Capítulo 17

Instabilidade local empainéis-sanduíche

Num painel-sanduíche, as faces podem ser vistas como placas sob compressão (ou tração) montadassobre apoios elásticos. Esse apoio é o núcleo do sanduíche, que pode ser homogêneo como nos casos denúcleos de espuma, ou discreto como nos casos de núcleos de colméia ou de corrugados. Esse arranjopode levar a diversos tipos de falha no sanduíche associados à instabilidade local das faces, comoilustrado qualitativamente no Capítulo 10. A quantificação aproximada de alguns desses modos defalha foi sucintamente apresentada no Capítulo 15 para falha por wrinkling e dimpling de faces emsanduíches de núcleo de colméia, e para falhas por wrinkling em casos de núcleo de espuma. Nestecapítulo, apresentaremos as análises que deram origem àquelas formulações, iniciando pelo caso donúcleo isotrópico-homogêneo. Toda a análise que segue neste capítulo é baseada nos trabalhos deGough e Hoff [67] e de Hoff [86], também sumarizados por Allen [6] eVinson [178].

Figura 17.1: Modelo de viga sobre apoio elástico semi-infinito.

17.1 Flambagem de viga sobre apoio elástico

Consideramos inicialmente a análise de uma situação mais simples: uma viga, em lugar de umaplaca, apoiada sobre um núcleo homogêneo-isotrópico. Além disso, como um primeiro caso,consideramos o núcleo como um meio semi-infinito, isto é, a extensão do núcleo é indefinida na direçãode sua espessura. O problema pode ser visualizado como na Figura 17.1. A equação diferencial daviga é

Dvd4w

dx4+ P

d2w

dx2= bσz, (17.1)

541

Capítulo 17. Instabilidade local em painéis-sanduíche 549

Caso II Erro <

νn = 0, 25lwH= 1, 862ϑ− 0, 209ϑ2 7%

ϑ < 0, 45 B2 = 0, 607− 0, 128 νn 2%

ϑ > 0, 45 B2 = 0, 534− 0, 189 νn + 0, 150ϑ−0, 00347ϑ2 + 0, 181ϑνn 2%

Caso III

ϑ < 0, 2, qualquer νnlwH= 2, 25ϑ, 1%

0, 2 < ϑ < 0, 422, νn = 0, 25lwH= 3, 23− 23, 7ϑ+ 49, 17ϑ2 1%

0, 25 ≤ ϑ ≤∙1− νn8(1 + νn)

¸1/3B2 = 0, 5− 1, 09ϑ− 0, 8ϑνn−2, 3ϑ2 + 0, 425ϑ4 2%

ϑ < 0, 25 B2 = 0, 63− 0, 22 νn + 0, 08 ν2n, 0, 1%

Caso IV 1%

ϑ > 0, νn = 0lwH= 1, 79ϑ− 0, 342ϑ2

ϑ > 0, νn = 0 B2 = 0, 63− 0, 0884ϑ+ 0, 481ϑ2 − 0, 169ϑ3

(17.32)

Figura 17.5: Wrinkling para o caso II de flexão de sanduíche de núcleo homogêneo-isotrópico. B2 éo fator a ser usado na eq.(17.31) para a determinação da tensão crítica na face. Os valores são obtidospelas funções aproximadas (17.32).

Capítulo 18

Análise de compostos por elementosfinitos — 1a ordem

Até a década de 1960, a única forma de resolver problemas de placas e cascas, isotrópicas ou não, eraatravés de soluções analíticas, geralmente em séries, por métodos como os de Ritz, de Galerkin, deNavier e outros em centenas de formas e variações. Esses métodos são aplicados ou sobre a forma forteou sobre a forma fraca do problema e, em geral, permitem o tratamento de problemas relativamentesimples e simétricos em termos de geometria, carregamento e condições de contorno. Entre as décadasde 1960 e 1980, com o advento dos computadores, os métodos de elementos finitos foram desenvolvidosa partir do método dos resíduos ponderados, permitindo o tratamento de problemas de complexidademais próxima das situações reais. As soluções analíticas disponíveis passaram, então, a ser usadasapenas em etapas preliminares de projeto, enquanto a análise de segurança de projetos passou a serexecutada mais intensamente por elementos finitos e não através de procedimentos experimentais,como anteriormente.

