Tcc um estudo sobre recursividade
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BRUNO SILVA DE OLIVEIRAOrientador JOSÉ CARLOS MAGOSSI
UM ESTUDO SOBRE RECURSIVIDADE E SUAS APLICAÇÕES
Universidade Estadual de CampinasAnálise e Desenvolvimento de SistemasTrabalho de Conclusão de Curso - 2014
AGENDA
•INTRODUÇÃO
•JORNADA HISTÓRICO CONCEITUAL
•DEFINIÇÃO FORMAL
•APLICAÇÕES DA RECURSÃO
•FRACTAIS E A EXPLORAÇÃO DA RECURSIVIDADE
•CONCLUSÃO
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Motivação3
Objetivos
Mostrar que a recursão está em todos os lugares
Mostrar possíveis equívocos que podemos cometer com a definição incompleta do tema
Responder a questão: Pra que serve recursão?
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INTRODUÇÃO
AGENDA
•INTRODUÇÃO
•JORNADA HISTÓRICO CONCEITUAL
•DEFINIÇÃO FORMAL
•APLICAÇÕES DA RECURSÃO
•FRACTAIS E A EXPLORAÇÃO DA RECURSIVIDADE
•CONCLUSÃO
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Surgimento7
X
Ouroboros 3000 a.C. [Pike, 1872] Panini 500 a.C. [Chomsky, 1957]
Infinito: Dedekind e Cantor
“[Teorema 126] Seja θ uma função de Ω em Ω, onde Ω é um conjunto qualquer, e seja w um elemento qualquer de Ω. Então, existe uma e só uma função ψ de N em Ω, onde N é um conjunto simplesmente infinito qualquer, tal que:
[1] ψ{1} = w;
[2] ψ{n’} = θψ;”
[Dedekind, 1969]
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Decidibilidade: Skolem, Church, Turing
{D} Δ(a,b) see (∃x)(a=bx).
D(a,b,c), a qual expressa que a é igual ao produto de b por um número entre 1 e c
(fornecendo assim um elemento decisório):
Δ(a,b,1) see a=b;
Δ(a,b,c+1) see Δ(a,b,c) ou a = b(c+1)
{D’} Δ(a,b) see Δ(a,b,a),
[Biraben, 1994]
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Complexidade: Kolmogorov e Ockham
A complexidade de Kolmogorov pode ser definidasimplificadamente como o tamanho do menorprograma (ou descrição algorítmica) que computa naMáquina de Turing uma determinada string binária.
"Se em tudo o mais forem idênticas as váriasexplicações de um fenômeno, a mais simples é amelhor".
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AGENDA
•INTRODUÇÃO
•JORNADA HISTÓRICO CONCEITUAL
•DEFINIÇÃO FORMAL
•APLICAÇÕES DA RECURSÃO
•FRACTAIS E A EXPLORAÇÃO DA RECURSIVIDADE
•CONCLUSÃO
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DEFINIÇÃO FORMAL
“Sometimes recursion seems to brush paradox very
closely. For example there are recursive definitions. Such
a definition may give the casual viewer the impression that
something is being defined in terms of itself. That would be
circular and lead to infinite regress, if not to paradox
proper. Actually a recursive definition never defines
something in terms of itself but always in terms of
simpler versions of itself.” – Hofstadter [1979]
Aritmética de Skolem (APR)
R (f, x, 0) = x
R(f, x, S(y)) = f(R(f, x, y), y)
A função f(x,y) = x+y, ficaria, na APR, da seguinte forma:
f(x,0) = x
f(x,y+1) = S(f(x,y))
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Funções recursivas primitivas
Função constante-0 ξ: é a função ξ, de vários argumentos, dado por ξ:N->N, tal que ξ(2)=0; Há variações constantes diferentes de zero da função, como ξij(n1,...,ni)=j;
Funções de projeção π: seja k>=1 e 1<=i<=k, define-se a i-ésima função de projeção πjk, com k argumentos, como sendo uma função de Nk em N, tal que πjk (n1, n2, n3...nn)=nj, para qualquer njpertencente a N.
Função sucessor σ: é a função σ:N->N tal que σ(n)=n+1 para todo n ∈ N.
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Funções recursivas primitivas
Regra de Composição: Seja g uma função com L argumentos e sejam h1, h2 ... hl, funções com k argumentos, tais que, para todo n ∈ Nk. Nessas condições, f(n) = g(h1n,....,hLn). Neste caso, f é dita obtida a partir de g, h1,...,hl por composição
Regra de Recursão Primitiva: Seja k>=0. Seja g uma função com k argumentos, e h uma função com k+2 argumentos, tal que, para todo n em Nk, f(n,0)=g(n), e para todo n em Nk e m em N, f(n,m+1)=h(n,m,f(n,m)).
