BRUNI Slides de apoio ao livro Todo o conteúdo dos slides está apresentado no livro A Matemática...

BRUNIBRUNISlides de apoio ao livroSlides de apoio ao livro

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no livro no livro A A

Matemática das Matemática das

FinançasFinanças, publicado , publicado

pela Editora Atlas.pela Editora Atlas.

Adriano Leal BruniAdriano Leal Bruni

[email protected]@infinitaweb.com.br

BRUNIBRUNIBibliografia auxiliarBibliografia auxiliar

LivroLivro

MatemáticaMatemática

FinanceiraFinanceiracom HP12C e Excelcom HP12C e Excel

Editora AtlasEditora Atlas

BRUNIBRUNIProgramação didáticaProgramação didática

ObjetivoObjetivo

Apresentar os Apresentar os

principais conceitos principais conceitos

e aplicações da e aplicações da

Matemática Matemática

Financeira, com uso Financeira, com uso

da HP 12C e do da HP 12C e do

Excel.Excel.

BRUNIBRUNIEmentaEmenta

Diagramas de fluxo Diagramas de fluxo de caixade caixa

Juros simplesJuros simples DescontoDesconto Juros compostosJuros compostos TaxasTaxas Séries uniformesSéries uniformes Séries não uniformesSéries não uniformes

BRUNIBRUNICapítuloCapítulo

Conceitos iniciais e Conceitos iniciais e diagramas de fluxo dediagramas de fluxo de

caixacaixa

1

BRUNIBRUNIPara fixar o aprendizadoPara fixar o aprendizado

Todo o conteúdo dos slides está Todo o conteúdo dos slides está

apresentado com maior apresentado com maior

profundidade no profundidade no Capítulo 1Capítulo 1 do do

livro livro A Matemática das A Matemática das

FinançasFinanças, publicado pela , publicado pela

Editora Atlas.Editora Atlas.

Para adquirir o livro visite:www.atlasnet.com.br


LivroLivro




BRUNIBRUNITrês objetivos do capítuloTrês objetivos do capítulo

Entender os propósitos Entender os propósitos

da Matemática Financeirada Matemática Financeira

Saber construir Saber construir

diagramas de fluxo de diagramas de fluxo de

caixacaixa

Compreender a evolução Compreender a evolução

do dinheiro no tempodo dinheiro no tempo

BRUNIBRUNIUma pergunta inicial …Uma pergunta inicial …

O que éO que éMatemáticaMatemáticaFinanceiraFinanceira??

BRUNIBRUNIUma resposta simples …Uma resposta simples …

RETORNORETORNO==

BRUNIBRUNIConstatação importante …Constatação importante …

Dinheiro Dinheiro tem custo tem custo

nono tempo!!!tempo!!!

BRUNIBRUNIPrimeiro passo …Primeiro passo …

Entendendo Entendendo

o o dinheiro dinheiro

nono tempo tempo!!!!!!

BRUNIBRUNIDiagramas de fluxo de caixaDiagramas de fluxo de caixa

Uma Uma imagemimagem que vale que vale por por mil mil

palavraspalavras!!

BRUNIBRUNIDiagramas de fluxo de caixaDiagramas de fluxo de caixa

Representação gráfica da Representação gráfica da evolução do dinheiro no evolução do dinheiro no tempotempo

SímbolosSímbolos

TempoTempo

Movimentações de $Movimentações de $

(+) Entradas(+) Entradas

(-) Saídas(-) Saídas

Taxa de juros = Taxa de juros = JurosJuros

Valor InicialValor Inicial

BRUNIBRUNIIlustrando o uso do DFCIlustrando o uso do DFC

Um investidor aplicou hoje $100,00 Um investidor aplicou hoje $100,00

por um mês, planejando resgatar por um mês, planejando resgatar

$108,00. Desenhe o diagrama de $108,00. Desenhe o diagrama de

fluxo de caixa da operação.fluxo de caixa da operação.

-100,00-100,00

+108,00+108,00

11

taxa = 8/100 = 8%taxa = 8/100 = 8%

juros = $8,00juros = $8,00

ao períodoao período

00 mesesmeses

BRUNIBRUNIPensando sobre os ...Pensando sobre os ...

Componentes Componentes do DFCdo DFC

BRUNIBRUNIComponentes do DFCComponentes do DFC

Valor presente (VP)Valor presente (VP) Valor futuro (VF)Valor futuro (VF) Tempo (n)Tempo (n) Taxa de juros (i)Taxa de juros (i)

-400,00-400,00

+480,00+480,00

44

taxa = 80/400 = 20%taxa = 80/400 = 20%

VF - VPVF - VPjuros = $80,00juros = $80,00

ao períodoao período

00

VPVP

VFVF

nn

ii

BRUNIBRUNITome cuidado com alguns ...Tome cuidado com alguns ...

SinônimosSinônimos

BRUNIBRUNIPara ficar esperto!!!Para ficar esperto!!!

Classifique as definições Classifique as definições em Valor presente (em Valor presente (PP) ou ) ou Valor futuro (Valor futuro (FF):):

a)a) MontanteMontante

b)b) Capital inicialCapital inicial

c)c) Valor por dentroValor por dentro

d)d) Valor por foraValor por fora

e)e) Valor nominalValor nominal

f)f) Valor líquidoValor líquido

g)g) Valor atualValor atual

FFPPPPFFFFPPPP

BRUNIBRUNIOutras expressões ...Outras expressões ...

h)h)PrincipalPrincipal

i)i) Valor de face Valor de face

PP

FF

BRUNIBRUNIPensando sobre ...Pensando sobre ...

DFCDFCem sériesem séries

BRUNIBRUNIAmpliando horizontes …Ampliando horizontes …

E se a operação for uma E se a operação for uma série?série?

Série = mais que dois Série = mais que dois capitais analisadoscapitais analisados

…… Exemplo:Exemplo:

A vista: A vista: $1.000,00$1.000,00

Ou 4 x Ou 4 x $300,00$300,00

BRUNIBRUNIDFC do televisorDFC do televisor

+1.000,00+1.000,00

1

-30

0,0

0-3

00

,00

A vista: A vista: $1.000,00$1.000,00

Ou 4 x Ou 4 x $300,00$300,00

2-3

00

,00

-30

0,0

03

-30

0,0

0-3

00

,00

4

-30

0,0

0-3

00

,00

BRUNIBRUNIComponentes de sériesComponentes de séries

Valor presente (VP)Valor presente (VP) Valor futuro (VF)Valor futuro (VF) Taxa de juros (i)Taxa de juros (i) Tempo (n)Tempo (n) Pagamento (PMT)Pagamento (PMT)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Prestações

Taxa de juros (i)Valor Presente

Número de pagamentos (n)

BRUNIBRUNIPensando sobre ...Pensando sobre ...

SériesSériesantecipadasantecipadas

BRUNIBRUNIA simbologia do …A simbologia do …

1 + n1 + nCom entrada!!!Com entrada!!!

BRUNIBRUNIPara ilustrar …Para ilustrar …

A vista: 15% descA vista: 15% desc

1 + 91 + 9ouou

+85+85

……00 11 99

-10-10

Preço = $100,00Preço = $100,00

BRUNIBRUNIPara sempre lembrar!!!Para sempre lembrar!!!

Exercícios Exercícios de Fixaçãode Fixação

Resolva os Resolva os exercícios exercícios do livro!!!!do livro!!!!


A HP 12C e o ExcelA HP 12C e o Excel2


LivroLivro





Entender os mecanimos Entender os mecanimos

de funcionamento da HPde funcionamento da HP

Saber usar a notação RPN Saber usar a notação RPN

e as função da HPe as função da HP

Compreender os recursos Compreender os recursos

disponíveis no Exceldisponíveis no Excel

BRUNIBRUNIEntendendo a HP 12CEntendendo a HP 12C

Modelo Modelo

tradicionaltradicional

DouradoDourado

BRUNIBRUNIUm modelo novoUm modelo novo

Modelo novo, prateadoModelo novo, prateado

BRUNIBRUNITeste a sua platina!!!Teste a sua platina!!!

Alguns exemplares foram produzidos Alguns exemplares foram produzidos com erro! Teste o seu:com erro! Teste o seu:

218720 CHS g CFo; 0 g CFj; 16 g Nj; 28000 g CFj; 0 g CFj; 10 g Nj; 65000 g CFj; 0 g CFj; 5 g

Nj; 47000 g CFj; 0 g CFj; 18 g Nj; 88000 g CFj; f IRR

Resultado correto: 0,11104985Resultado incorreto de 1,191000 -10 (pela HP-12C Platinum)

BRUNIBRUNIEmuladores para PalmEmuladores para Palm

BRUNIBRUNIEmuladores para PCEmuladores para PC

HP 12C++HP 12C++

BRUNIBRUNIAlgumas características …Algumas características …

RPNRPNPilhas de Pilhas de registradoresregistradores

BRUNIBRUNIJan LukasiewiczJan Lukasiewicz

Uma idéia genial!Uma idéia genial! Simplificar a Simplificar a

notação matemática notação matemática para facilitar as para facilitar as contas em contas em máquinas!máquinas!

BRUNIBRUNIUma lógica reversa …Uma lógica reversa …

RRPPNN

eversaeversa

olonesaolonesa

otaçãootação

BRUNIBRUNIAlguns exemplos …Alguns exemplos …

Álgebra convencional …Álgebra convencional …

235235

Soma de 235 e 121Soma de 235 e 121

121121++ ==

OperandosOperandosOperadorOperador InstruçãoInstrução

356356

Notação polonesa …Notação polonesa …

235235 121121 ++

OperandosOperandosOperadorOperadorInstruçãoInstrução

356356

EN

TE

R

BRUNIBRUNIObservação importanteObservação importante

A HP 12C não tem a teclaA HP 12C não tem a tecla

==A notação polonesaA notação polonesadispensa seu usodispensa seu uso

BRUNIBRUNIA pilha de registradoresA pilha de registradores

Registradores que processam Registradores que processam as operaçõesas operações

TT

ZZ

YY

XX Visor:Visor:Registrador XRegistrador X

Clear XClear XLimpa oLimpa o

registrador Xregistrador X

BRUNIBRUNIO funcionamento da pilhaO funcionamento da pilha

TT

ZZ

YY

XX

88

EnterEnter

88

88

44

44

++

1212

BRUNIBRUNIOperações com a pilhaOperações com a pilha

Limpa o registrador XLimpa o registrador X

Troca X por YTroca X por Y

Rola a pilha para baixoRola a pilha para baixo

Limpa a memóriaLimpa a memória

CLEAR

BRUNIBRUNIFunções especiaisFunções especiais

AzuisAzuis

AmarelasAmarelas

BRUNIBRUNIFunções especiais amarelasFunções especiais amarelas

Apenas teclas amarelasApenas teclas amarelas

BRUNIBRUNIO primeiro passo de sempreO primeiro passo de sempre

Limpa a memória da calculadoraLimpa a memória da calculadora

CLEARCLEAR

BRUNIBRUNIFunções especiais azuisFunções especiais azuis

Apenas teclas azuisApenas teclas azuis

BRUNIBRUNIUsando funções algébricasUsando funções algébricas

Calcula o logaritmo neperianoCalcula o logaritmo neperiano

BRUNIBRUNIFunções essenciaisFunções essenciais

Funções Funções financeirasfinanceiras

Serão discutidas com maiorSerão discutidas com maiorprofundidade a partir deprofundidade a partir de

Juros CompostosJuros Compostos

BRUNIBRUNIFunções financeiras da HP 12CFunções financeiras da HP 12C

[n]: calcula o número de períodos[n]: calcula o número de períodos [i]: calcula a taxa de juros[i]: calcula a taxa de juros [PV]: calcula o valor presente[PV]: calcula o valor presente [PMT]: calcula a prestação[PMT]: calcula a prestação [FV]: calcula o valor futuro[FV]: calcula o valor futuro [CHS]: troca o sinal[CHS]: troca o sinal

BRUNIBRUNIMatemática financeira no …Matemática financeira no …

ExcelExcel

BRUNIBRUNIFunções variadasFunções variadas

=VP()=VP() =VF()=VF() =NPER()=NPER() =TAXA()=TAXA() =PGTO()=PGTO()

BRUNIBRUNITrês resultados do capítuloTrês resultados do capítulo

Entendemos os Entendemos os

mecanimos de mecanimos de

funcionamento da HPfuncionamento da HP

Sabemos usar a notação Sabemos usar a notação

RPN e as função da HPRPN e as função da HP

Compreendemos os Compreendemos os

recursos disponíveis no recursos disponíveis no

ExcelExcel


Juros SimplesJuros Simples3

BRUNIBRUNIConceito de juros simplesConceito de juros simples

Juros sempre Juros sempre

incidem sobre incidem sobre

o o

VALOR VALOR

PRESENTEPRESENTE

BRUNIBRUNIPreste atenção!!!Preste atenção!!!