A partir dos anos de 1990, os computadores pessoais passaram a ser disponíveis a custo baixoo suficiente para sua disseminação a virtualmente qualquer engenheiro, deixando de ser acessíveisapenas às grandes universidades e corporações. Ao mesmo tempo, as capacidades de processamento ememória cresceram ao ponto de suportarem os programas comerciais de elementos finitos que haviamsido desenvolvidos nas décadas anteriores para computadores de grande porte, principalmente mainframes. Não apenas isso, mas eles passaram a admitir os programas gráficos de interação com o usuárionas etapas de pré e pós-processamento do modelo numérico.

De fato, o processo de projeto atual pode usar o método de elementos finitos em quase todas assuas etapas. Tipicamente essas etapas são as seguintes:

a) Pré-dimensionamento. Ainda com a participação de pré-cálculos usando soluções analíticas eformas algébricas aproximativas realizadas em paralelo ou logo em seguida ao projeto conceitual.

b) Análise de segurança. Definida uma configuração para o sistema, este pode ser modelado porelementos finitos com riqueza de detalhes em sua geometria, materiais, carregamento e condiçõesde contorno, de forma a espelhar o sistema real com o grau de detalhamento julgado adequado.Respostas para os deslocamentos e tensões são obtidas em todos os pontos da estrutura, per-mitindo a análise de segurança. Diversos comportamentos físicos podem ser considerados, comopor exemplo os efeitos dinâmicos, a instabilidade, não-linearidades associadas a grandes deslo-camentos ou a propriedades de material, como plasticidade e viscoplasticidade.

c) Melhoria ou otimização do projeto. A etapa de análise pode mostrar com clareza regiõessuper-solicitadas e deficiências no comportamento da estrutura. Torna-se, então, relativamente

555

Capítulo 18. Análise de compostos por elementos finitos — 1a ordem 561

exemplo u(x, y, z) = uo(x, y)− zw,xx, isto é, κx = −w,xx. Nesse caso as funções base aqui usadas nãoseriam satisfatórias, uma vez que elas têm primeira derivada descontínua e segunda derivada singular.Isso faria com que a existência das integrais no PTV não mais fosse garantida. Formulações paraplaca fina são geralmente mais complicadas, pois exigem funções base com continuidade C1(Ω), istoé, com primeiras derivadas contínuas. Atualmente há uma tendência a evitar seu uso em lugar dasformulações Co(Ω) baseadas na teoria de Mindlin.

Por outro lado, da mesma forma como a função do elemento 2 na Figura 18.3a foi usada paradefinir a função global vista na Figura 18.3b, a função local do elemento 1 pode definir uma funçãoglobal similar àquela da Figura 18.3b, que quando somada a esta, dará origem a uma função N3(x)global contínua associada ao nó 3, como visto na Figura 18.3c.

18.1.4 Matriz de rigidez e vetor força do elemento

Tomemos as deformações que aparecem na expressão do PTV em (18.1), em termos dos deslocamentos

½εo

κ

¾=

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

uo,xvo,x

uo,y + vo,xψx,x

ψy,y

ψy,x + ψx,y

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭e

½γyzγxz

¾=

½ψy +w,y

ψx +w,x

¾. (18.11)

Se usamos as aproximações (18.10) para os deslocamentos, temos as seguintes aproximações paraas deformações no elemento “e”:

½εo

κ

¾e

h

=

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

N1,x 0 0 0 00 N1,y 0 0 0

N1,y N1,x 0 0 00 0 0 N1,x0 0 0 0 N1,y0 0 0 N1,y N1,x| z

Nó 1

· · ·· · ·· · ·· · ·· · ·· · ·| z Nó 2

· · ·

Nnne,x 0 0 0 00 Nnne,y 0 0 0

Nnne,y Nnne,x 0 0 00 0 0 Nnne,x

0 0 0 0 Nnne,y

0 0 0 Nnne,y Nnne,x| z Nó nne

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦Ue

(18.12)

½γyzγxz

¾e

=

⎡⎢⎢⎢⎣ 0 0 N1,y 0 N10 0 N1,x N1 0| z

Nó 1

· · ·· · ·| z Nó 2

· · · 0 0 Nnne,y 0 Nnne

0 0 Nnne,x Nnne 0| z Nó nne

⎤⎥⎥⎥⎦ Ue .

