DEEC / IST Isabel Lourtie Fundamentos de Controlo Projecto de Controladores Compensação série...

DEEC / IST Isabel Lourtie

Fundamentos de Controlo Projecto de Controladores

Projecto de Controladores

Compensação série

Projecto no domínio da frequênciaCompensação por avanço de faseCompensação por atraso de fase Compensação por moldagem do ganho de malha



Compensação série

Objectivo: Modificação das características de um sistema (resposta em frequência e/ou resposta no tempo) por forma a satisfazer determinadas especificações, tais como:

Exatidão Estabilidade relativa Rapidez de resposta

Exemplo de especificações de projecto:

na frequência

no tempo

margem de fasemargem de ganholargura de bandaetc…

tempo de crescimentotempo de estabelecimentosobre-elevaçãoetc…

Diagrama de Bode e/ou de Nyquist

Root-locus

JÁ ESTUDADO



Esquema geral de compensação série

K sG

sR sY

sH

sC

Introdução na cadeia de acção de um bloco de compensação – C(s) – alteração dos polos/zeros do sistema em cadeia aberta

Especificações na frequência – diagramas de Bode e/ou de Nyquist

Objectivo – modificar a resposta em frequência do sistema em cadeia aberta



Esquema geral de compensação sérieA

mpl

itude

(dB

)A

rgum

ento

(º)

0

180

0 MG>0

MF>0

sistema a controlar: KG(s)H(s)

sistema a controlar: KG(s)H(s)

controlador: C(s)

Amplitude (dB):

dBdB

jHjKGjC

Argumento(º):

jHjKGjC argarg

MG>0

MF>0

sistema controlado: KC(s)G(s)H(s)

sistema controlado: KC(s)G(s)H(s)

• MF e MG aumentaram• Estabilidade relativa aumentou



210 110 010 110 210

180

0

40

80

80

40

dB

jG

jGarg

1K

Compensação sérieExemplo

sC 2

1s

sR sY

2

1s

sG - sistema instável

1ª tentativa: 0KsC

dB 01 dB

jG º1801arg jG

º0MF

sistema em cadeia fechada marginalmente estável



Compensação série sC 2

1s

sR sY

2

1s


1ª tentativa: 0KsC

A imagem do contorno passa pelo ponto 1

sistema em cadeia fechada marginalmente estável

Re

ImPlano KG

10

Re

Im

C

Plano s

0

Projecto apoiado no root-locus:

sRe

sIm

Exemplo (cont.)

º180arg1: jKGjKG

01 jKG j é polo em malha fechada




1s

sR sY

2

1s


sRe

sIm

Projecto apoiado no root-locus

Exemplo (cont.)

2ª tentativa:

zzsKsC

210 110 010 110 210180

0

80

40

dB

jGjC

jGjCarg 135

90

rad/s 1.01

zK

º90MF



Re

Im

Plano KGC

10

0

Re

Im

C

Plano s

0

0


1s

sR sY

2

1s


Exemplo (cont.) 2ª tentativa:

zzsKsC

º90MF

Re

Imsistema original

10

O compensador por avanço de fase afasta o diagrama do ponto 1

º45º0

jCarg

º90

z

benefício de avanço de fase



Projecto no domínio da frequência

Os compensadores de fase, C(s), apresentados com ganho estático unitário, são controladores simples de 1ª ordem, com um polo e um zero, que permitem melhorar a estabilidade relativa do sistema em malha fechada ao serem projectados com o objectivo de obter uma Margem de Fase conveniente – modificam as características dinâmicas do sistema.

O ajuste do ganho K irá determinar os erros em regime permanente.

Compensadores de fase

K – ganhoC(s) – compensador de faseG(s) – sistema a controlar

K sG

sR sY

sH

sC



Compensador de avanço de fase

101

11

Ts

Ts

sC

T1

T1

sIm

sRe

m

T1

m

m

T1

T1

T1

0

)(ºarg jC

90

0

log20

dB jC

log20

Tm1

11sin m

Com o controlador de avanço de fase pretende-se introduzir fase positiva na vizinhança da frequência de corte a 0 dB de modo a aumentar a Margem de Fase, não esquecendo que o compensador também introduz ganho.



