ANÁLISE DIMENSIONAL

1.ª Aula Prática

Dídia Isabel Cameira Covas IST, 16 de fevereiro de 2012

GRANDEZAS FUNDAMENTAIS, DIMENSÕES E UNIDADES

Qualquer grandeza mecânica pode ser definida a partir de três grandezas independentes:

– o comprimento, L (length)

– o tempo, T (time)

– a massa, M (mass)

A temperatura, , também é uma grandeza fundamental mas não intervém nas equações da mecânica

GRANDEZAS FUNDAMENTAIS, DIMENSÕES E UNIDADES

Equação de definição de uma grandeza X

X = A * B

– Por exemplo

• Trabalho W= F * x

Equação das dimensões da grandeza X

[X] = [A * B] = L T M

Sendo

, , = dimensões da grandeza

L ,T, M = grandezas fundamentais

X = grandeza secundária

– Por exemplo • [V] = [ x / t] = L / T = L T-1

GRANDEZAS FUNDAMENTAIS, DIMENSÕES E UNIDADES

Uma grandeza é adimensional quando = = = 0

Uma grandeza é dimensional quando pelo menos uma das dimensões é não nula. Esta pode ser:

– Grandeza geométrica: se 0 e = = 0

– Grandeza cinemática: se 0 e = 0

– Grandeza dinâmica: se 0

Uma equação é dimensionalmente homogénea quando ambos os membros têm as mesmas dimensões

GRANDEZAS FUNDAMENTAIS, DIMENSÕES E UNIDADES

Sejam três grandezas a1, a2 e a3 tais que

[a1] = L1 T1 M1

[a2] = L2 T2 M2

[a3] = L3 T3 M3

Se o determinante de for nulo,

as grandezas são dependentes;

se for não nulo, então são independentes

GRANDEZAS FUNDAMENTAIS, DIMENSÕES E UNIDADES

Unidades exprimem uma grandeza num sistema métrico

– Exemplo: trabalho (W) Joule, N.m

Sistemas de unidades

– LTM (length, time, mass) • Sistema Internacional de unidades (SI): m, s, kg

• Sistema CGS: cm, s, g

– LTF(length, time, force) • Sistema Métrico Gravitatório: m, s, kgf

• Sistema Industrial Inglês: pé, s, libra

1 libra = 0,4536 kgf; 1 pé = 0,3048 m

EXEMPLO 1.4

DIMENSÕES DE GRANDEZAS MECÂNICAS NO SISTEMA LTM

TEOREMA DE VASCHY-BUCKINGHAM OU TEOREMA DOS

Toda a relação dimensionalmente homogénea entre n grandezas físicas:

(a1, a2, …., an)=0

pode ser substituida por outra relação entre (n-p) parâmetros adimensionais:

’ (1, 2, …., n-p)=0

sendo p = n.º de grandezas dimensionalmente independentes

PROCEDIMENTO

Identificar as n variáveis (grandezas físicas) que caracterizam o fenómeno: (a1, a2, …., an)=0

Escolher p grandezas fundamentais independentes (admita que se conhecem à partida): a1, a2, a3 ,….

Estabelecer n-p parâmetros adimensionais com base no rácio entre as grandezas restantes e as fundamentais (a1, a2, a3):

(simplificação mi=1)

Determinar os expoentes xi, yi, zi por forma a que i seja adimensional

Escrever a relação ’ (1, 2, …., n-p)=0

EXEMPLO 1.5