Fis1.1 aula pratica 02 medicoes e erros.pdf
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Física 1.1 Aulas práticas para BQ e BT 2014/15 , semestre ímpar Aula 02
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Física 1.1Aulas práticas para BQ e BT 2014/15, semestre ímpar
!Aula 02
Análise de erros
• Erro no sentido de incerteza (não de engano)(“margem de erro”)
• Erros experimentais são inevitáveis- Limitações da precisão dos instrumentos- Limitações da própria definição de grandezas (o que significa o “comprimento exato” dum objeto?)- Limitações fundamentais (Mecânica Quântica: o princípio de incerteza, etc.)
O resultado duma experiência sem estimativa do erro associado é inútil
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O nónio
!
Permite fazer leituras mais precisas, fracções da menor divisão da régua principal
!
A craveira
Leitura da escala da craveira
Leitura: 13,24 ± 0,02 mm
O palmer
Escala Parafuso graduadoObjeto
1 mm
0,5 mm
Leitura: 2,91 ± 0,01 mm
Como determinar a média e o desvio padrão duma distribuição a partir de N medições?
Estatística e teoria da probabilidade:
1
N =2
3NT +
1
3NP
NP = 0.6NRel + 0.4NTeste
NT � 9.5 NP � 9.5
NTeste � 7.5
A = ab = (8.45cm)(6.75cm) = 57, 0375cm2
g(x) =1p2⇡�
e
� (x�µ)2
2�2
µ ⇡ x̄ =1
N
NX
i=1
xi
� ⇡ �x =
vuut 1
N � 1
NX
i=1
(xi � x̄)2
média µ
desvio padrão �
variância �
2
1
N =2
3NT +
1
3NP
NP = 0.6NRel + 0.4NTeste
NT � 9.5 NP � 9.5
NTeste � 7.5
A = ab = (8.45cm)(6.75cm) = 57, 0375cm2
g(x) =1p2⇡�
e
� (x�µ)2
2�2
µ ⇡ x̄ =1
N
NX
i=1
xi
� ⇡ �x =
vuut 1
N � 1
NX
i=1
(xi � x̄)2
média µ
desvio padrão �
variância �
2
Estimativas:
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\(ElLL=oE+'oEEE.O:>EE
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317.23
Algarismos Significativos
“Significativos” são todos os algarismos certos + o primeiro incerto
Não contam como significativos:•Zeros à esquerda•Zeros à direita que apenas indicam a ordem de grandeza
Algarismos significativos indicam a precisão duma grandeza
Exemplos: 2 alg. sig. 925 alg. sig.
101.1203 7 alg. sig. 0.00052 2 alg. sig. 12.2300 6 alg. sig. 12.230 5 alg. sig. 12.23 4 alg. sig. 1300 2, 3, ou 4 alg. sig. (ambíguo!)
Para eliminar a ambiguidade: •Usar a notação científica
1.300×103 4 alg. sig. 1.30×103 3 alg. sig. 1.3×103 2 alg. sig.
•Indicar a incerteza explicitamente 1300±30 3 alg. sig.
Algarismos significativosAlgarismos não significativos são removidos por arredondamento
Primeiro algarismo não significativo é ‣maior que 5: último algarismo significativo aumenta em 1‣menor que 5: último algarismo significativo permanece inalterado‣igual a 5
- seguido por algarismos maior que 0: último algarismo significativo aumenta em 1- seguido por um ou mais zeros: existem convenções diferentes
Exemplos:
mais simples: sempre arredondar para cima(mais sofisticado: arredondar de forma que o último algarismo significativo seja par)
Número original Algarismos significativos Resultado arredondado32,436 4 32,4432,436 3 32,4
32,43512 4 32,4432,435 4 32,4432,445 4 32.45 (ou 32.44)
Algarismos significativosRegras para determinar aproximadamente os algarismos significativos de resultados de operações aritméticas
Produto (quociente): o número de algarismos significativos é igual ao menor dos números de algarismos significativos dos fatores
Soma (diferença): o número de casas decimais é igual ao menor dos números de casas decimais dos termos da soma
Exemplo: 123+5,35 = 128,35
Exemplo: 1,0001+0,0003 = 1,0004 (5 alg. sig.)
