Professor Cristiano Marcell

Aqueles que não fazem nada estão sempre dispostos a criticar os que fazem algo (Oscar Wilde)

Colégio Pedro II – Unidade Realengo II

RESUMO DE COMPLEXOS Matemática

Professor Cristiano Marcell

Uma equação como x² + 1= 0 não tinha soluções, enquanto estávamos limitados ao conhecimento do conjunto dos números Reais. O motivo pelo qual foi criado e desenvolvido por grandes nomes da matemática, é bem verdade, não foi o intuito de solucioná-la tão somente. Unidade imaginária i² = -1

A forma Z = a +bi desse número é chamada de algébrica,

onde a é parte real e b, a imaginária.

O número Z = a – bi é seu conjugado.

Se Z1=a + bi e Z2= c + di são tais que Z1= Z2, então a=c e b=d.

Se Z é um número estritamente real termos que b = 0

Se Z é um número estritamente imaginário termos que a = 0

Se Z1= a + bi e Z2= c + di, então, Z1 ± Z2 = (a+c) ± (b+d)i

No caso do produto entre dois complexos usamos a propriedade distributiva, assim como se usa com valores reais.

2

2

2

1

2

1 .Z

Z

Z

Z

Z

Z

Algumas consequências desta definição:

I. aZZ 2

II. biZZ 2.

Potências de i

Sendo n um número natural, de modo geral, temos:

i4n

=1

i4n+1

= i

i4n+2

= -1

i4n+3

= -i

A potência ik, sendo K um inteiro, é obtida dividindo o expoente K por 4 e considerando o resto r (0 ≤ r <4) da divisão como novo expoente de i.

Exemplo: i2013 = i

1 = i (o expoente 1 de i, após a igualdade,

se dá pois 2013 dividido por 4 deixa igual a 1)

Representação Geométrica do número complexo.

Módulo de um número complexo

Z = ρ =22 ba

Argumento de um número complexo.

𝜃= arc cos z

a= arc sen

z

b

Forma Trigonométrica (Polar) de um número complexo

Z= Z ( cos θ + isen θ) = Z cis θ

Operações.

Sejam Z1= 1Z (cos θ1 + i.sen θ1) e Z2=

2Z (cos θ2 + i.sen θ2)

Produto. → Z1. Z2 = 1Z .

2Z .(cos (θ1 + θ2) + isen (θ1 + θ2))

Divisão. →

2

1

Z

Z =

2

1

Z

Z .(cos (θ1 – θ2) + isen (θ1 – θ2))

Potenciação. → Zn= Zn. (cos (θn) + isen (θn))

Radiciação.

n Z = n Z .( cos (n

k 2 ) + isen (n

k 2 )),

onde 𝐾 ∈ Z(𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑜𝑠 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠)

Re

Im

O

Z = a + bi

θ

Z

a

b (afixo)