14. ENGRENAGENS CILNDRICAS DE DENTES RETOS, HELICOIDAIS E CNICAS 14.1. NOMENCLATURA DAS ENGRENAGENS A Figura 14.1 ilustra os principais parmetros geomtricos de uma engrenagem.

Figura 14.1. Parmetros geomtricos de uma engrenagem.

1

os principais parmetros geomtricos das engrenagens so: Dimetro primitivo (Dp) = m . Z, onde: m = mdulo; Z = nmero de dentes: Dimetro externo (De) = [Dp + 2 m]; Dimetro interno (Di) = [Dp 2,4 .m]; Altura do dente (h) = 2,2 . m; Altura da cabea do dente (ac) = m; Altura do p do dente (ap) = 1.2 . m; Largura da engrenagem (b), varivel de (8 a 12). m;

Passo da engrenagem (p) = m . ;

ngulo de presso (). normalmente (20) ou (14 30); Relao [largura/mdulol, (bv). em geral adota-se: bv = 8 a 12. 14.2. PERFIS DOS DENTES DE UMA ENGRENAGEM

Figura 14.2. Tipos de perfis dos dentes, (I): Cicloidal; (II): Evolvente

2

A Figura 14.2 ilustra os dois tipos de perfis dos dentes. O perfil cicloidal, segundo a figura, gerado por dois crculos, o maior, denominado de crculo de base enquanto, o menor, denomina-se epiciclo. A gerao da ciclide ocorre mediante o deslizamento do epiciclo sobre o crculo de base a partir do ponto (A), conforme ilustrado na Figura 14.2 (I). Por outro lado, a evolvente, gerada por uma reta tangente ao crculo de base e denominada geratriz que desliza sobre o crculo de base a partir do ponto (C), Figura 14.2 (II). Cada tipo de perfil possui caractersticas prprias, as principais so: As presses especificas atuantes no dente, so menores nos perfis cicloidais. Isto acarreta um desgaste menor. No entanto, os perfis de evolventes, apresentam vantagens no que tange aos esforos gerados no engrenamento que so constantes como conseqncia da no variao no ngulo de presso durante o engrenamento. Adicionalmente, os perfis de evolvente podem ser facilmente gerados por ferramentas do tipo cremalheira, isto, torna o processo de fabricao mais econmico. Devido ao exposto, a preferncia da utilizao dos perfis de evolvente justificada. 14.3. CONCEITO DE RELAO DE TRANSMISSO

Figura 14.3 Engrenagens cilndricas de dentes retos e a relao de transmisso. De acordo com a Figura 14.3, a relao de transmisso (i) definida como a relao entre o nmero de rotaes do eixo motor e do eixo movido. Enquanto a relao () representa o inverso desta relao.

3

14.4. CRITRIOS DE DIMESIONAMENTO Os esforos atuantes nos dentes da engrenagem so ilustrados nas Figuras 14.4 e 14.5.

Figura 14.4 Flexo e distribuio de Esforos nos dentes da engrenagem.

Figura 14.5 Ilustrao da flexo e presso especfica no dente da engrenagem.

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14.4.1. DIMENSIONAMENTO EM FUNO DA PRESSO

A presso atuante nos flancos dos dentes funo do esforo aplicado pelo par engrenado e atua numa seo longitudinal do flanco destacada na Figura 14.5. Esta presso causa um desgaste que depende diretamente da vida expressa em horas.

o deslizamento de um dente sobre o outro, correspondente ao par de rodas engrenadas origina um coeficiente terico de presso denominado de (K). O valor mximo admissvel deste coeficiente considerando o mesmo material do par engrenado, :

E).n.h()(.174K

3adm

HB 2=

Onde: (HB) = Dureza Brinell em (N/mm2); (h) = Vida em (horas de funcionamento); (n) = Rotao da engrenagem motora (rpm); (E) = Mdulo de Elasticidade em (N/mm2) ou (MPa)

Caso o par engrenado seja de materiais diferentes, com os mdulos de elasticidade

representados respectivamente por (E1 e E2), tem-se:

]E1

E1.[

2).n.h()(.174K

21

2

3adm

HB +=

Considerando que a engrenagem submetida a um nmero de solicitaes de (106) ciclos e considerada padro para (5000 horas) de vida, pode-se introduzir um fator terico de presso correspondente a esta vida. Este fator (K5000) vale:

E).n(

)().2,10(K3

HB 2)5000( =

Com isto, verifica-se a existncia da relao entre os dois fatores que vale:

vf.(5000)][KKadm = Onde: (fv) o fator de vida, 3 )h1(f (17,1)v =

O fator (K5000) pode ser dado na Figura 14.6, em funo da rotao da engrenagem motora para diferentes materiais.

