Aula pb 10_resumo

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Modelos de Previsão

Na tabela seguinte apresenta-se o número de ofertas de emprego no sector hoteleiro numa conhecida

região balnear sul americana para cada trimestre dos últimos anos.

Exercício 10 – Enunciado

Há 4

anos

Há 3

anos

Há 2

anos

Ano

passado

Este ano

2º Tr. 3º Tr. 4º Tr. 1º Tr. 2º Tr. 3º Tr. 4º Tr. 1º Tr. 2º Tr. 3º Tr. 4º Tr. 1º Tr. 2º Tr. 3º Tr. 4º Tr. 1º Tr.

349 336 330 397 355 345 338 420 329 348 340 431 360 357 351 442

Modelos de previsão para séries com tendência e sazonalidade

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

1

a) Represente gráficamente a série anterior e procure caracterizá-la.

b) Identifique e calibre um modelo de previsão adequado às características da série.

c) Preveja o número de ofertas de emprego no sector hoteleiro nessa região balnear para cada trimestre

do próximo ano.

Ge

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o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são


Exercício 10 – Resolução

a) Represente gráficamente esta série cronológica e procure caracterizá-la.

400

420

440

460(N

º E

mp

reg

os)

L

LL


Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

2

300

320

340

360

380

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

Yt(N

º E

mp

reg

os)

t (trimestre)

Figura 6 – Cronograma da sucessão cronológica (série temporal)

LL

L

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são



a) Represente gráficamente esta série cronológica e procure caracterizá-la.

Caracterização qualitativa da série temporal:

Condicionada ao número escasso de observações da variável em estudo, a série temporal pode ser

caracterizada por:

i) aparentar variação da amplitude das oscilações em torno do nível médio;

(série não estacionária em variância);


Ge

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o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

3

(série não estacionária em variância);

ii) Aparentar nível médio crescente (componente sistemática de crescimento) em toda a extensão

observada da série (série não estacionária em média).

iii) Exibir um padrão periódico sazonal de período, L, constante e bem definido (L = 4 trimestres)

(série não estacionária em média)..

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são




Modelos possíveis

( )

( )

1)

, 1,2,...

, p. ex.

tendência no instante

componente sazonal no instante , 0

componente al

t t t t

t

t

t L

t t t L j

j t

Y m S e t

m a bt

m t

S t S S S

e

+

−=

= + + =

= +

−

− = =

−

∑

Decomposição clássica aditiva ( )

( )

2)

, 1,2,...

, p. ex.

tendência no instan

eatória/errática no instante

t t t t

t

t

Y m S e t

m a bt

m

t

= × × =

= +

−

Decomposição clássica multiplicativa

te

componente sazonal no instante ,

componente aleatória/errática no instante

t L

t t t L j

j t

t

S t S S S L

e t

+

−=

− = =

−

∑


Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

4

componente alte − eatória/errática no instante

ˆ ˆ: , 1,2,...t t t t

t

Previsão Y m S e t= + + =

( )

componente aleatória/errática no instante

ˆ ˆ: , 1,2,...

3)

t

t t t t

e t

Previsão Y m S e t

Equações de amor

−

= × × =

Modelo de Holt - Winters aditivo

( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )

( )

1 1

1 1

1 mod 1

Nível: 1

Tendência: 1

Factores sazonais: 1

0 1, 0 1, 0 1

ˆ , 1,

t t t L t t

t t t t

t t t t L

t h t t t L h L

tecimento

n Y f n b

b n n b

f Y n f

Previsão

Y n h b f h

α α

β β

γ γ

α β γ

− − −

− −

−

+ − + − +

= − + − +

= − + −

= − + −

≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤

= + × + =

( )( )

( ) ( )

( )

1 1

1 1

4)

Nível: 1

Tendência: 1

Factores sazonais: 1

2,...,

tt t t

t L

t t t t

tt t L

t

p

Equações de amortecimento

Yn n b

f

b n n b

Yf f

n

H

α α

β β

γ γ

− −

−

− −

−

= + − +

= − + −

= + −

Modelo de Holt - Winters (multiplicativo)

( ) ( )1 mod 1

0 1, 0 1, 0 1

ˆ , 1,2,...,t h t t pt L h L

Previsão

Y n h b f h H

α β γ

+ − + − +

≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤

= + × × =

Ge

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o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são