EmpréstimoEmpréstimo Valor atual na data Valor atual na data

zero igual a $100,00zero igual a $100,00 Taxa igual a 10% a.p.Taxa igual a 10% a.p.

Considere Considere juros juros simplessimples

BRUNIBRUNIJuros simplesJuros simples

nn JurosJuros VFVF FórmulaFórmula

0 - 100,00 VF=VP

1 10,00 110,00 VF=VP + i.VP10% x $100

2 10,00 120,00 VF=VP + i.VP + i.VP10% x $100

n i.VP VF VF=VP (1+ i.n)

Juros simples sempreincidem sobre valor presente

BRUNIBRUNIFórmula dos juros simplesFórmula dos juros simples

VF=VP (1+ i.n)Devem estar

em uma mesmabase!!!

Como a taxa é sagrada,ajusta-se o valor de n

BRUNIBRUNIAbreviaturas nas taxas Abreviaturas nas taxas

Abreviatura Significado

a.d. ao dia

a.d.u. ao dia útil

a.m. ao mês

a.m.o. ao mês over

a.b. ao bimestre

a.t. ao trimestre

a.q. ao quadrimestre

a.s. ao semestre

a.a. ao ano

a.a.o. ao ano over

BRUNIBRUNICuidado com os anosCuidado com os anos

ano civil ou exatoano civil ou exatoformado por 365 formado por 365

dias;dias;ano comercialano comercial

formado por 360 formado por 360 dias.dias.

BRUNIBRUNIExemplo AExemplo A

Uma aplicação de $500,00 Uma aplicação de $500,00 foi feita por oito meses a foi feita por oito meses a uma taxa simples igual a uma taxa simples igual a 5% am. Qual o valor do 5% am. Qual o valor do resgate?resgate?

VFVF

-500-500

8 meses8 meses00

i = 5% a.m.i = 5% a.m.

VF = VP (1+in)VF = VP (1+in)VF = 500 (1+0,05 x 8)VF = 500 (1+0,05 x 8)

VF = 700VF = 700

BRUNIBRUNICaracterísticas dos juros Características dos juros simplessimples

Valor uniforme dos Valor uniforme dos juros períodicosjuros períodicos

Valor futuro cresce Valor futuro cresce linearmentelinearmente

Capitalização LinearCapitalização Linear

Valor Futuro

Tempo

VP

BRUNIBRUNIExercícios de …Exercícios de …

Sala!Sala!

BRUNIBRUNIExemplo BExemplo B

Sabina precisará de Sabina precisará de $1.200,00 em dez meses. $1.200,00 em dez meses. Quanto deverá aplicar hoje Quanto deverá aplicar hoje para ter a quantia para ter a quantia desejada? Considere uma desejada? Considere uma taxa simples igual a 5% am taxa simples igual a 5% am

1.200,001.200,00

-VP-VP

10 meses10 meses00

i = 5% a.m.i = 5% a.m.

VF = VP (1+in)VF = VP (1+in)1200 = VP (1+0,05 x 10)1200 = VP (1+0,05 x 10)

VP = 800VP = 800

BRUNIBRUNIExemplo CExemplo C

Neco aplicou $8.000,00 por Neco aplicou $8.000,00 por seis meses e recebeu seis meses e recebeu $2.400,00 de juros simples. $2.400,00 de juros simples. Qual a taxa mensal vigente Qual a taxa mensal vigente na operação?na operação?

10.400,0010.400,00

-8000-8000

6 meses6 meses00

i = ?i = ?

VF = VP (1+in)VF = VP (1+in)10400 = 8000 (1+i x 6)10400 = 8000 (1+i x 6)

i = 5%i = 5%

BRUNIBRUNIExemplo DExemplo D

A aplicação de $9.000,00 a A aplicação de $9.000,00 a uma taxa simples igual a uma taxa simples igual a 6% a.m. resulta em um 6% a.m. resulta em um valor futuro igual a valor futuro igual a $11.700,00. Qual o prazo $11.700,00. Qual o prazo em meses dessa operação? em meses dessa operação?

11.700,0011.700,00

-9000-9000

n=?n=?00

i = 6% a.m.i = 6% a.m.

VF = VP (1+in)VF = VP (1+in)11700 = 9000 (1+0,06 x n)11700 = 9000 (1+0,06 x n)

n = 5n = 5

BRUNIBRUNIImportante!!!Importante!!!

Taxas são Taxas são sagradas!!!sagradas!!!

BRUNIBRUNIExemplo EExemplo E

Calcule o valor futuro de Calcule o valor futuro de uma aplicação de $500,00 uma aplicação de $500,00

por 24 meses a 8% a.a.por 24 meses a 8% a.a.

-$500,00

0

24

VF

Taxa anual !!!

n em anosX

24 meses = 2 anos2 anos

BRUNIBRUNIAlterando o prazo …Alterando o prazo …

VF=VP (1+ i.n)

VF=500 (1+ 0,08.2)

VF=$580,00

BRUNIBRUNIDescontando em …Descontando em …

Juros Juros simples por simples por

dentrodentro

BRUNIBRUNIDesconto Racional Simples Desconto Racional Simples

Aplicar a fórmula dos Aplicar a fórmula dos juros simples para juros simples para calcular o valor presentecalcular o valor presente

Descontar significa extrair Descontar significa extrair os juros do valor futuro os juros do valor futuro para obter o valor para obter o valor presentepresente

Cuidado!!! Depois Cuidado!!! Depois veremos o descontoveremos o desconto

COMERCIALCOMERCIAL

BRUNIBRUNIDa fórmula dos juros simplesDa fórmula dos juros simples

VF = VP (1 + i.n)VF = VP (1 + i.n)

Como se deseja obter VPComo se deseja obter VP

niVF

VP

1

(1+in)(1+in)

BRUNIBRUNIExemplo FExemplo F

Uma empresa precisa descontar Uma empresa precisa descontar racionalmente ou por dentro uma racionalmente ou por dentro uma duplicata com valor nominal de duplicata com valor nominal de $4.400,00, 2 meses antes do vencimento, $4.400,00, 2 meses antes do vencimento, a 5% a.m. Qual o valor líquido e qual o a 5% a.m. Qual o valor líquido e qual o desconto?desconto?

VP

0 2

-$4.400,00-$4.400,00

Valor PresenteValor PresenteJurosJuros

VP = VF/ (1+i.n)VP = VF/ (1+i.n)

VP = 4400/(1+0,05.2)VP = 4400/(1+0,05.2)

VP = 4000VP = 4000

D = 4400-4000D = 4400-4000

D = 400D = 400Valor FuturoValor Futuro

BRUNIBRUNITaxa efetivaTaxa efetiva

É aquela que É aquela que incide sobre o incide sobre o valor presente valor presente no processo de no processo de capitalização. capitalização.

BRUNIBRUNIExemplo GExemplo G

Ao antecipar em 30 dias o Ao antecipar em 30 dias o

recebimento de uma conta a recebimento de uma conta a

receber no valor de receber no valor de

$15.000,00, a Cia Cava Cava $15.000,00, a Cia Cava Cava

S. A. sofreu um desconto S. A. sofreu um desconto

igual a 1/3 (33,3333%) do igual a 1/3 (33,3333%) do

valor nominal. Calcule a taxa valor nominal. Calcule a taxa

efetiva mensal da operação.efetiva mensal da operação.

Taxa por fora = 33,3333%Taxa por fora = 33,3333%

BRUNIBRUNITaxa efetiva no DFC!Taxa efetiva no DFC!

$10.000,00

0 1

-$15.000,00-$15.000,00

Desconto = 1/3 de $15.000,00Desconto = 1/3 de $15.000,00

Desconto = $5.000,00Desconto = $5.000,00

Por fora =33,3333%Por fora =33,3333%

Por dentro =50%Por dentro =50%

VF = VP (1+i.n)VF = VP (1+i.n)

15000 = 10000 (1+i.1)15000 = 10000 (1+i.1) i = 50% a.m.i = 50% a.m.

BRUNIBRUNIEquivalência de CapitaisEquivalência de Capitais

““Dois ou mais capitais Dois ou mais capitais nominais, supostos com nominais, supostos com datas de vencimento datas de vencimento determinadas, dizem-se determinadas, dizem-se equivalentes quando, equivalentes quando, descontados para uma descontados para uma data focal, à mesma taxa data focal, à mesma taxa de juros, e em idênticas de juros, e em idênticas condições, produzem condições, produzem valores iguais”.valores iguais”.

BRUNIBRUNIConstatação importante …Constatação importante …

Dinheiro Dinheiro tem custo tem custo

nono tempo!!!tempo!!!

Deve ser Deve ser somado somado

apenas em apenas em mesma data!mesma data!

BRUNIBRUNIA operação de equivalênciaA operação de equivalência

00 11 22 33 44

-4.0

00,0

0-4

.000

,00

1.00

0,00

1.00

0,00

1.00

0,00

1.00

0,00

2.00

0,00

2.00

0,00

X?

X?

BRUNIBRUNIExemplo HExemplo H

Pedro pensa em comprar um carro novo, com Pedro pensa em comprar um carro novo, com preço a vista igual a $30.000,00.preço a vista igual a $30.000,00.

Pagará uma entrada de $8.000,00Pagará uma entrada de $8.000,00 Pagará $14.000,00 em 30 diasPagará $14.000,00 em 30 dias Pagará X em 60 diasPagará X em 60 dias Taxa simples igual a 3% a.m.Taxa simples igual a 3% a.m.

Calcule o valor de XCalcule o valor de X$30.000,00

-$8.000,00 -$14.000,00 -X

Use a data focal 60 dias

0 30 60 dias

BRUNIBRUNITaxa simples igual a 3% a.m.Taxa simples igual a 3% a.m.

$30.000,00

-$8.000,00 -$14.000,00 -X

$22.000,00 $23.320,00

$14.420,00

$8.900,00

Capitalizando $22.000,00

VF = VP (1+in)

VF = 22000 (1+0,03.2)

VF = $23.320,00


VF = VP (1+in)

VF = 14000 (1+0,03.1)

VF = $14.420,00

0 1 2 meses

BRUNIBRUNIExemplo IExemplo I

Uma loja anuncia um Uma loja anuncia um microondas a vista por microondas a vista por $500,00 ou em duas $500,00 ou em duas parcelas mensais, sem parcelas mensais, sem entrada, iguais a X. entrada, iguais a X. Sabendo que a loja Sabendo que a loja cobra juros cobra juros simplessimples, , iguais a 4%, calcule o iguais a 4%, calcule o valor de X.valor de X.

Use a data focal zero

BRUNIBRUNIResolução …Resolução …

-X -X

$500,00

0 1 2

i = 4% a.m. (JS)i = 4% a.m. (JS)

Descapitalizando X1

VF = VP (1+in)

VP = VF / (1+in)VP = X / (1+0,04.1)

VP = 0,9615.X

Descapitalizando X2

VF = VP (1+in)

VP = VF / (1+in)VP = X / (1+0,04.2)

VP = 0,9259.X

Como a soma a valor presente é igual a $500,00,

500 = 0,9615.X + 0,9259.X = 1,8874.X X = 500/1,8874 = $264,91 X = 500/1,8874 = $264,91

$264,91$264,91 $264,91$264,91

BRUNIBRUNIExemplo JExemplo J

Um refrigerador é vendido Um refrigerador é vendido

à vista por $ 1.800,00 ou à vista por $ 1.800,00 ou

então a prazo mediante então a prazo mediante

$800,00 de entrada e mais $800,00 de entrada e mais

uma parcela de $ 1.150,00 uma parcela de $ 1.150,00

após 90 dias. Qual a taxa após 90 dias. Qual a taxa

mensal de juros simples do mensal de juros simples do

financiamento? financiamento?

BRUNIBRUNISolução do Exemplo JSolução do Exemplo J

$1.800,00

0 3

-$800,00-$800,00 -$1.150,00-$1.150,00

$1.000,00

0 3

-$1.150,00-$1.150,00

VF = VP (1+in)

1150 = 1000 (1+i.3)

i = [(1150/1000) – 1] / 3)

i = 5%

BRUNIBRUNIProporcionalidade de taxasProporcionalidade de taxas

Duas taxas de juros i1 e i2, referidas a Duas taxas de juros i1 e i2, referidas a períodos diferentes no regime de períodos diferentes no regime de capitalização ou dos juros simples são capitalização ou dos juros simples são proporcionais quando resultam no proporcionais quando resultam no mesmo montante, ou juro, no fim do mesmo montante, ou juro, no fim do prazo da operação, tendo incidido sobre prazo da operação, tendo incidido sobre o mesmo principal. o mesmo principal.

