Aula 8: Determinantes (continuação)
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Aula 8: Determinantes (continuação)
Mais propriedades dos determinantesD9: Sejam A e B matrizes nxn e k um escalar qualquer temos que:
Exemplo:
D10: Sejam A, B, C matrizes nxn que diferem em uma única linha (r-ésima) , suponha que nesta linha para todo j=1,...,n
então:
)det()det( AkkA n
2221
1211
2221
1211
2221
1211 ...)det(aa
aakk
kaka
aak
kaka
kakakA
rjrjrj BAC )()()(
)det()det()det( BAC Exemplo: (Quadro)
Mais propriedades dos determinantesD11: Se B é uma matriz nxn e E é uma matriz elementar nxn então:
Consequência:
D12: Uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, det(A)≠0.
D13: Se A e B são matrizes quadradas de mesmo tamanho então:
D14: Se A é invertível então:
D15: Se A é ortogonal (A-1=AT) então det(A-1)=1 ou -1.
)det().det()det( BEEB
)det().det()det().det()...det( 2121 BEEEBEEE rr
)det().det().det( BABA
)det(
1)det( 1
AA
Determinantes, sistemas e invertibilidade
Teorema: Se A é uma matriz nxn, então as seguintes afirmações são equivalentes:
a) A é invertível.
b) Ax=0 só tem a solução trivial.
c) A forma escalonada reduzida por linhas de A é In.
d) A pode ser expressa como um produto de matrizes elementares.
e) Ax=b é consistente para cada vetor coluna b de tamanho nx1.
f) Ax=b tem exatamente uma solução para cada vetor coluna b nx1.
g) det(A)≠0.
Expansão em cofatoresDefinição: (menor de aij) Se A é uma matriz quadrada então o
determinante menor da entrada aij, ou simplesmente o menor de aij é
denotado por Mij e definido como o determinante da submatriz que
sobra quando suprimido a i-ésima linha e j-ésima coluna de A.
Exemplo:
Definição: (cofator) O número (-1)i+j Mij e denotado por Cij é chamado de o cofator de aij.
,
987
654
321
A
3484598
65
:
11
11
M
éademenoro
Expansão em cofatores
Observe a fórmula para o determinante de ordem 3:
(expansão em cofatores ao longo da primeira linha)
131312121111
131312121111
312232211331233321123223332211
322311332112312213
322113312312332211
333231
232221
131211
)()()(
......
......
CaCaCa
MaMaMa
aaaaaaaaaaaaaaa
aaaaaaaaa
aaaaaaaaa
aaa
aaa
aaa
Expansão em cofatoresTeorema: O determinante de uma matriz A (nxn) pode ser obtido pela
soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) da matriz A pelos respectivos cofatores. Estas somas são denominadas expansões em cofatores de det(A).
Exemplo: (Quadro)
(expansão em cofatores ao longo da linha i)
ininiiii CaCaCaA ...)det( 2211
(expansão em cofatores ao longo da coluna j)
njnjjjjj CaCaCaA ...)det( 2211
Expansão em cofatores
Definição: (matriz de cofatores e adjunta de A) Se A é uma matriz
quadrada de ordem n e Cij é o cofator de aij então a matriz
é chamada matriz de cofatores de A. A transposta desta matriz é chamada adjunta de A e denotada por adj(A).
nnnn
n
n
CCC
CCC
CCC
A
21
22221
11211
Exemplo: (Quadro)
Idéia da prova: Mostra –se que:
Como A é invertível, det(A)≠0. Portanto a equação pode ser reescrita como:
Multiplicando-se ambos os lados à esquerda por A-1 obtemos:
Fórmula para inversa de uma matrizTeorema: Se A é uma matriz nxn, invertível então
)()det(
11 AadjA
A
IAAadjA ).det()(.
IAadjA
AouIAadjAA
)](.)det(
1.[)(.
)det(
1
)()det(
11 AadjA
A
Exemplo: (Quadro)
Regra de Cramer
Teorema: (Regra de Cramer) Se Ax=b é um sistema de n equações lineares com n incógnitas tal que det(A)≠0, então o sistema tem uma única solução. Esta solução é:
onde Aj é a matriz obtida subtraindo as entradas da j-ésima coluna de A pelas entradas do vetor coluna b.
Observação: Quando det(A)≠0 onde A é a matriz dos coeficientes de um sistema linear, o sistema é chamado sistema de Cramer
,)det(
)det(,...,)det(
)det(,)det(
)det( 22
11 A
Ax
A
Ax
A
Ax n
n
Idéia da prova + Exemplo: Quadro
Através da Regra de Cramer podemos classificar um sistema linear quanto as suas soluções:
• Se det(A)=0 e pelo menos um dos det(Ai)≠0 o sistema é imcompatível.
• Se det(A)=0 e det(Ai)=0 para todo i o sistema é compatível e indeterminado.
• Se det(A) ≠0 o sistema é compatível e determinado.
Regra de Cramer
Sistemas lineares da forma Ax=λxMuitas aplicações da Álgebra linear envolvem sistemas de n equações lineares
e n incógnitas que aparecem no formato:Ax=λx
onde λ é um escalar. Tais sistemas são realmente sistemas homogêneos disfarçados pois podem ser reescritos como
λx-Ax=0ou ainda
λIx-Ax=0(λI-A)x=0.
Uma pergunta fundamental em relação ao sistema (1) é determinar para quais valores de λ o sistema tem solução não trivial, tal valor de λ é chamado autovalor de A.
Se λ é um autovalor de A então cada solução não trivial de (2) é chamada autovetor de A associado ao autovalor λ.
(1)
(2)
Sistemas lineares da forma Ax=λxVimos que
A é invertível ↔ Ax=0 tem somente solução trivial logo
(λI-A)x=0 tem solução não trivial ↔ (λI-A) não é invertível, ou seja,
det(λI-A)x=0
Exemplo: Expresse o sistema linear abaixo no formato (λI-A)x=0
encontre:(i) A equação característica; (ii) os autovalores; (iii) os autovetores
associados a cada autovalor
Equação característica de A
221
121
24
3
xxx
xxx