Teoria Dos Erros
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Introdução
Grandezas Físicas- Determinadas experimentalmente por medidas ou
combinação de medidas;- Dependem: da perícia do operador;
Introdução
Grandezas Físicas- Determinadas experimentalmente por medidas ou
combinação de medidas;- Dependem: da perícia do operador; do instrumento utilizado;
Introdução
Grandezas Físicas- Determinadas experimentalmente por medidas ou
combinação de medidas;- Dependem: da perícia do operador; do instrumento utilizado; das condições em que foi obtida;
Introdução
Grandezas Físicas- Determinadas experimentalmente por medidas ou
combinação de medidas;- Dependem: da perícia do operador; do instrumento utilizado; das condições em que foi obtida; dos métodos utilizados;
Introdução
Grandezas Físicas- Determinadas experimentalmente por medidas ou
combinação de medidas;- Dependem: da perícia do operador; do instrumento utilizado; das condições em que foi obtida; dos métodos utilizados;- Devem ser confiáveis;
Introdução
Grandezas Físicas- Determinadas experimentalmente por medidas ou
combinação de medidas;- Dependem: da perícia do operador; do instrumento utilizado; das condições em que foi obtida; dos métodos utilizados;- Devem ser confiáveis;- Expressar a “incerteza”, de modo a ser entendida
universalmente.
Objetivo
A Teoria dos Erros objetiva a forma de obtenção e manipulação de dados empíricos, de modo a ser possível a estimativa do valor de grandezas físicas, com a maior precisão e o menor erro possível.
Algarismos Significativos
Medida AB = 4,7 cm
2 dígitos 4 (medida exata – isenta de dúvidas) 7 (dúvida ou incerteza da medida)
Algarismos Significativos
Definição
- Todos os algarismos que temos certeza (os exatos) e mais um duvidoso (sempre o algarismo duvidoso é o último da direita).
Algarismos Significativos
Exemplos23,7 cm - 3 algarismos significativos (2 e 3 são exatos e 7 a incerteza)
Algarismos Significativos
Exemplos23,7 cm - 3 algarismos significativos (2 e 3 são exatos e 7 a incerteza)4,51 m/s -
Algarismos Significativos
Exemplos23,7 cm - 3 algarismos significativos (2 e 3 são exatos e 7 a incerteza)4,51 m/s - 3 algarismos significativos (4 e 5 sã exatos e 1 a incerteza)
Algarismos Significativos
Exemplos23,7 cm - 3 algarismos significativos (2 e 3 são exatos e 7 a incerteza)4,51 m/s - 3 algarismos significativos (4 e 5 sã exatos e 1 a incerteza)79,632 m/s2 -
Algarismos Significativos
Exemplos23,7 cm - 3 algarismos significativos (2 e 3 são exatos e 7 a incerteza)4,51 m/s - 3 algarismos significativos (4 e 5 sã exatos e 1 a incerteza)79,632 m/s2 - 5 algarismos significativos (7, 9, 6 e 3 são exatos e 2 a incerteza)
Algarismos Significativos
Exemplos23,7 cm - 3 algarismos significativos (2 e 3 são exatos e 7 a incerteza)4,51 m/s - 3 algarismos significativos (4 e 5 sã exatos e 1 a incerteza)79,632 m/s2 - 5 algarismos significativos (7, 9, 6 e 3 são exatos e 2 a incerteza)8 N -
Algarismos Significativos
Exemplos23,7 cm - 3 algarismos significativos (2 e 3 são exatos e 7 a incerteza)4,51 m/s - 3 algarismos significativos (4 e 5 sã exatos e 1 a incerteza)79,632 m/s2 - 5 algarismos significativos (7, 9, 6 e 3 são exatos e 2 a incerteza)8 N - 1 algarismo significativo e ele próprio é a incerteza
Algarismos Significativos
Exemplos23,7 cm - 3 algarismos significativos (2 e 3 são exatos e 7 a incerteza)4,51 m/s - 3 algarismos significativos (4 e 5 sã exatos e 1 a incerteza)79,632 m/s2 - 5 algarismos significativos (7, 9, 6 e 3 são exatos e 2 a incerteza)8 N - 1 algarismo significativo e ele próprio é a incerteza1,6 x 10-19 -
Algarismos Significativos
Exemplos23,7 cm - 3 algarismos significativos (2 e 3 são exatos e 7 a incerteza)4,51 m/s - 3 algarismos significativos (4 e 5 sã exatos e 1 a incerteza)79,632 m/s2 - 5 algarismos significativos (7, 9, 6 e 3 são exatos e 2 a incerteza)8 N - 1 algarismo significativo e ele próprio é a incerteza1,6 x 10-19 - 2 algarismos significativos ( 1 é exato e 6 a incerteza)
Algarismos Significativos
Importante A quantidade de algarismos significativos de uma determinada medida não se altera quando de uma transformação de unidades.