BRUNIBRUNIFórmula da equivalênciaFórmula da equivalência

ia = ib.(nb/na)ia = ib.(nb/na)Em juros Em juros

simples, vale simples, vale usar regra de usar regra de

três!!!três!!!Em juros Em juros

simples!!!simples!!!

BRUNIBRUNIExemplo LExemplo L

I. Determinar as taxas semestral e anual I. Determinar as taxas semestral e anual proporcionais à taxa de juros simples de proporcionais à taxa de juros simples de 3% ao mês.3% ao mês.

II. Calcular a taxa mensal proporcional de II. Calcular a taxa mensal proporcional de juros de : a) 90% ao semestre; b) 220,8% juros de : a) 90% ao semestre; b) 220,8% ao ano; c) 96% ao biênio.ao ano; c) 96% ao biênio.

BRUNIBRUNISolução do Exemplo LSolução do Exemplo L

I. I.

3% a.m. = [__] % a.s.3% a.m. = [__] % a.s.

1 semestre = 6 meses1 semestre = 6 meses

3% x 6 = 18% a.s.3% x 6 = 18% a.s.

3% a.m. = [__] % a.a.3% a.m. = [__] % a.a.

1 ano = 12 meses1 ano = 12 meses

3% x 12 = 36% a.a.3% x 12 = 36% a.a.

BRUNIBRUNISolução do Exemplo LSolução do Exemplo L

II. Cálculo de taxas mensaisII. Cálculo de taxas mensais

a) 1 semestre = 6 mesesa) 1 semestre = 6 meses

90% a.s. 90% a.s. ÷÷ 6 = 15% a.m. 6 = 15% a.m.

b) 1 ano = 12 mesesb) 1 ano = 12 meses

220,8% a.a. 220,8% a.a. ÷÷ 12 = 18,4% a.m. 12 = 18,4% a.m.

c) 1 biênio = 24 mesesc) 1 biênio = 24 meses

96% 96% ÷÷ 24 = 24 = 4% a.m. 4% a.m.


Entendemos operações Entendemos operações

com juros simplescom juros simples

Sabemos usar a Sabemos usar a

proporcionalidade de proporcionalidade de

taxastaxas

Compreendemos as Compreendemos as

operações com operações com

equivalência de capitaisequivalência de capitais


Desconto comercial eDesconto comercial ebancáriobancário

4

BRUNIBRUNIO que é descontarO que é descontar

Obter valor presenteObter valor presente Retirando os juros do valor Retirando os juros do valor

futurofuturo

Desconto = JurosDesconto = Juros

BRUNIBRUNIExemplo genérico ...Exemplo genérico ...

Pagar no futuro, receber a vistaPagar no futuro, receber a vista

0 n

DescontarRetirar os juros

Valor nominal

Valor líquido

(-) Desconto

Preciso do dinheiro hoje!!!

SinônimosValor nominalValor futuro

Valor líquidoValor presente

DescontoJuros

BRUNIBRUNIUm exemplo usual …Um exemplo usual …

Uma empresa possui uma Uma empresa possui uma duplicata a receber no duplicata a receber no valor de $4.000,00 em três valor de $4.000,00 em três mesesmeses

Porém, precisa do dinheiro Porém, precisa do dinheiro hojehoje

Resolve descontar (trazer Resolve descontar (trazer a valor presente) o títuloa valor presente) o título

O banco cobra uma taxa O banco cobra uma taxa de desconto igual a 6% de desconto igual a 6% a.m.a.m.Qual o desconto sofrido?Qual o desconto sofrido?

$4.000,00

0 3

Situação original

-$4.000,00

VP

Nova situação

Usando odescontoracional

…

BRUNIBRUNIDiferentes tipos de descontoDiferentes tipos de desconto

Racional simples ou por Racional simples ou por dentrodentro Aplicação da fórmula dos Aplicação da fórmula dos

juros simplesjuros simples VF = VP.(1 + i.n)VF = VP.(1 + i.n) Assim …Assim … VP = VF / (1 + i.n)VP = VF / (1 + i.n) Ou …Ou … D = VF - VPD = VF - VP

BRUNIBRUNIDesconto racionalDesconto racional

D = VF – VPD = VF – VP VP = VF / (1+in)VP = VF / (1+in) D = VF – VF / (1+in)D = VF – VF / (1+in) D = VF{1 – [1 / (1+in)]}D = VF{1 – [1 / (1+in)]} Do enunciado:Do enunciado:

VF = 4000VF = 4000 id = 6% a.m.id = 6% a.m. n = 3 mesesn = 3 meses

Desconto:Desconto: D = 4000{1 – [1 / (1+0,06.3)]} = $610,17D = 4000{1 – [1 / (1+0,06.3)]} = $610,17

Comentário:Comentário:

Que trabalho!!!

Existe algumaExiste algumaforma maisforma mais

fácil?fácil?

DescontoDescontoComercialComercial

BRUNIBRUNIDesconto comercialDesconto comercial

Comercial ou por Comercial ou por foraforaJuros são Juros são

calculados sobre calculados sobre Valor FuturoValor Futuro

É preciso ajustar É preciso ajustar a fórmula!a fórmula!


Nas operações de Nas operações de desconto comercial, com o desconto comercial, com o objetivo de tornar mais objetivo de tornar mais fácil os cálculos, a fácil os cálculos, a instituição financeira instituição financeira costuma fazer incidir a costuma fazer incidir a taxa sobre o taxa sobre o valor futurovalor futuro

D = id.n.VFD = id.n.VF

id = taxa de desconto por foraid = taxa de desconto por fora

Cuidado!Cuidado!O banco apenas O banco apenas simplifica contra simplifica contra

o bolso do o bolso do cliente!!!cliente!!!

BRUNIBRUNISegunda fórmula …Segunda fórmula …

D = id.n.VFD = id.n.VF

VP = VF – DVP = VF – DVP = VF – id.n.VFVP = VF – id.n.VFVP = VF (1– id.n)VP = VF (1– id.n)


D = id.n.VFD = id.n.VF Cuidado: Cuidado:

id = taxa de desc comercialid = taxa de desc comercial

Do enunciado:Do enunciado: VF = 4000VF = 4000 id = 6% a.m.id = 6% a.m. n = 3 mesesn = 3 meses

Desconto:Desconto: D = id.n.VF D = id.n.VF D = 0,06.3.4000 = $720,00D = 0,06.3.4000 = $720,00 Obs: anterior (racional simples) Obs: anterior (racional simples)

foi igual a $610,17foi igual a $610,17

$4.000,00

0 3

-$4.000,00

0 3

VF = VP (1+in)

4000 = 3280 (1+i.3)

i = [(4000/3280)-1]/3

i = 7,32% a.m.

Situação original

Nova situação

Ta

xa e

feti

va

VP ou Líquido4000 – 720 = $3.280,00

E a taxa efetiva simples?

BRUNIBRUNIImportantíssimo!!!Importantíssimo!!!

A taxa de desconto A taxa de desconto comercial incide sobre o comercial incide sobre o valor futuro!valor futuro!

O valor futuro é sempre O valor futuro é sempre maior que o valor maior que o valor presente!presente!

Cuidado!!!Cuidado!!! A taxa efetiva (que incide A taxa efetiva (que incide

sobre o valor presente) sobre o valor presente) será sempre maior!será sempre maior!

BRUNIBRUNIAlguns sinônimos importantesAlguns sinônimos importantes

Valor futuroValor futuro MontanteMontante Valor de faceValor de face Valor do títuloValor do título Valor nominalValor nominal

Valor presenteValor presente Capital inicialCapital inicial Valor líquidoValor líquido

BRUNIBRUNIFórmula do desconto comercialFórmula do desconto comercial

VP=VF (1- id.n)Devem estarem uma mesmabase!!!

Como a taxa é sagrada,ajusta-se o valor de n

id = taxa de descontocomercial

D=VF.id.n

BRUNIBRUNIDescontando comercialmenteDescontando comercialmente

Uma empresa quer descontar um Uma empresa quer descontar um

título a receber no valor de $10.000,00 título a receber no valor de $10.000,00

em 5 meses mediante desconto em 5 meses mediante desconto

comercial a 4%comercial a 4% a.m. Calcule: a) a.m. Calcule: a)

desconto; b) valor líquido; c) taxa desconto; b) valor líquido; c) taxa

efetiva mensal simples.efetiva mensal simples.

-10.000,00-10.000,00

+VP+VP

55

taxa = 2000/8000 = 25% ao períodotaxa = 2000/8000 = 25% ao período

D = VF.id.nD = VF.id.n

00 mesesmeses

D = 10000 x 0,04 x 5D = 10000 x 0,04 x 5

a) D = 2000a) D = 2000

b) VP = 8000b) VP = 8000

c) taxa = 5% ao mêsc) taxa = 5% ao mês

BRUNIBRUNIUma análise simplificada por…Uma análise simplificada por…

Prazos Prazos médios médios

BRUNIBRUNIAnalisando prazos médiosAnalisando prazos médios

É comum É comum

representar os representar os

fluxos por seus fluxos por seus

prazos médios e prazos médios e

valor totalvalor total

BRUNIBRUNIPara sempre lembrar …Para sempre lembrar …

A Cia Melhor da A Cia Melhor da

Praça deseja Praça deseja

descontar um descontar um

borderô, com id = 5% borderô, com id = 5%

a.m. Calcule o valor a.m. Calcule o valor

líquido recebido por líquido recebido por

ela.ela.

BRUNIBRUNIO borderô …O borderô …

Borderô = conjunto de Borderô = conjunto de títulostítulos

TítuloTítulo ValorValor PrazoPrazo

203A203A $500,00$500,00 30 dias30 dias

305F305F $600,00$600,00 45 dias45 dias

440E440E $400,00$400,00 60 dias60 dias

0 30

500,00

45

600,00

60

400,00

Soma $1.500,00

nn

BRUNIBRUNIDesconto de BorderôDesconto de Borderô

TítuloTítulo ValorValor PrazoPrazo 203A203A $500,00$500,00 30 dias30 dias 305F305F $600,00$600,00 45 dias45 dias 440E440E $400,00$400,00 60 dias60 dias

SomaSoma $1.500,00$1.500,00

Prazo médio =Prazo médio =500 x 30 + 600 x 45 + 400 x 60500 x 30 + 600 x 45 + 400 x 60 = = 500 + 600 + 400500 + 600 + 400= 44 dias = 44 dias

44 dias44 dias

BRUNIBRUNISimplificando …Simplificando …

0 30

500,00

45

600,00

60

400,00

0 44

1.500,00Simplificando …Simplificando …

VP = VF (1-id.n)VP = VF (1-id.n)VP = 1500 (1-0,05.44/30)VP = 1500 (1-0,05.44/30)VP = $1.390,00VP = $1.390,00


Entendemos o significado Entendemos o significado

do desconto comercialdo desconto comercial

Sabemos distingüir taxas Sabemos distingüir taxas

de desconto por fora e de desconto por fora e

por dentropor dentro

Calculamos taxas efetivasCalculamos taxas efetivas


Juros compostosJuros compostos5

BRUNIBRUNIPara pensar ...Para pensar ...

"O juro composto é a "O juro composto é a

maior invenção da maior invenção da

humanidade, porque humanidade, porque

permite uma confiável permite uma confiável

e sistemática e sistemática

acumulação de acumulação de

riqueza”.riqueza”.

Albert EinsteinAlbert Einstein


Entender operações com Entender operações com

juros compostosjuros compostos

Saber usar a equivalência Saber usar a equivalência

de taxasde taxas

Compreender as Compreender as

operações com operações com

equivalência de capitaisequivalência de capitais

BRUNIBRUNIConceito de juros compostosConceito de juros compostos

Juros sempre sobre o Juros sempre sobre o

MONTANTE MONTANTE

ANTERIORANTERIOR

BRUNIBRUNIPreste atenção!!!Preste atenção!!!

EmpréstimoEmpréstimo Valor atual na data Valor atual na data

zero igual a $100,00zero igual a $100,00 Taxa igual a 10% a.p.Taxa igual a 10% a.p.