Decomposição (clássica) aditiva

Ciclo/Ano Est./Trim.j t (trimestre) Yt Mt Xt=Yt-Mt St Yt-St nt=a+bt Ŷt=nt+St et=Yt-Ŷt

1 2 1 349 -15.6 364.6 350.94 335.31 13.69

1 3 2 336 -14.4 350.4 352.72 338.27 -2.27

1 4 3 330 353.8 -23.8 -23.4 353.4 354.49 331.11 -1.11

2 1 4 397 355.6 41.4 53.5 343.5 356.27 409.73 -12.73

2 2 5 355 357.8 -2.8 -15.6 370.6 358.04 342.41 12.59

2 3 6 345 361.6 -16.6 -14.4 359.4 359.81 345.37 -0.37

2 4 7 338 361.3 -23.3 -23.4 361.4 361.59 338.20 -0.20

3 1 8 420 358.4 61.6 53.5 366.5 363.36 416.83 3.17

de

(Filtra/remove componente sazonal de período

bem definido)

, / 2

q

j t j

j q

t

comprimento L

L

w Y

M q LL

+=−

= =

∑

Notas

1) Média móvel centrada


Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

5

3 1 8 420 358.4 61.6 53.5 366.5 363.36 416.83 3.17

3 2 9 329 359.0 -30.0 -15.6 344.6 365.14 349.50 -20.50

3 3 10 348 360.6 -12.6 -14.4 362.4 366.91 352.47 -4.47

3 4 11 340 365.9 -25.9 -23.4 363.4 368.69 345.30 -5.30

4 1 12 431 370.9 60.1 53.5 377.5 370.46 423.92 7.08

4 2 13 360 373.4 -13.4 -15.6 375.6 372.23 356.60 3.40

4 3 14 357 376.1 -19.1 -14.4 371.4 374.01 359.56 -2.56

4 4 15 351 -23.4 374.4 375.78 352.40 -1.40

5 1 16 442 53.5 388.5 377.56 431.02 10.98

5 2 17 -15.6 379.33 363.70

5 3 18 -14.4 381.11 366.66

5 4 19 -23.4 382.88 359.50

Trimestre-> 1 2 3 4

1 -23.8

Ano i 2 41.4 -2.8 -16.6 -23.3

3 61.6 -30.0 -12.6 -25.9

4 60.1 -13.4 -13.4 -19.1 ΣSj Σ|Sj|

Factores sazonais Sj (Médias) 54.4 -15.4 -14.2 -23.0 1.8

|Sj| 54.4 15.4 14.2 23.0 107.0

Factores sazonais Sj (Corrigidos) 53.46 -15.63 -14.45 -23.39 0.0

1, , 1,..., ( ímpar)

0.5, e ( par)

1,

j

L

j q q q L

w j q j q L

= − − +

= = − =

1

1

1,..., 1 ( par)

dados factores sazonais médios

, 1, 2...,

:

/ 2 maior inteiro menor ou igual a / 2

q

j

j q

c

j

j

L

j

jc

j j jL

j

j

j q q L

w L

S

S

S

S S S j L

S

NB

L L

=−

=

=

= − + −

=

= − =

∑

∑

∑

2) Facores sazonais corrigidos

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são




Decomposição (clássica) multiplicativa

Ciclo/Ano Est./Trim.j t (trimestre) Yt Mt Xt=Yt/Mt St Yt/St nt=a+bt Ŷt=nt*St et=Yt/Ŷt

1 2 1 349 0.96 364.9 351.45 336.09 1.04

1 3 2 336 0.96 350.1 353.13 338.91 0.99

1 4 3 330 353.8 0.93 0.94 352.8 354.81 331.90 0.99

2 1 4 397 355.6 1.12 1.15 345.7 356.50 409.45 0.97

2 2 5 355 357.8 0.99 0.96 371.2 358.18 342.53 1.04

2 3 6 345 361.6 0.95 0.96 359.5 359.86 345.37 1.00

2 4 7 338 361.3 0.94 0.94 361.3 361.54 338.20 1.00

3 1 8 420 358.4 1.17 1.15 365.7 363.22 417.18 1.01

de

(Filtra/remove componente sazonal de período

bem definido)

