DEEC / IST Isabel Lourtie Fundamentos de Controlo Projecto de Controladores Compensação série...

DEEC / IST Isabel Lourtie

Fundamentos de Controlo Projecto de Controladores

Projecto de Controladores

Compensação série

Projecto no domínio da frequênciaCompensação por avanço de faseCompensação por atraso de fase Compensação por moldagem do ganho de malha




Objectivo: Modificação das características de um sistema (resposta em frequência e/ou resposta no tempo) por forma a satisfazer determinadas especificações, tais como:

Exatidão Estabilidade relativa Rapidez de resposta

Exemplo de especificações de projecto:

na frequência

no tempo

margem de fasemargem de ganholargura de bandaetc…

tempo de crescimentotempo de estabelecimentosobre-elevaçãoetc…

Diagrama de Bode e/ou de Nyquist

Root-locus

JÁ ESTUDADO



Esquema geral de compensação série

K sG

sR sY

sH

sC

Introdução na cadeia de acção de um bloco de compensação – C(s) – alteração dos polos/zeros do sistema em cadeia aberta

Especificações na frequência – diagramas de Bode e/ou de Nyquist

Objectivo – modificar a resposta em frequência do sistema em cadeia aberta



Esquema geral de compensação sérieA

mpl

itud

e (d

B)

Arg

umen

to (

º)

0

180

0MG>0

MF>0

sistema a controlar: KG(s)H(s)

sistema a controlar: KG(s)H(s)

controlador: C(s)

Amplitude (dB):

dBdB

jHjKGjC

Argumento(º):

jHjKGjC argarg

MG>0

MF>0

sistema controlado: KC(s)G(s)H(s)

sistema controlado: KC(s)G(s)H(s)

• MF e MG aumentaram• Estabilidade relativa aumentou



210 110 010 110 210

180

0

40

80

80

40

dB

jG

jGarg

1K

Compensação sérieExemplo

sC2

1

s

sR sY

2

1

ssG - sistema instável

1ª tentativa: 0KsC

dB 01 dB

jG º1801arg jG

º0MF

sistema em cadeia fechada marginalmente estável




sC2

1

s

sR sY

2

1


1ª tentativa: 0KsC

A imagem do contorno passa pelo ponto 1

sistema em cadeia fechada marginalmente estável

Re

ImPlano KG

10

Re

Im

C

Plano s

0

Projecto apoiado no root-locus:

sRe

sIm

Exemplo (cont.)

º180arg1: jCjGjCjG

01 jCjG j é polo em malha fechada



Compensação série sC2

1

s

sR sY

2

1


sRe

sIm

Projecto apoiado no root-locus

Exemplo (cont.)

2ª tentativa:

z

zsKsC

210 110 010 110 210

180

0

80

40

dB

jGjC

jGjCarg 135

90

rad/s 1.0

1

z

K

º90MF



Re

Im

Plano KGC

10

0

Re

Im

C

Plano s

0

0

Compensação série sC2

1

s

sR sY

2

1


Exemplo (cont.) 2ª tentativa:

z

zsKsC

º90MF

Re

Imsistema original

10

O compensador por avanço de fase afasta o diagrama do ponto 1

º45

º0

jCarg

º90

z

benefício de avanço de fase



Projecto no domínio da frequência

Os compensadores de fase, C(s), apresentados com ganho estático unitário, são controladores simples de 1ª ordem, com um polo e um zero, que permitem melhorar a estabilidade relativa do sistema em malha fechada ao serem projectados com o objectivo de obter uma Margem de Fase conveniente – modificam as características dinâmicas do sistema.

O ajuste do ganho K irá determinar os erros em regime permanente.

Compensadores de fase

K – ganhoC(s) – compensador de faseG(s) – sistema a controlar

K sG

sR sY

sH

sC



Compensador de avanço de fase

101

11

Ts

Ts

sC

T1

T

1

sIm

sRe

m

T

1

m

m

T

1

T1

T1

0

)(ºarg jC

90

0

log20

dB jC

log20

Tm

1

1

1sin m

Com o controlador de avanço de fase pretende-se introduzir fase positiva na vizinhança da frequência de corte a 0 dB de modo a aumentar a Margem de Fase, não esquecendo que o compensador também introduz ganho.