Exemplo: 1,002-0,998 = 0,004 (1 alg. sig.)
Exemplo: 16,3 × 4,5 = 73,35Exemplo: 16,3 × 4,5 = 73,35 → 73
Exemplo: 123+5,35 = 128,35 → 128
Algarismos significativos
“Significativos” são todos os algarismos certos + o primeiro incerto
a=8,45 cm
b=6,75 cmQual é a área deste retângulo?
Comprimentos medidos com régua (menor divisão 0,1 cm)
1
N =2
3NT +
1
3NP
NP = 0.6NRel + 0.4NTeste
NT � 9.5 NP � 9.5
NTeste � 7.5
A = ab = (8.45cm)(6.75cm) = 57, 0375cm2
a e b têm 3 algarismos significativosquantos tem a área?
não significativos
O número de algarismos significativos de um produto é igual ao menor dos números de algarismos significativos dos fatores
1
N =2
3NT +
1
3NP
N = 0.8NT + 0.2NP
NP = 0.6NRel + 0.4NTeste
NT � 9.5 NP � 9.5
NTeste � 7.5
A = ab = (8.45cm)(6.75cm) = 57, 0375cm2
A = 57, 0 cm2
g(x) =1p2⇡�
e
� (x�µ)2
2�2
µ ⇡ x̄ =1
N
NX
i=1
xi
� ⇡ �x =
vuut 1
N � 1
NX
i=1
(xi � x̄)2
média µ
desvio padrão �
variância �
2
Exemplo: erro da área dum retângulo
a=8,45 cm
b=6,75 cmComprimentos medidos com uma régua (menor divisão 0,1 cm)
1
A(a, b) = ab
�A =
����@A
@a
���� �a+
����@A
@b
���� �b
�A =
s✓@A
@a
�a
◆2
+
✓@A
@b
�b
◆2
N =2
3NT +
1
3NP
N = 0.8NT + 0.2NP
NP = 0.6NRel + 0.4NTeste
NT � 9.5 NP � 9.5
NTeste � 7.5
A = ab = (8.45cm)(6.75cm) = 57, 0375cm2
A = 57, 0 cm2
g(x) =1p2⇡�
e
� (x�µ)2
2�2
µ ⇡ x̄ =1
N
NX
i=1
xi
� ⇡ �x =
vuut 1
N � 1
NX
i=1
(xi � x̄)2
média µ
desvio padrão �
variância �
2
Área
1
A(a, b) = ab
�A
max
=
����@A
@a
���� �a+
����@A
@b
���� �b
�A =
s✓@A
@a
�a
◆2
+
✓@A
@b
�b
◆2
@A
@a
= b
@A
@b
= a
N =2
3NT +
1
3NP
N = 0.8NT + 0.2NP
NP = 0.6NRel
+ 0.4NTeste
NT � 9.5 NP � 9.5
N
Teste
� 7.5
A = ab = (8.45cm)(6.75cm) = 57, 0375cm2
A = 57, 0 cm2
g(x) =1p2⇡�
e
� (x�µ)2
2�2
µ ⇡ x̄ =1
N
NX
i=1
xi
� ⇡ �x =
vuut 1
N � 1
NX
i=1
(xi � x̄)2
média µ
desvio padrão �
variância �
2
Erro máximo
1
A(a, b) = ab
�A
max
=
����@A
@a
���� �a+
����@A
@b
���� �b
�A =
s✓@A
@a
�a
◆2
+
✓@A
@b
�b
◆2
@A
@a
= b
@A
@b
= a
�a = �b = 0.05 mm
N =2
3NT +
1
3NP
N = 0.8NT + 0.2NP
NP = 0.6NRel
+ 0.4NTeste
NT � 9.5 NP � 9.5
N
Teste
� 7.5
