[email protected] Mark Joselli Aula 3: Determinantes e ... · Matemática para jogos 1 Aula 2...
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Matematica para jogos 1 Aula 2
Matematica para jogos 1 Aula 2
Matemática para jogos 1
Aula 3: Determinantes e matriz inversaMark Joselli
MATRIZ INVERSA
Definição
Vamos considerar duas matrizes A e B de quadradas de dimensao n, onde o produto das duas e igual a identidade:A*B=B*A=IQuando isso acontece, dizemos que A e inversa de B e B e inversa de A, ou ainda:Notacao:A=B–1
B=A–1
Inversivel
Quando uma matriz nao admite inversa dizemos que ela e singular (nao tem o seu par, a inversa) ou nao inversıvel. Analogamente, quando a matriz admite inversa ela e nao singular ou inversıvel.
Por definicao, toda matriz inversıvel e equivalente a matriz identidade. Entao, imagine que podemos realizar operacoes elementares sobre uma matriz A, ate que consigamos obter a matriz identidade como resultado. Caso isso nao seja possıvel, implica dizer que se trata de uma matriz nao inversıvel.A*A-1=I
Exemplo: Verificar se matriz tem inversa
Prove que as matrizes A e B sao inversas uma da outra.
Exercicio: Verifique se A e B tem inversa
Exemplo: Achar a inversa
Exemplo
Exercicio
Encontre B-1:
Encontre A:
Propriedades
Considerando A, B, C e D matrizes inversıveis:1) A*A–1 = A–1*A=I2) (A–1)–1= A3) (A–1)t = (A–t)1
4) (A*B)–1 = B–1*A–1
5) (A*B*C*D)–1 = D–1*(A*B*C)–1 = D–1*C– 1 *(A*B)–1 = D–1*C–1*B–1*A–1
Determinante
Apresentacao
● O determinante e um recurso bastante aplicado com matrizes.
● Atraves dele pode-se obter informacoes sobre a matriz, como por exemplo :○ saber se ela e singular, ○ associar o determinante com a solucao de um
sistema de equacoes lineares, ○ obter calculo de areas ○ e muitas outras aplicacoes.
Objetivos
● Encontrar o determinante de uma matriz de qualquer ordem.
● Saber identificar quando deve ser utilizada determinada propriedade.
● Montar a matriz de cofatores.
Definicao
● O determinante de uma matriz e uma funcao que leva uma matriz quadrada a um numero real, ou seja, o determinante e um numero real que e associado a uma matriz.
● A notacao utilizada para o determinante de uma matriz e qualquer uma das formas abaixo, onde A e uma matriz quadrada e aij seu termo geral.
detA det(A) |A| det(aij)
Determinante: Matrix1x1
Dada a Matrix: A = (a11) -> detA = a11
B = (3) -> detB = 3
Determinante:Matrix2x2
Realizar o produto da diagonal principal menos o produto da diagonal secundaria.A =
detA = a11*a22- a12*a21
exemplo
??
exemplo
3*5 - 2*4 = 7
Exercico: Ache a determinante
Matriz3x3
Usamos a regra de Sarrus, onde repetimos as duas primeiras colunas ao lado direito da matriz e efetuando o somatorio do produtos da diagonais principal com as duas diagonais paralelas, e subtraindo do somatorio da diagonal secundaria com suas duas diagonais paralelas.
DetA = a11*a22 *a33+a12*a23 *a31+a13*a21 *a32
...
DetA = a11*a22 *a33+a12*a23 *a31+a13*a21 *a32
- (a13*a22 *a31+a11*a23 *a32+a12*a21 *a33)
Exemplo
Exercicio
Calcule os determinantes:
Determinante de matriz de ordem n
O determinante de A = (aij)nxn, com n natural e maior que 2 pode ser obtido a partir de conceitos de cofator.
Cofator
O cofator do elemento aij é o numero Aij dado por:Aij = (-1)i+j * Dij, onde Dij é o determinante da matriz obtida de A eliminando a linha i e a coluna j
Exemplo
A13=?
Exemplo
D13=??
Exemplo
Exemplo 2
Calcule A22
Exemplo 2
Exercicio
Calcule A11,A12,A21 e A32
Determinante de matriz de ordem n
Então o determinante de A (matriz quadrada de ordem n, com n > 1), é igual a soma dos produtos dos elementos de uma linha qualquer pelos seus respectivos cofatores.
Exemplo
Escolhendo a linha 1
Exemplo
Escolhendo a linha 1detA = a11*A11+a12*A12+a13*A13
Exemplo
Escolhendo a linha 1detA = a11*A11+a12*A12+a13*A13=
Exemplo
Escolhendo a linha 1detA = a11*A11+a12*A12+a13*A13=
=-1(2*1-1*2)+2(1*1-3*2)=-10
Exemplo II
Exemplo II
Escolhendo a linha 1detA= 0*A11+1*A12+1*A13+0*A14
Exemplo II Escolhendo a linha 1 detA= 0*A11+1*A12+1*A13+0*A14
Exercicio
Ache os determinantes:
Propriedades dos determinantes
● Se A tem uma linha (ou coluna) com todos os elementos nulos, detA=0
Propriedades dos determinantes
● Se A tem duas linhas (ou colunas) iguais, detA=0
Propriedades dos determinantes
● Se A tem duas linhas (ou colunas) proporcionais, detA=0
Propriedades dos determinantes
● O determinante de uma matriz nao se altera quando trocamos as linhas pelas colunas.
Propriedades dos determinantes
● Se na matriz A, cada elemento de uma linha (ou coluna) e uma soma de duas parcelas, o determinante de A pode ser expresso sob a forma de uma soma dos determinantes de suas matrizes.
Propriedades dos determinantes
● O determinante de uma matriz triangular e igual ao produto dos elementos da diagonal principal.
Propriedades dos determinantes
● Trocando duas linhas (ou colunas) da matriz A, o determinante muda de sinal.
Propriedades dos determinantes
● Quando multiplicamos um numero real por todos os elementos de uma linha (ou coluna) da matriz A, o determinante e multiplicado por esse numero real.
Propriedades dos determinantes
● Um determinante nao se altera quando somamos duas linhas (ou colunas) de uma matriz A previamente multiplicada por uma constante.
Propriedades dos determinantes
● Sejam A e B matrizes, o determinante do produto e igual ao produto dos determinantes.
det(A*B)=det(A)*det(B).