Compensador de avanço de fase Localização do controlador

210 110 210010110

40

40

0

90

180

0

ampl

itud

e (d

B)

fase

(º)

controlador

sistema compensadosistema não

compensado

10/cm - pequena influência na MF

MF

MF 210 110 210010110

60

60

0

90

180

0

ampl

itud

e (d

B)

fase

(º)

controlador

sistema compensado

sistema não compensado

cm 10 - pequena influência na MF

MFMF

310

c - frequência de corte a 0 dB



210 110 210010110

60

60

0

90

180

0

ampl

itud

e (d

B)

fase

(º)

controlador

sistema compensado


cm - MF aumenta

MF

MF

310

Compensador de avanço de fase Localização do controlador

c - frequência de corte a 0 dB

Devido ao ganho do controlador, frequência de corte a 0 dB aumenta

Devido ao aumento da frequência de corte a 0dB, a MF aumenta de um valor ligeiramente inferior a fm



Como o compensador introduz ganho, a frequência de corte a 0 dB do sistema compensado desloca-se; a esse novo valor da frequência corresponderia no sistema original uma MF diferente pelo que é preciso introduzir a correcção e

MF do sistema a controlar – KG(s)H(s)

MF requerida nas especificações de projecto

3. Determinar o avanço de fase fm que é necessário adicionar ao sistema a controlar

MFMFreqm

Compensação por avanço de fase Dimensionamento

1. Determinar o ganho K da função de transferência em cadeia aberta do sistema a controlar – KG(s)H(s) – de modo a satisfazer as especificações relativas aos erros estáticos.

K sG

sR sY

sH

sC

2. Com o ganho K obtido, calcular a margem de fase (MF) do sistema a controlar.

4. A partir de fm determinar o parâmetro a do controlador

1

1sin m



Compensação por avanço de fase Dimensionamento

6. Para a e wm obtidos, determinar o parâmetro T

Tm

1

5. Determinar de modo a coincidir com a nova frequência de corte a 0dB. Nessa frequência o compensador introduz um ganho em dB de pelo que a frequência deverá ser aquela à qual o sistema não compensado apresenta um ganho de

log20m

m

log20dBmm jHjKG

wm é a nova frequência de corte a 0 dB

7. Verificar se as especificações foram satisfeitas!



110210010

180

90

135

40

40

20

0

20

dB

jKG

jKGarg

Compensação por avanço de fase Exemplo

K 2

4

ss

sR sY sCDimensionar K e uma malha de avanço de

fase C(s) tal que:

• Erro estático de velocidade:• Margem de fase: • Margem de Ganho:

05.0veº50MF

dB 10MG

1. Ganho K (C(s)=1):

2. Margens de fase e de ganho:

201

05.0 vv

v KK

e

Kss

sKssKGKss

v 22

4limlim

00

10K 2

40

sssKG

º18MF

MG



º38º32º18º50MFMF mreqm

3. Avanço de fase fm:

Compensação por avanço de fase Exemplo (cont)

2

40

sssKG

4. Cálculo de a:

24.01

1º38sin

1

1sin

m

5. Determinação de wm:

24.0log204

40log20log20

2

mm

dBmjKG

rad/s 924.04

402

m

mm

41.41

24.0911

TTT

mm

6. Determinação de T:

4.181

T

T

s

Ts

sC

1

11

4.18

41.42.4

s

ssC



010 110 210180

90

0

40

20

0

20

45

135

45

sistema compensado


controlador

controlador


sistema compensado

ampl

itud

e (d

B)

fase

(º)

Especificações:


05.0ve

º50MF dB 10MG

7. Verificação de resultados

Compensação por avanço de fase

1

º5.50

º18

Im

Re

sistema compensado


º5.50MF

MG



Compensação por avanço de fase

Compensadores de avanço de fase são filtros passa-alto utilizados para introduzir fase positiva na vizinhança da frequência de cruzamento a 0 dB do sistema original.