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Funções parciais16
div(x,y) = μ [f](x,y,m), onde
f(x,y,m) = σ(x) − (m * y + y)
div(5,2) = μ[σ(5) – (t*2 + 2)]
6 – (0*2 + 2) = 6 – 2 = 4
6 – (1*2 + 2) = 6 – 4 = 2
6 – (2*2 + 2) = 6 – 6 = 0
div(5,2) = 2
Didática em sala de aula
a. Solução trivial: Fib(0) = 1 e Fib(1) = 1
b. Solução geral: Fib(x) = Fib(x-1) + Fib(x-2)
c. Algoritmo de decisão:
d. Garantir que a função termine
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Didática em sala de aula
a. Solução trivial: Fib(0) = 1 e Fib(1) = 1
Ideia de complexidade e Teorema de Dedekind
b. Solução geral: Fib(x) = Fib(x-1) + Fib(x-2)
Funções recursivas de Godel e APR
c. Algoritmo de decisão:
Ideia de decidibilidade
d. Garantir que a função termine
Ideia de infinito e ideias de Skolem
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AGENDA
•INTRODUÇÃO
•JORNADA HISTÓRICO CONCEITUAL
•DEFINIÇÃO FORMAL
•APLICAÇÕES DA RECURSÃO
•FRACTAIS E A EXPLORAÇÃO DA RECURSIVIDADE
•CONCLUSÃO
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Johaan Sebastian Bach20
J. S. Bach – Musical Offering Part 1
Rei Frederico II Thema Regium [Gainer, 2007]
Escher21
House of StairsReptile
Day and Night
Torre de Hanói22
Hanoi (n; posteInicial; posteAuxiliar; posteF inal)
Se n = 1 entao
MoveDisco(1; posteInicial; posteFinal)
senao
Hanoi(n - 1; posteInicial; posteFinal; posteAuxiliar)
MoveDisco(n; posteInicial; posteFinal)
Hanoi(n - 1; posteAuxiliar; posteInicial; posteFinal).
AGENDA
•INTRODUÇÃO
•JORNADA HISTÓRICO CONCEITUAL
•DEFINIÇÃO FORMAL
•APLICAÇÕES DA RECURSÃO
•FRACTAIS E A EXPLORAÇÃO DA RECURSIVIDADE
•CONCLUSÃO
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Euclides24
Mandelbrot25
Conjunto de Mandelbrot -> Z = Z*Z + C26
Conjunto de Mandelbrot -> Z = Z*Z + C27
Auto-semelhança, escala e complexidade28
Auto-semelhança, escala e complexidade29
Dimensão30
N =64; r =1/4, D = 3
N = 2; r =1/3; D = 1,59
Camada D Área Fractal (%)
A não-fractal 3.3
B 1.52 16.5
C 1.72 42.5
D 1.89 70.2
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AGENDA
•INTRODUÇÃO
•JORNADA HISTÓRICO CONCEITUAL
•DEFINIÇÃO FORMAL
•APLICAÇÕES DA RECURSÃO
•FRACTAIS E A EXPLORAÇÃO DA RECURSIVIDADE
•CONCLUSÃO
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M O S T R A R Q U E A R E C U R S Ã O E S T Á E M T O D O S O S L U G A R E S
E S T Á N A A R T E : M Ú S I C A , A R T E S P L Á S T I C A S , L I T O G R A V U R A , C I N E M A , P O E M A S . . .
E S T Á N A M A T E M Á T I C A : A L G O R I T M O S R E C U R S I V O S , G E O M E T R I A , A R I T M É T I C A . . .
E S T Á N A V I D A D O S E R H U M A N O , N A N A T U R E Z A , N A S C U L T U R A S , N A L I N G U A G E M . . .
CONCLUSÃO33
M O S T R A R E Q U Í V O C O S Q U E P O D E M O C O R R E R C O M A C O N C E I T U A Ç Ã O I N C O M P L E T A D O T E M A
A S A U L A S P A S S A M U M M É T O D O C O R R E T O , M A S U M A D E F I N I Ç Ã O I N C O M P L E T A
O E N S I N O D E R E C U R S Ã O P O D E R I A S E R M E L H O R C O M P R E E N D I D O S E P O S T O E M U M C O N T E X T O H I S T Ó R I C O
CONCLUSÃO34
R E S P O N D E R À Q U E S T Ã O : P R A Q U E S E R V E R E C U R S Ã O ?
S E R V E P A R A C O M P R E E N D E R O S F E N Ô M E N O S C A Ó T I C O S , S I S T Ê M I C O S , D I N Â M I C O S , C O T I D I A N O S E T E C N O L Ó G I C O S
A P E S A R D E C L Á S S I C O , O C A M P O D A R E C U R S Ã O A I N D A P O S S U I D I V E R S A S P O N T A S S O L T A S E V Á R I A S O P O R T U N I D A D E S D E P E S Q U I S A C O M O O C A S O D E F R A C T A I S , I L U S T R A D O P E L O T A Y L O R E P O L L O C K
CONCLUSÃO35