O mdulo da engrenagem (m) poder ser determinado em funo do torque atuante e do fator terico de presso (Kadm), alm de outros parmetros como segue:

5

Figura 14.6. Valores do fator (K5000), para vrios materiais em funo da rotao.

3 )i

i.()(K)(.b

T,3).9(3m 1Z adm2v

+= Este valor tambm pode ser obtido em funo de:

33

)i

i.()()(.b)n.h.(E.T).04,7(m 1

HBZ 22v

+=

6

Os novos parmetros que constam das expresses anteriores, significam respectivamente: (m) == mdulo em (mm), que deve ser normalizado segundo a Tabela 14.2; (T) = Torque em (N.m), determinado como na Figura 14.3; (bv) = Relao (largura/mdulo), adotado na faixa de (8 a 12), salvo casos excepcionais; (HB) = Dureza Brinell, (N/mm2); (i) = Relao de transmisso, sempre maior que (1,0); (h) = Vida em (horas de funcionamento); (n) = Rotao da engrenagem motora (rpm); (E) = Mdulo de Elasticidade em (N/mm2 ) ou (MPa).

Os valores do mdulo determinados como visto anteriormente so vlidos para

engrenagens externas, caso se utilize as expresses mencionadas para engrenagens internas, o valor [(1+i)/i] deve ser alterado para [(1 - i)/i].

Para determinar os valores da vida em horas de servio pode-se utilizar como orientao

a Tabela 14.1.

Tipo de Equipamento Vida em (hs) Equipamentos pouco utilizados 500 Motores de aviao 500 a 2000 Equip. para servio intermitente, portteis ou pequenos guinchos 4000 a 8000 Equip. para elevao, uso intermitente, elevadores e guindastes 8000 a 13000 Equipamentos em geral para 8 hs. de servio 13000 a 20000 Equipamentos em geral para 16 hs. de servio, e uso intermitente 20000 a 30000 Equipamentos em geral para 24 hs. de servio 45000 a 60000 Idem, com grande solicitao e segurana, ex: minerao, navios 100000 a 200000

Tabela 14.1. Valores orientativos da vida para alguns tipos de equipamentos. A Tabela 14.2, a seguir apresenta os valores dos mdulos normalizados.

MDULOS (mm) INCREMENTOS (mm) 0,3 a 1,0 0,10 1,0 a 4,0 0,25 4,0 a 7,0 0,50 7,0 a 16,0 1,00

16,0 aa 24,0 2,00 24,0 a 45,0 3,00 45,0 a 75,0 5,00

Tabela 14.2 Valores dos mdulos normalizados. Deve-se observar que os equipamentos projetados par uma vida til maior tero em conseqncia uma presso admissvel menor o que ir acarretar na determinao de um mdulo maior para compensar o desgaste. Esta compensao se d pelo aumento proporcional da rea de contato nos dentes do par engrenado para uma certa presso especfica e em razo do maior mdulo determinado. O nmero mnimo de dentes para ngulos de presso de (20) e (14 e 30), vale respectivamente: [16 e 30 dentes] considerando relaes de transmisso at [i = 6].

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14.4.2. DIMENSIONAMENTO EM FUNO DA RESISTNCIA Considerando-se a ilustrao apresentada na Figura 14.5, aqui repetida em 14.7, tem-se:

Figura 14.7 Ilustrao da flexo no dente da engrenagem. O dente da engrenagem foi considerado como uma viga engastada e solicitada por uma fora (Ft) que atua no extremo da parbola tracejada da figura (parbola de igual resistncia), com altura ou distncia at o p do dente (h) e largura (s). Considerando-se a viga formada a partir da citada parbola com espessura (h), a solicitao resultante de flexo com uma tenso atuante (f). A fora que causa a solicitao, (Ft) forma um ngulo () com (Ft) que atua na mesma parbola. Como o ngulo () muito pequeno quando o ngulo de presso () vale 20, resulta em [Ft = Ft]. Com isto, para a tenso de flexo pode-se escrever:

2

tf

s.bF.h6. = ; Ou ainda, escrevendo-se em funo da fora:

h.6s.b.F

2f

t =

Introduzindo-se o fator de forma (q) ou fator de (LEWIS), definido por: h.6

smq 2=

A expresso anterior se modifica como segue: q

m.b.F ft = O fator de forma funo do ngulo de presso () e do nmero de dentes (Z) e de acordo com a Tabela 14.3. Observe-se que nos casos de engrenagens helicoidais ou cnicas, o nmero de dentes considerado ser (Zi), que o nmero de dentes imaginrio ou aparente.

