Nรบmeros complexos praticando1
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1) Sejam ๐๐ = ๐ + ๐๐; ๐๐ = ๐ โ ๐; ๐๐ = โ๐ โ ๐๐ e ๐๐ = ๐๐ calcule: a) ๐๐ + ๐๐
Temos que: ๐๐ = ๐ + ๐๐ e ๐๐ = โ๐ โ ๐๐, entรฃo:
๐๐ + ๐๐= ๐ + ๐๐ + โ๐ โ ๐๐
Lembrando as propriedades da adiรงรฃo: ๐ + ๐๐ + ๐ + ๐๐ = ๐ + ๐๐ + ๐ + ๐๐
= ๐ + ๐ + ๐ + ๐ ๐
Resposta:
4 + 5๐ + โ3 โ 4๐ = 4 + 5๐ โ 3 โ 4๐= 4 โ 3 + 5 โ 4 ๐ = ๐ + ๐
by Renata Pinto
1) Sejam ๐๐ = ๐ + ๐๐; ๐๐ = ๐ โ ๐; ๐๐ = โ๐ โ ๐๐ e ๐๐ = ๐๐ calcule: b) ๐๐ โ ๐๐
Temos que: ๐๐ = ๐ + ๐๐ e ๐๐ = ๐๐, entรฃo:
๐๐ โ ๐๐= ๐ + ๐๐ โ ๐๐
Lembrando as propriedades da subtraรงรฃo: ๐ + ๐๐ โ ๐ + ๐๐ = ๐ โ ๐ + ๐ โ ๐ ๐
Resposta:
4 + 5๐ โ 2๐ = 4 โ 5 โ 2 ๐ = ๐ โ ๐๐
by Renata Pinto
1) Sejam ๐๐ = ๐ + ๐๐; ๐๐ = ๐ โ ๐; ๐๐ = โ๐ โ ๐๐ e ๐๐ = ๐๐ calcule: c) ๐๐๐๐
Temos que: ๐๐ = ๐ โ ๐ e ๐๐ = โ๐ โ ๐๐, entรฃo:
๐๐๐๐ = ๐ โ ๐ โ๐ โ ๐๐
Lembrando as propriedades da multiplicaรงรฃo: ๐ + ๐๐ ๐ + ๐๐ = ๐๐ + ๐๐๐ + ๐๐๐ + ๐๐๐ยฒ
= ๐๐ โ ๐๐ + ๐๐ + ๐๐ ๐
Resposta:
4 โ ๐ โ3 โ 4๐ = โ12 โ 16๐ + 3๐ + 4๐2
= 12 โ 4 + โ16 + 3 ๐ = โ๐๐ โ ๐๐๐
by Renata Pinto
1) Sejam ๐๐ = ๐ + ๐๐; ๐๐ = ๐ โ ๐; ๐๐ = โ๐ โ ๐๐ e ๐๐ = ๐๐ calcule:
d) ๐๐
๐๐
Temos que: ๐๐ = โ๐ โ ๐๐ e ๐๐ = ๐ + ๐๐, entรฃo: ๐๐
๐๐ =
โ๐โ๐๐
๐+๐๐
Lembrando as propriedades da divisรฃo: ๐ + ๐๐
๐ + ๐๐=
๐ + ๐๐
๐ + ๐๐ร
๐ โ ๐๐
๐ โ ๐๐=
๐๐ โ ๐๐๐ โ ๐๐๐ โ ๐๐๐ยฒ
๐ยฒ + ๐ยฒ๐ยฒ=
๐๐ + ๐๐ + (๐๐ โ ๐๐)๐
๐ยฒ + ๐ยฒ=
๐๐ + ๐๐
๐ยฒ + ๐ยฒ+
๐๐ โ ๐๐
๐ยฒ + ๐ยฒ๐
Resposta: โ3 โ 4๐
4 + 5๐=
โ3 โ 4๐
4 + 5๐ร
4 โ 5๐
4 โ 5๐=
โ12 โ 15๐ โ 16๐ โ 20๐ยฒ
4ยฒ + 5ยฒ๐ยฒ
=โ12 โ 20 + (โ16 โ 15)๐
16 + 25=
โ๐๐ โ ๐
๐๐
by Renata Pinto
1) Sejam ๐๐ = ๐ + ๐๐; ๐๐ = ๐ โ ๐; ๐๐ = โ๐ โ ๐๐ e ๐๐ = ๐๐ calcule: e) ๐๐ โ ๐๐
Temos que: ๐๐ = ๐ + ๐๐ e ๐๐ = โ๐โ ๐๐, entรฃo:
๐๐ โ ๐๐= ๐ + ๐๐ โ โ๐ โ ๐๐
Lembrando as propriedades da subtraรงรฃo: ๐ + ๐๐ โ ๐ + ๐๐ = ๐ โ ๐ + ๐ โ ๐ ๐
Resposta:
4 + 5๐ โ โ3 โ 4๐ = 4 + 3 + 5 + 4 ๐ = ๐ + ๐๐
by Renata Pinto
Atenรงรฃo ร regra dos sinais
2) Demonstre as propriedades:
a) ๐๐ + ๐๐ = ๐๐ + ๐๐ Propriedade da adiรงรฃo - comutativa
b) ๐๐. ๐๐ = ๐๐. ๐๐ Propriedade da multiplicaรงรฃo - comutativa