Compensador de avanço de fase Localização do controlador

210 110 210010110

40

40

0

90

180

0

ampl

itude

(dB

)fa

se (º

)

controlador

sistema compensadosistema não

compensado

10/cm - pequena influência na MF

MF

MF 210 110 210010110

60

60

0

90

180

0

ampl

itude

(dB

)fa

se (º

)

controlador

sistema compensado

sistema não compensado

cm 10 - pequena influência na MF

MFMF

310

c - frequência de corte a 0 dB



210 110 210010110

60

60

0

90

180

0

ampl

itude

(dB

)fa

se (º

)

controlador

sistema compensado


cm - MF aumenta

MF

MF

310

Compensador de avanço de fase Localização do controlador

c - frequência de corte a 0 dB

Devido ao ganho do controlador, frequência de corte a 0 dB aumenta

Devido ao aumento da frequência de corte a 0dB, a MF aumenta de um valor ligeiramente inferior a m



Como o compensador introduz ganho, a frequência de corte a 0 dB do sistema compensado desloca-se; a esse novo valor da frequência corresponderia no sistema original uma MF diferente pelo que é preciso introduzir a correcção e

MF do sistema a controlar – KG(s)H(s)

MF requerida nas especificações de projecto

3. Determinar o avanço de fase m que é necessário adicionar ao sistema a controlar

e MFMFreqm

Compensação por avanço de fase Dimensionamento

1. Determinar o ganho K da função de transferência em cadeia aberta do sistema a controlar – KG(s)H(s) – de modo a satisfazer as especificações relativas aos erros estáticos.

K sG

sR sY

sH

sC

2. Com o ganho K obtido, calcular a margem de fase (MF) do sistema a controlar.

4. A partir de m determinar o parâmetro do controlador

11sin m



Compensação por avanço de fase Dimensionamento

6. Para e m obtidos, determinar o parâmetro T

Tm1

5. Determinar de modo a coincidir com a nova frequência de corte a 0dB. Nessa frequência o compensador introduz um ganho em dB de pelo que a frequência deverá ser aquela à qual o sistema não compensado apresenta um ganho de

log20m

m

log20dBmm jHjKG

m é a nova frequência de corte a 0 dB

7. Verificar se as especificações foram satisfeitas!



110 210010180

90

135

40

40

20

0

20

dB

jKG

jKGarg

Compensação por avanço de fase Exemplo

K 24ss

sR sY sCDimensionar K e uma malha de avanço de

fase C(s) tal que:• Erro estático de velocidade:• Margem de fase: • Margem de ganho:

05.0veº50MF

dB 10MG

1. Ganho K (C(s)=1):

2. Margens de fase e de ganho:

20105.0 vv

v KK

e

Kss

sKssKGKssv 2

24limlim

00

10K 240

ss

sKGº18MF

MG



º38º32º18º50MFMF mreqm eee

3. Avanço de fase m:

Compensação por avanço de fase Exemplo (cont)

240

ss

sKG

4. Cálculo de :

24.011º38sin

11sin

m

5. Determinação de m:

24.0log204

40log20log202

mm

dBmjKG

rad/s 924.04

402

m

mm

41.4124.0911

TTT mm

6. Determinação de T:

4.181

T

T

s

Ts

sC

1

11

4.18

41.42.4

sssC



010 110 210180

90

0

40

20

0

20

45

135

45

sistema compensado


controlador

controlador


sistema compensado

ampl

itude

(dB

)fa

se (º

)Especificações:• Erro estático de velocidade:• Margem de fase: • Margem de ganho:

05.0veº50MF

dB 10MG 7. Verificação de resultados

Compensação por avanço de fase

1

º5.50

º18

Im

Re

sistema compensado


º5.50MF

MG



Compensação por avanço de fase

Compensadores de avanço de fase são filtros passa-alto utilizados para introduzir fase positiva na vizinhança da frequência de cruzamento a 0 dB do sistema original.