, / 2

q

j t j

j q

t

comprimento L

L

w Y

M q LL

+=−

= =

∑

Notas

1) Média móvel centrada


Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

6

3 1 8 420 358.4 1.17 1.15 365.7 363.22 417.18 1.01

3 2 9 329 359.0 0.92 0.96 344.0 364.91 348.96 0.94

3 3 10 348 360.6 0.96 0.96 362.6 366.59 351.83 0.99

3 4 11 340 365.9 0.93 0.94 363.5 368.27 344.49 0.99

4 1 12 431 370.9 1.16 1.15 375.3 369.95 424.90 1.01

4 2 13 360 373.4 0.96 0.96 376.4 371.64 355.40 1.01

4 3 14 357 376.1 0.95 0.96 372.0 373.32 358.28 1.00

4 4 15 351 0.94 375.2 375.00 350.78 1.00

5 1 16 442 1.15 384.8 376.68 432.63 1.02

5 2 17 0.96 378.36 361.83

5 3 18 0.96 380.05 364.74

5 4 19 0.94 381.73 357.08

Trimestre-> 1 2 3 4

1 0.93

Ano i 2 1.12 0.99 0.95 0.94

3 1.17 0.92 0.96 0.93

4 1.16 0.96 0.96 0.95 ΣSj

Factores sazonais Sj (Médias) 1.15 0.96 0.96 0.94 4.01

Factores sazonais Sj (Corrigidos) 1.15 0.96 0.96 0.94 4.00

1, , 1,..., ( ímpar)

0.5, e ( par)

1,

j

L

j q q q L

w j q j q L

= − − +

= = − =

1

1,..., 1 ( par)

dados factores sazonais médios

, 1,2...,

:

/ 2 maior inteiro menor ou igual a / 2

q

j

j q

c

j

j

c

j j L

j

j

j q q L

w L

S

S

LS S j L

S

NB

L L

=−

=

= − + −

=

= × =

∑

∑

2) Facores sazonais corrigidos

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são




Modelo de Holt-Winters (aditivo)

Ciclo/Ano Est./Trim.j t (trimestre) Yt nt bt ft Ŷt et=Yt-Ŷt

1 2 1 349 349.11 1.24 -0.11 349.00 0.00

1 3 2 336 350.35 1.24 -14.35 336.00 0.00

1 4 3 330 351.59 1.24 -21.59 330.00 0.00

2 1 4 397 352.84 1.24 44.16 397.00 0.00

2 2 5 355 354.25 1.27 0.03 353.97 1.03

2 3 6 345 356.16 1.38 -13.83 341.17 3.83

2 4 7 338 357.87 1.43 -21.31 335.94 2.06


0 0

0 0 0 0

(Procedimento de inicialização)

1. modelo de regressão linear

às (10) primeiras

observações: 1, 2,...,10

ˆˆ Resultado: estimativas e de e

2. valores

t

Ajustar

Y a b t

t

a b a b

Calcular

= +

=

Notas

iniciais dos factores

(efeitos) sazonais, , para as estaçõesf

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

7

2 4 7 338 357.87 1.43 -21.31 335.94 2.06

3 1 8 420 362.05 1.88 46.42 403.47 16.53

3 2 9 329 358.13 0.93 -4.75 363.96 -34.96

3 3 10 348 359.52 1.00 -13.45 345.23 2.77

3 4 11 340 360.65 1.02 -21.20 339.21 0.79

4 1 12 431 365.48 1.65 49.55 408.10 22.90

4 2 13 360 366.73 1.59 -5.07 362.38 -2.38

4 3 14 357 368.67 1.64 -13.16 354.87 2.13

4 4 15 351 370.63 1.70 -20.95 349.11 1.89

5 1 16 442 375.67 2.25 52.31 421.88 20.12

Constantes de amortecimento

α= 0.17

β= 0.16

γ= 0.16

Factor (Efeito) sazonal Valor inicial

f1 44.16

f2 -0.11

f3 -14.35

f4 -21.59

Inicialização

a0 347.87

b0 1.24

nL 354.70

( ) ( )0 01 mod

1 0 0 2 1 0

(efeitos) sazonais, , para as estações

de 1 a (Período do ciclo 4)

ˆˆ , 1,2,...,

ˆ ˆˆ3. e

: mod resto da divi

j

jj L

f

j L L

f Y a b j j L

Fazer n a b f b b

NB a b

+

=

= − + =

= + + =

são de por a b

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são




Modelo de Holt-Winters (multiplicativo)