A = ab = (8.45cm)(6.75cm) = 57, 0375cm2
A = 57, 0 cm2
g(x) =1p2⇡�
e
� (x�µ)2
2�2
µ ⇡ x̄ =1
N
NX
i=1
xi
� ⇡ �x =
vuut 1
N � 1
NX
i=1
(xi � x̄)2
média µ
desvio padrão �
variância �
2
1
A(a, b) = ab
�A
max
=
����@A
@a
���� �a+
����@A
@b
���� �b
�A =
s✓@A
@a
�a
◆2
+
✓@A
@b
�b
◆2
@A
@a
= b
@A
@b
= a
�a = �b = 0.05 cm
N =2
3NT +
1
3NP
N = 0.8NT + 0.2NP
NP = 0.6NRel
+ 0.4NTeste
NT � 9.5 NP � 9.5
N
Teste
� 7.5
A = ab = (8.45cm)(6.75cm) = 57, 0375cm2
A = 57, 0 cm2
g(x) =1p2⇡�
e
� (x�µ)2
2�2
µ ⇡ x̄ =1
N
NX
i=1
xi
� ⇡ �x =
vuut 1
N � 1
NX
i=1
(xi � x̄)2
média µ
desvio padrão �
variância �
2
1
A(a, b) = ab
�A
max
=
����@A
@a
���� �a+
����@A
@b
���� �b
�A
max
= (6.75)(0.05) cm
2 + (8.45)(0.05) cm
2
(1)
= 0.76 cm
2 ⇡ 0.8 cm
2
(2)
�A =
s✓@A
@a
�a
◆2
+
✓@A
@b
�b
◆2
@A
@a
= b
@A
@b
= a
�a = �b = 0.05 cm
N =2
3NT +
1
3NP
N = 0.8NT + 0.2NP
NP = 0.6NRel
+ 0.4NTeste
NT � 9.5 NP � 9.5
N
Teste
� 7.5
A = ab = (8.45cm)(6.75cm) = 57, 0375cm2
A = 57, 0 cm2
g(x) =1p2⇡�
e
� (x�µ)2
2�2
µ ⇡ x̄ =1
N
NX
i=1
xi
� ⇡ �x =
vuut 1
N � 1
NX
i=1
(xi � x̄)2
média µ
desvio padrão �
variância �
2
1
A(a, b) = ab
�A
max
=
����@A
@a
���� �a+
����@A
@b
���� �b
�A
max
= (6.75)(0.05) cm
2 + (8.45)(0.05) cm
2
(1)
= 0.76 cm
2 ⇡ 0.8 cm
2
(2)
A = 57.0375 cm
2
�A =
s✓@A
@a
�a
◆2
+
✓@A
@b
�b
◆2
@A
@a
= b
@A
@b
= a
�a = �b = 0.05 cm
N =2
3NT +
1
3NP
N = 0.8NT + 0.2NP
NP = 0.6NRel
+ 0.4NTeste
NT � 9.5 NP � 9.5
N
Teste
� 7.5
A = ab = (8.45cm)(6.75cm) = 57, 0375cm2
A = 57, 0 cm2
g(x) =1p2⇡�
e
� (x�µ)2
2�2
µ ⇡ x̄ =1
N
NX
i=1
xi
� ⇡ �x =
vuut 1
N � 1
NX
i=1
(xi � x̄)2
média µ
desvio padrão �
variância �
2
1
A(a, b) = ab
�A
max
=
����@A
@a
���� �a+
����@A
@b
���� �b
�A =
s✓@A
@a
�a
◆2
+
✓@A
@b
�b
◆2
@A
@a
= b
@A
@b
= a
N =2
3NT +
1
3NP
N = 0.8NT + 0.2NP
NP = 0.6NRel
+ 0.4NTeste
NT � 9.5 NP � 9.5
N
Teste
� 7.5
A = ab = (8.45cm)(6.75cm) = 57, 0375cm2
A = 57, 0 cm2
g(x) =1p2⇡�
e
� (x�µ)2
2�2
µ ⇡ x̄ =1
N
NX
i=1
xi
� ⇡ �x =
vuut 1
N � 1
NX
i=1
(xi � x̄)2
média µ
desvio padrão �
variância �
2
Erro estatístico
1
A(a, b) = ab
�A
max
=
����@A
@a
���� �a+
����@A
@b
���� �b
�A
max
= (6.75)(0.05) cm