8

Z 12 13 14 15 16 17 18 21 24 28 34 40 50 65 80 100 q 4,5 4,3 4,1 3,9 3,75 3,6 3,5 3,3 3,2 3,1 3,0 2,9 2,8 2,7 2,6 2,6 2,45

a) Engrenamento externo

Z 20 24 30 38 50 70 100 200 q 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,45

b) Engrenamento interno

Tabela 14.3. Valores do Fator de Forma (q) para (o) = 20, sem correo, em funo de (Z). Escrevendo-se a expresso da fora tangencial em funo do torque, tem-se:

Z.mT.F 2000t = ; Comparando-se as duas expresses, resulta:

qm.b.

Z.mT.F f2000t ==

Introduzindo-se a relao [largura/mdulo] (bv), definida por: mbbv =

Resulta em: fv

3

.Z.bq.T.2000m = ; Tomando-se a tenso de flexo admissvel, (Tabela 17.8)

Tem-se: 3adm)Z(.b

q.T).6,12.fv

(m = Esta expresso vlida quando so consideradas apenas cargas estticas, cujas tenses admissveis possuem valores orientativos so fornecidos na Tabela 14.4. Quando as cargas forem alternadas, o valor da tenso admissvel deve ser multiplicado por (0,75).

Material (f adm.) MPa Bronze fosforoso 60 a 70

Ferro Fundido cinzento 35 a 45 Ferro Fundido nodular 55 a 70

Ao fundido 70 a 90 Aos ao 1010 e 1020 70 a 90

Carbono e 1045 e 1050 85 a 120 Ligados Cr Ni 140 a 200 ABNT Cr - Mo 150 a 200 Mat. Sinttico, resinas 30 a 40

Tabela 14.4 Tenses admissveis flexo. Uma modificao na expresso anterior devida a (LEWIS), foi sugerida pela AGMA (American Gear Manufactures Association), esta expresso a seguinte:

)K.K

K.()Z(.b

q.T).6,12(m 33adm Lv

0

v .f=

9

Observa-se que foram introduzidos os fatores: a) K0 = Fator que leva em conta a resistncia til do material e do modo de aplicao da fora.

A Tabela 14.5 fornece os valores deste fator.

TIPO DE RESISTNCIA TIL TIPO DE CARGA UNIFORME CHQ. LEVES CHQ. FORTES

UNIFORME 1,00 1,25 1,75 C/CHOQUES LEVES 1,25 1,50 2,00 C/CHOQUES FORTES 1,50 1,75 2,5

Tabela 14.5. Valores do Fator K0.

b) KV = Fator dinmico que leva em conta a velocidade perifrica atuante em (m/s)

vvK += 5,5

5,5 ; para engrenagens de preciso

vvK += 5,3

5,3 ; para engrenagens normais

onde: [v a velocidade perifrica; .60000

D.n.V pp = ; para (Dp) em (mm)]

c) KL) = Fator que depende do tipo de solicitao (ciclos), do tratamento do material da engrenagem e o tipo de engrenagem. Dados na Tabela 14.6.

ENGREN. CILINDR/HELICOID. CNICAS CICLOS HB 300 CEMENTADAS CEMENTADAS

103 3,6 a 3,2 2,6 4,6 104 2,5 a 2,4 2,0 3,1 105 1,8 a 1,6 1,5 2,1 106 1,4 a 1,1 1,1 1,1 107 1,1 a 1,0 1,0 1,0 108 1,0 a 0,8 0,8 1,0

Tabela 14.6 Valores do Fator KL.

A expresso sugerida pela AGMA provoca um acrscimo de at 30% no valor do mdulo

para compensar os efeitos da fadiga presente. 14.5 DIMENSIONAMENTO DE ENGRENAGENS DE DENTES HELICOIDAIS A forma de uma helicoidal pode ser vista na Figura abaixo, caracteriza-se seu ngulo de hlice () e este, influencia todos os parmetros bsicos da engrenagem (passo e mdulo)

O nmero mnimo de dentes vale: sen

Z2

3mn

cos.2=

10

Figura 14.8 Engrenagem helicoidal Uma comparao desta engrenagem com a de dentes retos pode ser observada na Figura 14.9.

Figura 14.9 Parmetros geomtricos da engrenagem helicoidal.