c) ๐๐. ๐๐ + ๐๐ = ๐๐๐๐ + ๐๐๐๐ โ ๐๐, ๐๐, ๐๐ โ โ ยป Propriedade da
multiplicaรงรฃo - distributiva
d) ๐ + ๐ = ๐. ๐(๐ฉ๐๐ซ๐ญ๐ ๐ซ๐๐๐ฅ ๐๐ ๐) 1ยช Propriedade dos conjugados
๐ + ๐๐ + ๐ โ ๐๐ = ๐ + ๐ + ๐๐ โ ๐๐ = ๐๐
e) ๐๐ + ๐๐ = ๐๐ + ๐๐ 3ยช Propriedade dos conjugados
f) |๐๐ + ๐๐| โค |๐๐| + |๐๐| 3ยช Propriedade dos mรณdulos
by Renata Pinto
Resposta:
๐ = ๐ยฒ โ ๐๐ โ ๐ง = 2 + 3๐ 2 โ 3 1 โ ๐
Usando as propriedades da multiplicaรงรฃo, vamos calcular 0 xยฒ = 2 + 3๐ 2
xยฒ = 2 + 3๐ 2 + 3๐ = 4 + 6๐ + 6๐ + 9๐ยฒ = 4 + 9 +6 + 6 ๐ = โ5 + 12๐, sendo, entรฃo: ๐ฅยฒ = โ5 + 12๐,
substituindo na equaรงรฃo, teremos: ๐ง = โ5 + 12๐ โ 3 1 โ ๐ = โ5 + 12๐ โ 3 + 3๐ = โ๐ + ๐๐๐
by Renata Pinto
3) Se ๐ = ๐ + ๐๐ e ๐ = ๐ โ ๐, calcule ๐ = ๐ยฒ โ ๐๐.
4) Se o complexo ๐ + ๐๐ รฉ produto dos dois complexos ๐ = ๐ + ๐ e ๐ = ๐ โ ๐๐, calcule o valor de ๐ โ ๐.
Resposta:
O enunciado nos diz que:
๐ + ๐๐ = ๐ ร ๐ ou ๐ + ๐๐ = ๐ + ๐ ๐ โ ๐๐ , aplicando a propriedade da multiplicaรงรฃo, teremos:
๐ + ๐๐ = ๐ + ๐ ๐ โ ๐๐ = ๐ โ ๐๐ + ๐๐ โ ๐๐2 = ๐ + ๐ +๐ โ ๐ ๐ = ๐๐ โ ๐๐, ou seja, ๐ + ๐๐ = ๐๐ โ ๐๐, onde:
๐ = ๐๐ e ๐ = โ๐
O enunciado pede o valor de ๐ โ ๐, isto รฉ: ๐ โ ๐ = ๐๐ โ โ๐ = ๐๐ + ๐ = ๐๐
by Renata Pinto
5) Calcule o valor de:
a) ๐๐๐๐ Resposta:
179: 4 = 44 ๐ ๐๐๐ ๐ก๐ ๐. Entรฃo:
๐179 ๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐ ๐ ๐3 ๐ ๐๐ข๐ ๐๐๐ ๐๐๐ฃ๐ a โ๐.
๐179= ๐3 = โ๐
by Renata Pinto
Basta dividirmos o expoente por 4 e usarmos o resto como referencia.
Colinha:
๐ = โ1 ๐ยฒ = โ1 ๐ยณ = โ๐ ๐4 = 1
5) Calcule o valor de:
b) ๐๐๐+๐๐๐
๐
Resposta:
97: 4 = 24, ๐๐๐ ๐ก๐ ๐ ๐ 98: 4 = 24, ๐๐๐ ๐ก๐ ๐. Entรฃo, aplicando a propriedade da divisรฃo, teremos:
๐ + ๐๐
๐=
๐ + ๐๐
๐ร
๐
๐=
๐๐ + ๐๐
๐๐=
โ๐ โ ๐
โ๐= ๐ + ๐
by Renata Pinto
Colinha:
๐ = โ1 ๐ยฒ = โ1 ๐ยณ = โ๐ ๐4 = 1
Teremos, assim: ๐ + ๐๐ = ๐ + ๐๐ = ๐
Com isso:
๐ = ๐๐ + ๐๐
๐ = ๐ + ๐
๐ = ๐๐
Resposta:
Assim:
๐ ๐ + ๐ = ๐๐ + ๐๐๐, corresponde a:
๐ + ๐๐(2๐) = 18 + 12๐ 2๐ยฒ + 2๐๐๐ = 18 + 12๐ Parte real Parte real
P. Imaginรกria P. Imaginรกria
by Renata Pinto
6) Calcule |z| sabendo que ๐ ๐ + ๐ = ๐๐ + ๐๐๐.
