O Cálculo com Geometria Analítica, volume 1, 3ª Edição [Louis_Leithold]
Cálculo Diferencial - 1a Lista 2014.2
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1
UNIFACS - Cursos de Engenharia
Disciplina: Cálculo I
Semestre: 2014.2
1ª Lista de Exercícios (visualização e cálculo de limites finitos)
As questões 1 e 2 exploram a visualização do limite e da continuidade de funções através dos gráficos.
1) a) Dados os gráficos das funções f, g, h abaixo, determine:
i) os limites laterais de f, g, h no ponto xo=1 ii) Os valores f(1), g(1) e h(1)
b) Com os dados obtidos acima, diga se essas funções f, g, h têm limite no ponto xo=1.
c) Essas funções são contínuas no ponto xo=1? Justifique suas respostas.
Função y=f(x)
Função y=g(x)
Função y=h(x)
2) Dado o gráfico da função f abaixo, determine o que se pede, justificando suas respostas.
)1(f
)x(f mil
)x(f mil
1 x
1 x
f tem limite em xo=-1?
f é contínua nesse ponto?
)1(f
)x(f mil
)x(f mil
1 x
1 x
f tem limite em xo=1?
f é contínua nesse ponto?
As questões 3 e 4 são semelhantes às duas anteriores, só que agora os gráficos das funções não são dados.
Temos que obter os gráficos das funções para depois fazer a visualização dos limites.
3) a) Esboce o gráfico das funções abaixo e calcule os limites laterais nos pontos onde estas funções mudam
de sentenças:
a)
2 x se ; 5x-
2 x se ; 3
2x se ; 1-x
f(x)
2
b)
2 x se ; 5x-
2 x se ; 4
2x se ; 1-x
g(x)
2
c)
1x se ; 2x-
1x 1- se ; ;x
1- x se ; 2
-1x se ; 2x
h(x)2
b) Verifique se as funções f e g são contínuas no ponto xo=2. Justifique suas respostas.
c) Verifique se a função h é contínua nos pontos x=-1 e x=1. Justifique suas respostas.
x
y
x
y
x
y
x
y
2
4) Esboce o gráfico da função
1 xse 1; x
1
1 xse ;1
1 x 0 se ; 2x
0x2 se ; x
2 x se ; 2
)x(f
2
e determine:
a) )x(f lim2 x
; )x(f lim2 x
; f (– 2); b) )x(f lim
0 x
; )x(f lim0 x
; f (0);
c) )x(f lim1 x
; )x(f lim1 x
; f (1) d) verifique se a função acima é contínua nos pontos estudados.
5) Esboce o gráfico das funções abaixo. Calcule os limites laterais em cada um dos casos, nos pontos onde estas funções mudam de sentenças.
a)
1 xse ; 1x
1 xse ;x f(x)
2
b)
0 xse ;1x
0 xse ;1x f(x)
2
c)
1 xse ; 1x
1 xse ;1
1 x se ;1x-
f(x)
2
d)
5 x 1 se ;1x
1 x se ;2
1 x1 se ; 1x
1 x se ; 1x
)f(x
2
e)
1 x se ;
x
1
1 xse ; 2
f(x)
x
f)
0 x se ;)ln(x
0 xse ;2
0 xse ;x
f(x)
6) Esboce o gráfico das funções abaixo e verifique se elas são contínuas no ponto xo = 0.
a)
0 x se ; 2
0 xse ; 2
0 xse ; 2
f(x)
x
x
b)
0 xse ; 1x-
0 xse ; 2
0 xse ;e
f(x)
2
x
Obs: 1) O número e≅2,718 é muito importante em Cálculo e aparece em muitas aplicações;
2) A notação ln(x) significa que a base desse logaritmo é o número e≅2,718. Resumindo: ln(x) = loge(x)
7) Determine as constantes a e b de modo que
2x se ;ax3
2x se ;4bx
2x se ;4-2x
4x
xf
2
seja contínua no ponto x=2.