Algarismos Significativos
Importante A quantidade de algarismos significativos de uma determinada medida não se altera quando de uma transformação de unidades. Exemplo:4,7 cm - 2 algarismos significativos
Algarismos Significativos
Importante A quantidade de algarismos significativos de uma determinada medida não se altera quando de uma transformação de unidades. Exemplo:4,7 cm - 2 algarismos significativos4,7 x 10-3 m = 0,0047 m - 2 algarismos significativos
Algarismos Significativos
Importante A quantidade de algarismos significativos de uma determinada medida não se altera quando de uma transformação de unidades. Exemplo:4,7 cm - 2 algarismos significativos4,7 x 10-3 m = 0,0047 m - 2 algarismos significativos4,7 x 10-5 km = 0,000047 km - 2 algarismos significativos
Algarismos Significativos
Importante A quantidade de algarismos significativos de uma determinada medida não se altera quando de uma transformação de unidades. Exemplo:4,7 cm - 2 algarismos significativos4,7 x 10-3 m = 0,0047 m - 2 algarismos significativos4,7 x 10-5 km = 0,000047 km - 2 algarismos significativos4,7 x 10 mm = 47 mm - 2 algarismos significativos
Algarismos Significativos
Importante A quantidade de algarismos significativos de uma determinada medida não se altera quando de uma transformação de unidades. Exemplo:4,7 cm - 2 algarismos significativos4,7 x 10-3 m = 0,0047 m - 2 algarismos significativos4,7 x 10-5 km = 0,000047 km - 2 algarismos significativos4,7 x 10 mm = 47 mm - 2 algarismos significativos
Obs.: Os dígitos ou algarismos de um número contam-se da esquerda para a direita, a partir do primeiro não nulo e são significativos todos os exatos e somente o primeiro duvidoso.
Incerteza
Amplitude- Fixada pelo observador
Supondo: 4,7 cm - 4,0 cm (exato) e 0,7 cm (dúvida)
4,6 cm ou 4,8 cm - amplitude: ± 0,1 cm 4,7 ± 0,1 cm
Incerteza
Amplitude- Fixada pelo observador
Supondo: 4,7 cm - 4,0 cm (exato) e 0,7 cm (dúvida)
4,6 cm ou 4,8 cm - amplitude: ± 0,1 cm 4,7 ± 0,1 cm
4,5 cm ou 4,9 cm - amplitude: ± 0,2 cm 4,7 ± 0,2 cm
Incerteza
Absoluta- A amplitude de incertezas fixada pelo experimentador,
com o sinal ±; Ex.: 4,7 ± 0,1 cm sendo 0,1 a incerteza absoluta
Incerteza
Absoluta- A amplitude de incertezas fixada pelo experimentador,
com o sinal ±; Ex.: 4,7 ± 0,1 cm sendo 0,1 a incerteza absoluta
Relativa - É igual ao quociente entre a incerteza absoluta e a medida da grandeza e é, frequentemente expressa em termos percentuais. Exemplo: AB = (4,7 ± 0,2) cm, temos: Incerteza absoluta = ±0,2 cm Incerteza relativa = (±0,2/4,7) = ± 0,043 ou 4,3%
Arredondamento
- Quando o algarismo suprimido é menor do que 5, o imediatamente anterior permanece igual.
Arredondamento
- Quando o algarismo suprimido é menor do que 5, o imediatamente anterior permanece igual.
- Quando o algarismo suprimido é maior ou igual a 5, o imediatamente anterior é acrescido de uma unidade.
Arredondamento
- Quando o algarismo suprimido é menor do que 5, o imediatamente anterior permanece igual.
- Quando o algarismo suprimido é maior ou igual a 5, o imediatamente anterior é acrescido de uma unidade.
Exemplo:
L = 3,143 m L = 3,14 m, depois de arredondado⇒
L = 0,0736 m L = 0,074 m, depois de arredondado⇒
Erro
Várias medições Valor verdadeiro Impraticável
Erro = valor medido – valor real
As variações que acompanham todas as medidas são as causas que limitam o objetivo de se atingir o valor verdadeiro da grandeza. Estas flutuações ou erros são de origem sistemáticas e de origem acidentais ou aleatórias.
Erro
Sistemático - originário de falhas nos métodos empregados ou de falhas do operador.Exemplo: equipamento descalibrado
Erro
Sistemático - originário de falhas nos métodos empregados ou de falhas do operador.Exemplo: equipamento descalibrado
Acidental ou Aleatório - aqueles cujas causas são fortuitas, acidentais e variáveis.Exemplo: paralaxe
Erro
Sistemático - originário de falhas nos métodos empregados ou de falhas do operador.Exemplo: equipamento descalibrado
Acidental ou Aleatório - aqueles cujas causas são fortuitas, acidentais e variáveis.Exemplo: paralaxe
Grosseiro - provenientes de falhas grosseiras do experimentador.Exemplo: engano de leitura ou troca de unidades
Teoria dos erros aplicada a um conjunto de medidas experimentais
Objetivo - conhecer o valor mais provável da grandeza medida e qual a diferença entre este valor e cada valor medido em particular.