Considere Considere juros juros compostoscompostos

BRUNIBRUNIJuros compostosJuros compostos

nn JurosJuros VFVF FórmulaFórmula

0 - 100,00 VF=VP

1 10,00 110,00 VF=VP (1+i)10% x $100

2 11,00 121,00 VF=VP (1+i) (1+i)10% x $110

n i.VFant VF VF=VP (1+ i)n

Juros compostos sempreincidem sobre montante

BRUNIBRUNIUma constataçãoUma constatação

Juros sobre Juros sobre montantemontante

Montante inclui jurosMontante inclui juros

Juros sobre Juros sobre jurosjuros

BRUNIBRUNIFórmula dos juros compostosFórmula dos juros compostos

VF=VP (1+ i)n

Expoente!Desafio matemático …Contas mais difíceis …

BRUNIBRUNICalculando no braçoCalculando no braço

Um investidor aplicou Um investidor aplicou $4.000,00 por seis meses a $4.000,00 por seis meses a uma taxa composta igual a uma taxa composta igual a 8% a.m. Calcule o valor do 8% a.m. Calcule o valor do resgate.resgate.

VFVF

-4000-4000

6 meses6 meses00

i = 8% a.m.i = 8% a.m.

VF = VP (1+i)VF = VP (1+i)nn

VF = 4000 (1+0,08)VF = 4000 (1+0,08)66

VF = $6.347,50 VF = $6.347,50

BRUNIBRUNIAs tabelas padronizadasAs tabelas padronizadas

Para facilitar as contas …Para facilitar as contas …

VF=VP (1+ i)n

(1+ i)n

linhalinhacolunacoluna

Tabelas padronizadasTabelas padronizadas

BRUNIBRUNIPara o exemploPara o exemplo

n\in\i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 1,0100 1,0200 1,0300 1,0400 1,0500 1,0600 1,0700 1,0800 1,0900 1,1000

2 1,0201 1,0404 1,0609 1,0816 1,1025 1,1236 1,1449 1,1664 1,1881 1,2100

3 1,0303 1,0612 1,0927 1,1249 1,1576 1,1910 1,2250 1,2597 1,2950 1,3310

4 1,0406 1,0824 1,1255 1,1699 1,2155 1,2625 1,3108 1,3605 1,4116 1,4641

5 1,0510 1,1041 1,1593 1,2167 1,2763 1,3382 1,4026 1,4693 1,5386 1,6105

6 1,0615 1,1262 1,1941 1,2653 1,3401 1,4185 1,5007 1,5869 1,6771 1,7716

7 1,0721 1,1487 1,2299 1,3159 1,4071 1,5036 1,6058 1,7138 1,8280 1,9487

8 1,0829 1,1717 1,2668 1,3686 1,4775 1,5938 1,7182 1,8509 1,9926 2,1436

9 1,0937 1,1951 1,3048 1,4233 1,5513 1,6895 1,8385 1,9990 2,1719 2,3579

10 1,1046 1,2190 1,3439 1,4802 1,6289 1,7908 1,9672 2,1589 2,3674 2,5937

n=6n=6 i=8%i=8%

=1,5869

VFVF

-4000-4000 6 meses6 meses00

i = 8% a.m.i = 8% a.m.

BRUNIBRUNISubstituindo aSubstituindo an,in,i

VF = VP (1+i)VF = VP (1+i)nn

VF = $6.347,50 VF = $6.347,50

VF = 4000. (1,5869)VF = 4000. (1,5869)

VFVF

-4000-4000 6 meses6 meses00

i = 8% a.m.i = 8% a.m.

BRUNIBRUNIPara facilitar as contas …Para facilitar as contas …

Recursos auxiliares de Recursos auxiliares de cálculos podem ser cálculos podem ser

empregados …empregados …

Calculadora Calculadora HP12CHP12C

Planilha ExcelPlanilha Excel

BRUNIBRUNIJuros compostos na HP 12CJuros compostos na HP 12C

BRUNIBRUNIFunções financeiras da HP 12CFunções financeiras da HP 12C

[n]: calcula o número de períodos[n]: calcula o número de períodos [i]: calcula a taxa de juros[i]: calcula a taxa de juros [PV]: calcula o valor presente[PV]: calcula o valor presente [PMT]: calcula a prestação[PMT]: calcula a prestação [FV]: calcula o valor futuro[FV]: calcula o valor futuro [CHS]: troca o sinal[CHS]: troca o sinal

BRUNIBRUNIEmuladores para PCEmuladores para PC

HP 12C++HP 12C++

BRUNIBRUNINa HP 12CNa HP 12C

VFVF

-4000-4000

6 meses6 meses00

i = 8% a.m.i = 8% a.m.

f Regf Reg

4000 CHS PV4000 CHS PV

6 n6 n

8 I8 I

[FV] [FV] $6.347,50 $6.347,50

BRUNIBRUNIImportantíssimo!!!Importantíssimo!!!

Ajuste a HP 12C para Ajuste a HP 12C para a convenção a convenção exponencial!!!exponencial!!!

Sempre trabalhar Sempre trabalhar com juros com juros compostos, mesmo compostos, mesmo nas partes nas partes fracionárias de n!fracionárias de n!

BRUNIBRUNIConfigurando a HP 12CConfigurando a HP 12C

CC

Ative o flag “C”!!!Ative o flag “C”!!!

BRUNIBRUNIPara ativar …Para ativar …

BRUNIBRUNIHP 12C configurada!!!HP 12C configurada!!!

CC


Pedro aplicou $400,00 por três meses a Pedro aplicou $400,00 por três meses a 5% a. m. (juros compostos). Qual o 5% a. m. (juros compostos). Qual o valor de resgate?valor de resgate?

Tempo

-400,00-400,00

VF?VF?

Mo

vim

enta

ções

de

$M

ovi

men

taçõ

es d

e $

n=3n=3

i=5% a.m.i=5% a.m.

[f] [Reg][f] [Reg]

400 [CHS] [PV]400 [CHS] [PV]3 [n]3 [n]

5 [i]5 [i]

[FV] 463,05[FV] 463,05


Qual o valor presente obtido Qual o valor presente obtido para um valor futuro igual a para um valor futuro igual a $800,00 no ano 4 a uma taxa $800,00 no ano 4 a uma taxa igual a 8% a. a.? igual a 8% a. a.?

[f] [Reg][f] [Reg]

800 [FV]800 [FV]4 [n]4 [n]

8 [i]8 [i]

[PV][PV]


[f] [Reg][f] [Reg]

500 [CHS] [PV]500 [CHS] [PV]

3 [n]3 [n]

600 [FV]600 [FV]

[i][i]

-500,00-500,00

+600,00+600,00

33

i = ?i = ?


[f] [Reg][f] [Reg]

1200 [FV]1200 [FV]

4 [n]4 [n]

2 [i]2 [i]

[PV][PV]

-VP-VP

+1.200,00+1.200,00

44

i = 2%i = 2%

BRUNIBRUNIExemplo EExemplo E

[f] [Reg][f] [Reg]

800 [CHS] [PV]800 [CHS] [PV]

6 [n]6 [n]

3 [i]3 [i]

[FV][FV]

-800,00-800,00

+VF+VF

66

i = 3%i = 3%

BRUNIBRUNIExemplo FExemplo F

[f] [Reg][f] [Reg]

580 [CHS] [PV]580 [CHS] [PV]

750 [FV]750 [FV]

8 [n]8 [n]

[i][i]

-580,00-580,00

+750,00+750,00

88

i = ?i = ?

BRUNIBRUNICaracterísticas dos compostosCaracterísticas dos compostos

Juros incidem sobre jurosJuros incidem sobre juros Valor futuro cresce Valor futuro cresce

exponencialmenteexponencialmente

Capitalização ExponencialCapitalização Exponencial

Valor Futuro

Tempo

VP

BRUNIBRUNICompostos superam simples?Compostos superam simples?

Valor Futuro

Tempo

VP

Juros simples maioresque compostos

Juros compostos maioresque simples

N = 1

BRUNIBRUNIPara valor de n …Para valor de n …

N < 1 N < 1 Juros simples são maiores Juros simples são maiores

que juros compostosque juros compostos

N = 1N = 1 Juros simples são iguais a Juros simples são iguais a

juros compostosjuros compostos

N>1N>1 Juros compostos são Juros compostos são

maiores que juros simplesmaiores que juros simples

BRUNIBRUNIEquivalência de CapitaisEquivalência de Capitais

““Dois ou mais capitais Dois ou mais capitais nominais, supostos com nominais, supostos com datas de vencimento datas de vencimento determinadas, dizem-se determinadas, dizem-se equivalentes quando, equivalentes quando, descontados para uma descontados para uma data focal, à mesma taxa data focal, à mesma taxa de juros, e em idênticas de juros, e em idênticas condições, produzem condições, produzem valores iguais”.valores iguais”.

(mesmo conceito em juros simples)(mesmo conceito em juros simples)

BRUNIBRUNIExemplo GExemplo G

Pedro pensa em comprar um carro novo, com Pedro pensa em comprar um carro novo, com preço a vista igual a $30.000,00.preço a vista igual a $30.000,00.

Pagará uma entrada de $8.000,00Pagará uma entrada de $8.000,00 Pagará $14.000,00 em 30 diasPagará $14.000,00 em 30 dias Pagará X em 60 diasPagará X em 60 dias Taxa Taxa compostacomposta igual a 3% a.m. igual a 3% a.m.

Calcule o valor de XCalcule o valor de X$30.000,00

-$8.000,00 -$14.000,00 -X

BRUNIBRUNITaxa composta igual a 3% a.m.Taxa composta igual a 3% a.m.

$30.000,00

-$8.000,00 -$14.000,00 -X

$22.000,00 $23.339,80

$14.420,00

$8.919,80


VF = VP (1+i)n

VF = 22000 (1+0,03)2

VF = $23.339,80


VF = VP (1+i)n

VF = 14000 (1+0,03)1

VF = $14.420,00

0 1 2

BRUNIBRUNIExemplo HExemplo H

Uma loja anuncia um Uma loja anuncia um produto a vista por produto a vista por $500,00 ou em duas $500,00 ou em duas parcelas mensais, sem parcelas mensais, sem entrada, iguais a X. entrada, iguais a X. Sabendo que a loja Sabendo que a loja cobra juros cobra juros compostacomposta, , iguais a 4%, calcule o iguais a 4%, calcule o valor de X.valor de X.

BRUNIBRUNIResolução …Resolução …

-X -X

$500,00

0 1 2

i = 4% a.m. (JC)i = 4% a.m. (JC)

Descapitalizando X1

VF = VP (1+i)n

VP = VF / (1+i)n

VP = X / (1+0,04)1

VP = 0,9615.X

Descapitalizando X2

VF = VP (1+i)n

VP = VF / (1+i)n

VP = X / (1+0,04)2

VP = 0,9246.X

Como a soma a valor presente é igual a $500,00,

500 = 0,9615.X + 0,9246.X = 1,8861.X X = 500/1,8861 = $265,10 X = 500/1,8861 = $265,10

$264,91$264,91 $264,91$264,91

BRUNIBRUNIExemplo IExemplo I

Uma empresa comercial, para efetuar o Uma empresa comercial, para efetuar o pagamento de suas encomendas, deve pagamento de suas encomendas, deve dispor de $15.000,00 daqui a 3 meses e dispor de $15.000,00 daqui a 3 meses e $20.000,00 daqui a 8 meses. Para tanto, $20.000,00 daqui a 8 meses. Para tanto, deseja aplicar hoje uma quantia X que lhe deseja aplicar hoje uma quantia X que lhe permita retirar as quantias necessárias permita retirar as quantias necessárias nas datas devidas, ficando sem saldo no nas datas devidas, ficando sem saldo no final. Se a aplicação for feita a juros final. Se a aplicação for feita a juros compostos, à taxa de 4% ao mês, qual compostos, à taxa de 4% ao mês, qual deverá ser o valor de X? deverá ser o valor de X?

BRUNIBRUNIEquivalência de taxasEquivalência de taxas

Duas taxas de juros i1 e i2, referidas a Duas taxas de juros i1 e i2, referidas a períodos diferentes no regime de períodos diferentes no regime de capitalização ou dos juros compostos capitalização ou dos juros compostos são equivalentes quando resultam no são equivalentes quando resultam no mesmo montante, ou juro, no fim do mesmo montante, ou juro, no fim do prazo da operação, tendo incidido sobre prazo da operação, tendo incidido sobre o mesmo principal. o mesmo principal.

