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Curso Técnico em Eletrotécnica
INICIAÇÃO À PRÁTICA PROFISSIONAL INSTALAÇÕES ELÉTRICAS PREDIAIS ELETRICIDADE BÁSICA
Números Complexos e Conversão
de Forma AULA I
Os Dispositivos Básicos e os Fasores 1. Números complexos; 2. Forma retangular; 3. Forma polar; 4. Conversão de formas.
Sequência de conteúdos: 1. Revisão; 2. Números complexos; 3. Forma retangular; 4. Forma polar; 5. Conversão de formas.
Vitória-ES
Números Complexos e Conversão -1-17.
Prof. Dorival Rosa Brito 1 -17.
Resposta do capacitor em CAResposta do capacitor em CAResposta do capacitor em CAResposta do capacitor em CA
Para uma dada tensão:
( ) ( )c mv t V sen tω= ⋅
( )( )d( ) ( )( )C
C
d v ti t C
dt=
dt
( ) ( )( )md V sen ti t C
ω⋅=
( )( )d
( )Ci t Cdt
=
( ) ( )Ci t C V cos tω ω= ⋅ ⋅ ⋅
m mI C Vω= ⋅ ⋅( ) ( )( )CC
d v ti t C
dt=
( ) ( )C mi t C V cos tω ω
( ) ( )90oC mi t I sen tω= ⋅ +
dtRelação v x i no capacitor
Números Complexos e Conversão -2-17.
Prof. Dorival Rosa Brito 2 -17.
Resposta do capacitor em CAResposta do capacitor em CAResposta do capacitor em CAResposta do capacitor em CA
Para um capacitor, iC está adiantada 90º em relação a vC. Em outras palavras,p , C ç C p ,vC está atrasada 90º em relação a iC.
Números Complexos e Conversão -3-17.
Prof. Dorival Rosa Brito 3 -17.
Comportamento de R L e C com a freqüênciaComportamento de R L e C com a freqüênciaComportamento de R, L e C com a freqüênciaComportamento de R, L e C com a freqüência
1XCXCω
=⋅LX Lω= ⋅R
Resistor Indutor CapacitorResistor Indutor Capacitor
Freqüência Elemento1 1
0f Hz⇒1 1
2 0 0CXCπ
= = = ∞Ω⋅ ⋅
2 0 0LX π= ⋅ = ΩR
f Hz⇒∞ 2LX π= ⋅∞ = ∞ΩR 1 1 02CX
Cπ= = = Ω
⋅∞ ⋅ ∞
Números Complexos e Conversão -4-17.
Prof. Dorival Rosa Brito 4 -17.
Potência média em CAPotência média em CAPotência média em CAPotência média em CA
Considerando que em determinado elemento se tenha:
( ) ( )m vv t V sen tω θ= ⋅ +
q
( ) ( )m ii t I sen tω θ= ⋅ +A potência será:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )m v m ip t v t i t V sen t I sen tω θ ω θ= ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ +( ) ( ) ( ) ( ) ( )m v m ip
( ) ( ) ( )m m v ip t V I sen t sen tω θ ω θ= ⋅ ⋅ + ⋅ +
Após usar identidades trigonométricas e algumas manipulações:
V I V I⎡ ⎤ ⎡ ⎤( ) ( ) ( )22 2
m m m mv i v i
V I V Ip t cos cos tθ θ ω θ θ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ − − ⋅ + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Valor fixo Valor que varia no tempo
Números Complexos e Conversão -5-17.
Prof. Dorival Rosa Brito 5 -17.
Potência média em CAPotência média em CAPotência média em CAPotência média em CA
No resistor:
0ov iθ θ θ= − = Defasagem entre tensão e corrente
V I( )02
m mef ef ef ef
V IP V I cos V I= ⋅ ⋅ = ⋅ =
fV 2f fV Vef
ef
VI
R= ef ef
ef ef ef
V VP V I V
R R= ⋅ = ⋅ =
ef efV R I= ⋅ 2ef ef ef ef efP V I R I I R I= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅
Números Complexos e Conversão -6-17.
Prof. Dorival Rosa Brito 6 -17.
Potência média em CAPotência média em CAPotência média em CAPotência média em CA
No indutor:
( )0 90 90o oθ θ θDefasagem entre tensão e corrente
( )0 90 90o ov iθ θ θ= − = − − =
( )90 0oP V I cos W( )90 0ef efP V I cos W= ⋅ ⋅ =
A potência média ou potência dissipada por um indutor ideal(sem resistência associada) é zero.
Números Complexos e Conversão -7-17.
Prof. Dorival Rosa Brito 7 -17.
Potência média em CAPotência média em CAPotência média em CAPotência média em CA
No capacitor:p
( )0 90 90o oθ θ θDefasagem entre tensão e corrente
( )0 90 90o ov iθ θ θ= − = − + = −
( )90 0oP V I cos W( )90 0ef efP V I cos W= ⋅ ⋅ − =
A potência média ou potência dissipada por um capacitor ideal(sem resistência associada) é zero.
Números Complexos e Conversão -8-17.
Prof. Dorival Rosa Brito 8 -17.
Números complexosNúmeros complexosNúmeros complexosNúmeros complexos
Um número complexo pode ser representado por um ponto numplano, referido a um sistema de eixos cartesianos.
Números Complexos e Conversão -9-17.
Prof. Dorival Rosa Brito 9 -17.
Forma retangularForma retangularForma retangularForma retangular
C X j Y= + ⋅C X j Y= +
Números Complexos e Conversão -10-17.
Prof. Dorival Rosa Brito 10 -17.
Forma retangularForma retangularForma retangularForma retangular
Exemplo 14.13: Represente os seguintes números no plano complexo:
a) 3 4b) 0 6
C jC j= += −
c) 10 20C j= − −
Números Complexos e Conversão -11-17.
Prof. Dorival Rosa Brito 11 -17.
Forma polarForma polarForma polarForma polar
C Z θ=C Z θ=
Números Complexos e Conversão -12-17.
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Forma polarForma polarForma polarForma polar
Efeito do sinal negativo:g
180oC Z Zθ θ− = − = ±
Números Complexos e Conversão -13-17.
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Forma polarForma polarForma polarForma polar
Exemplo 14.14: Represente os seguintes números no plano complexo:
a) 5 30b) 7 120
o
o
CC=
= −)c) 4, 2 60oC = −
Números Complexos e Conversão -14-17.
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Conversão entre formasConversão entre formasConversão entre formasConversão entre formas
Retangular para polarg p p
2 2Z X Y= +
1 YtgX
θ − ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠X⎜ ⎟⎝ ⎠
Polar para retangularPolar para retangular
( )X Z cos θ= ⋅ ( )
( )Y Z sen θ= ⋅ ( )
Números Complexos e Conversão -15-17.
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Conversão entre formasConversão entre formasConversão entre formasConversão entre formas
Exemplo 14.15: Converta o número complexo a seguir para a forma polar:
3 4C j= +
2 22 23 4 5Z = + =
4⎛ ⎞1 4 53,133
otgθ − ⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
5 53,13oC =
Números Complexos e Conversão -16-17.
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Conversão entre formasConversão entre formasConversão entre formasConversão entre formas
Exemplo 14.16: Converta o número complexo a seguir para a forma retangular:
10 45oC =
( )10 45 7 07oX cos= ⋅ =( )10 45 7,07X cos= ⋅ =
( )10 45 7,07oY sen= ⋅ =
7,07 7,07C j= +
( )7,07 7,07C j+
Números Complexos e Conversão -17-17.
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