aula06-Recursividade

7/25/2019 aula06-Recursividade

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Aula 6 -Recursividade

David Menotti

Algoritmos e Estruturas de Dados IDECOM UFOP


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Algoritmos e Estrutura David Menotti

Conceito de Recursividade

Fundamental em Matemtica e Cincia daComputao Um programa recursivo ! um programa "ue

c#ama a si mesmo Uma $uno recursiva ! de$inida em termos dela

mesma

E%emplos &'meros naturais( Funo $atorial( )rvore

Conceito poderoso De$ine con*untos in$initos com comandos$initos

Renato Ferreira


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Recursividade

A recursividade ! uma estrat!gia "ue pode ser utili+adasempre "ue o clculo de uma $uno para o valor n(pode ser descrita a partir do clculo desta mesma$uno para o termo anterior ,n-./0

Exemplo Funo fatorial:

n! = n * (n-1) * (n-2) * (n-3) *....* 1

(n-1)! = (n-1) * (n-2) * (n-3) *....* 1

logo:

n! = n * (n-1)!


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Recursividade

De$inio1 dentro do corpo de uma $uno(c#amar novamente a pr2pria $uno recurso direta1 a $uno A c#ama a pr2pria

$uno A recurso indireta1 a $uno A c#ama uma $uno

3 "ue( por sua ve+( c#ama A


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Condio de parada

&en#um programa nem $uno pode sere%clusivamente de$inido por si Um programa seria um loop in$inito

Uma $uno teria de$inio circular Condio de parada

Permite "ue o procedimento pare de se e%ecutar F(x)4 5 ondex! decrescente

O6*etivo Estudar recursividade como $erramentaprtica7

Renato Ferreira


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Recursividade

Para cada c#amada de uma $uno(recursiva ou no( os par8metros e asvariveis locais so empil#ados na pil#a dee%ecuo0


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Execuo

Internamente( "uando "ual"uer c#amada de $uno! $eita dentro de um programa( ! criado umRegistro de Ativao na Pilha de Execuodoprograma

O registro de ativao arma+ena os par8metros evariveis locais da $uno 6em como o 9ponto deretorno: no programa ou su6programa "ue c#amouessa $uno0

Ao $inal da e%ecuo dessa $uno( o registro !desempil#ado e a e%ecuo volta ao su6programa"ue c#amou a $uno



Exemplo

Fat (int n) { if (n



Complexidade

A comple%idade de tempo do $atorial recursivo ! O,n/0,Em 6reve iremos ver a maneira de calcular issousando equaes de recorrncia/

Mas a comple%idade de espao tam6!m ! O,n/(devido a pil#a de e%ecuo

;a no $atorial no recursivoa comple%idade de

espao ! O,./

Fat (int n) {

int f;

f = 1;

!ile(n " 0){

f = f * n;

n = n # 1;

}

return f;

}



Recursividade

Portanto( a recursividade nem sempre ! amel#or soluo( mesmo "uando a de$iniomatemtica do pro6lema ! $eita em termosrecursivos



Fibonacci

Outro e%emplo1 Srie de Fibonacci: Fn< Fn-.= Fn-> n 4 >( F5< F.< .

.( .( >( ?( @( ( .?( >.( ?B( @@( 000

Fi$(int n) {

if (n



Anlise da funoFibonacci

Ine$icincia em Fi6onacci ermos Fn-.e Fn->so computados

independentemente &'mero de c#amadas recursivas < n'mero de

Fi6onacci7 Custo para clculo de Fn

O,n/ onde < ,. = @/> < .(.5?000

Golden ratio E%ponencial777



Fibonacci no recursivo

Comple%idade1 O,n/ Concluso1 no usar recursividade

cegamente7

int Fi$'ter(int n) {int i, , F;

i = 1; F = 0; fr ( = 1;



Quando vale a pena usarrecursividade

Gecursividade vale a pena para Algoritmoscomple%os( cu*a a implementao iterativa !comple%a e normalmente re"uer o usoe%plHcito de uma pil#a Dividir para Con"uistar ,E%0 uicJsort/ Camin#amento em )rvores ,pes"uisa(