Consequentemente, compensação por avanço de fase permite

aumentar a margem de fase melhorando a estabilidade relativa

aumentar a largura de banda o que diminui o tempo de estabelecimento tornando o sistema mais rápido

mas conduz ao

aumento do ganho de alta frequência diminuindo a capacidade de rejeição de perturbações de alta frequência



Compensador de atraso de fase

11

11

Ts

Ts

sC

T

1

T1

sIm

sRe

m

T1

m

m

T1

T

1

T

1

0

)(ºarg jC

90

0

log20

dB jC

log20

Tm

1

1

1sin m

Com o controlador de atraso de fase pretende-se tirar partido da atenuação introduzida pelo compensador na alta frequência de modo a deslocar a frequência de cruzamento a 0 dB para a frequência que conduz à margem de fase desejada



Compensador de atraso de fase

210 110 210010110

80

8090

270

0

ampl

itud

e (d

B)

fase

(º)

310

180 MF=0

Objectivo: escolher para frequência de corte a 0 dB a frequência wc da resposta em frequência do sistema a controlar cuja fase conduza à margem de fase pretendida

wc pretendida

MF pretendida Onde localizar o controlador?


Localização do controlador



210 110 210010110

80

80

90

270

0

ampl

itud

e (d

B)

fase

(º)

310

180

0

zero do controlador numa frequência entre 1 década antes e a wc pretendida

210 110 210010110

80

80

90

270

0

ampl

itud

e (d

B)

fase

(º)

310

180

0

sistema compensado

controlador


zero do controlador na frequência wc pretendida

Localização do controlador Compensador de atraso de fase

Variação de fase no controlador afecta fase na wc pretendida

não satisfazainda não satisfaz

wc pretendida

MF pretendida

wc pretendida

MF pretendida



210 110 210010110

80

80

90

270

0

ampl

itud

e (d

B)

fase

(º)

310

180

0

zero do controlador mais de 1 década antes de wc pretendida, maior redução no ganho de baixa frequência

210 110 210010110

80

80

90

270

0

ampl

itud

e (d

B)

fase

(º)

310

180

0

zero do controlador 1 década antes de wc pretendida

Localização do controlador Compensador de atraso de fase

wc pretendida

MF pretendida satisfaz

wc pretendida

MF pretendida satisfaz



Destina-se a compensar a fase negativa que o controlador irá introduzir na nova frequência de corte a 0 dB

MF requerida nas especificações de projecto

3. Se MF e MG não satisfazem as especificações, determinar wc (“nova” frequência de corte a 0 dB), tal que

reqcc jHjKG MFº180arg

Compensação por atraso de fase Dimensionamento

1. Determinar o ganho K da função de transferência em cadeia aberta do sistema a controlar – KG(s)H(s) – de modo a satisfazer as especificações relativas aos erros estáticos.

K sG

sR sY

sH

sC

2. Com o ganho K obtido, calcular as margens de ganho (MG) e de fase (MF) do sistema a controlar.



Compensação por atraso de fase Dimensionamento

5. Para que não haja perturbação significativa na fase da nova frequência de corte a 0 dB, e para simultaneamente utilizar a máxima atenuação introduzível, o zero do controlador é colocado uma década abaixo da frequência wc:

10

1 c

T

6. Verificar se as especificações foram satisfeitas!

4. Como o ganho do controlador na alta frequência é de , para que o ganho do sistema controlado na frequência wc seja de 0 dB, determinar b tal que log20

dBcc jHjKG

log20



010110110

270

90

180

40

40

20

0

20

dB

jKG

jKGarg

Compensação por atraso de fase Exemplo

K 21

2

sss

sR sY sCDimensionar K e uma malha de atraso C(s) tal que:


2.0veº40MF

dB 10MG

1. Ganho K (C(s)=1):

2. Margens de fase e de ganho:

51

2.0 vv

v KK

e

Ksss

sKssKGKss

v

21

2limlim

00

5K 21

10

ssssKG º20MF

dB 5.4MG

MF<0º, MG<0 dB – sistema em anel fechado instável



010110110

270

90

180

40

40

20

0

20

dB

jKG

jKGarg

3. Determinar wc (“nova” frequência de corte a 0 dB), tal que

reqcc jHjKG MFº180arg

Compensação por atraso de fase Exemplo (cont.)

