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Como já vimos, matriz quadrada é a que tem o mesmo número de linhas e de colunas (ou seja, é do tipo nxn).

A toda matriz quadrada está associado um número ao qual damos o nome de determinante.

Dentre as várias aplicações dos determinantes na Matemática, temos:üresolução de alguns tipos de sistemas de equações lineares;ücálculo da área de um triângulo situado no plano cartesiano, quando são conhecidas as coordenadas dos seus vértices;

Definição DETERMINANTE

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O determinante da matriz A de ordem 1 é o próprio número que origina a matriz. Dada uma matriz quadrada de 1ª ordem temos que o determinante é o número real a11.

Observação: Representamos o determinante de uma matriz entre duas barras verticais, que não têm o significado de módulo.

Determinante de 1ª ordem

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Exemplo Resolvido

ØM= [5] à det M = 5 ou I 5 I = 5

ØM = [-3] à det M = -3 ou I -3 I = -3

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O determinante de uma matriz de segunda ordem é a diferença entre o produto dos termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundária. Esses produtos se chamam, respectivamente, termo principal e termo secundário da matriz.

Determinante de 2ª ordem

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Portanto, o determinante de uma matriz de ordem 2 é dado pela diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária. Veja o exemplo a seguir.

Determinante de 2ª ordemDETERMINANTE

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O cálculo do determinante de 3ª ordem pode ser feito por meio de um dispositivo prático, denominado regra de Sarrus.

Determinante de 3ª ordem

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20.Calcule os determinantes das matrizes a seguir.a)

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20. Calcule os determinantes das matrizes a seguir.b)

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20. Calcule os determinantes das matrizes a seguir.c)

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21. Calcule

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22. Calcule o valor de x, a fim de que o determinante da matriz A seja nulo.

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PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES

ØQuando todos os elementos de uma fila ( linha ou coluna) são nulos, o determinante dessa matriz é nulo.

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ØSe duas filas paralelas de uma matriz são proporcionais, então seu determinante é nulo.

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ØSe os elementos de uma fila de uma matriz são combinações lineares dos elementos correspondentes de filas paralelas, então seu determinante é nulo.

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ØO determinante de uma matriz e o de sua transposta são iguais.

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ØMultiplicando por um número real todos os elementos de uma fila em uma matriz, o determinante dessa matriz fica multiplicado por esse número.

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ØCaso uma matriz quadrada A seja multiplicada por um número real k, seu determinante passa a ser multiplicado por kn.

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ØQuando trocamos as posições de duas filas paralelas, o determinante de uma matriz muda de sinal.

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ØQuando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são todos nulos, o determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal.

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ØPara A e B matrizes quadradas de mesma ordem n, temos que det (A.B)=det A.detB.

Exemplo: Se A = e B =

Assim det (AB) = detA.det B= 5.2 = 10Repare que se tivessemos feito a multiplicação matricial A.B = , teríamos det( AB) = 32 – 22 = 10 .

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ØPara calcular o determinante da inversa , temos :

Se A = , logo

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CUIDADO

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23. Calcule os determinantes abaixo usando as propriedades estudadas.a)

b)

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23. Calcule os determinantes abaixo usando as propriedades estudadas.c)

d)

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24. Se A = , calcular o det AT ,det A-1 e det 2A .

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25. Se A= e det A =10, então det vale.

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26. Considerando as matrizes:

se det(A) = k ¹ 0, então det(B) + det(C) + det(D) é:a) 10kb) 2kc) 4kd) 8ke) 11k

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27. Se o determinante da matriz é igual a -18, então o

determinante da matriz é igual a:a) -9.b) -6.c) 3.d) 6.e) 9.

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ù

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é

14p44p22p

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ù

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é

12-p42-p21-p

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28. Considere a matriz quadrada O determinante dessa matriz vale.a) 0.b) 1.c) 6.d) 12.e) 18.

j) (i, mmc a | )(a A ij3x3ij ==