Consequentemente, compensação por avanço de fase permite

aumentar a margem de fase melhorando a estabilidade relativa aumentar a largura de banda o que diminui o tempo de estabelecimento tornando o

sistema mais rápido

mas conduz ao aumento do ganho de alta frequência diminuindo a capacidade de rejeição de

perturbações de alta frequência



Compensador de atraso de fase

11

11

Ts

Ts

sC

T1

T1

sIm

sRe

m

T1

m

m

T1

T1

T1

0

)(ºarg jC

90

0

log20

dB jC

log20

Tm1

11sin m

Com o controlador de atraso de fase pretende-se tirar partido da atenuação introduzida pelo compensador na alta frequência de modo a deslocar a frequência de cruzamento a 0 dB para a frequência que conduz à margem de fase desejada



Compensador de atraso de fase

210 110 210010110

80

8090

270

0

ampl

itude

(dB

)fa

se (º

)

310

180 MF=0

Objectivo: escolher para frequência de corte a 0 dB a frequência c da resposta em frequência do sistema a controlar cuja fase conduza à margem de fase pretendida

c pretendida

MF pretendida Onde localizar o controlador?


Localização do controlador



210 110 210010110

80

80

90

270

0

ampl

itude

(dB

)fa

se (º

)

310

180

0

zero do controlador numa frequência entre 1 década antes e a c pretendida

210 110 210010110

80

80

90

270

0

ampl

itude

(dB

)fa

se (º

)

310

180

0

sistema compensado

controlador


zero do controlador na frequência c pretendida

Localização do controlador Compensador de atraso de faseVariação de fase no controlador afecta fase na c pretendida

não satisfaz ainda não satisfaz

c pretendida

MF pretendida

c pretendida

MF pretendida



210 110 210010110

80

80

90

270

0

ampl

itude

(dB

)fa

se (º

)

310

180

0

zero do controlador mais de 1 década antes de c pretendida, maior redução no ganho de baixa frequência

210 110 210010110

80

80

90

270

0

ampl

itude

(dB

)fa

se (º

)

310

180

0

zero do controlador 1 década antes de c pretendida

Localização do controlador Compensador de atraso de fase

c pretendida

MF pretendida satisfaz

c pretendida

MF pretendida satisfaz



Destina-se a compensar a fase negativa que o controlador irá introduzir na nova frequência de corte a 0 dB

MF requerida nas especificações de projecto

3. Se MF e MG não satisfazem as especificações, determinar c (“nova” frequência de corte a 0 dB), tal que

e reqcc jHjKG MFº180arg

Compensação por atraso de fase Dimensionamento

1. Determinar o ganho K da função de transferência em cadeia aberta do sistema a controlar – KG(s)H(s) – de modo a satisfazer as especificações relativas aos erros estáticos.

K sG

sR sY

sH

sC

2. Com o ganho K obtido, calcular as margens de ganho (MG) e de fase (MF) do sistema a controlar.



Compensação por atraso de fase Dimensionamento

5. Para que não haja perturbação significativa na fase da nova frequência de corte a 0 dB, e para simultaneamente utilizar a máxima atenuação introduzível, o zero do controlador é colocado uma década abaixo da frequência c:

101 c

T

6. Verificar se as especificações foram satisfeitas!

4. Como o ganho do controlador na alta frequência é de , para que o ganho do sistema controlado na frequência c seja de 0 dB, determinar tal que log20

dBcc jHjKG

log20



010 110110 270

90

180

40

40

20

0

20

dB

jKG

jKGarg

Compensação por atraso de fase Exemplo

K 212

sss

sR sY sCDimensionar K e uma malha de atraso C(s) tal que:• Erro estático de velocidade:• Margem de fase: • Margem de ganho:

2.0veº40MF

dB 10MG

1. Ganho K (C(s)=1):

2. Margens de fase e de ganho:

512.0 vv

v KK

e

Ksss

sKssKGKssv

212limlim

00

5K 2110

ssssKG º20MF

dB 5.4MG

MF<0º, MG<0 dB – sistema em anel fechado instável



010 110110 270

90

180

40

40

20

0

20

dB

jKG

jKGarg

3. Determinar c (“nova” frequência de corte a 0 dB), tal que

e reqcc jHjKG MFº180arg

Compensação por atraso de fase Exemplo (cont.)