21

10

ssssKG

4. Determinar b tal que

log205.05.0 dB

jHjKGº50

110.5

º50MFº40MF reqreq

rad/s 5.0c

20

10

5. Localização do zero e do polo do controlador

005.010

05.0105.0

10

1

TTc

Ts

Ts

sC

1

11

005.0

05.01.0

s

ssC



80

110110 210 310 410 010

180

270

40

0

40

90

0

ampl

itud

e (d

B)

fase

(º)

controlador

controlador

sistema compensado

sistema compensado



Especificações:


2.0ve

º40MF dB 10MG

6. Verificação de resultados

Compensação por atraso de fase

º47MF

dB 15MG

1

Im

Re

sistema compensado




Compensação por atraso de fase

Compensadores de atraso de fase são essencialmente filtros passa-baixo.

Consequentemente, compensação por atraso de fase permite

ganho elevado para as baixas frequências o que melhora a exactidão (erro estático)

ganho baixo para as altas frequências o que aumenta a estabilidade relativa (margem de fase)

mas conduz à

diminuição da largura de banda o que aumenta o tempo de estabelecimento do sistema tornando o sistema mais lento



Moldagem do ganho de malha

sK sG

d

yr

n

ue

Pretende-se:

um bom seguimento do sinal de referência, cuja ocupação espectral se situa habitualmente em frequências relativamente baixas,

uma boa rejeição das perturbações que incidem no sistema a controlar e cujo espectro de frequência se situa habitualmente no domínio das baixas e médias frequências,

uma boa rejeição do ruído com origem nos sensores localizados na cadeia de retroacção e com ocupação espectral em frequências relativamente altas,

uma boa e robusta estabilidade relativa.

Definição de um perfil desejado para a resposta em frequência da malha aberta



sK sG

d

yr

n

ue

Resposta em malha fechada

sNsGsDsGsRsGsY 321

Princípio da sobreposição

sGsKsD

sYsG

nr

1

1

0,0

2

Influência da perturbação d na saída y:

sGsK

sGsK

sN

sYsG

dr

1

0,0

3

Influência do ruído n na saída y:

sGsK

sGsK

sR

sYsG

nd

1

0,0

1

Seguimento da referência r:



Caracterização dos sinais

Sinais caracterizados pela sua ocupação espectral, i.e., modelizados como processos estocásticos estacionários com densidade espectral de potência F(jw).

txSeja um processo estocástico (sinal aleatório) ergódico estacionário.

2

2

1lim

T

TTdttxtx

TFunção de autocorrelação de : tx

Potência média de : tx

2

2

21lim0

T

TTdttx

T

Densidade espectral de potência de : tx

dej jTF



ty tx jHSinais estocásticos e SLITs

tytx , - processos estocásticos ergódicos estacionários

jH - resposta em frequência do SLIT

Relação entre os espectros de potência dos sinais de saída e de entrada

2 jHjj xy

dBx

y jHjHjHj

j

log20log10log102




sK sG

d

yr

n

ue

Especificações de projecto

Condições impostas ao módulo da resposta em frequência de cada uma das funções de transferência

em bandas de frequência especificadas

0,0 ndsR

sE

0,0 nrsD

sY

0,0 drsN

sY

Nos processos físicos reais a potência está concentrada em bandas de frequência limitadas sendo fora dessas bandas de frequência. 0 j

(r – baixas frequências, d – baixas e médias frequências, n – altas frequências)