Ciclo/Ano Est./Trim.j t (timestre) Yt nt bt ft Ŷt et=Yt-Ŷt

1 2 1 349 349.11 1.24 1.00 349.00 0.00

1 3 2 336 350.35 1.24 0.96 336.00 0.00

1 4 3 330 351.59 1.24 0.94 330.00 0.00

2 1 4 397 352.84 1.24 1.13 397.00 0.00

2 2 5 355 354.25 1.27 1.00 353.97 1.03

2 3 6 345 356.24 1.39 0.96 340.96 4.04

2 4 7 338 358.05 1.46 0.94 335.67 2.33


0 0

0 0 0 0

(Procedimento de inicialização)

1. modelo de regressão linear

às (10) primeiras

observações: 1,2,...,10

ˆˆ Resultado: estimativas e de e

2. valores

t

Ajustar

Y a b t

t

a b a b

Calcular

= +

=

Notas

iniciais dos factores

(índices) sazonais, , para as estações f

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

8

2 4 7 338 358.05 1.46 0.94 335.67 2.33

3 1 8 420 361.85 1.86 1.13 404.52 15.48

3 2 9 329 357.82 0.86 0.99 363.74 -34.74

3 3 10 348 359.29 0.97 0.96 344.55 3.45

3 4 11 340 360.53 1.01 0.94 338.46 1.54

4 1 12 431 364.85 1.57 1.14 408.95 22.05

4 2 13 360 366.16 1.53 0.99 361.51 -1.51

4 3 14 357 368.27 1.62 0.96 353.70 3.30

4 4 15 351 370.48 1.72 0.94 347.73 3.27

5 1 16 442 374.86 2.17 1.15 424.14 17.86

Constantes de amortecimento

α= 0.17

β= 0.17

γ= 0.17

Factor (ìndice) sazonal Valor inicial

f1 1.13

f2 1.00

f3 0.96

f4 0.94

Inicialização

a0 347.87

b0 1.24

nL 353.00

( ) ( )( )

1 mod

0 0

1 0 0 2 1 0

(índices) sazonais, , para as estações

de 1 a (Período do ciclo = 4)

, 1,2,...,ˆˆ

ˆ ˆˆ3. e

: mod resto da divi

j

j

j L

f

j L L

Yf j L

a b j

Fazer n a b f b b

NB a b

+= =

+

= + =

− são de por a b

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são


c) Preveja o número de ofertas de emprego no sector hoteleiro nessa região balnear para cada trimestre do próximo ano.


Decomposição (clássica) aditiva


Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

9

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são




Decomposição (clássica) multiplicativa


Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

10

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são




Modelo de Holt-Winters (aditivo)


Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

11

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são




Modelo de Holt-Winters (multiplicativo)


Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

12

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são


ANEXO: Regressão Linear Simples

1, 1,2,...,

i i iY X e i nοβ β= + + =

com

( ) resposta variável dependente no -ésimo “ensaio/experiência/observação”iY i−

“nível” conhecido da variável independente no -ésimo “ensaio/experiência/observação”iX i−

0 1, c o e f i c i e n t e s d e r e g r e s s ã o d e s c o n h e c i d o sβ β −

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

13

0 1, c o e f i c i e n t e s d e r e g r e s s ã o d e s c o n h e c i d o sβ β −

2

2

variáveis residuais ( 1,2,..., ).

Variáveis aleatórias . . ., com distribuição Normal de média 0 e variância , isto é,

(0, ), 1,2,...,

i

i

e i n

i i d

e N i n

σ

σ

− =

∼ =

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são


0 1 0 1

1 1

11 2

2 1

, e , de e , respectivamente

n n

i in

i ii i

i

n

ini

i

X Y

X Yn

X

X

β β β β

β

= =

=

=

− =

−

∑ ∑∑

∑∑

Estimadores⌢ ⌢

⌢

Estimação pelo Método de Mínimos Quadrados dos

coeficientes (parâmetros) do modelo de regressão linear simples


Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

14

1

0 1

0 1

1

, e

i

i

i

Xn

Y X

b b

x y

b

β β

=

− = −

=

∑

Estimações pontuais (Estimativas)