BRUNIBRUNIFórmula da equivalênciaFórmula da equivalência

ia = [(1+ib)ia = [(1+ib)(nb/na)(nb/na)]-1]-1

BRUNIBRUNIÉ mais fácil …É mais fácil …

Usar a HP12CUsar a HP12C

BRUNIBRUNIEnganando a HP 12CEnganando a HP 12C

Calculando a equivalência Calculando a equivalência de taxas na HP 12Cde taxas na HP 12C

-100,00-100,00

VF?VF?

1212

i = 79,59% a.a.i = 79,59% a.a.

i = 5% a. m. = ____ % a. a.?i = 5% a. m. = ____ % a. a.?

00

[f] [Reg][f] [Reg]

100 [CHS] [PV]100 [CHS] [PV]12 [n]12 [n]

5 [i]5 [i]

[FV] [FV] 179,59179,59

179,59179,59

Suponha VP = 100Suponha VP = 100

BRUNIBRUNIEnganando a HP 12C (2!!!)Enganando a HP 12C (2!!!)


-100,00-100,00

180,00180,00

1212

i = 5,02% a. m.i = 5,02% a. m.

i = 80% a. a. = ____ % a. m.?i = 80% a. a. = ____ % a. m.?

00

[f] [Reg][f] [Reg]

100 [CHS] [PV]100 [CHS] [PV]

180 [FV]180 [FV]

12 [n]12 [n]

[i] [i] 5,025,02

BRUNIBRUNIEnganando a HP 12C (2!!!)Enganando a HP 12C (2!!!)


-100,00-100,00

160,00160,00

1212

i = 3,99% a. m.i = 3,99% a. m.

i = 60% a. a. = ____ % a. m.?i = 60% a. a. = ____ % a. m.?

00

[f] [Reg][f] [Reg]

100 [CHS] [PV]100 [CHS] [PV]

160 [FV]160 [FV]

12 [n]12 [n]

[i] [i] 3,993,99



Resolva os Resolva os exercícios do exercícios do

livro!!!!livro!!!!

BRUNIBRUNIUsando as antigas e funcionais Usando as antigas e funcionais

TabelasTabelas

BRUNIBRUNITabela de fatores (1+i)Tabela de fatores (1+i)nn

n\i 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10%

1 1,0100 1,0200 1,0300 1,0400 1,0500 1,0600 1,0700 1,0800 1,0900 1,1000

2 1,0201 1,0404 1,0609 1,0816 1,1025 1,1236 1,1449 1,1664 1,1881 1,2100

3 1,0303 1,0612 1,0927 1,1249 1,1576 1,1910 1,2250 1,2597 1,2950 1,3310

4 1,0406 1,0824 1,1255 1,1699 1,2155 1,2625 1,3108 1,3605 1,4116 1,4641

5 1,0510 1,1041 1,1593 1,2167 1,2763 1,3382 1,4026 1,4693 1,5386 1,6105

6 1,0615 1,1262 1,1941 1,2653 1,3401 1,4185 1,5007 1,5869 1,6771 1,7716

7 1,0721 1,1487 1,2299 1,3159 1,4071 1,5036 1,6058 1,7138 1,8280 1,9487

8 1,0829 1,1717 1,2668 1,3686 1,4775 1,5938 1,7182 1,8509 1,9926 2,1436

9 1,0937 1,1951 1,3048 1,4233 1,5513 1,6895 1,8385 1,9990 2,1719 2,3579

10 1,1046 1,2190 1,3439 1,4802 1,6289 1,7908 1,9672 2,1589 2,3674 2,5937

BRUNIBRUNITabela de fatores (1+i)Tabela de fatores (1+i)nn

11 1,1157 1,2434 1,3842 1,5395 1,7103 1,8983 2,1049 2,3316 2,5804 2,8531

12 1,1268 1,2682 1,4258 1,6010 1,7959 2,0122 2,2522 2,5182 2,8127 3,1384

13 1,1381 1,2936 1,4685 1,6651 1,8856 2,1329 2,4098 2,7196 3,0658 3,4523

14 1,1495 1,3195 1,5126 1,7317 1,9799 2,2609 2,5785 2,9372 3,3417 3,7975

15 1,1610 1,3459 1,5580 1,8009 2,0789 2,3966 2,7590 3,1722 3,6425 4,1772

16 1,1726 1,3728 1,6047 1,8730 2,1829 2,5404 2,9522 3,4259 3,9703 4,5950

17 1,1843 1,4002 1,6528 1,9479 2,2920 2,6928 3,1588 3,7000 4,3276 5,0545

18 1,1961 1,4282 1,7024 2,0258 2,4066 2,8543 3,3799 3,9960 4,7171 5,5599

19 1,2081 1,4568 1,7535 2,1068 2,5270 3,0256 3,6165 4,3157 5,1417 6,1159

20 1,2202 1,4859 1,8061 2,1911 2,6533 3,2071 3,8697 4,6610 5,6044 6,7275


Taxas nominaisTaxas nominaise unificadase unificadas

6


LivroLivro





Entender o significado Entender o significado

das taxas nominaisdas taxas nominais

Saber operar taxas Saber operar taxas

nominais e unificadasnominais e unificadas

Compreender as Compreender as

operações com diferentes operações com diferentes

taxas de jurostaxas de juros

BRUNIBRUNINovo assunto …Novo assunto …

Taxas Taxas nominaisnominais

BRUNIBRUNITaxas nominaisTaxas nominais

Taxas de juros Taxas de juros apresentadas em uma apresentadas em uma unidade, porém unidade, porém capitalizadas em outracapitalizadas em outra

No Brasil, caderneta de No Brasil, caderneta de poupançapoupança

6% a. a., capitalizada 6% a. a., capitalizada mensalmentemensalmente

0,5% a. m.0,5% a. m.

BRUNIBRUNICalcule as taxas anuaisCalcule as taxas anuais

24% a.a., capitalizada 24% a.a., capitalizada mensalmentemensalmente

18% a.s., capitalizada 18% a.s., capitalizada mensalmentemensalmente

36% a.a., capitalizada 36% a.a., capitalizada semestralmentesemestralmente

8% a.a., capitalizada 8% a.a., capitalizada quadrimestralmentequadrimestralmente

BRUNIBRUNINovo assunto …Novo assunto …

Taxas Taxas unificadasunificadas

BRUNIBRUNITaxas unificadasTaxas unificadas

Resultam da incorporação sucessiva deResultam da incorporação sucessiva de

Juros reaisJuros reais

InflaçãoInflação Fórmula:Fórmula:

(1 + i(1 + iuu) = (1 + i) = (1 + irr).(1+i).(1+iii))unificadaunificada realreal inflaçãoinflação

BRUNIBRUNIPara fixarPara fixar

Um investidor aplicou Um investidor aplicou $450,00, recebendo $450,00, recebendo $580,00 após um $580,00 após um determinado período. determinado período. Sabendo que a inflação no Sabendo que a inflação no período foi igual a 8%, período foi igual a 8%, calcule a taxa real.calcule a taxa real.


Entendemos o significado das taxas Entendemos o significado das taxas

nominaisnominais

Sabemos operar taxas nominais e Sabemos operar taxas nominais e

unificadasunificadas

Compreendemos as operações com Compreendemos as operações com

diferentes taxas de jurosdiferentes taxas de juros


Anuidades ou sériesAnuidades ou séries7

BRUNIBRUNIConceito de SériesConceito de Séries

Seqüencia de Seqüencia de pagamentos ou pagamentos ou

recebimentos em recebimentos em datas futuras, como datas futuras, como

contrapartida de contrapartida de recebimento ou recebimento ou

aplicação a valor aplicação a valor presentepresente

BRUNIBRUNITipos de sériesTipos de séries

UniformesUniformes Valores nominais iguaisValores nominais iguais

Não uniformesNão uniformes Valores nominais diferentesValores nominais diferentes

Este capítulo:Este capítulo:

Séries UniformesSéries Uniformes

BRUNIBRUNIClassificação das sériesClassificação das séries

AntecipadasAntecipadas Com entradaCom entrada Exemplos … 1 + 2, 1 + 5, 1 + …Exemplos … 1 + 2, 1 + 5, 1 + …

PostecipadasPostecipadas Sem entradaSem entrada Exemplos … 2x, 5x, 6x …Exemplos … 2x, 5x, 6x …

BRUNIBRUNIA geladeira nova de PedroA geladeira nova de Pedro

Pedro quer comprar uma Pedro quer comprar uma geladeirageladeira

Na loja, $1.000,00 a vistaNa loja, $1.000,00 a vista Ou … em quatro Ou … em quatro iguaisiguais

mensais, sem entradamensais, sem entrada

Valores Valores nominaisnominais

iguaisiguais

SériesSériesUNIFORMESUNIFORMES

+$1.000,00+$1.000,00

2200 11 4433

-PMT-PMT

Taxa da loja?Taxa da loja?

i= 4% a.m.i= 4% a.m.Como obterComo obter

PMT?PMT?

ÁlgebraÁlgebraTabelasTabelasHP 12CHP 12CExcelExcel

BRUNIBRUNIUsando o bom sensoUsando o bom senso

Pagamentos Pagamentos em 1, 2, 3 e 4em 1, 2, 3 e 4

Prazo médio Prazo médio igual a 2,5igual a 2,5

+$1.000,00+$1.000,00

2200 11 4433

-PMT-PMT

i= 4% a.m.i= 4% a.m.n = 2,5n = 2,5

Supondo JSSupondo JS

VFVF

VF = VP (1+in)VF = VP (1+in)

VF = 1000 (1+0,04.2,5)VF = 1000 (1+0,04.2,5)

VF = 1100VF = 1100Como são feitos quatro pagamentosComo são feitos quatro pagamentos

Pagamento = 1100/4 = $275,00Pagamento = 1100/4 = $275,00

Cuidado!Cuidado!ValorValor

aproximado aproximado por jurospor jurossimplessimples

Valor exato Valor exato com juros com juros

compostoscompostos

BRUNIBRUNIUsando a álgebraUsando a álgebra

n

n

inii

ia

1

11,

VP = aVP = an,in,i.PMT.PMT

BRUNIBRUNIUsando a tabelaUsando a tabela

N iN i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 0,9901 0,9804 0,9709 0,9615 0,9524 0,9434 0,9346 0,9259 0,9174 0,9091

2 1,9704 1,9416 1,9135 1,8861 1,8594 1,8334 1,8080 1,7833 1,7591 1,7355

3 2,9410 2,8839 2,8286 2,7751 2,7232 2,6730 2,6243 2,5771 2,5313 2,4869

4 3,9020 3,8077 3,7171 3,6299 3,5460 3,4651 3,3872 3,3121 3,2397 3,1699

5 4,8534 4,7135 4,5797 4,4518 4,3295 4,2124 4,1002 3,9927 3,8897 3,7908

6 5,7955 5,6014 5,4172 5,2421 5,0757 4,9173 4,7665 4,6229 4,4859 4,3553

7 6,7282 6,4720 6,2303 6,0021 5,7864 5,5824 5,3893 5,2064 5,0330 4,8684

8 7,6517 7,3255 7,0197 6,7327 6,4632 6,2098 5,9713 5,7466 5,5348 5,3349

9 8,5660 8,1622 7,7861 7,4353 7,1078 6,8017 6,5152 6,2469 5,9952 5,7590

10 9,4713 8,9826 8,5302 8,1109 7,7217 7,3601 7,0236 6,7101 6,4177 6,1446

aan,in,i=3,6299=3,6299

Pagamento = 1000/3,6299 = $275,49Pagamento = 1000/3,6299 = $275,49

BRUNIBRUNIUsando a HP 12CUsando a HP 12C

[n]: calcula o número de períodos[n]: calcula o número de períodos [i]: calcula a taxa de juros[i]: calcula a taxa de juros [PV]: calcula o valor presente[PV]: calcula o valor presente [PMT]: calcula a prestação[PMT]: calcula a prestação [FV]: calcula o valor futuro[FV]: calcula o valor futuro [CHS]: troca o sinal[CHS]: troca o sinalg Begg Beg g Endg Endouou

BRUNIBRUNINa HP 12CNa HP 12C

7BEGBEG

8ENDEND

BegBegin = Começo

Antecipado

Com entrada

Flag no visorFlag no visor

End = Final

Postecipado

Sem entrada

Sem FlagSem Flag

BRUNIBRUNIExemplo na HP 12CExemplo na HP 12C

[f] [Reg][f] [Reg]

1000 [PV]1000 [PV]

4 [n]4 [n]

4 [i]4 [i]

+$1.000,00+$1.000,00

2200 11 4433

-PMT-PMT

i= 4% a.m.i= 4% a.m.