Capítulo 18. Análise de compostos por elementos finitos — 1a ordem 571

Um dos procedimentos mais clássicos e limpos é um método de suavização de tensões baseadono método dos mínimos quadrados. O desenvolvimento desse método iniciou-se com os trabalhosde Hinton e Campbell [84], em 1974, e Barlow [33], em 1976, entre outros: [84], [121], [40], [79].Barlow mostrou que, num elemento isoparamétrico do tipo Serendipity, as tensões tinham precisãomáxima nos pontos de integração de Gauss. Baseado nesta informação desenvolveu-se a idéia óbvia deque as tensões podiam ser calculadas em cada elemento nos pontos de integração e em seguida essesvalores podiam ser usados para determinar valores de tensões nos nós usando um método de mínimosquadrados, isto é, obtém-se a distribuição que minimiza o erro quadrático em cada elemento ou nomodelo como um todo. Como conseqüência, a distribuição obtida seria contínua. O processo pode servisto com detalhes em Zienkewicz [196], [197].

18.3 Tensões higrotérmicas

Na equação (18.1) partimos da expressão do PTV prevendo como único tipo de carregamento a cargadistribuída q. Sem dúvida, outros tipos de carregamento podem ser facilmente incorporados com cargasdistribuídas aplicadas ao longo do contorno e cargas concentradas. Entretanto, um tipo importantede carregamento em laminados que merece detalhamento é aquele proveniente dos efeitos térmicose higroscópicos. Trataremos aqui apenas dos efeitos térmicos para manter a leveza do texto. Otratamento dos efeitos higroscópicos, pelo menos neste nível de análise, é feito de forma totalmenteanáloga à análise térmica. Basta a duplicação de todos os termos térmicos vistos a seguir paraos correspondentes termos hirgroscópicos, iniciando pela transposição dos coeficientes de dilataçãotérmica α’s por dilatação higrométrica β’s.

A análise de elementos finitos levando em conta as tensões térmicas pode partir da expressão doPTV, com a inclusão dos esforços iniciais de origem térmica. Em lugar de (18.1), usamos

RΩ

½εo

κ

¾t ∙A BB D

¸½εo

κ

¾dΩ+

RΩ

½γyzγxz

¾t ∙E44 E45E45 E55

¸½γyzγxz

¾dΩ−

RΩ bw q dΩ−

ZΩ

½εo

κ

¾t½NT

MT

¾dΩ| z

novo

= 0.(18.44)

NT ,MTt são os esforços térmicos calculados conforme as eqs.(7.52)—(7.53), página 252. Tomandoas deformações peso εo; κt de (18.16), temos a expressão discretizada do PTV no elemento e deforma similar a (18.19):

nUeot⎡⎢⎢⎢⎢⎣ZΩe

£Bef

¤t ∙ A BB D

¸ £Bef

¤dxdy| z

[Kef ]

+

ZΩe[Be

c ]t [Ee] [Be

c ] dxdy| z [Ke

c ]

⎤⎥⎥⎥⎥⎦ Ue−

nUeot Z

ΩeNe

w q(x, y) dxdy| z F e

−nUeot Z

Ωe

£Bef

¤t½ NT

MT

¾dxdy| z

(novo) F eT

= 0,

(18.45)

donde resulta

[Ke] Ue = F e+ ©F eTª

(18.46)

Capítulo 18. Análise de compostos por elementos finitos — 1a ordem 577

18.6 Elemento de casca degenerada laminada

Existem pelo menos duas grandes famílias de formulações de elementos finitos para cascas. Uma delas éproveniente das teorias de casca, e uma outra é obtida a partir de uma adaptação simples dos elementossólidos de elasticidade tridimensional tradicional, denominada formulação de casca degenerada, comoilustrado na Figura 18.5. Formulações do último tipo são relativamente simples, pois de fato lidam comuma situação tridimensional adaptada, o que permite dispensar praticamente toda a complexidade dageometria analítica e das milhares de teorias de cascas desenvolvidas desde o início do século XX. Umlevantamento recente de formulações de elementos finitos de cascas pode ser visto na referência [191].