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Da Figura 14.9, observa-se que no dimensionamento das engrenagens helicoidais, o mdulo normal que ser determinado. Por outro lado, deve-se atentar para o valor assumido pelo ngulo de hlice () que varia normalmente de (5 a 45). Quanto a aplicao, as engrenagens helicoidais proporcionam um engrenamento mais suave com ausncia de rudos. A desvantagem em relao aos dentes retos est no engrenamento que normalmente ocorre com comandos especiais. As de dentes retos podem engrenar simplesmente por descolamento transversal, (Caso dos redutores de mquinas ferramentas). Em redutores com helicoidais, os pares ficam engrenados permanentemente e a seleo do engrenamento se d por chavetas deslocveis internas, ou luvas especiais dotadas de ranhuras ou ainda por frico ou comandos eltricos nas embreagens eletromagnticas. 14.5.1. DIMENSIONAMENTO EM FUNO DA PRESSO A diferena fundamental com relao ao clculo para dentes retos, consiste na incluso de um fator de multiplicao [cos(1,33)]

3 )i

i.()(K)(.b

T].),3).[(cos9(3m 1Z adm2v

)33,1(n+=

Onde: (Kadm) determinado de forma similar de dentes retos

O mdulo normal, tambm pode ser obtido diretamente atravs de:

33

)i

i.()()(.b)n.h.(E.T].).[(cos.04,7(m 1

HBZ 22v)33,1(n

+= A incluso do fator mencionado proporciona uma reduo no mdulo que ocorre de acordo com a Tabela 14.7.

ngulo () 5 10 15 20 25 30 35 40 45 Reduo % 1 2 5 8 12 17 23 30 37

Tabela 14.7. Valores da reduo percentual no mdulo com relao dentes retos. 14.5.2. DIMENSIONAMENTO EM FUNO DA RESISTNCIA O dimensionamento em funo da resistncia sem levar em conta a presena de fadiga efetuado como segue:

3adm)Z(.b.C

q.T).6,12(m.fv

n =

12

O dimensionamento em funo da resistncia levando em conta a presena de fadiga efetuado de forma similar ao clculo para dentes retos quanto aos coeficientes da expresso seguinte:

)K.K

K.()Z(.b.C

q.T).6,12(m 33adm Lv

0

v .fn =

Os valores do coeficiente (C) que foram introduzidos nas expresses anteriores so tomados em funo do ngulo de hlice () e de acordo com a Tabela 14.8. () 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 C 1,00 1,11 1,22 1,31 1,40 1,47 1,54 1,59 1,64 1,70

Tabela 14.8. Valores dos coeficientes (C) em funo do ngulo de hlice (). Os valores do fator de forma (q) so determinados em funo da Tabela 14.3, considerando-se porm um nmero de dentes imaginrios (Zi) calculado como:

cos

ZZ3

i = A introduo do coeficiente (C) e a determinao de (q) em funo de (Zi), proporciona uma reduo no valor do mdulo tendo em vista os valores obtidos para dentes retos. Esta reduo depende do ngulo de hlice () e do nmero de dentes da engrenagem helicoidal. A Tabela 14.9 oferece alguns valores das redues par os nmeros de dentes indicados e em funo dos diversos valores de ().

Valores de () Z 5 10 15 20 25 30 35 40 45 16 3,4% 10,2 14,7 18,2 23,3 26,1 29,2 32,8 36,3 18 3,4 8,3 12,0 16,2 19,6 23,3 25,6 29,7 33,0 21 3,4 7,5 10,8 14,4 17,4 20,5 23,9 27,3 30,4 24 3,4 7,0 10,3 13,7 16,4 20,2 23,4 26,3 29,8 28 3,4 7,0 9,8 13,5 16,6 19,8 22,9 25,3 29,7%

Tabela 14.9. Valores das redues percentuais no mdulo com relao dentes retos. Observa-se na tabela que as maiores redues ocorrem para um nmero de dentes menor e um ngulo de hlice maior. Por outro lado, comparando-se com a Tabela 14.7, as redues mximas so praticamente iguais enquanto, em ngulos de (20 a 30), as redues so maiores no critrio de resistncia. A Tabela 14.10 fornece as principais caractersticas dos materiais utilizados na fabricao de engrenagens.

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MATERIAIS PROPRIEDADES DESTES PARA ENGRENAGENS (MPa)

TIPO NORMA SAE HB(N/mm2) n TRATAM. DIN ABNT rt rf Nucl Flanco Flanco Dente admf

Ferro GG18 111 180 90 1700 1700 1,9 45 40 Fundido GG22 112 220 105 1900 1900 2,5 52 47

Cinza GG26 114 260 120 2100 2100 3,3 60 55 Ao GS52 0050 520 210 1500 1500 2,1 150 90

Fundido GS60 0105 600 240 1750 1750 3,0 175 100 Aos St42 1025 420 a 500 200 a 240 1250 1250 2,6 160 90

Carbono St50 1035 500 a 600 230 a 280 1500 1500 4,0 190 110 Comuns St60 1045 600 a 700 280 a 330 1800 1800 5,2 210 120

Sem tratam. St70 1060 700 a 850 330 a 400 2080 2080 7,0 240 140 C22 1320 500 a 700 260 a 300 1400 1400 3,0 160 100