2110

ssssKG

4. Determinar tal que

log205.05.0 dB

jHjKGº50

110.5

º50MFº40MF ereqreq

rad/s 5.0c

20

10

5. Localização do zero e do polo do controlador

005.01005.0105.0

101

TT

c

Ts

Ts

sC

1

11

005.005.01.0

sssC



80

110110 210 310 410 010

180

270

40

0

40

90

0

ampl

itude

(dB

)fa

se (º

)

controlador

controlador

sistema compensado

sistema compensado



Especificações:• Erro estático de velocidade:• Margem de fase: • Margem de ganho:

2.0veº40MF

dB 10MG 6. Verificação de resultados

Compensação por atraso de fase

º47MF

dB 15MG

1

Im

Re

sistema compensado




Compensação por atraso de fase

Compensadores de atraso de fase são essencialmente filtros passa-baixo.

Consequentemente, compensação por atraso de fase permite

ganho elevado para as baixas frequências o que melhora a exactidão (erro estático) ganho baixo para as altas frequências o que aumenta a estabilidade relativa

(margem de fase)

mas conduz à diminuição da largura de banda o que aumenta o tempo de estabelecimento do

sistema tornando o sistema mais lento



Moldagem do ganho de malha

sK sG

dyr

n

ue

Pretende-se: um bom seguimento do sinal de referência, cuja ocupação espectral se situa habitualmente em

frequências relativamente baixas, uma boa rejeição das perturbações que incidem no sistema a controlar e cujo espectro de

frequência se situa habitualmente no domínio das baixas e médias frequências, uma boa rejeição do ruído com origem nos sensores localizados na cadeia de retroacção e com

ocupação espectral em frequências relativamente altas, uma boa e robusta estabilidade relativa.

Definição de um perfil desejado para a resposta em frequência da malha aberta



sK sG

dyr

n

ue

Resposta em malha fechada

sNsGsDsGsRsGsY 321

Princípio da sobreposição

sGsKsDsYsG

nr

11

0,02

Influência da perturbação d na saída y:

sGsK

sGsKsNsYsG

dr

10,03

Influência do ruído n na saída y:

sGsK

sGsKsRsYsG

nd

10,01

Seguimento da referência r:



Caracterização dos sinais

Sinais caracterizados pela sua ocupação espectral, i.e., modelizados como processos estocásticos estacionários com densidade espectral de potência F(j).

txSeja um processo estocástico (sinal aleatório) ergódico estacionário.

2

2

1limT

TTdttxtx

TFunção de autocorrelação de : tx

Potência média de : tx

2

2

21lim0T

TTdttx

T

Densidade espectral de potência de : tx

F dej jTF



ty tx jHSinais estocásticos e SLITs

tytx , - processos estocásticos ergódicos estacionários

jH - resposta em frequência do SLIT

Relação entre os espectros de potência dos sinais de saída e de entrada

2 jHjj xy FF

dBx

y jHjHjHjj

FF

log20log10log10 2




sK sG

dyr

n

ue

Especificações de projecto

Condições impostas ao módulo da resposta em frequência de cada uma das funções de transferência

em bandas de frequência especificadas

0,0 ndsRsE

0,0 nrsDsY

0,0 drsNsY

Nos processos físicos reais a potência está concentrada em bandas de frequência limitadas sendo fora dessas bandas de frequência. 0F j

(r – baixas frequências, d – baixas e médias frequências, n – altas frequências)