A formulação de casca degenerada foi inicialmente apresentada por Ahmad, Irons e Zienkiewicz[5], de onde tomamos a descrição que segue. Desenvolvimentos sobre subintegração seletiva são apre-sentados por Zienkiewicz e Taylor [196] para cascas homogêneo-isotrópicas e detalhados para cascasde materiais compostos laminados por Hughes [90]. Bathe [35] faz uso extensivo de uma das me-lhores características dessa formulação de casca, que é a de permitir uma extensão direta a problemasnão-lineares.

A formulação parte da idéia um tanto óbvia de modelar a casca usando elementos sólidos, simples-mente definindo adequademente as coordenadas nodais. Entretanto, fazendo isso observam-se algunsproblemas. Um deles, mais óbvio, é o excessivo número de nós, isto é, usar mais de dois nós ao longoda espessura da casca torna-se computacionalmente caro, principalmente em cascas, que usualmentepossuem espessuras uniformes sobre grandes extensões, e podem, portanto, ser simuladas dentro decerto nível de precisão, apenas pelo comportamento de sua superfície média.

O segundo aspecto que é apontado por Zienkiewicz, um aspecto não-óbvio, é que a colocaçãode diversos nós alinhados bastante próximos ao longo da espessura, e outros relativamente bastantedistantes ao longo da superfície, pode gerar matrizes de rigidez mal condicionadas. Isso ocorre emrazão da presença de coeficientes demasiado diferentes dentro da matriz, uns representando a rigidezentre dois nós próximos, ao longo da espessura, outros de nós distantes, ao longo da superfície. Umamaneira de circunscrever essas dificuldades consiste em tomar a formulação sólida, tridimensional,e impor as condições de casca, isto é, a inextensibilidade e a linearidade do segmento inicialmentenormal e reto, como detalhado a seguir.

Figura 18.5: Trecho de casca modelada por elementos sólidos triquadráticos de Serendipity em (a),e por elementos bidimensionais apenas em sua superfície média em (b).

18.6.1 Geometria de um elemento quadrilateral de casca

Nesta etapa, o desafio consiste em converter a representação da geometria do segmento de casca dascoordenadas x-y-z de cada um dos nós das superfícies inferior e superior, e dos nós intermediáriosdo elemento sólido, em coordenadas apenas de um outro conjunto de nós, posicionados sobre uma

Capítulo 19

Teorias de ordem superior

Este capítulo e as teorias nele apresentadas e detalhadas dizem respeito à tentativa de se obter umateoria de placas que produza uma variação correta da solução dos deslocamentos e tensões ao longo daespessura. A dificuldade nesta tarefa pode ser entendida observando as soluções de Pagano [129] obti-das por elasticidade tridimensional. Neste ponto, o leitor pode se beneficiar de uma leitura da Seção13.2.5. Na Figura 13.12, página 465, observa-se que, para laminados delgados a variação de desloca-mentos coplanares ao longo da espessura pode ser bem aproximada por uma reta. Para laminadosmais espessos, a distribuição dos deslocamentos assume um comportamento cada vez mais diferentedo linear, à medida que a relação espessura/comprimento cresce. As teorias de Kirchhoff e Mindlinprevêem apenas variação linear, e por isso são capazes de prover apenas resultados aproximados, comerros às vezes acentuados nas tensões.

Uma outra observação útil dos resultados de Pagano refere-se à presença de tensões σz, mais acen-tuadas nos laminados espessos. Essa tensão é diretamente associada a εz, e esta por sua vez é associadaa uma dependência de w com z, isto é, w = w (x, y, z) . As teorias de Kirchhoff e Mindlin, usandoa hipótese de inextensibilidade, w = w(x, y), não podem detectar diretamente σz, que, entretanto, éimportante no processo de delaminação de um composto laminado.