Sem entrada Sem entrada ouou

POSTECIPADAPOSTECIPADA

em inglêsem inglês

ENDEND

[g] [END][g] [END]

$275,49$275,49

[PMT][PMT]

Com JS, $275,00Com JS, $275,00

BRUNIBRUNIUsando o ExcelUsando o Excel

Pode usar a função …Pode usar a função …

=PGTO()=PGTO()

Tipo 0Tipo 0 Tipo 1Tipo 1ouou

BRUNIBRUNIE se os pagamentos fossem …E se os pagamentos fossem …

Com Com entrada entrada

……

BRUNIBRUNIUsando o bom sensoUsando o bom senso

Pagamentos Pagamentos em 0, 1, 2 e 3em 0, 1, 2 e 3

Prazo médio Prazo médio igual a 1,5igual a 1,5

+$1.000,00+$1.000,00

2200 11 4433

-PMT-PMT

i= 4% a.m.i= 4% a.m.n = 1,5n = 1,5

Supondo JSSupondo JS

VFVF

VF = VP (1+in)VF = VP (1+in)

VF = 1000 (1+0,04.1,5)VF = 1000 (1+0,04.1,5)

VF = 1060VF = 1060Como são feitos quatro pagamentosComo são feitos quatro pagamentos

Pagamento = 1060/4 = $265,00Pagamento = 1060/4 = $265,00

Cuidado!Cuidado!ValorValor

aproximado aproximado por jurospor jurossimplessimples

Valor exato Valor exato com juros com juros

compostoscompostos

BRUNIBRUNIA geladeira nova de PedroA geladeira nova de Pedro

Pedro quer comprar uma Pedro quer comprar uma geladeirageladeira

Na loja, $1.000,00 a vistaNa loja, $1.000,00 a vista Ou … em quatro iguais Ou … em quatro iguais

mensais, mensais, comcom entrada entrada

+$1.000,00+$1.000,00

2200 11 4433

-PMT-PMT

i= 4% a.m.i= 4% a.m.

Com entradaCom entradaANTECIPADAANTECIPADAem inglêsem inglêsBEGINBEGIN

[f] [Reg][f] [Reg]

1000 [PV]1000 [PV]

4 [n]4 [n]

4 [i]4 [i][g] [BEG] [PMT][g] [BEG] [PMT]

$264,89$264,89

JC = $265,00, diferença de $0,11!!!JC = $265,00, diferença de $0,11!!!


Um televisor é anunciado Um televisor é anunciado por $600,00 a vista. A loja por $600,00 a vista. A loja aceita parcelar a compra, aceita parcelar a compra, cobrando 2% a. m. Calcule cobrando 2% a. m. Calcule o valor das prestações o valor das prestações supondo um plano do tipo:supondo um plano do tipo:

4 x sem entrada4 x sem entrada

BRUNIBRUNIAnalisando o DFC: 4xAnalisando o DFC: 4x

+600,00+600,00

2200 11 4433

-PMT-PMT

Taxa igual a 2% a.m.

Sem entrada

Na HP 12C: g END

[f] [Reg][f] [Reg]

600 [PV]600 [PV]

4 [n]4 [n]

g [END]g [END]

2 [i]2 [i]

[PMT][PMT]

-157,5743-157,5743


Um televisor é anunciado Um televisor é anunciado por $600,00 a vista. A loja por $600,00 a vista. A loja aceita parcelar a compra, aceita parcelar a compra, cobrando 2% a. m. Calcule cobrando 2% a. m. Calcule o valor das prestações o valor das prestações supondo um plano do tipo:supondo um plano do tipo:

1 + 3 x1 + 3 x

BRUNIBRUNIAnalisando o DFC: 4xAnalisando o DFC: 4x

+600,00+600,00

2200 11 4433

-PMT-PMT


Com entrada

Na HP 12C: g BEG

[f] [Reg][f] [Reg]

600 [PV]600 [PV]

4 [n]4 [n]

g [BEG]g [BEG]

2 [i]2 [i]

[PMT][PMT]

-154,4846-154,4846


A Mercantil Precinho e A Mercantil Precinho e Descontão Ltda. pensa em Descontão Ltda. pensa em financiar suas vendas, financiar suas vendas, cobrando uma taxa cobrando uma taxa composta mensal sempre composta mensal sempre igual a 3% a. m. Calcule o igual a 3% a. m. Calcule o valor das prestações nas valor das prestações nas operações de venda operações de venda financiada apresentadas a financiada apresentadas a seguir.seguir.

BRUNIBRUNIa)a) Rádio SomzãoRádio Somzão

Valor a vista igual a $400,00, Valor a vista igual a $400,00, em três iguais, sem em três iguais, sem

entrada.entrada.

BRUNIBRUNIAnalisando o DFC do Analisando o DFC do SomzãoSomzão

+400,00+400,00

2200 11 4433

-PMT-PMT


Sem entrada

Na HP 12C: g END

[f] [Reg][f] [Reg]

400 [PV]400 [PV]

3 [n]3 [n]

g [END]g [END]

3 [i]3 [i]

[PMT][PMT]

-141,4121-141,4121

BRUNIBRUNIb) Tocador de CD Musicalb) Tocador de CD Musical

Valor a vista igual a $240,00, Valor a vista igual a $240,00, entrada de $80,00 mais entrada de $80,00 mais cinco mensais iguais.cinco mensais iguais.

BRUNIBRUNIAnalisando o DFC do Analisando o DFC do MusicalMusical

+240,00+240,00

2200 11 4433

-PMT-PMT


Entrada igual a 80

Na HP 12C: g END

[f] [Reg][f] [Reg]

160 [PV]160 [PV]

5 [n]5 [n]

g [END]g [END]

3 [i]3 [i]

[PMT][PMT]

55

-80,00-80,00

+160,00+160,00

-34,9367-34,9367

BRUNIBRUNIc) Televisor Veja Maisc) Televisor Veja Mais

Valor a vista igual a Valor a vista igual a $1.200,00, em 1 + 7.$1.200,00, em 1 + 7.

BRUNIBRUNIAnalisando o DFC do Analisando o DFC do Veja MaisVeja Mais

+1.200,00+1.200,00

2200 11 4433

-PMT-PMT


1 + 7

Na HP 12C: g BEG

[f] [Reg][f] [Reg]1200 [PV]1200 [PV]8 [n]8 [n]g [BEG]g [BEG]3 [i]3 [i][PMT][PMT]

55 66 77

-165,97-165,97

BRUNIBRUNId) Refrigerador Esquimód) Refrigerador Esquimó

Valor a vista igual a Valor a vista igual a $2.100,00, em 1 + 3.$2.100,00, em 1 + 3.

BRUNIBRUNIAnalisando o DFC do Analisando o DFC do EsquimóEsquimó

+2.100,00+2.100,00

2200 11 33

-PMT-PMT


1 + 3

Na HP 12C: g BEG

[f] [Reg][f] [Reg]2100 [PV]2100 [PV]4 [n]4 [n]g [BEG]g [BEG]3 [i]3 [i][PMT][PMT]

-548,5017-548,5017


Um amplificador tem preço a vista Um amplificador tem preço a vista igual a $1.200,00. A loja cobra 4% igual a $1.200,00. A loja cobra 4% a. m. Calcule o valor das a. m. Calcule o valor das prestações mensais nos seguintes prestações mensais nos seguintes casos:casos:

Prestação = [PMT]Prestação = [PMT]

a)a) 5 x sem entrada5 x sem entrada

b)b) 1 + 31 + 3

c)c) Entrada de $300,00 + Entrada de $300,00 + 4 x4 x

BRUNIBRUNIa) 5 x sem entradaa) 5 x sem entrada

[f] Reg[f] Reg

1200 [PV]1200 [PV]

4 [i]4 [i]

5 [n]5 [n]

g [END] g [END] (sem entrada)(sem entrada)

[PMT] – 269,55[PMT] – 269,55

BRUNIBRUNIb) 1 + 3xb) 1 + 3x

[f] Reg[f] Reg

1200 [PV]1200 [PV]

4 [i]4 [i]

4 [n]4 [n]

g [BEG] g [BEG] (com entrada)(com entrada)

[PMT] -317,87[PMT] -317,87

BRUNIBRUNIc) $300,00 + 4 xc) $300,00 + 4 x

[f] Reg[f] Reg

900 [PV] 900 [PV] (abatendo a entrada)(abatendo a entrada)

4 [i]4 [i]

4 [n]4 [n]

g [END] g [END] (sem entrada)(sem entrada)

[PMT] -247,94[PMT] -247,94


Sistemas deSistemas deamortizaçãoamortização

8

BRUNIBRUNIConceitoConceito

Forma de Forma de incidência e incidência e cálculo de juros e cálculo de juros e amortização do amortização do valor principal valor principal devidodevido

BRUNIBRUNISistemas de amortizaçãoSistemas de amortização

Sistema de Sistema de

amortizações amortizações

constantes (SAC)constantes (SAC)

Sistema de Sistema de

prestações prestações

constantes (Price)constantes (Price)

Sistema americanoSistema americano

BRUNIBRUNIAmortizações constantesAmortizações constantes

Amortizações Amortizações

iguaisiguais

Juros Juros

diferentesdiferentes

BRUNIBRUNIUm exemplo simples …Um exemplo simples …

Financiamento de $3.000,00Financiamento de $3.000,00 Taxa igual a 10% a. m.Taxa igual a 10% a. m. Três pagamentos mensais Três pagamentos mensais

11aa forma forma

SACSAC

BRUNIBRUNIAmortização e jurosAmortização e juros

NNSaldoSaldoInicialInicial JurosJuros AmortAmort SomaSoma SaldoSaldo

FinalFinal

11 30003000-10% de 3000-10% de 3000

-300-300 -1000-1000 -1300-1300 20002000

22 20002000-10% de 2000-10% de 2000

-200-200 -1000-1000 -1200-1200 10001000

33 10001000-10% de 1000-10% de 1000

-100-100 -1000-1000 -1100-1100 zerozero

SAC: $3.000,00 / 3 = $1.000,00

BRUNIBRUNIPara nunca esquecerPara nunca esquecer

Componha a planilha de Componha a planilha de

pagamento referente a pagamento referente a

um empréstimo de um empréstimo de

$8.000,00, a 5% a.m., $8.000,00, a 5% a.m.,

considerando quatro considerando quatro

prestações. Use o prestações. Use o

sistema SAC.sistema SAC.

BRUNIBRUNIPlanilha SACPlanilha SAC

N Inicial Juros Amort Total Final

1 8.000,00 -400,00 -2.000,00 -2.400,00 6.000,00

2 6.000,00 -300,00 -2.000,00 -2.300,00 4.000,00

3 4.000,00 -200,00 -2.000,00 -2.200,00 2.000,00

4 2.000,00 -100,00 -2.000,00 -2.100,00 0,00

BRUNIBRUNIPrestações constantesPrestações constantes

Amortizações Amortizações

diferentesdiferentes

Juros diferentesJuros diferentes

Prestações iguaisPrestações iguais

BRUNIBRUNIUm exemplo simples …Um exemplo simples …

Financiamento de $3.000,00Financiamento de $3.000,00 Taxa igual a 10% a. m.Taxa igual a 10% a. m. Três pagamentos mensais Três pagamentos mensais

22aa forma forma

PricePrice

BRUNIBRUNI

NNSaldoSaldoInicialInicial JurosJuros AmortAmort SomaSoma SaldoSaldo

FinalFinal

11 30003000-10% de 3000-10% de 3000

-300-300 -906,34-906,34 -1206,34-1206,34 2093,662093,66

22 2093,662093,66-10% de 2093,66-10% de 2093,66

-209,37-209,37 -996,98-996,98 -1206,34-1206,34 1096,681096,68

33 1096,681096,68-10% de -10% de 1096,681096,68

-109,67-109,67-1096,98-1096,98 -1206,34-1206,34 zerozero

Amortização e jurosAmortização e juros

Price: f Reg 3000 PV 3 n 10 i g End PMT-1.206,34

DiferençaDiferença

BRUNIBRUNIPara nunca esquecerPara nunca esquecer

Componha a planilha de Componha a planilha de

pagamento referente a pagamento referente a

um empréstimo de um empréstimo de

$8.000,00, a 5% a.m., $8.000,00, a 5% a.m.,

considerando quatro considerando quatro

prestações. Use o prestações. Use o

sistema Price.sistema Price.