1. Bom seguimento do sinal de referência

sGsKsR

sE

1

1

r – sinal de baixa frequência

jr

r0

0, jrr

sK sG

yer

Especificação de projecto:

rrjGjKjR

jE

,0,1

1

1

dB

jR

jE

r

rlog20

0

rrjR

jE

,0,log20dB




rrjGjKjR

jE

,0,1

1

1


1. Bom seguimento do sinal de referência

11

1 r

jGjK

rr

jGjK

,0,11

Constrição no ganho de malha:

dB jGjK

r

r1

log20

0

rr

jGjK

,0,1

log20dB




d – sinal de baixa ou média frequência

jd

d0

0, jdd

2. Boa rejeição de perturbações no processo

sGsKsD

sY

1

1 sK sG

yd

sK sG

d

yr

n

ue


ddjGjKjD

jY

,0,1

1

1

dB

jD

jY

d

dlog20

0

ddjD

jY

,0,log20dB




ddjGjKjD

jY

,0,1

1

1


11

1 d

jGjK

dd

jGjK

,0,11


dB jGjK

d

d1

log20

0

dd

jGjK

,0,1

log20dB

2. Boa rejeição de perturbações no processo




n – sinal de alta frequência

sK sG

d

yr

n

ue


nnnjGjK

jGjK

jN

jY21 ,,1

1

jn

n10

0,0 21 jnnn

n2

3. Boa rejeição do ruído nos sensores

sGsK

sGsK

sN

sY

1

sK sG

yn1

nnnjN

jY21

dB

,,log20

dBjN

jY

n1

nlog20

0

n2




nnnjGjK 21 ,,1


3. Boa rejeição do ruído nos sensores


nnnjGjK

jGjK

jN

jY21 ,,1

1

nnnjGjK 21dB

,,log20

dB

jGjK

n1

nlog20

0

n2




dB

jGjK

r

rlog20

0d

dlog20

n1n2

nlog20

barreira inferior de baixa e média frequência

barreira superior de alta frequência

Objectivo:

Moldar (por escolha adequada de K(s)) o ganho de malha de modo a ajustá-lo entre as barreiras, preservando a estabilidade do sistema em malha fechada



Moldagem do ganho de malha Exemplo 1

sK sG

d

yr

n

ue

2

1


Projectar K(s) de modo a serem cumpridas as seguintes especificações:

i. Seguimento da referência r com erro menor ou igual a -60 dB na banda de frequências [0,1] rad/s;

ii. Atenuação de pelo menos 40 dB do efeito da perturbação d sobre a saída y na banda de frequências [0,10] rad/s;

iii. Atenuação de pelo menos 20 dB do efeito do ruído n sobre a saída y na banda de frequências [103,106] rad/s;

iv. Margem de fase de 45º

dB 60jK

dB 60jR

jE :rad/s 0,1 i.

dB

dB

jG

dB 40jK

dB 40jD

jY :rad/s 0,10 ii.

dB

dB

jG

dB 20jK

dB 20jN

jY :rad/s ,1010 iii.

dB

dB

63

jG




dB

jG

2

1

ssG

dB 60jK :rad/s 0,1 i.dB

jG

dB 40jK :rad/s 0,10 ii.dB

jG

Condições i. e ii. não são satisfeitas

54

dB

1010

dB 100KdB 80

K

dB 20jK :rad/s ,1010 iii.dB

63 jG

Exemplo 1 (cont.)



2

410

ssGK


1º passo: 410 KsK

80

110110 010

180

40

40

0

ampl

itud

e (d

B)

fase

(º)

210 310 410

80

120

i. ii.

iii.Condições i., ii. e iii. satisfeitas

MF=0º

Condição

iv. Margem de fase de 45º

não satisfeita

Introduzir malha de avanço de fase para aumentar a fase de 45º na frequência de corte a 0 dB (wc=102 rad/s).

Exemplo 1 (cont.)



80

110110 010

180

40

40

0

ampl

itud

e (d

B)

fase

(º)

210 310 410

120

90

135

2

222

c 10

10~1010

ssKz

2

22 1010

s

ssGsK

Malha de avanço de fase com ganho estático unitário

z

zssKKsK

410

~ 2º passo:


Localização do zero:

dB

jK ~

jK

~arg

zº45º90

0

Exemplo 1 (cont.)