8) a) Considere a função
3 xse ;3x3
3 x se ; 3n
3 x se ; 1mx
)x(f
2
. Determine as constantes m, n de modo que:
a1) Exista xf lim3x
a2) f seja contínua em x=–3
b) Determine as constantes reais a e b de modo que f seja contínua no ponto xo, em cada caso a seguir:
b1) 1x 1x se ;2x
1x se ;2ax3xf o
2
b2) 2x
2x se ;bx
2x se ;ax
2x se ;3x3
xf o
2
3
As questões 9, 10, 11 se referem ao cálculo de limites por métodos algébricos, sem uso de figuras.
9) Calcule os seguintes limites indeterminados: (método da fatoração)
a)3x4x
2x3x lim
2
2
1x
b)
x2x
8x2 lim
2
2
2x
c)
4x
8x lim
2
3
2x
d)
18x3x
27x lim
2
3
3x
10) Calcule os seguintes limites envolvendo raízes: (multiplicação e divisão pelo conjugado)
a)3x
18x2lim
9x
b)
2x
16xlim
2
4x
c)
1x
25xlim
1x
d) 4x
31x4lim
22x
e)
22x
31x5lim
2x
11) Calcule os seguintes limites:
a) x2x
4x lim
2
2
2x
b)
1x
1x2x lim
3
2
1x
c)
4t4t3
4t lim
2
2
2t
d) 1
limx
1x3x2
2xx4x323
23
e)
x
16)x4(lim
2
0x
f)
3x8x
9x6xlim
3
3
3x
g) 1x8
2x3x2 lim
3
2
21x
h)
2x
8x lim
3
2x
i) 3
2
2
2x 2x5x3
4x lim
j) 2x
16xlim
2
4x
k)
x
2 2xlim
0x
l)
1x
1x lim
1x
Respostas:
4)
4)x(f lim e 2)x(f lim2 x2 x
⟹ o limite não existe nesse
ponto
0)x(f lim)x(f lim0 x0 x
e f(0)=0 ⟹ o limite existe nesse
ponto e além disso a função é contínua (nesse ponto)
2)x(f lim)x(f lim1 x1 x
, f(1)=1 ⟹ o limite existe nesse ponto
mas a função não é contínua (nesse ponto)
5) a) b) c)
a) 1)x(flim
1x
, 2)x(flim1x
b), 1)x(flim0x
1)x(flim0x
c) 0)x(flim1x
, 0)x(flim1x
x
y
-3 -2 -1 1 2 3 4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2
-4
-3
-2
-1
1
2
3
x
y
-8 -6 -4 -2 2
-4
-2
2
x
y
-4 -3 -2 -1 1 2
1
2
-1
4
d) e) f)
d) )x(flim2)x(flim1x1x
, )x(flim0)x(flim1x1x
e) 2)x(flim1x
, 1)x(flim1x
,
f) 0)x(flim0x
,
)x(flim0x
, não existe.
6)
a) b)
a) 1)(lim
0
xfx
, 1)(lim0
xfx
, 1)(lim0
xfx
e f(0) = 2 (f é descontínua em x = 0)
b) 0)(lim0
xfx
,
)(lim0
xfx
, não existe )(lim0
xfx
e f(0) = 2 (f é descontínua em x = 0)
c) ...78281,2)(lim0
exfx
,
)(lim0
xfx
, não existe )(lim0
xfx
e f(0) = e
(f é descontínua em x = 0)
7) a = -4 b = 3
8) a) (a1) m = 9
13 e n qualquer (a2) m =
9
13 e n = 4 b) (b1) a = – 1 (b2) a =
2
3 e b = – 1
9) a) 1/2 b) 4 c) 3 d) 3 10) a) 12 b) 32 c) ¼ d)1/6 e) 10/3
11) a) 2 b) 0; c) 1/2 d) 5/3 e) 8 f) 21/19 g) 5/6
h) 12 i) 3 7/4 ; j) 32; k) 4/2 ; l) 1/2
x
y
-4 -3 -2 -1 1 2 3
-4
-2
2
x
y
-3 -2 -1 1 2 3
-2
-1
1
2
x
y
-4 -3 -2 -1 1 2
-2
2
1