BRUNIBRUNIPlanilha PricePlanilha Price

NN InicialInicial JurosJuros AmortAmort TotalTotal FinalFinal

11 8.000,008.000,00 -400,00-400,00 -1.856,09-1.856,09 -2.256,09-2.256,09 6.143,916.143,91

22 6.143,916.143,91 -307,20-307,20 -1.948,90-1.948,90 -2.256,09-2.256,09 4.195,014.195,01

33 4.195,014.195,01 -209,75-209,75 -2.046,34-2.046,34 -2.256,09-2.256,09 2.148,662.148,66

44 2.148,662.148,66 -107,43-107,43 -2.148,66-2.148,66 -2.256,09-2.256,09 0,000,00

BRUNIBRUNIAmericanoAmericano

Amortizações no Amortizações no

finalfinal

Juros periódicosJuros periódicos

BRUNIBRUNIExemplo típicoExemplo típico

DEBÊNTURESDEBÊNTURES

BRUNIBRUNICaracterísticasCaracterísticas

OBRIGAÇÃOOBRIGAÇÃO

DATA DE VENCIMENTODATA DE VENCIMENTO

PAGAMENTO DE JUROSPAGAMENTO DE JUROS

PERIÓDICOSPERIÓDICOS

BRUNIBRUNIA presença de coupons A presença de coupons periódicosperiódicos

BRUNIBRUNI

VALOR NOMINAL

$200.000,00VENCIMENTO

2 ANOS

COUPOM 10.000,00

1o SEMESTRE

COUPOM 10.000,00

2o SEMESTRE

COUPOM 10.000,00

3o SEMESTRE

COUPOM 10.000,00

4o SEMESTRE

Couponsperiódicos

Componentes das DebênturesComponentes das Debêntures

BRUNIBRUNI

0 1 2 3 4

VALOR NOMINAL

$200.000,00VENCIMENTO

2 ANOS

COUPOM 10.000,00

1o SEMESTRE

COUPOM 10.000,00

2o SEMESTRE

COUPOM 10.000,00

3o SEMESTRE

COUPOM 10.000,00

4o SEMESTRE

Taxa de descontoYield To Maturity

YTM

Prêmios …

TempoTempo

RiscoRisco

PreçoPreçoUnitárioUnitário

PUPU

Componentes e fluxo de caixaComponentes e fluxo de caixa

BRUNIBRUNI

0 1 2 3

400

... cupons semestrais a 18% a. a. ...… … periodiciade semestral …periodiciade semestral …

Taxa de remuneração = 9% a.s.Taxa de remuneração = 9% a.s.

Taxa de cupom = Taxa de cupom = NOMINALNOMINAL!!

9% de 400 = $36 mil9% de 400 = $36 mil

363636

Taxa de desconto = 16% a.a.Taxa de desconto = 16% a.a.Fluxos semestraisFluxos semestrais

= 7,7033% a.s.= 7,7033% a.s.

PU ou Preço UnitárioPU ou Preço Unitário YTMYTM

Taxa de remuneração > Taxa de desconto -> Ágio!Taxa de remuneração > Taxa de desconto -> Ágio!

BRUNIBRUNI

PeríodPeríodoo

Valor Valor nominalnominal JurosJuros FluxoFluxo VP(Fluxo)VP(Fluxo)

11 3636 3636 33,4252 33,4252

22 3636 3636 31,0345 31,0345

33 400400 3636 436436 348,9792 348,9792

SomaSoma 413,4388 413,4388 Taxa de desconto = 7,7033% a.s.Taxa de desconto = 7,7033% a.s. PUPU


Entendemos os príncípios Entendemos os príncípios básicos associados aos básicos associados aos sistemas de amortizaçãosistemas de amortização

Sabemos diferenciar os Sabemos diferenciar os sistemas SAC, Price e sistemas SAC, Price e AmericanoAmericano

Compreendemos a Compreendemos a composição das tabelas de composição das tabelas de amortização e jurosamortização e juros


Séries nãoSéries nãouniformesuniformes

9


LivroLivro





Entender os Entender os princípios princípios empregados na empregados na avaliação de séries avaliação de séries não uniformesnão uniformes

Saber aplicar o Saber aplicar o método do VPLmétodo do VPL

Compreender o uso Compreender o uso do método da TIRdo método da TIR

BRUNIBRUNIAnálise a …Análise a …

Valor Valor PresentePresente

BRUNIBRUNIDescriçãoDescrição

Considera a Considera a soma de soma de

TODOS os TODOS os fluxos de fluxos de caixa na caixa na

DATA ZERODATA ZERO

BRUNIBRUNITrazendo a valor presenteTrazendo a valor presente

Tempo

-500,00-500,00

200,

0020

0,00

250,

0025

0,00

400,

0040

0,00

Considerando CMPCConsiderando CMPCigual a 10% a. a.igual a 10% a. a.

181,82181,82206,61206,61300,53300,5368

8,96

688,

96

188,96188,96 Valor Presente Valor Presente LíquidoLíquido

BRUNIBRUNIVPL e HP 12CVPL e HP 12C

Funções financeirasFunções financeiras

[g] [CF[g] [CF00] – Abastece o Fluxo de Caixa do ano 0] – Abastece o Fluxo de Caixa do ano 0

[g] [CF[g] [CFjj] – Abastece o Fluxo de Caixa do ano j] – Abastece o Fluxo de Caixa do ano j

Cuidado!! j <= 20 !!!Cuidado!! j <= 20 !!!

[g] [N[g] [Njj] – Abastece o número de repetições] – Abastece o número de repetições

[i] – Abastece o custo de capital[i] – Abastece o custo de capital

[f] [NPV] – Calcula o VPL[f] [NPV] – Calcula o VPL

NPV = NPV = NNet et PPresent resent VValuealue

BRUNIBRUNICalculando VPL na HP12CCalculando VPL na HP12C

Ano FC

0 -500

1 200

2 250

3 400

[f] [Reg][f] [Reg]

500 [CHS] [g] [CF500 [CHS] [g] [CF00]]

200 [g] [CF200 [g] [CFjj]]

250 [g] [CF250 [g] [CFjj]]

400 [g] [CF400 [g] [CFjj]]

10 [i] [f] [NPV]10 [i] [f] [NPV]

188,96188,96

BRUNIBRUNIUso do VPLUso do VPL

VPLVPL ZeroZero>><<

Aceito!!!Aceito!!!

Rejeito!!!Rejeito!!!

BRUNIBRUNIUma das taxas …Uma das taxas …

Taxa Interna Taxa Interna de Retornode Retorno

BRUNIBRUNI

(100,00)

(50,00)

-

50,00

100,00

150,00

200,00

250,00

0% 10% 20% 30% 40%

Perfil do VPLPerfil do VPL

CMPC 10% 15% 20% 25% 30% 35%

VPL 188,96 125,96 71,76 24,80 -16,16 -52,10

Relação inversa entre CMPC e VPLRelação inversa entre CMPC e VPL

Taxa Interna de RetornoTaxa Interna de RetornoTIR = 27,95%TIR = 27,95%

Tempo-500,00-500,00

200,

0020

0,00

250,

0025

0,00

400,

0040

0,00

BRUNIBRUNICálculo matemático da TIRCálculo matemático da TIR

Solução polinomial …Solução polinomial …

321 1

400

1

250

1

200500

KKKVPL

321 1

400

1

250

1

2005000

TIRTIRTIR

VPL = 0, K = TIRVPL = 0, K = TIR

TIR é raiz do polinômio …TIR é raiz do polinômio …

BRUNIBRUNINa prática …Na prática …

HP 12C:HP 12C:[f] [IRR][f] [IRR]

Excel:Excel:=TIR(=TIR(FluxosFluxos))

BRUNIBRUNITIR e HP 12CTIR e HP 12C

Funções financeirasFunções financeiras

[g] [CF[g] [CF00] – Abastece o Fluxo de Caixa do ano 0] – Abastece o Fluxo de Caixa do ano 0

[g] [CF[g] [CFjj] – Abastece o Fluxo de Caixa do ano j] – Abastece o Fluxo de Caixa do ano j

Cuidado!! j <= 20 !!!Cuidado!! j <= 20 !!!

[g] [N[g] [Njj] – Abastece o número de repetições] – Abastece o número de repetições

[f] [IRR] – Calcula a TIR[f] [IRR] – Calcula a TIR

IRR = IRR = IInternal nternal RRate of ate of RReturneturn

BRUNIBRUNICalculando TIR na HP12CCalculando TIR na HP12C

Ano FC

0 -500

1 200

2 250

3 400

[f] [Reg][f] [Reg]

500 [CHS] [g] [CF500 [CHS] [g] [CF00]]

200 [g] [CF200 [g] [CFjj]]

250 [g] [CF250 [g] [CFjj]]

400 [g] [CF400 [g] [CFjj]]

[f] [IRR][f] [IRR]

27,9527,95

BRUNIBRUNIUso da TIRUso da TIR

TIRTIR CMPCCMPC>><<

Aceito!!!Aceito!!!

Rejeito!!!Rejeito!!!

BRUNIBRUNIPara sempre lembrar !!!Para sempre lembrar !!!

ExercíciosExercícios


BRUNIBRUNITópicos importantes e …Tópicos importantes e …

Extras!Extras!

BRUNIBRUNIFonte das figuras utilizadasFonte das figuras utilizadas

Quase todas as figuras utilizadas neste Quase todas as figuras utilizadas neste conjunto de slides foram obtidas das conjunto de slides foram obtidas das seguintes fontes:seguintes fontes:

100.000 MultImídia Pack. 100.000 MultImídia Pack. Revista Expert Revista Expert PremiumPremium, São Paulo: CD Expert Editora e , São Paulo: CD Expert Editora e Distribuidora Ltda, 2000.Distribuidora Ltda, 2000.

30.000 Multimídia Pack. Revista Expert 30.000 Multimídia Pack. Revista Expert Premium, São Paulo: CD Expert Editora e Premium, São Paulo: CD Expert Editora e Distribuidora Ltda, 2000.Distribuidora Ltda, 2000.

BRUNIBRUNIDicas de Bruni!Dicas de Bruni!

Conheça Conheça todos os todos os nossos nossos livros!livros!

BRUNIBRUNISérie Desvendando As FinançasSérie Desvendando As Finanças

Os livros da série abordam da Os livros da série abordam da forma mais clara e didática forma mais clara e didática possível os principais conceitos possível os principais conceitos associados às finanças associados às finanças empresariais. Os volumes contêm empresariais. Os volumes contêm grande diversidade de exemplos, grande diversidade de exemplos, exercícios e estudos de casos, exercícios e estudos de casos, integralmente resolvidos. Outros integralmente resolvidos. Outros recursos importantes dos textos recursos importantes dos textos consistem em aplicações na consistem em aplicações na calculadora HP12C e na planilha calculadora HP12C e na planilha eletrônica Excel.eletrônica Excel.

BRUNIBRUNIA Administração de Custos, A Administração de Custos, Preços e LucrosPreços e Lucros

Apresenta os principais conceitos associados ao Apresenta os principais conceitos associados ao processo de registro e apuração de custos e processo de registro e apuração de custos e formação de preços, enfatizando os aspectos formação de preços, enfatizando os aspectos gerenciais, relativos à tomada de decisão sobre gerenciais, relativos à tomada de decisão sobre custos e preços. Fornece uma ampla visão da custos e preços. Fornece uma ampla visão da contabilidade financeira dos custos, explorando com contabilidade financeira dos custos, explorando com maior profundidade a contabilidade gerencial dos maior profundidade a contabilidade gerencial dos lucros e ganhos. Discute os efeitos dos impostos lucros e ganhos. Discute os efeitos dos impostos sobre custos, preços e lucros. Por fim, estabelece a sobre custos, preços e lucros. Por fim, estabelece a relação do preço com o marketing e a estratégia do relação do preço com o marketing e a estratégia do negócio. Para facilitar a aplicação dos conteúdos, negócio. Para facilitar a aplicação dos conteúdos, apresenta inúmeros exemplos com o auxílio da apresenta inúmeros exemplos com o auxílio da calculadora HP12C e da planilha eletrônica Microsoft calculadora HP12C e da planilha eletrônica Microsoft Excel.Excel.

Capítulos: 1. Os custos, a contabilidade e as Capítulos: 1. Os custos, a contabilidade e as finanças; 2. Os custos e a contabilidade financeira; 3. finanças; 2. Os custos e a contabilidade financeira; 3. Os custos e a contabilidade gerencial; 4. os custos e Os custos e a contabilidade gerencial; 4. os custos e seus componentes; 5. Os custos e a margem de seus componentes; 5. Os custos e a margem de contribuição; 6. Tributos, custos e preços; 7. Os contribuição; 6. Tributos, custos e preços; 7. Os custos, os preços e os lucros; 8. Os preços, o custos, os preços e os lucros; 8. Os preços, o marketing e a estratégia; 9. O modelo Custofacil.xls.marketing e a estratégia; 9. O modelo Custofacil.xls.