19.1 Teorias de primeira ordem e de ordem superior

A forma genérica de produzir teorias que aproximem melhor a resposta ao longo da espessura, aschamadas teorias de ordem superior, consiste em trabalhar sobre as hipóteses cinemáticas a partir dasquais todo o desenvolvimento subseqüente é feito. Como exemplo, consideremos a seguir a teoria deReddy [142], obtida por um ajuste na teoria proposta por Levinson [109] e Schmidt [156], e estendidapor Reddy em [136] e [144].

Nessa teoria, parte-se do seguinte campo de deslocamentos:°°°°°°°u(x, y, z) = uo(x, y) + zψx(x, y) + z2ξx(x, y) + z3ζx(x, y),

v(x, y, z) = vo(x, y) + zψy(x, y) + z2ξy(x, y) + z3ζy(x, y),

w (x, y, z) = w(x, y).

(19.1)

Em vez de se restringir a uma variação linear dos deslocamentos coplanares, toma-se uma variaçãocúbica, o que explica o nome “teoria de ordem superior”. Note que ainda se mantém a inextensibilidadeda normal na última equação.

As funções uo, vo e w denotam os deslocamentos de um ponto de coordenada (x, y, 0) localizadona superfície de referência e ψx e ψy são as rotações dos segmentos normais à superfície em relaçãoaos eixos y e x, respectivamente. As funções ζx, ζy, ξx e ξy são dependentes apenas do ponto (x, y) e

587

Capítulo 19. Teorias de ordem superior 591

°°°°°°°°u(x, y, z) = uo + zψx + z2ψ2x + z3ψ3x + . . .+ znψnx,

v(x, y, z) = vo + zψy + z2ψ2y + z3ψ3y + . . .+ znψny,

w (x, y, z) = wo + zw1 + z2w2 + . . .+ zmwm.

(19.15)

A cada quantidade de termos n e m corresponde uma diferente teoria de ordem n−m, e conformen e m crescem a solução aproxima-se da solução tridimensional da placa. Uma proposição é a demodelar cada teoria de ordem n por elementos finitos, obter uma seqüência de soluções até que adistribuição de erros seja satisfatória.

Embora exista pouca esperança de conseguir soluções analíticas para ordens maiores que m = 0,n = 3, é possível obter o conjunto de equações do movimento com o respectivo conjunto de definiçõesde deformações e esforços generalizados de placa que correspondem a cada teoria.

Algumas dessas teorias são detalhadas nas seções seguintes, em conjunto com as respecticas teoriasde elementos finitos. Comparações entre as precisões obtidas por algumas dessas teorias são feitas naSeção 19.6.

19.2 Equações do movimento da teoria de Reddy

Faremos aqui um detalhamento da teoria de Reddy conforme apresentado em [142], de forma a obteras equações do movimento consistentes com as hipóteses cinemáticas (19.7). Esse desenvolvimentoé colocado aqui a título de exemplo. De fato, as equações de movimento, definição de esforços edeformações de placa e condições de contorno variacionalmente consistentes serão distintas para cadauma das formulações listadas na seção 19.1.1 e poderão ser deduzidas da forma padrão, como mostradoa seguir. De qualquer forma, este procedimento é o mesmo já utilizado no Capítulo 11 para o caso daplaca laminada de Mindlin.

Parte-se, então, das eqs.(19.7) para os deslocamentos. As relações deformação-deslocamento li-neares usadas são as relações lineares dadas em (11.37), página 392, de forma que se obtém:°°°°°°°°

εx(x, y, z, t) = εox + zκx + z3κ3x,

εy(x, y, z, t) = εoy + zκxy + z3κ3xy,

γxy(x, y, z, t) = γoxy + zκxy + z3κ3xy,

°°°°°°°°γxz(x, y, z, t) = γoxz + z2κxz,

γyz(x, y, z, t) = γoyz + z2κyz,

εz(x, y, z, t) = 0,

(19.16)

onde as deformações de placa na superfície de referência z = 0 são:

membrana εo =⎧⎨⎩

εox(x, y, t)εoy(x, y, t)