Aos C45 1340 650 a 800 300 a 340 1850 1850 4,0 230 130 C60 1360 750 a 900 340 a 410 2100 2100 5,1 256 150

Ligados 34Cr4 5130 750 a 900 360 a 440 2600 2600 8,0 300 180 37MnSi5 1137 800 a 950 380 a 460 2600 2600 7,0 315 190

Benefeciados 42CrMo4 4140 950/1100 460 a 540 3600 3600 8,0 315 200 35NiCr18 3335 1000/1600 400 a 700 4000 4000 17,0 365 200 C10 1010 470 a 550 210 1700 5900 31 180 100

Aos C15 1015 500 a 650 270 1900 6370 42 220 123 16MnCr5 5120 800/1100 - 2700 6500 50 420 200

Para 20MnCr5 5130 1000/1300 - 3600 6500 50 470 220 13Ni6 2315 900/1200 - 3100 6500 50 440 220

Cementao 13NiCr18 2515 900/1200 - 3100 6500 50 440 220 e tempera 15CrNi6 3115 900/1200 - 3100 6500 50 440 220

18CrNi8 3130 1200/1450 - 4000 6500 50 470 220 Aos temp. Ck45 - 650 a 800 - 2200 5950 43 315 160 Por chama ou 37MnSi5 - 900/1050 - 2700 5600 37 340 200 induo 41Cr4 - 900/1100 - 2750 5870 42 350 200 Temp. banho 37MnSi3 - 1500/1900 - 4700 5500 36 350 200 De cianeto 41Cr4 - 1400/1800 - 4600 5950 43 320 200 Bronze Com. - - - 50 a 60 - - - - - Bronze Fosf. - - - 60 a 80 - - - - 60 a 70 Fibra - - - 15 a 30 - - - - 30 a 40

Legenda: rt = Limite de resistncia trao rf = Limite de resistncia flexo alternada n = Limite de resistncia fadiga

Tabela 14.10 - Caractersticas dos materiais empregados em engrenagens. Exerccio 1 Engrenagens cilndricas de dentes retos: Dimensionar o sistema esquematizado na Figura 14.10, onde so conhecidos os seguintes parmetros e propriedades: Material das engrenagens, Ao, [f.adm = 90 MPa]; [HB = 2300 N/mm2] ngulo de presso [ = 20]; Vida [h = 10000 hs]; Rendimento adotado [ = 97%]. Material dos eixos, Ao, [.adm = 70 MPa]. (Critrio da ASME).

14

Figura 14.10. Esquema do sistema do exerccio 1. Resoluo:

a) Relao de transmisso (i): 82,3450

1720i ==

b) Nmero mnimo de dentes (Zmn): 1,17(20)sen

2sen

222mnZ ===

Adota-se [Z1 = 18], com isto, [Z2 = i. Z1 = (3,82). 18 = 68,8], Adota-se [Z2 = 70] A preferncia foi dada para duas engrenagens com nmero par de dentes. Outra opo seria fazer [Z1 = 17; Z2 = 65].

c) Verificao da relao de transmisso e rotao de sada: Par de engrenagens (70/18), [i = 3,89], rotao de sada (nII = 442,2 rpm), [erro = 1,7%] Par de engrenagens (65/17), [i = 3,823], rotao de sada (nII = 449,85 450 rpm).

A preferncia dada ao par (65/17). Observe-se que trata-se de uma relao de reduo. Neste caso o dimensionamento levar em conta a engrenagem motora ou pinho com 17 dentes. Caso a relao fosse de ampliao, o dimensionamento levaria em conta a engrenagem movida. A referncia ser sempre dimensionar a engrenagem de menor nmero de dentes.

d) Torque no eixo (I): (Nm)2141720

25.9740IT =

e) Torque no eixo (II) com [ = 97%]: (Nm)525450

)97,0.(25.9740IIT =

f) Presso admissvel: )17(N/mm172010000

2300HB 222

210000)..()(.174

E).n.h()(.174K

33adm ==

15

g) Critrio de presso, determinao do mdulo:

(mm)3,82

82,31

171710

1421

Z0,6).(

)()(.,3).9(3)

ii.(

)(K)(.bT,3).9(3m 33

2adm2v=+=+=

h) Critrio de resistncia, determinao do mdulo considerando (q = 3,6 para Z = 17), Tabela 17.3(a). Constantes de fadiga: [K0 = 1,25; Kv = 0,5 e KL = 1,0]. Nestes valores, foram considerados: [n = 106 ciclos; v = 12 m/s e choques leves atuantes]

5,5(mm)1,0(0,5)

1,25

901710

3,6(142) ).