1. Bom seguimento do sinal de referência

sGsKsRsE

11

r – sinal de baixa frequência

jrF

r0

0, F jrr

sK sG

yer

Especificação de projecto:

rrjGjKjR

jE e

,0,11

1

dB

jRjE

r

relog20

0

rrjR

jE e ,0,log20

dB




rrjGjKjR

jE e

,0,11

1


1. Bom seguimento do sinal de referência

111 r

jGjKe

rr

jGjK e

,0,11

Constrição no ganho de malha:

dB jGjK

r

re1log20

0

rr

jGjK e

,0,1log20dB




d – sinal de baixa ou média frequência

jdF

d0

0, F jdd

2. Boa rejeição de perturbações no processo

sGsKsDsY

11 sK sG

yd

sK sG

dyr

n

ue


ddjGjKjDjY e

,0,1

11

dB

jDjY

d

delog20

0

ddjDjY e ,0,log20

dB




ddjGjKjDjY e

,0,1

11


111 d

jGjKe

dd

jGjK e

,0,11


dB jGjK

d

de1log20

0

dd

jGjK e

,0,1log20dB

2. Boa rejeição de perturbações no processo




n – sinal de alta frequência

sK sG

dyr

n

ue


nnnjGjKjGjK

jNjY

21 ,,11

e

jnF

n10

0,0 21 F jnnn

n2

3. Boa rejeição do ruído nos sensores

sGsK

sGsKsNsY

1

sK sG

yn1

nnnjNjY

21dB

,,log20 e

dB

jNjY

n1

nelog20

0n2




nnnjGjK 21 ,,1 e


3. Boa rejeição do ruído nos sensores


nnnjGjKjGjK

jNjY

21 ,,11

e

nnnjGjK 21dB

,,log20 e

dB

jGjK

n1

nelog20

0n2




dB

jGjK

r

relog20

0d

delog20

n1n2

nelog20

barreira inferior de baixa e média frequência

barreira superior de alta frequência

Objectivo: Moldar (por escolha adequada de K(s)) o ganho de malha de modo a ajustá-lo entre as barreiras, preservando a estabilidade do sistema em malha fechada



Moldagem do ganho de malha Exemplo 1

sK sG

dyr

n

ue

2

1s


Projectar K(s) de modo a serem cumpridas as seguintes especificações:i. Seguimento da referência r com erro menor

ou igual a -60 dB na banda de frequências [0,1] rad/s;

ii. Atenuação de pelo menos 40 dB do efeito da perturbação d sobre a saída y na banda de frequências [0,10] rad/s;

iii. Atenuação de pelo menos 20 dB do efeito do ruído n sobre a saída y na banda de frequências [103,106] rad/s;

iv. Margem de fase de 45º

dB 60jK

dB 60jRjE :rad/s 0,1 i.

dB

dB

jG

dB 40jK

dB 40jDjY :rad/s 0,10 ii.

dB

dB

jG

dB 20jK

dB 20jNjY :rad/s ,1010 iii.

dB

dB

63

jG




dB

jG

2

1s

sG

dB 60jK :rad/s 0,1 i.dB

jG

dB 40jK :rad/s 0,10 ii.dB

jG

Condições i. e ii. não são satisfeitas

54

dB

1010

dB 100KdB 80

K

dB 20jK :rad/s ,1010 iii.dB

63 jG

Exemplo 1 (cont.)



2

410s

sGK Moldagem do ganho de malha

1º passo: 410 KsK80

110110 010

180

40

40

0

ampl

itude

(dB

)fa

se (º

)

210 310 410

80

120

i. ii.

iii.Condições i., ii. e iii. satisfeitas

MF=0º

Condição iv. Margem de fase de 45ºnão satisfeita

Introduzir malha de avanço de fase para aumentar a fase de 45º na frequência de corte a 0 dB (c=102 rad/s).

Exemplo 1 (cont.)