º45MF




2

22 1010

s

ssGsK

Re

Im

Plano KGC

10

0

Re

Im

Plano s

0

0

contorno de Nyquist

0P

0N

0 PNZSistema em cadeia fechada estável MG0K

Modelo fisicamente realizável de K(s) incluiria um polo adicional localizado pelo menos uma década acima do zero

Exemplo 1 (cont.)



Moldagem do ganho de malha Exemplo 2

sK sG

d

yr

n

ue

1

1

ssG - sistema estável

Projectar K(s) de modo a serem cumpridas as seguintes especificações:

i. Erro estático de posição nulo;

ii. Seguimento da referência r com erro menor ou igual a -100 dB na banda de frequências [0,10-3] rad/s;

iii. Atenuação de pelo menos 60 dB do efeito da perturbação d sobre a saída y na banda de frequências [0,10-2] rad/s;

iv. Atenuação de pelo menos 40 dB do efeito do ruído n sobre a saída y na banda de frequências [102,103] rad/s;

v. Margem de fase maior ou igual a 45º

vi. Margem de ganho maior ou igual a 20 dB

dB 100jK

dB 100jR

jE :rad/s 100 ii.

dB

dB

3

jG

,

dB 60jK

dB 60jD

jY :rad/s 100 iii.

dB

dB

2

jG

,

dB 40jKdB 40jN

jY :rad/s 1010 iv.

dBdB

32 jG,



Exemplo 2Moldagem do ganho de malha

i. Erro estático de posição nulo:

A função de transferência em acadeia aberta tem de ter pelo menos um polo na origem.

1º passo: s

KsK

1

1

ssG

80

110110 010

40

40

0

ampl

itud

e (d

B)

210 310210

80

120310 410

1K120

1

ss

KsGsK

dB 100jK:rad/s 100 ii.dB

3 jG,

dB 60jK :rad/s 100 iii.dB

2 jG,

dB 40jK:rad/s 1010 iv.dB

32 jG,

Condições ii. e iii. não são satisfeitas

2

dB10dB 40K K



2º passo: s

sKK2

2 1010


Exemplo 2 (cont.) 1

10 2

sssGsK

80

110110 010

40

40

0

fase

(º)

210 310210

80

180310 410

120

90

135

ampl

itud

e (d

B)

ii. iii.

iv.Condições ii., iii. e iv. satisfeitas

Condição

v. Margem de fase maior ou igual a 45º

não satisfeita

º0MF

Introduzir malha de atraso de fase para deslocar a frequência de corte a 0 dB para a fase de -135º sem aumentar o ganho de alta frequência.



Malha de atraso de fase com ganho estático unitário


Exemplo 2 (cont.) 1

1010 22

sssG

s

80

110110 010

40

40

0

fase

(º)

210 310210

80

180310 410

120

90

135

ampl

itud

e (d

B)

T

s

Ts

ssK

ssK

1

1110~10

22

3º passo:

Nova frequência de corte a 0 dB:

º45

rad/s 1c

3

1

2 10

10

10

1~

s

ssK

2

dB

2

1040log2010

c

c

jGj

Determinação de b:

11010

1 c

T

Localização do zero:




Exemplo 2 (cont.)

3

12

10

10~

s

10

ss

ssKsK

80

110110 010

40

40

0

fase

(º)

210 310210

80

180310 410

120

90

135

ampl

itud

e (d

B)

110

103

1

sss

ssGsK

º45MF

MG

Re

ImContorno de Nyquist

0

0

Re

Im

0

0

0P

0N

0 PNZ

Sistema em cadeia fechada estável 0K

DEEC / IST Isabel Lourtie Fundamentos de Controlo Projecto de Controladores Compensação série...

Documents

Transcript of DEEC / IST Isabel Lourtie Fundamentos de Controlo Projecto de Controladores Compensação série...