.()(.

.).6,12()K.K

K.()Z(.b

q.T).6,12(m 3333adm Lv

0

v .f===

Como se observa o mdulo determinado atravs do critrio de presso (6,0 mm) maior, neste caso a diferena relativamente pequena, adota-se este valor como referncia. i) Demais dimenses do par de engrenagens:

- Dimetro primitivo da engrenagem (1): Dp1 = m . Z1 = 6 x 17 = 102 mm; - Dimetro externo da engrenagem (1): De1 = Dp1 + 2 . m = 102 + 12 = 114 mm; - Dimetro interno da engrenagem (1): Di1 = Dp1 2,4.m = 102 14,4 = 87,6 mm; - Dimetro primitivo da engrenagem (2): Dp2 = m . Z2 = 6 x 65 = 390 mm; - Dimetro externo da engrenagem (2): De2 = Dp2 + 2 . m = 390 + 12 = 402 mm; - Dimetro interno da engrenagem (2): Di2 = Dp2 2,4.m = 390 14,4 = 375,6 mm; - Passo da engrenagem (p); p = . m = 18,9 mm; - Distncia entre centros (C): C = 0,5.[( Dp1) + (Dp2)] = 0,5.[102 + 390] = 246 mm. - Largura das engrenagens (b): b = bv . m = 10 . 6 = 60 mm.

j) Fora tangencial atuante no eixo (I): 2784(N)102

2000.1422000t

11

DpT.F ==

l) Fora tangencial atuante no eixo (II): (N)6922039

2000.5252000t

22

DpT.F ==

m) Determinao dos dimetros dos eixos, critrio da ASME:

- Constantes (KT e KM), adotadas, [KT = KM = 1,8]. - Torques atuantes, [TI = 142; TII = 525 Nm].

- Distncia entre apoios (): adotada, [l = 0,3 m ou 300 mm]

- Momento mximo atuante no eixo (I): 209(Nm)0,32784

4).(

4.FM 1tmx == l

- Momento mximo atuante no eixo (II): (Nm)2200,32692

4).(

4.FM 2tmx == l

16

- Tenso cisalhante atuante (I): 333

T

3

Tat

dd

.

d

T)..(K5

d).2,0(

T).(K 12781425.(1,8)I ====

- Tenso cisalhante atuante (II): 333

T

3

Tat

dd

.

d

T)..(K5

d).2,0(

T).(K 25745255.(1,8)2 ====

- Tenso normal atuante (I): 333

M

3

Mat

dd

.

d

M)..(K10

d).1,0(

M).(K 2376092.(1,8)10I ====

- Tenso normal atuante (II): 333

M

3

Mat

dd

.

d

M)..(K10

d).1,0(

M).(K 3636022.(1,8)102 ====

- Dimetro do eixo (I): 2at2

taadm )()(2

+

Considerando que .adm = 70 MPa = 70 x 106 (N/mm2), tem-se:

(I): 32(mm)(m)32,49.10227418811278

70.10 1111

ddd

)d

()d

( 633

2

3

2

36 ==+=

(II): 2(mm)4(m).10332,7506381815247

70.10 22222

ddd

)d

()d

( 633

2

3

2

36 ==+=

Observe-se que ambos os dimetros devem ser normalizados em funo de dimenses disponveis comercialmente e ainda que, permitam a usinagem de cada eixo. n) Esforos nos apoios, neste caso h similaridade com a Figura 14,11, considerando que: [a = b = c = d = 0,15 m.] e os dados da Tabela 14.11, onde: Fr=Ft.tg Fr1=Ft1.tg20=2784.(0,364)=1013 (N); Fr2=Ft2.tg20 = 2692.(0,364)=980(N)

[A] ).(tt21

1FF A = ; )2

.(rr 11FF A = ; 11AA tr(0,5).tr FFFFR 2222A ++ == ;

[B] ).(tt21

1FF A = ; )2

.(rr 11FF A = ; 11BB tr(0,5).tr FFFFR 2222B ++ == ; As foras nos apoios (A) e (B) so iguais entre si e valem:

FtA = FtB = (0,5).2784 = 1392 (N); FrA = FrB = (0,5).1013 507 (N);

RA = RB = (0,5).[1482] = 741 (N).