⌢ ⌢

1 1

1

2

2 1

1

0 1

1 1

1 1,

n n

i in

i ii

i

n

ini

i

i

n n

i i

i i

x y

n

x

xn

b y b x

x x y yn n

= =

=

=

=

= =

−

−

= −

= =

∑ ∑∑

∑∑

∑ ∑

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são


( )

1

2

1

2

, 1,2,...,

, , de

i o i

n

i i

i

y b b x i n

SQR

SQR y y

s

=

= + =

= −∑

Valores previstos das respostas

Soma dos Quadrados dos Resíduos ( )

Estimação / estimativa

⌢

⌢

2

2

0 1

(Variância das variáveis residuais)

2

100(1- )%

e

SQRs

n

σ

α

β β

=−

Médias, variâncias estimadas e distribuições de probabilidade Intervalos de confiança a

pados estimadores ⌢ ⌢

( )0 1 e β βra

⌢


Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

15

)

( )

{ }( )( )

)

( )

{ }( )( )

0

0 00

0

1

1

1

0 0

22

2 2

0 0 0 0 2,1 0 0 2,12

1

0 0

1 1

22 2

1 1 1 12

1

1 1

1ˆ

( 2)

1ˆ

( 2)

n b n bn

i

i

nn

i

i

E

Xs E s b t s b t s

nX X

T t ns

E

s E s b t

X X

T t ns

β

α αβ

β

β

β

β

µ β β

β β β β

β β

µ β β

β β β

β β

− − − −

=

−

=

= =

= − = + − ≤ ≤ + −

−= −

= =

= − = − −

−= −

∑

∑

⌢

⌢

⌢

⌢

⌢

⌢

⌢

⌢

⌢

∼

⌢

⌢

⌢

∼

1 12,1 1 1 2,1b n bs b t sα αβ− − −≤ ≤ +

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são


0 1

0 0

e ( , 0,1)

ou ou

: 0 : 0

i

i i

i

Hipóteses

H H

β β β

β β

=

= ≤

Testes de Hipóteses sobre

0

1 1 1

: 0

: 0 : 0 : 0

i

i i i

H

H H H

β

β β β

≥

≠ > <

Testes de Hipótese: modelo de regressão linear simples ANEXO: Regressão Linear Simples

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

16

1 1 1 : 0 : 0 : 0

:

(

(

2) :

2)

i

i i i

i i

H H H

Nível de significância :

Estatística teste T t ns

t n

β

β β β

α

β β

≠ > <

−= −

−

⌢

⌢

∼

2,1 /2 2,1 2,1

Distribuição de Student com 2

g

raus de liberdade

n n nValores críticos de T : t t t

Valor calcul d

t

ado

n

α α α− − − − − −−

−

2,1 /2 2,1 2,1

: | |

i

iobs

obs n obs n obs n

be T t

s

Critérios de rejeição t t t t t t

β

α α α− − − − − −

=

> > < −

⌢

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são


2

2 1

1

2

1

Análise da variânci (Tabela básica)

( )

( ) 1 (1, 2)

a

1

( ) 2

n

ini

i

i

n

i i

i

Fonte deVariação SQ df MQ Est

y yMQR

Regressão SQR y y MQR F F nMQE

Erro SQE y y

at

n MQ

íst

E

ica

=

=

=

−

= − = = −

= − − =

∑∑

∑

Adequação do modelo de regressão linear

⌢

⌢

∼

⌢

2

1

2

( )

2

( ) 1

n

i i

i

n

i

y y

n

Total SQT y y n

=

−

−

= − −

∑

∑

⌢


Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

Ge

stã

o e

Te

ori

a d

a D

eci

são

17

1

2 2

( ) 1

gr

aus

1

de liberdade

(0 1)

i

i

Total SQT y y n

SQR SQEr r

SQ QT

df

T S

=

= − −

= = − ≤ ≤

−

∑

Coeficiente de determinação

Previsão, variância do erro de prev

( )

( )

0 0 1 0

2

02 2

02

1

100(1- )%

1 ( )

n

i

i

y b b x

x xs y s

nx x

α

=

= +

− = + −

∑

isão e intervalo de confiança da previsão a ⌢

⌢

0 2,1 /2 0 0 0 2,1 /2 0 ( ) ( )n ny t s y Y y t s yα α− − − −− ≤ ≤ +⌢ ⌢ ⌢ ⌢

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