2 + (8.45)(0.05) cm
2
(1)
= 0.76 cm
2 ⇡ 0.8 cm
2
(2)
A = 57.0375 cm
2
A = 57.0± 0.8 cm
2
�A =
s✓@A
@a
�a
◆2
+
✓@A
@b
�b
◆2
�A =p
(6.75⇥ 0.05)2 + (8.45⇥ 0.05)2 cm
2
(3)
= 0.54 cm
2 ⇡ 0.5 cm
2
(4)
@A
@a
= b
@A
@b
= a
�a = �b = 0.05 cm
N =2
3NT +
1
3NP
N = 0.8NT + 0.2NP
NP = 0.6NRel
+ 0.4NTeste
NT � 9.5 NP � 9.5
N
Teste
� 7.5
A = ab = (8.45cm)(6.75cm) = 57, 0375cm2
A = 57, 0 cm2
g(x) =1p2⇡�
e
� (x�µ)2
2�2
µ ⇡ x̄ =1
N
NX
i=1
xi
� ⇡ �x =
vuut 1
N � 1
NX
i=1
(xi � x̄)2
média µ
desvio padrão �
variância �
2
1
A(a, b) = ab
�A
max
=
����@A
@a
���� �a+
����@A
@b
���� �b
�A
max
= (6.75)(0.05) cm
2 + (8.45)(0.05) cm
2
(1)
= 0.76 cm
2 ⇡ 0.8 cm
2
(2)
A = 57.0375 cm
2
A = 57.0± 0.8 cm
2
�A =
s✓@A
@a
�a
◆2
+
✓@A
@b
�b
◆2
A = 57.0± 0.5 cm
2
�A =p
(6.75⇥ 0.05)2 + (8.45⇥ 0.05)2 cm
2
(3)
= 0.54 cm
2 ⇡ 0.5 cm
2
(4)
@A
@a
= b
@A
@b
= a
�a = �b = 0.05 cm
N =2
3NT +
1
3NP
N = 0.8NT + 0.2NP
NP = 0.6NRel
+ 0.4NTeste
NT � 9.5 NP � 9.5
N
Teste
� 7.5
A = ab = (8.45cm)(6.75cm) = 57, 0375cm2
A = 57, 0 cm2
1
A(a, b) = ab
�A
max
=
����@A
@a
���� �a+
����@A
@b
���� �b
�A
max
= (6.75)(0.05) cm
2 + (8.45)(0.05) cm
2
(1)
= 0.76 cm
2 ⇡ 0.8 cm
2
(2)
A = 57.0375 cm
2
A = 57.0± 0.8 cm
2
�A =
s✓@A
@a
�a
◆2
+
✓@A
@b
�b
◆2
@A
@a
= b
@A
@b
= a
�a = �b = 0.05 cm
N =2
3NT +
1
3NP
N = 0.8NT + 0.2NP
NP = 0.6NRel
+ 0.4NTeste
NT � 9.5 NP � 9.5
N
Teste
� 7.5
A = ab = (8.45cm)(6.75cm) = 57, 0375cm2
A = 57, 0 cm2
g(x) =1p2⇡�
e
� (x�µ)2
2�2
µ ⇡ x̄ =1
N
NX
i=1
xi
� ⇡ �x =
vuut 1
N � 1
NX
i=1
(xi � x̄)2
média µ
desvio padrão �
variância �
2
Volume de um paralelepípeto retângulo
a
c
b
1
N =2
3NT +
1
3NP
N = 0.8NT + 0.2NP
NP = 0.6NRel + 0.4NTeste
NT � 9.5 NP � 9.5
NTeste � 7.5
V (a, b, c) = abc
A = ab = (8.45cm)(6.75cm) = 57, 0375cm2
A = 57, 0 cm2
g(x) =1p2⇡�
e
� (x�µ)2
2�2
µ ⇡ x̄ =1
N
NX
i=1
xi
� ⇡ �x =
vuut 1
N � 1
NX
i=1
(xi � x̄)2
média µ
desvio padrão �
variância �
2
1
N =2
3NT +
1
3NP
N = 0.8NT + 0.2NP
NP = 0.6NRel
+ 0.4NTeste
NT � 9.5 NP � 9.5
N
Teste
� 7.5
V (a, b, c) = abc
�V
max
=
����@V
@a
���� �a+
����@V
@b
���� �b+����@V
@c
���� �c
�V =
s✓@V
@a
�a
◆2
+
✓@V