εoxy(x, y, t)

⎫⎬⎭ ≡⎧⎨⎩

uo,xvo,yuo,y + vo,x

⎫⎬⎭ (19.17)

cisalhamento transversal γoc =½

γoyz(x, y, t)γoxz(x, y, t)

¾≡½

ψy +w,y

ψx +w,x

¾(19.18)

602 Materiais Compostos e Estruturas-sanduíche — Projeto e Análise

Tabela 19.1: Deflexões e tensões para laminado quadrado [0o/90o/0o] sob carga senoidal simplesmenteapoiado. Os valores entre parênteses são erros em relação à solução de elasticidade. Os resultados decisalhamento transversal são obtidos diretamente pelas relações constitutivas.

3a Ordem 1a Ordem [143]a

HVariável Elasticidade (1) [142] k = 1 k = 5/6 k = 3/4 k = 1/2

4wσxτyz

2, 00590, 75480, 21717

1, 92180, 73450, 1835

1, 56810, 44750, 1227

1, 77630, 43690, 1562

1, 91220, 43080, 1793

2, 57690, 40650, 3030

10wσxτyz

0, 75300, 5900, 12275

0, 71250, 56840, 1033

0, 63060, 51720, 0735

0, 66930, 51340, 0915

0, 64490, 51090, 1039

0, 82100, 49930, 1723

100wσxτyz

0, 43470, 53920, 08282

0, 43420, 53900, 0750

0, 43330, 53850, 0586

0, 43370, 53840, 0707

0, 43400, 53840, 0782

0, 43530, 53820, 1175

(1) Valores obtidos usando a formulação de Pagano [128], revista na seção 15.3.

A Tabela 19.1 mostra, além dos resultados da teoria de elasticidade obtidos por Pagano, resultadosda teoria de primeira ordem para diversos valores da constante de cisalhamento k, onde se usouk1 = k2 = k. Observa-se que, não importa qual valor de k seja usado, os resultados da teoria deterceira ordem são bem melhores que os de primeira ordem. O mesmo se confirma na Tabela 19.2. NaFigura 19.2 aparecem distribuições de tensões cisalhantes transversais τyz ao longo da espessura. NaFigura 19.2a temos os valores obtidos diretamente das relações constitutivas. Nota-se que, mesmo quea teoria seja de ordem superior, as tensões são incorretamente descontínuas, embora parabólicas aolongo de cada lâmina. Na Figura 19.2b aparecem os valores como obtidos por um pós-processamentopela integração das equações diferenciais de equilíbrio. Nota-se que também a teoria de terceira ordem,tanto quanto as demais, se beneficia com o processo.

De forma geral, embora a teoria de terceira ordem aproxime muito melhor os resultados, é visívelque ela não é completamente satisfatória, o que explica as diversas propostas listadas na Seção 19.1.1,e outras ainda sendo investigadas. Essas deficiências são visíveis na faixa de erros de τyz e τxz vistosna Tabela 19.2, atingindo até 30% na teoria de terceira ordem e até 50% na teoria de primeira ordem.Também as deficiências se manifestam na forma de descontinuidades nas interfaces como vistas naFigura 19.2a. Diversas causas dessas deficiências podem ser identificadas, como por exemplo:

a) Embora as deformações verdadeiras possam ser aproximadamente parabólicas ao longo da espes-sura de cada lâmina, elas não são parabólicas ao longo de toda a espessura do laminado, comosuposto na teoria.

b) A teoria ignora as deformações e tensões normais εz e σz. A ausência desses valores afeta obalanço de forças e impede a satisfação correta das equações diferenciais de equilíbrio, gerandoas descontinuidades em τyz e τxz, além de afetar os deslocamentos transversais.

19.4 Elemento finito Co de 3a ordem com normal inextensível

Detalhemos aqui uma formulação de elementos finitos baseada nas hipóteses cinemáticas (19.10).Sivakumaran [162] apresenta formulações para esta teoria, porém restritas a laminados simétricos,