17

[C] ).(tt21

2FF C = ; ).(rr21

2FF C = ; 22 tr)5,0( FFR 22C += ;

[D] ).(tt21

2FF D = ; ).(rr21

2FF D = ; 22 tr)5,0( FFR 22D += ;

As foras nos apoios (C) e (D) so iguais entre si e valem: FtC = FtD = (0,5).2692 = 1346 (N); FrC = FrD = (0,5).980 490 (N);

RA = RB = (0,5).[1432] = 716 (N). Exerccio 2 Engrenagens cilndricas de dentes helicoidais: Dimensionar o sistema esquematizado na Figura 14.10, com os mesmos dados do exerccio 1 e considerando os dentes helicoidais com ngulo de hlice ( = 30). Resoluo:

a) Determinao do (Zmn): 11,3117,0

32,1

)2(0,34

)87,0.(2cos.22

3

2

3mn

senZ ====

Ser adotado (Z1 = 15), com isto: (Z2 = 3,82 . 15 = 57,4), fazendo (Z2 = 57)

- Verificao da rotao de sada: [i = 57/15 = 3,8], [nII = 1720/3,8 = 452,6 rpm]

O erro na rotao 0,6%, o que possibilita o uso desta relao de transmisso. b) Outros parmetros do dimensionamento: A presso admissvel a mesma do exerccio anterior: [Kadm = 17 (N/mm2)]

(C) da Tabela 17.8, vale (1,54) e 260,66

17

cosZZ

3i == q = 3,15 [Tab. 17.3a]

c) Mdulo, critrio de presso:

5,5(mm)1

171510

142].83,0[3,39

1

Z33 )

8,38,3.(

)()(..)

ii.(

)(K)(.bT].),3).[(cos9(3m

2adm2v

)33,1(n =+=+= Este valor j normalizado.

e) Mdulo, critrio de resistncia:

(mm)84,(90)510.1(1,54)

142.(3,15)36)(12,6).(1, 333

adm ..)

K.KK.(

)Z(.b.Cq.T).6,12(m

Lv

0

v .fn ===

O valor normalizado para este mdulo ser: (5,0 mm). f) Demais dimenses do par de engrenagens para um mdulo (mn = 5,5 mm):

18

- Mdulo frontal: [mf = mn/cos30 = 5,5/0,87 = 6,3 mm] - Dimetro primitivo, engrenagem (1): Dp1 = mf . Z1 = 6,3 x 15 = 94,5 mm; - Dimetro externo, engrenagem (1): De1 = Dp1 + 2 . mf = 94,5 + 12,6 = 107,1 mm; - Dimetro interno, engrenagem (1): Di1 = Dp1 2,4. mf = 94,5 15,1 = 79,4 mm; - Dimetro primitivo, engrenagem (2): Dp2 = mf . Z2 = 6,3 x 57 = 359,1 mm; - Dimetro externo, engrenagem (2): De2 = Dp2 + 2 . mf = 359,1 + 12,6 = 371,7 mm; - Dimetro interno, engrenagem (2): Di2 = Dp2 2,4. mf = 359,1 15,1 = 344 mm; - Passo da engrenagem (pf); pf = . mf = 19,9 mm; - Distncia entre centros: C = 0,5.[( Dp1) + (Dp2)] = 0,5.[94,5 + 359,1] = 226,8 mm. - Largura das engrenagens (b): b = bv . mf = 10 . 6,3 = 63 mm.

g) Foras tangenciais:

- Fora tangencial atuante no eixo (I): (N)30055,94

2000.1422000t

11

DpT.F ==

- Fora tangencial atuante no eixo (II): (N)92421,359

2000.5252000t

22

DpT.F ==

- Foras radiais: Fr = Ft.(tg/cos); Fr1 = Ft1.(tg20/cos30); Fr2 = Ft2.(tg20/cos30). Fr1 = Ft1.(0,42) = 3005. (0,42) = 1262 (N); Fr2 = Ft2.(0,42) = 2942.(0,42) =1236 (N).

h) Momentos atuantes nos eixos:

- Momento de (Ft1) atuante no eixo (I): (Nm)2520,33005

4).(

4.FM 1tmx == l

- Momento de (Ft2) atuante no eixo (II): (Nm)1920,32429

4).(

4.FM 2tmx == l

- Momento de (Fr1) atuante no eixo (I): (Nm)7,940,31262

4).(

4.FM 1rmx == l

- Momento de (Fr2) atuante no eixo (II): (Nm)7,920,31236

4).(

4.FM 2rmx == l

MmxI = [(225)2 + (94,7)2]1/2 244 (Nm); MmxII = [(219)2 + (92,7)2]1/2 238 (Nm). i) Tenses normais atuantes:

- Tenso normal atuante (I): 333

M

3

Mat

dd

.

d

M)..(K10

d).1,0(

M).(K 4392442.(1,8)10I ====

- Tenso normal atuante (II): 333

M

3

Mat

dd

.

d

M)..(K10

d).1,0(

M).(K 4284382.(1,8)102 ====

19

- Tenso cisalhante atuante (I) e (II): 3

at

d 1278I = ;

3at

d 25742 =

j) Determinao dos dimetros dos eixos:

Eixo(I): (mm)33(m).103,63541221961278

70.10 1111

ddd

)d

()d

( 633

2

3

2

36 ==+=

Eixo(II): 2(mm)4(m).101,74188521425247

70.10 22222

ddd

)d

()d

( 633

2

3

2

36 ==+=

Como se observa, os eixos permaneceram praticamente com os mesmos dimetros do exerccio anterior.

m) Esforos nos apoios Foras tangenciais atuantes: FtI = 3005 (N); FtII = 2942 (N).

