.JonhCleidsonDeterminanteseGeometriaDeterminantesPropriedadesdosDeterminantesExercciosExerccios3) (MAPOFEI)Resolver,aplicandoaRegradeCramer,osistema:___x + y= 12x + 3y 3z= 2x + z= 14) Mostrarqueosistemaabaixotemsolucao unica.___2x y+ z= 33x + 2y z= 15x y= 75) Resolverosistemaabaixo:___x + y+ z= 1x y+ z= 12x + 3y+ 2z= 0DeterminantesProfo. Ms.JonhCleidsonDeterminanteseGeometriaDeterminantesPropriedadesdosDeterminantesExercciosExerccios3) (MAPOFEI)Resolver,aplicandoaRegradeCramer,osistema:___x + y= 12x + 3y 3z= 2x + z= 14) Mostrarqueosistemaabaixotemsolucao unica.___2x y+ z= 33x + 2y z= 15x y= 75) Resolverosistemaabaixo:___x + y+ z= 1x y+ z= 12x + 3y+ 2z= 0DeterminantesProfo. Ms.JonhCleidsonDeterminanteseGeometriaDeterminantesPropriedadesdosDeterminantesExercciosExerccios3) (MAPOFEI)Resolver,aplicandoaRegradeCramer,osistema:___x + y= 12x + 3y 3z= 2x + z= 14) Mostrarqueosistemaabaixotemsolucao unica.___2x y+ z= 33x + 2y z= 15x y= 75) Resolverosistemaabaixo:___x + y+ z= 1x y+ z= 12x + 3y+ 2z= 0DeterminantesProfo. Ms.JonhCleidsonDeterminanteseGeometriaDeterminantesPropriedadesdosDeterminantesExercciosExerccios3) (MAPOFEI)Resolver,aplicandoaRegradeCramer,osistema:___x + y= 12x + 3y 3z= 2x + z= 14) Mostrarqueosistemaabaixotemsolucao unica.___2x y+ z= 33x + 2y z= 15x y= 75) Resolverosistemaabaixo:___x + y+ z= 1x y+ z= 12x + 3y+ 2z= 0DeterminantesProfo. Ms.JonhCleidsonDeterminanteseGeometriaDeterminantesPropriedadesdosDeterminantesExercciosExerccios3) (MAPOFEI)Resolver,aplicandoaRegradeCramer,osistema:___x + y= 12x + 3y 3z= 2x + z= 14) Mostrarqueosistemaabaixotemsolucao unica.___2x y+ z= 33x + 2y z= 15x y= 75) Resolverosistemaabaixo:___x + y+ z= 1x y+ z= 12x + 3y+ 2z= 0