6acJtracJing/



Dividir para Conuistar

Duas c#amadas recursivas Cada uma resolvendo a metade do pro6lema

Muito usado na prtica

Koluo e$iciente de pro6lemas Decomposio

&o se redu+ trivialmente como $atorial Duas c#amadas recursivas

&o produ+ recomputao e%cessiva como$i6onacci PorLes di$erentes do pro6lema



!utros exemplos derecursividade

void estrela(int x,int y, int r)

{

if ( r > 0 )

{

estrela(x-r, y+r, r div 2);

estrela(x+r, y+r, r div 2);

estrela(x-r, y-r, r div 2);

estrela(x+r, y-r, r div 2);

box(x, y, r);

}

}



Exemplo simples" r#$ua

int regua(int l,int r,int h)

{

int m;

if ( h > 0 )

{

m (l + r) ! 2; mar"a(m, h);

regua(l, m, h # $);

regua(m, r, h # $);

}

}


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Execuo" r#$uaregua(0, 8, 3)

marca(4, 3)

regua(0, 4, 2) marca(2, 2)

regua(0, 2, 1)

marca(1, 1)

regua(0, 1, 0)

regua(1, 2, 0)

regua(2, 4, 1) marca(3, 1)

regua(2, 3, 0)

regua(3, 4, 0)

regua(4, 8, 2)

marca(6, 2)

regua(4, 6, 1)

marca(5, 1) regua(4, 5, 0)

regua(5, 6, 0)

regua(6, 8, 1)

marca(7, 1)

regua(6, 7, 0)

regua(7, 8, 0)


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Anlise de Complexidade!

De$ine-se uma $uno de comple%idade $,n/descon#ecida n mede o taman#o dos argumentos para o

procedimento em "uesto

Identi$ica-se a equao de recorrncia ,n/: Especi$ica-se ,n/ como uma $uno dos termos

anteriores

Especi$ica-se a condio de parada ,e0g0 ,.//


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Anlise da Funo Fatorial

ual a e"uao de recorrncia "ue descrevea comple%idade da $uno $atorial,n/ < . = ,n-./

,./ < .

,n/ < . = ,n-./

,n-./ < . = ,n->/

,n->/ < . = ,n-?/

000,>/ < . = ,./


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Anlise de Fun%esRecursivas

Al!m da anlise de custo do tempo( deve-seanalisar tam6!m o custo de espao

ual a comple%idade de espao da $uno$atorial ,"ual o taman#o da pil#a dee%ecuo/


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Anlise da FunoRecursiva

Considere a seguinte $uno1

Pes"uisa,n/N

,./ i !n < 1),>/ inspecione elemento Q e termineR else

N

,?/ para cada um dos n elementos inspecione elementoQR,B/ Pes"uisa,n?/ R S

S


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Anlise da FunoRecursiva

ual a e"uao de recorrncia,n/ < n = ,n?/

,./ < .

Gesolva a e"uao de recorrncia Dicas1

Pode $a+er a simpli$icao de n ser sempredivisHvel por ? Komat2rio de uma PT $inita1 ,a5 rn/,.-r/


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Resolvendo a euao

Ku6stitui-se os termosT(k)(k?/ = .?n> X

i


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Exerc&cio

Crie uma $uno recursiva "ue calcula apotncia de um n'mero1 Como escrever a $uno para o termo n em

$uno do termo anterior

ual a condio de parada

ual a comple%idade desta $uno


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Funo de 'ot(nciaRecursivaint %ot(int base, int ex%)

{

if (&ex%)

return $;

!' else '! return (base'%ot(base, ex%-$));

}

nlise de "om%lexidade*

(0) $;

(b,n) $ + (b,n-$);

"!n#


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Exerc&cios

Implemente uma $uno recursiva paracomputar o valor de >n

O "ue $a+ a $uno a6ai%oidf(int a, int b) { !! "onsidere a > b

if(b 0)

returna;

else

returnf(b, a %b);

}


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Al it E t t David Menotti

Respostas

Algoritmo de Euclides0 Calcula o MDC

,m%imo divisor comum/ de dois n'merosa e 6

+t(int n) { if (n==0)

return 1;

else

return * +t(n-1);

}

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