Foras axiais: Fa = Ft.(tg); Fa1 = Ft1.(tg30); Fa2 = Ft2.(tg30). Fa1 = Ft1.(0,58) = 3005. (0,58) = 1743 (N); Fa2 = Ft2.(0,58) = 2942. (0,58) = 1706 (N);

De acordo com a Figura 14.13 e considerando: [a = b = c = d = 0,15 m], e ainda que [r1 = 47,25; r2 = 179,6], tem-se:

[A] )21.(tt IFF A = ; )

21.(rr IFF A = ; )

30025,47.(aIFPA = ; )AAA PF(F rt 22A +=R ;

FtA = FtB = 1503 (N); FrA = FrB = 631 (N); PA = PB = 279 (N); RA = 1544 (N)

[B] )21.(tt IFF B = ; )

21.(rr IFA =F ; )

30025,47.(aIFPB = ; )222 PF(FR rt 222 ++= ;

RB = 1757 (N)

[C] )21.(tt IIFF C = ; )

21.(rr IIFF C = ; )

3006,179.(aIIFPC = ; )CCC PF(F rt 22C ++=R ;

FtC = FtD = 1471 (N); FrA = FrB = 618 (N); PA = PB = 1024 (N); RC = 2205 (N)

[D] )21.(tt IIFF D = ; )

21.(rr IIFF D = ; )

3006,179.(aIIFPD = ; )DDD PF(F rt 22D +=R ;

RD = 1526 (N). Exerccio (3): proposto:

20

Figura 14.11. Ilustrao do exerccio (4), proposto No sistema da Figura 14.11 tem-se um redutor de velocidades constitudo de engrenagens

de dentes retos onde so conhecidos os nmeros de dentes destas e ainda os dados seguintes: - Engrenagens de ao: E = 210 GPa; HB = 2100 N/mm2; fadm = 85 MPa; - Durao: h = 8000 hs; ngulo de presso: = 20; Relao: bv = 10;

- Fatores de fadiga: K0 = KL = 1,5; Kv = 0,32; Eixos: adm = 70 MPa; - Rendimento de cada par engrenado (97%); Eixos (ASME, KT = KM = 2,0) Com base nestes dados verifique a possibilidade de usar os mdulos: (6,5 mm) no par (1 e 2) e (9,0 mm) no par (3 e 4); e os dimetros: [d1 = 35 , d2 = 45 e d3 = 55 mm] Exerccio (4): proposto:

Figura 14.12. Ilustrao do exerccio (5), proposto

No sistema da Figura 14.12 tem-se um variador de velocidades constitudo de

engrenagens de dentes retos e utilizado em mquinas ferramentas. No sistema, os conjuntos de engrenagens [(1) e (3)] e ainda, [(5), (7) e (9)] so deslocveis sobre eixos ranhurados conforme indicado na figura. So conhecidas as relaes construtivas para os nmeros de dentes destas:

21

Em funo da manuteno da distncia entre centros constante, no conjunto de engrenagens (1 a 4), tem-se: [Z1 + Z2 = Z3 + Z4]; No conjunto (5 a 10) ), tem-se: [Z5 + Z6 = Z7 + Z8 = Z9 + Z10].

O nmero mnimo de dentes 18 e utilizado na maior relao de transmisso. E ainda os dados utilizados no exerccio (3) devem ser aqui usados:

Soluo possvel: - Considerando os dados e as dimenses da Figura 14.12, tem-se:

- Nmero de dentes do bloco duplo: [Z1 = 18; Z2 = 72; Z3 = 37; Z4 =53]; - Mdulo do conjunto: (m = 6,0 mm); Dimetro: (d1 = 40 mm)

- Nmero de dentes do bloco triplo: [Z5=18; Z6 = 36; Z7 = 27; Z8 =27; Z9 = 22; Z80 =32]. - Mdulo do conjunto: (m = 10,0 mm); Dimetro: (d2 = 70 mm; d2 = 65 mm)

- OBS: O dimetro (d2) calculado levando em conta a ao dos esforos decorrentes dos dois blocos e os trs apoios com [Mmx. = 2081 Nm] e torque [T = 630 Nm].

22