Teoria de Erros

� Mensurando é a grandeza a ser determinada numprocessode medição. Como regra geral,valor verdadeiro domensurando é uma quantidade desconhecida, isto é,mesmo após a medição, o valor verdadeiro do mensurando sópode ser conhecido aproximadamente, devido a erros demedição� Esta é a razãoda abordagemestatísticapara amedição� Esta é a razãoda abordagemestatísticapara aTeoria de Erros

�Quando o valor verdadeiro é conhecido� Aferição deequipamentos ou experiências didáticas

Objetivos da Teoria de Erros

1) Obter omelhor valor para o mensurandoa partir dos dadosexperimentais disponíveis. Isto significa determinar a melhoraproximação possível para o valor verdadeiro, em termo

η = y − yvErro �

aproximação possível para o valor verdadeiro, em termoprobabilísticos.

2) Obter a incerteza no melhor valor obtido, o que significadeterminar quanto este melhor valor pode ser diferente do valorverdadeiro da grandeza física, emtermos probabilísticos.

Teoria de Erros

Justificativa para a função gaussiana

1) Superposição de 2 distribuições retangulares: Uma variável discreta X, que só pode ter 5 valores equiprováveis: -2, -1, 0, 1 e 2

Justificativa para a função gaussiana

2) Superposição de 2 distribuições retangulares

Justificativa para a função gaussiana3) Superposição de 3 distribuições retangulares

Relembrando

1) Obter omelhor valor para o mensurandoa partir dos dadosexperimentais disponíveis. Isto significa determinar a melhoraproximação possível para o valor verdadeiro, em termo

η = y − yvErro �

aproximação possível para o valor verdadeiro, em termoprobabilísticos.

2) Obter a incerteza no melhor valor obtido, o que significadeterminar quanto este melhor valor pode ser diferente do valorverdadeiro da grandeza física, emtermos probabilísticos.

Melhor aproximação para o valor verdadeiro

Se uma medição de uma determinada grandeza y é repetida n vezescom o mesmo instrumento de medidas,a melhor aproximaçãopara o valor verdadeiro da grandeza é o valor médio:

Incerteza

Uma grandeza física experimental deve ser determinada a partir demedição e o resultado é sempre uma aproximação para o valorverdadeiro. Os objetivos da teoria de erros consistememdeterminar o melhor valor possível (valor experimental) para agrandezaa partir dasmediçõese determinarquantoo melhorvalorgrandezaa partir dasmediçõese determinarquantoo melhorvalorobtido pode ser diferente do valor verdadeiro.

A incerteza no melhor valor y pode ser definida como umaindicação de quanto este melhor valor pode diferir do valorverdadeiro do mensurando, emtermos de probabilidade.

Vamos estudar agora como calcular as incertezas emumamedição...

Erros sistemáticos e Estatísticos

Se a melhor aproximação para o valor experimental é a média,então a incerteza na medição deve estar associada à dispersão dosvalores ao redor da média.

O desvio padrão é um estimador da dispersão em torno da média

Erros sistemáticos e Estatísticos

� Erro sistemático: É sempre o mesmo nos n resultados. Istoé, quando existe somente erro sistemático, os n resultados yi

são iguais e a diferença para o valor verdadeiro yv é sempre amesma.

� Erro estatístico ou aleatório: É um erro tal que os n� Erro estatístico ou aleatório: É um erro tal que os nresultados yi se distribuemde maneira aleatória emtorno dovalor verdadeiro yv (na ausência de erro sistemático).Conforme o número de repetições da medição aumentaindefinidamente o valor médio se aproxima do valorverdadeiro da grandeza.

Erros sistemáticos

� Erros Sistemáticos instrumentais

�Erros Sistemáticos ambientais

� Erros Sistemáticos observacionais

�Erros Sistemáticos teóricos ...

�Sobram as incertezas sistemáticas residuais…

Erros Estatísticos

O erro estatístico de uma medida é representado pelo desvio padrão do valor médio

Erro Total

( ) ( )22sistesttotal xxx ∆+∆=∆

Precisão X Acurácia (exatidão)

�Acurácia ou exatidão é umconceito qualitativo para descreverquanto o resultado de uma medição é próximo do valor verdadeiro.Em outros termos, umvalor muito acurado (ou muito exato) é umvalor muito próximo do valor verdadeiro, comerro total muitopequeno.

� Precisãoé um conceitoqualitativo paracaracterizarresultados� Precisãoé um conceitoqualitativo paracaracterizarresultadoscom erros estatísticos pequenos, compequena dispersão emrelação ao valor médio verdadeiro. Emmedições comboaprecisão, obtém-se resultados commuitos dígitos e bastanterepetitivos. Entretanto, pode existir erro sistemático grande e aacurácia pode ser ruim.

Precisão X Acurácia (exatidão)O seguintes casos abaixo são precisos? São acurados?

a)

b)

Precisão X Acurácia (exatidão)

c)

d)

Intervalo de confiança

Ex: Distribuição Gaussiana (ou normal)

(y −σ ) < yv < (y + σ) ( com nível de confiança P)

Algarismos Significativos

Incerteza padrão experimental:

(y −σ ) < yv < (y + σ ) ( com nível de confiança P ≈ 68%)

Conceito de Algarismo Significativo: Algarismo significativo emum número pode ser entendido como cada algarismo queum número pode ser entendido como cada algarismo queindividualmente temalgum significado, quando o número éescrito na forma decimal.

O,OOOOXY....ZWABCD...

Não significativo

Significativo

Não significativo

Exemplo

Uma distância foi medida, obtendo-se os resultados

y = 73,6m σ =1,2m 70,0 m < yv < 77,2 � C.L. ≈ 99,7%

Algarismos Significativos

� O primeiro algarimos emyv é 7 quase comcerteza. Existe umaprobabilidade muito pequena que o algarismo correto seja 6.� O segundo algarismo emyv é, quase comcerteza, umdosalgarismos de 0 a 7. É muito pouco provável que seja 8 ou 9.� O terceiro algarismoemyv pode ser qualquer um, mas aprobabilidadeéum poucomaiorparaalgarismopróximosde6.probabilidadeéum poucomaiorparaalgarismopróximosde6.

� Assim, quando se escreve y = 73,64 m eσ=1,23 m, oalgarismo 4 não é significativo porque este algarimo temamesma chance de ser o algarismo correto que qualquer outroalgarismo de 0 a 9� é incorreto escrevê-lo no resultado�O algarismo 3 na incerteza corresponde ao algarismo 4 e porisso não temmuita utilidade.

Algarismos na incerteza padrão

�A incerteza padrão deve ser dada com2 algarismos, quando oprimeiro algarismo na incerteza for 1 ou 2.�A incerteza padrão pode ser dada com1 ou 2 algarismos,quando o primeiro algarismo na incerteza for 3 ou maior.

O Resultado final para yv deve ter o mesmo número de casas decimais que σ

Arredondamento de Números