Sabemos que ๐ = ๐ + ๐๐ e que ๐ = ๐ โ ๐๐ Pelas propriedades dos conjugados, temos: 1)๐ง + ๐ง = 2๐(๐๐๐๐ก๐ ๐๐๐๐ ๐๐ ๐ง)
Igualando as partes: Parte Real: 2๐ยฒ = 18 โซ ๐ = ๐ Parte Imaginรกria: 2๐๐๐ = 12๐, substituindo a:
2.3๐๐ = 12๐ โซ 6๐๐ = 12๐ โซ ๐ = ๐
7) Determinar ๐ โ ๐น de modo que (๐ + ๐๐)(๐ โ ๐๐)seja imaginรกrio puro.
Aplicamos as propriedades da multiplicaรงรฃo: ๐ + ๐๐ ๐ + ๐๐ = ๐๐ + ๐๐๐ + ๐๐๐ + ๐๐๐ยฒ
= ๐๐ โ ๐๐ + ๐๐ + ๐๐ ๐
Resposta: 4 + 3๐ ๐ฅ โ 6๐ = 4๐ฅ โ 20๐ + 3๐ฅ๐ โ 18๐2
= 4๐ฅ + 18 + โ20 + 3๐ฅ ๐
Parte Real Parte Imaginรกria
Devemos encontrar um x para que a parte real seja zero. Entรฃo:
๐๐ + ๐๐ = ๐ โ ๐ = โ๐๐
๐โ ๐ = โ
๐
๐
by Renata Pinto
O enunciado pede que o resultado seja um โimaginรกrio puroโ, para isso devemos fazer
com que a parte real seja igual a zero.
Lembrando que no exercรญcio 1:
๐๐ = ๐ + ๐๐; ๐๐ = ๐ โ ๐; ๐๐ = โ๐ โ ๐๐ e ๐๐ = ๐๐
by Renata Pinto
8) Represente graficamente: ๐๐ =๐โ๐
๐; ๐๐ = ๐ โ ๐๐;
๐โ = ๐๐โ๐ e ๐๐, ๐๐, ๐๐, ๐๐ do exercรญcio 1.
Continuando... Para representarmos: ๐โ = ๐๐
โ๐, devemos observar que:
๐โ = (๐ โ ๐๐)โ๐ temos que, o inverso de um Nรบmero Complexo รฉ:
๐โ =๐
๐ โ ๐๐=
๐
๐ โ ๐๐ร
๐ + ๐๐
๐ + ๐๐=
๐ + ๐๐
๐ โ ๐๐ยฒ=
๐ + ๐๐
๐ โ ๐(โ๐)=
๐ + ๐๐
๐๐
Graficamente, teremos:
by Renata Pinto
๐งโ1 =1
๐ง=
1
๐ + ๐๐=
1
๐ + ๐๐ร
๐ โ ๐๐
๐ โ ๐๐=
๐ โ ๐๐
๐ยฒ โ ๐2๐ยฒ=
๐ โ ๐๐
๐ยฒ โ ๐2(โ1)=
๐ โ ๐๐
๐ยฒ + ๐ยฒ
๐)|๐| = 2 ๐)|๐| โค 5 ๐)|๐| > 3 ๐) ๐ < |๐| < 5
by Renata Pinto
9) Represente o conjunto de nรบmeros complexos que sรฃo soluรงรตes da equaรงรฃo (graficamente):
Sabendo que a correspondรชncia entre Complexo na forma de Par Ordenado (um ponto de um grรกfico) e a Forma Algรฉbrica รฉ:
๐ ๐, ๐ = ๐ + ๐๐ ๐ โ๐,โ๐ = โ๐ โ ๐
Temos: ๐ง โ ๐ง0 = 4 ๐ง โ โ2 โ ๐ = 4 ๐ + ๐ + ๐ = ๐
by Renata Pinto
10) Encontre a equaรงรฃo ou uma equaรงรฃo para um cรญrculo de raio 4 com centro (-2,-1) em funรงรฃo dos complexos.
Seja ๐ง = ๐ + ๐๐, entรฃo
๐ + ๐๐ = ๐ โ ๐๐ + ๐๐ = ๐ + ๐๐ โ ๐๐ = ๐ โ ๐๐
by Renata Pinto
11) Mostre que ๐ + ๐๐ = ๐ โ ๐๐.
12) Se ๐ = ๐ + ๐๐ รฉ um nรบmero complexo escrever ๐โ๐ em funรงรฃo de z.
Pelo inverso temos que:
๐โ๐ =๐
๐ o que nos leva a funรงรฃo
๐
|๐|ยฒ