Matematicamente, a representação destes efeitos é estudada pela estatística.
Teoria dos erros aplicada a um conjunto de medidas experimentais
Grandezas empregadas
Média aritmética – representa o valor mais provável da grandeza medida.
=
Teoria dos erros aplicada a um conjunto de medidas experimentais
Grandezas empregadas
Desvio – é a diferença entre um valor medido e o valor adotado que mais se aproxima do valor real (em geral o valor médio).
= - = - ................. = -
Teoria dos erros aplicada a um conjunto de medidas experimentais
Grandezas empregadas
Moda – o valor ou intervalo de classes, que surge com mais frequência em um conjunto de dados.
Teoria dos erros aplicada a um conjunto de medidas experimentais
Grandezas empregadas
Moda – o valor ou intervalo de classes, que surge com mais frequência em um conjunto de dados.
Observações 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Medidas 4,6 4,8 4,9 4,6 4,5 4,7 4,7 4,6 4,4
Teoria dos erros aplicada a um conjunto de medidas experimentais
Grandezas empregadas
Moda – o valor ou intervalo de classes, que surge com mais frequência em um conjunto de dados.
Moda: 4,6 (3x)
Observações 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Medidas 4,6 4,8 4,9 4,6 4,5 4,7 4,7 4,6 4,4
Teoria dos erros aplicada a um conjunto de medidas experimentais
Mediana – medida de localização do centro de distribuição de dados.Ordenam-se os dados e à mediana corresponderá o valor do dado central. Observações 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Medidas 4,6 4,8 4,9 4,6 4,5 4,7 4,7 4,6 4,4
Teoria dos erros aplicada a um conjunto de medidas experimentais
Mediana – medida de localização do centro de distribuição de dados.Ordenam-se os dados e à mediana corresponderá o valor do dado central. Observações 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Medidas 4,6 4,8 4,9 4,6 4,5 4,7 4,7 4,6 4,4
Ordem 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Medidas
Teoria dos erros aplicada a um conjunto de medidas experimentais
Mediana – medida de localização do centro de distribuição de dados.Ordenam-se os dados e à mediana corresponderá o valor do dado central. Observações 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Medidas 4,6 4,8 4,9 4,6 4,5 4,7 4,7 4,6 4,4
Ordem 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Medidas 4,4 4,5 4,6 4,6 4,6 4,7 4,7 4,8 4,9
Teoria dos erros aplicada a um conjunto de medidas experimentais
Mediana – medida de localização do centro de distribuição de dados.Ordenam-se os dados e à mediana corresponderá o valor do dado central. Observações 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Medidas 4,6 4,8 4,9 4,6 4,5 4,7 4,7 4,6 4,4
Ordem 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Medidas 4,4 4,5 4,6 4,6 4,6 4,7 4,7 4,8 4,9
Mediana: 4,6 (5º)
Teoria dos erros aplicada a um conjunto de medidas experimentais
Considerações- Como medida de localização a mediana é mais
“robusta” que a média, pois não é tão sensível aos dados;
Teoria dos erros aplicada a um conjunto de medidas experimentais
Considerações- Como medida de localização a mediana é mais
“robusta” que a média, pois não é tão sensível aos dados;
- Quando a distribuição é simétrica, a média e a mediana coincidem;
Teoria dos erros aplicada a um conjunto de medidas experimentais
Considerações- Como medida de localização a mediana é mais
“robusta” que a média, pois não é tão sensível aos dados;
- Quando a distribuição é simétrica, a média e a mediana coincidem;
- A média reflete o valor de TODAS as observações;
Teoria dos erros aplicada a um conjunto de medidas experimentais
Considerações- Como medida de localização a mediana é mais
“robusta” que a média, pois não é tão sensível aos dados;
- Quando a distribuição é simétrica, a média e a mediana coincidem;
- A média reflete o valor de TODAS as observações;- A média é muito afetada por dados “muito grandes”
ou “muito pequenos”.
Teoria dos erros aplicada a um conjunto de medidas experimentais
Grandezas empregadas
Variância (s2) – a média aritmética dos quadrados dos desvios de todos os valores da grandeza, em relação ao valor médio, ou seja:
Teoria dos erros aplicada a um conjunto de medidas experimentais
Grandezas empregadas
Desvio Padrão (s) – representa uma estimativa da dispersão em torno do valor médio quando se tem poucos valores (amostra pequena) de um universo maior de valores (população).É obtido através da raiz quadrada da variância, ou seja:
Bibliografia
- Morettin, L.G. – Estatística Básica – vol I – 7ª Ed. - São Paulo: Makron Books – 1999.
- wwwp.fc.unesp.br/~malvezzi/downloads/.../ApostilaTeoriaDosErros.pdf – acessada em fevereiro 2015.
- www.fis.ufba.br/dfes/fis3/Teoria_dos_Erros.pdf - acessada em fevereiro 2015.