@b
�b
◆2
+
✓@V
@c
�c
◆2
@V
@a
= bc
@V
@b
= ac
@V
@c
= ab
A = ab = (8.45cm)(6.75cm) = 57, 0375cm2
A = 57, 0 cm2
g(x) =1p2⇡�
e
� (x�µ)2
2�2
µ ⇡ x̄ =1
N
NX
i=1
xi
� ⇡ �x =
vuut 1
N � 1
NX
i=1
(xi � x̄)2
média µ
desvio padrão �
variância �
2
1
N =2
3NT +
1
3NP
N = 0.8NT + 0.2NP
NP = 0.6NRel
+ 0.4NTeste
NT � 9.5 NP � 9.5
N
Teste
� 7.5
V (a, b, c) = abc
�V
max
=
����@V
@a
���� �a+
����@V
@b
���� �b+����@V
@c
���� �c
�V =
s✓@V
@a
�a
◆2
+
✓@V
@b
�b
◆2
+
✓@V
@c
�c
◆2
@V
@a
= bc
@V
@b
= ac
@V
@c
= ab
A = ab = (8.45cm)(6.75cm) = 57, 0375cm2
A = 57, 0 cm2
g(x) =1p2⇡�
e
� (x�µ)2
2�2
µ ⇡ x̄ =1
N
NX
i=1
xi
� ⇡ �x =
vuut 1
N � 1
NX
i=1
(xi � x̄)2
média µ
desvio padrão �
variância �
2
Erro máximo
1
N =2
3NT +
1
3NP
N = 0.8NT + 0.2NP
NP = 0.6NRel
+ 0.4NTeste
NT � 9.5 NP � 9.5
N
Teste
� 7.5
V (a, b, c) = abc
�V
max
=
����@V
@a
���� �a+
����@V
@b
���� �b+����@V
@c
���� �c
�V =
s✓@V
@a
�a
◆2
+
✓@V
@b
�b
◆2
+
✓@V
@c
�c
◆2
@V
@a
= bc
@V
@b
= ac
@V
@c
= ab
A = ab = (8.45cm)(6.75cm) = 57, 0375cm2
A = 57, 0 cm2
g(x) =1p2⇡�
e
� (x�µ)2
2�2
µ ⇡ x̄ =1
N
NX
i=1
xi
� ⇡ �x =
vuut 1
N � 1
NX
i=1
(xi � x̄)2
média µ
desvio padrão �
variância �
2
Erro estatístico
Trabalho Prático
REALIZAÇÃO EXPERIMENTAL: !
1-Em primeiro lugar ajuste o zero do Nónio ao zero da escala principal da Craveira e determine o menor valor que se pode medir com este instrumento de medida. Qual o erro instrumental da Craveira ?!
2-Meça, com a Craveira, o comprimento das duas arestas mais longas do objecto que lhe for fornecido. Faça 10 medições de cada aresta. Calcule o limite superior do erro, associado ao valor médio das medições feitas em cada aresta.
!3-Determine, agora, com o Palmer que lhe for fornecido, o menor valor que pode medir com
este aparelho. Qual o seu erro instrumental?
4-Meça com o Palmer o comprimento da menor das arestas do objecto com que está a trabalhar. Calcule o limite superior do erro associado ao valor médio das medições obtidas ( Faça 10 medições).!
5-Determine o volume do objecto e calcule o limite superior do erro associado ao valor obtido.
!