BRUNIBRUNIA Contabilidade EmpresarialA Contabilidade Empresarial

Ilustra os conceitos associados à Ilustra os conceitos associados à Contabilidade, seus principais demonstrativos Contabilidade, seus principais demonstrativos e informações relevantes no processo de e informações relevantes no processo de tomada de decisões. Fornece uma visão geral tomada de decisões. Fornece uma visão geral nos números registrados pela Contabilidade e nos números registrados pela Contabilidade e suas relações com o processo de suas relações com o processo de Administração Financeira. Em capítulos Administração Financeira. Em capítulos específicos, discute o Balanço Patrimonial e a específicos, discute o Balanço Patrimonial e a Demonstração de Resultado do Exercício. Traz Demonstração de Resultado do Exercício. Traz uma grande variedade de exemplos e uma grande variedade de exemplos e exercícios, com muitas questões objetivas. No exercícios, com muitas questões objetivas. No último capítulo, ilustra alguns usos e último capítulo, ilustra alguns usos e aplicações da Contabilidade na planilha aplicações da Contabilidade na planilha eletrônica Microsoft Excel.eletrônica Microsoft Excel.

Capítulos: 1. Conceitos; 2. O Balanço Capítulos: 1. Conceitos; 2. O Balanço Patrimonial, 3. A Demonstração do Resultado Patrimonial, 3. A Demonstração do Resultado do Exercício; 4. Outros Demonstrativos do Exercício; 4. Outros Demonstrativos Contábeis; 5. Contas, Livros e Registros; 6. Contábeis; 5. Contas, Livros e Registros; 6. Operações com Mercadorias; 7. O Modelo Operações com Mercadorias; 7. O Modelo CONTAFACIL.XLS.CONTAFACIL.XLS.

BRUNIBRUNIAs Decisões de InvestimentosAs Decisões de Investimentos

Apresenta e discute os conceitos básicos Apresenta e discute os conceitos básicos associados ao processo de avaliação de associados ao processo de avaliação de investimentos em Finanças. Começa com a investimentos em Finanças. Começa com a definição do problema de tomada de decisões em definição do problema de tomada de decisões em Finanças, e avança pela construção do fluxo de Finanças, e avança pela construção do fluxo de caixa livre e da estimativa do custo médio caixa livre e da estimativa do custo médio ponderado de capital. Mostra as principais técnicas ponderado de capital. Mostra as principais técnicas de avaliação disponíveis, incluindo payback, valor de avaliação disponíveis, incluindo payback, valor presente, futuro e uniforme líquido, e as taxas presente, futuro e uniforme líquido, e as taxas interna e externa de retorno, e a taxa interna de interna e externa de retorno, e a taxa interna de juros. Para facilitar a leitura e o processo de juros. Para facilitar a leitura e o processo de aprendizagem, diversos exercícios apresentam aprendizagem, diversos exercícios apresentam solução completa na HP 12C. Muitos exercícios solução completa na HP 12C. Muitos exercícios também apresentam resolução com o apoio da também apresentam resolução com o apoio da planilha eletrônica Microsoft Excel. O final do livro planilha eletrônica Microsoft Excel. O final do livro traz o software Investfácil.xls, que simplifica as traz o software Investfácil.xls, que simplifica as operações com o auxílio da planilha eletrônica operações com o auxílio da planilha eletrônica Microsoft Excel.Microsoft Excel.

Capítulos: 1. Conceitos iniciais, HP12c, Excel e o Capítulos: 1. Conceitos iniciais, HP12c, Excel e o modelo Investfacil.xls; 2. A estimativa dos fluxos modelo Investfacil.xls; 2. A estimativa dos fluxos futuros; 3. Custo de capital; 4. O processo de futuros; 3. Custo de capital; 4. O processo de avaliação e análise dos prazos de recuperação do avaliação e análise dos prazos de recuperação do capital investido; 5. A análise de valores; 6. A capital investido; 5. A análise de valores; 6. A análise de taxas; 7. A seleção de projetos de análise de taxas; 7. A seleção de projetos de investimento; 8. O modelo Investfacil.xls.investimento; 8. O modelo Investfacil.xls.

BRUNIBRUNIA Matemática das FinançasA Matemática das Finanças

Apresenta de forma simples e clara os Apresenta de forma simples e clara os principais conceitos da Matemática Financeira. principais conceitos da Matemática Financeira. Inicia com a definição dos diagramas de fluxo Inicia com a definição dos diagramas de fluxo de caixa e avança pelos regimes de de caixa e avança pelos regimes de capitalização simples e composta. Discute, capitalização simples e composta. Discute, com muitos exemplos, as séries uniformes e com muitos exemplos, as séries uniformes e não uniformes e os sistemas de amortização. não uniformes e os sistemas de amortização. Para tornar o aprendizado mais fácil, explica o Para tornar o aprendizado mais fácil, explica o uso da calculadora HP 12C, mostrando quase uso da calculadora HP 12C, mostrando quase todos os exercícios solucionados com seu todos os exercícios solucionados com seu auxílio. Também aborda o uso da planilha auxílio. Também aborda o uso da planilha eletrônica Microsoft Excel em Matemática eletrônica Microsoft Excel em Matemática Financeira, apresentado o software Financeira, apresentado o software Matemágica.xls - que torna ainda mais simples Matemágica.xls - que torna ainda mais simples as operações algébricas em finanças.as operações algébricas em finanças.

Capítulos: 1. Conceitos iniciais e diagramas de Capítulos: 1. Conceitos iniciais e diagramas de fluxo de caixa; 2. A HP 12c e o Excel; 3. Juros fluxo de caixa; 2. A HP 12c e o Excel; 3. Juros simples; 4. Desconto comercial e bancário; 5. simples; 4. Desconto comercial e bancário; 5. Juros compostos; 6. Taxas nominais e Juros compostos; 6. Taxas nominais e unificadas; 7. Anuidades ou séries; 8. Sistemas unificadas; 7. Anuidades ou séries; 8. Sistemas de amortização; 9. Séries não uniformes; 10. A de amortização; 9. Séries não uniformes; 10. A planilha Matemagica.xls.planilha Matemagica.xls.

BRUNIBRUNISérie Finanças na PráticaSérie Finanças na Prática

Oferece uma idéia geral das Oferece uma idéia geral das Finanças, desmistificando as Finanças, desmistificando as eventuais dificuldades da área. eventuais dificuldades da área. Aborda de forma prática, com Aborda de forma prática, com muitos exemplos e exercícios, muitos exemplos e exercícios, as principais tarefas as principais tarefas associadas às Finanças.associadas às Finanças.

BRUNIBRUNIGestão de Custos e Formação Gestão de Custos e Formação de Preçosde Preços

Fornece ao leitor elementos de gestão de custos, Fornece ao leitor elementos de gestão de custos, com o objetivo de, principalmente, demonstrar como com o objetivo de, principalmente, demonstrar como administrá-los. Além de identificar os componentes administrá-los. Além de identificar os componentes dos custos empresariais, os sistemas de custeio, o dos custos empresariais, os sistemas de custeio, o efeito dos tributos sobre preços e custos, focaliza os efeito dos tributos sobre preços e custos, focaliza os aspectos estratégicos que determinam a existência aspectos estratégicos que determinam a existência de custos em condições de minimizá-los e obter de custos em condições de minimizá-los e obter deles, quando controlados, os melhores benefícios. deles, quando controlados, os melhores benefícios. Dividido em 20 capítulos, inclui 150 exercícios Dividido em 20 capítulos, inclui 150 exercícios resolvidos, a planilha CUSTOS.XLS e o conjunto de resolvidos, a planilha CUSTOS.XLS e o conjunto de apresentações CUSTOS.PPT. Acompanha o livro um apresentações CUSTOS.PPT. Acompanha o livro um CD com as transparências e planilhas eletrônicas.CD com as transparências e planilhas eletrônicas.

Capítulos: 1. Introdução à gestão de custos; 2. Capítulos: 1. Introdução à gestão de custos; 2. Material direto; 3. Mão-de-obra direta; 4. Custos Material direto; 3. Mão-de-obra direta; 4. Custos indiretos de fabricação; 5. Custeio por indiretos de fabricação; 5. Custeio por departamentos; 6. Custeio por processos; 7. Custeio departamentos; 6. Custeio por processos; 7. Custeio por ordens de produção; 8. Custeio-padrão; 9. por ordens de produção; 8. Custeio-padrão; 9. Custeio baseado em atividades; 10. Custos da Custeio baseado em atividades; 10. Custos da produção conjunta; 11. Custeio variável; 12. Custos produção conjunta; 11. Custeio variável; 12. Custos para decisão; 13. Efeito dos tributos sobre custos e para decisão; 13. Efeito dos tributos sobre custos e preços; 14. Formação de preços: aspectos preços; 14. Formação de preços: aspectos quantitativos; 15. Formação de preços: aspectos quantitativos; 15. Formação de preços: aspectos qualitativos; 16. Custos e estratégia; 17. Métodos qualitativos; 16. Custos e estratégia; 17. Métodos quantitativos aplicados a custos; 18. Aplicações da quantitativos aplicados a custos; 18. Aplicações da calculadora HP 12c; 19. Aplicações do Excel: usos calculadora HP 12c; 19. Aplicações do Excel: usos genéricos; 20. Aplicações do Excel: usos em custos genéricos; 20. Aplicações do Excel: usos em custos e preços.e preços.

BRUNIBRUNIMatemática Financeira com HP Matemática Financeira com HP 12C e Excel12C e Excel

Traz os principais conceitos de Matemática Financeira. Aborda Traz os principais conceitos de Matemática Financeira. Aborda tópicos referentes às operações com juros simples, compostos, tópicos referentes às operações com juros simples, compostos, descontos, equivalência de capitais e taxas, séries uniformes e descontos, equivalência de capitais e taxas, séries uniformes e não uniformes e sistemas de pagamento. Para facilitar o não uniformes e sistemas de pagamento. Para facilitar o aprendizado, traz exercícios propostos, todos com respostas e aprendizado, traz exercícios propostos, todos com respostas e vários com soluções integrais. Apresenta e discute ainda vários com soluções integrais. Apresenta e discute ainda ferramentas aplicadas à Matemática Financeira, como a ferramentas aplicadas à Matemática Financeira, como a calculadora HP12C e a planilha eletrônica Excel. Em relação ao calculadora HP12C e a planilha eletrônica Excel. Em relação ao Excel, diversos modelos prontos, com fácil utilização e Excel, diversos modelos prontos, com fácil utilização e aplicabilidade prática, estão na planilha MATFIN.XLS, presente aplicabilidade prática, estão na planilha MATFIN.XLS, presente no CD que acompanha o livro. Todos os modelos e as no CD que acompanha o livro. Todos os modelos e as instruções para serem utilizados também estão disponíveis no instruções para serem utilizados também estão disponíveis no decorrer do texto. Destaca-se também o conjunto de decorrer do texto. Destaca-se também o conjunto de apresentações MATFIN.PPT, igualmente apresentado no CD, apresentações MATFIN.PPT, igualmente apresentado no CD, elaborado no Microsoft PowerPoint, e que ilustra com recursos elaborado no Microsoft PowerPoint, e que ilustra com recursos audiovisuais alguns dos conceitos abordados no livro. audiovisuais alguns dos conceitos abordados no livro. Docentes poderão empregá-lo como material adicional das Docentes poderão empregá-lo como material adicional das atividades de classe e estudantes poderão aplicá-lo na revisão atividades de classe e estudantes poderão aplicá-lo na revisão dos conteúdos da obra.dos conteúdos da obra.

Capítulos: 1. Matemática financeira e diagrama de fluxo de Capítulos: 1. Matemática financeira e diagrama de fluxo de caixa; 2. Revisão de matemática elementar; 3. A calculadora HP caixa; 2. Revisão de matemática elementar; 3. A calculadora HP 12c; 4. O Excel e a planilha Matfin.xls; 5. Juros simples; 6. 12c; 4. O Excel e a planilha Matfin.xls; 5. Juros simples; 6. Juros compostos; 7. Operações com taxas de juros; 8. Séries Juros compostos; 7. Operações com taxas de juros; 8. Séries uniformes; 9. Sistemas de amortização; 10. Séries não uniformes; 9. Sistemas de amortização; 10. Séries não uniformes; 11. Capitalização contínua.uniformes; 11. Capitalização contínua.

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