80

110110 010

180

40

40

0

ampl

itude

(dB

)fa

se (º

)

210 310 410

120

90

135

2

222

c 1010~1010

ssKz

2

22 1010sssGsK

Malha de avanço de fase com ganho estático unitário

z

zssKKsK 410~ 2º passo:


Localização do zero:

dB

jK ~

jK~arg

zº45º90

0

Exemplo 1 (cont.)

º45MF




2

22 1010sssGsK

Re

Im

Plano KGC

10

0

Re

Im

Plano s

0

0

contorno de Nyquist

0P

0N

0 PNZSistema em cadeia fechada estável MG0K

Modelo fisicamente realizável de K(s) incluiria um polo adicional localizado pelo menos uma década acima do zero

Exemplo 1 (cont.)



Moldagem do ganho de malha Exemplo 2

sK sG

dyr

n

ue

1

1

s

sG - sistema estável

Projectar K(s) de modo a serem cumpridas as seguintes especificações:i. Erro estático de posição nulo;ii. Seguimento da referência r com erro

menor ou igual a -100 dB na banda de frequências [0,10-3] rad/s;

iii. Atenuação de pelo menos 60 dB do efeito da perturbação d sobre a saída y na banda de frequências [0,10-2] rad/s;

iv. Atenuação de pelo menos 40 dB do efeito do ruído n sobre a saída y na banda de frequências [102,103] rad/s;

v. Margem de fase maior ou igual a 45ºvi. Margem de ganho maior ou igual a 20 dB

dB 100jK

dB 100jRjE :rad/s 100 ii.

dB

dB

3

jG

,

dB 60jK

dB 60jDjY :rad/s 100 iii.

dB

dB

2

jG

,

dB 40jKdB 40jNjY :rad/s 1010 iv.

dBdB

32 jG,



Exemplo 2Moldagem do ganho de malha

i. Erro estático de posição nulo:

A função de transferência em cadeia aberta tem de ter pelo menos um polo na origem.

1º passo: sKsK

1

1

s

sG

80

110110 010

40

40

0

ampl

itude

(dB

)

210 310210

80

120310 410

1K120

1

ssKsGsK

dB 100jK:rad/s 100 ii.dB

3 jG,

dB 60jK :rad/s 100 iii.dB

2 jG,

dB 40jK:rad/s 1010 iv.dB

32 jG,

Condições ii. e iii. não são satisfeitas

2

dB10dB 40K K



2º passo: s

sKK2

2 1010

Moldagem do ganho de malhaExemplo 2 (cont.)

110 2

sssGsK

80

110110 010

40

40

0

fase

(º)

210 310210

80

180310 410

120

90

135

ampl

itude

(dB

)

ii. iii.

iv.Condições ii., iii. e iv. satisfeitas

Condição v. Margem de fase maior ou

igual a 45ºnão satisfeita

º0MF

Introduzir malha de atraso de fase para deslocar a frequência de corte a 0 dB para a fase de -135º sem aumentar o ganho de alta frequência.



Malha de atraso de fase com ganho estático unitário

Moldagem do ganho de malhaExemplo 2 (cont.)

11010 22

sssG

s

80

110110 010

40

40

0

fase

(º)

210 310210

80

180310 410

120

90

135

ampl

itude

(dB

)

T

s

Ts

ssK

ssK

1

1110~10

22

3º passo:

Nova frequência de corte a 0 dB:

º45

rad/s 1c

3

1

2 1010

101~

sssK

2

dB

2

1040log2010

cc

jGj

Determinação de :

11010

1 c

T Localização do zero:




Exemplo 2 (cont.)

3

12

1010~

s10

ssssKsK

80

110110 010

40

40

0

fase

(º)

210 310210

80

180310 410

120

90

135

ampl

itude

(dB

)

11010

3

1

sssssGsK

º45MF

MG

Re

ImContorno de Nyquist

0

0

Re

Im

0

0

0P

0N

0 PNZ

Sistema em cadeia fechada estável 0K

DEEC / IST Isabel Lourtie Fundamentos de Controlo Projecto de Controladores Compensação série...

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