Aula 2_Teoria das Filas.pdf

8/10/2019 Aula 2_Teoria das Filas.pdf

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Problemas de

congestionamento(Teoria das Filas)

Prof. Msc. Rodolfo Benedito da Silva


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Objetivos

I. Analisar os sistemas de atendimento a clientes daorganizao (internos ou externos) para identificar

os possveis pontos de congestionamentos (filas);II. Modelar e resolver os problemas de

congestionamento com uso de tcnicas da Teoriadas Filas;

III. Desenvolver sistemas de atendimento a clientespara atender um nvel de servio desejado aomenor custo total possvel.


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Programao

1

Introduo ao assunto

2 Fatores que condicionam a operao dos sistemas

3 Medidas da efetividade de um sistema

4 Sistema de um canal e uma fila com populao infinita

5 Taxa de servio para Mnimo Custo Total do Sistema

6 Sistema de uma fila e diversos canais

7 Sistema de um Canal com Populao Finita


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Programao

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Introduo ao assunto








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Introduo

Levante a mo quem nunca

Pegou uma fila na vida...


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Introduo

As Filas esto presentes no nosso dia-a-dia:


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Introduo

Estrutura de um Sistema de Filas de espera:


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Introduo

Aplicaes da Teoria das Filas: Estabelecimento de uma poltica de atendimento ao pblico,

em empresas pblicas, determinando o n de atendentes e a

especializao de cada um; Estudo da operao de um centro de processamento de

dados p/ determinar polticas de atendimento e prioridadesdos servios;

Determinao de equipes de manuteno em grandesinstalaes, onde h custos elevados associados aequipamentos danificados, espera de reparos;

Estudo de operaes de caixas com o objetivo de estabeleceruma poltica tima de atendimento ao pblico.


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Introduo

Exemplo do sistema de manuteno:

Clientes: equipamentos danificados que solicitamservios (reparos). Eventualmente devem formar filas e

esperar sua vez.

Atendentes: pessoal das equipes.


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Introduo

Neste caso dois eventos ocorrem de modo aleatrio:

1) Os equipamentos no se danificam regularmente(por exemplo: de hora em hora);

2) Os tempos gastos nos reparos no so os mesmos(por mais bem treinada que seja a equipe).

Sntese: em determinado dia, no h um s equipamento p/reparo, enquanto no dia seguinte o n de equipamentosdanificados superior capacidade de atendimento,ocasionando congestionamento do sistema.


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Introduo

So essas irregularidades nas ocorrncias dos eventos

que determinam o funcionamento desse tipo de

sistema e que so expressas em termos probabilsticos

no estudo de Teoria das Filas.


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Programao

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Introduo ao assunto








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Fatores que condicionam a

operao dos sistemas

Diversos fatores podem interferir em um

sistema de filas:

Forma de atendimento;

Modo de chegada;

Disciplina da fila;

Estrutura do sistema


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Forma de atendimento

O levantamento estatstico permite determinar adistribuio de probabilidades do n de atendimentosou da durao de cada atendimento.


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Modo de chegada

As chegadas de clientes ocorrem de formaaleatria (o n de clientes/tempo varia);

Fazer levantamento estatstico p/ descobrir se oprocesso obedece uma dist. de probabilidades;

Este processo deve estar no chamado estadoestacionrio (a dist. de probabilidades que

identifica o processo hoje ser = a de amanh).Caso contrrio o sistema est em estado no-estacionrio ou transitrio.


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Modo de chegada

Exemplo do banco:

Afluncia de pblicoestacionrio

Greve bancria ou falnciano estacionrio


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Distribuio de chegada

Na maioria dos sistemas de filas, os clienteschegam de forma aleatria, ou seja, o nmero dechegadas que ocorrem em um determinado

perodo de tempo uma varivel aleatria; Apropriado modelar o processo de chegadaatravs de um processo de Poisson;

Para utilizar a distribuio de probabilidades dePoisson, deve-se especificar um valor para a taxa dechegadados clientes (),que representa o nmero

mdio de chegadas por unidade de tempo;


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Distribuio de chegada

De acordo com a distribuio de Poisson, aprobabilidade da chegada de n clientes em umperodo de tempo especfico dada por:


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Distribuio de chegada - Exemplo


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Distribuio de chegada - Exemplo

Clientes chegam a um balco de reclamaes emuma loja de departamentos a uma taxa de cincoclientes por hora. Qual a probabilidade de quatro

clientes chegaram na prxima hora?


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Disciplina da Fila

A disciplina da fila so as regras que determinama ordem em que os clientes sero atendidos.

1. Pode ser feito pela ordem de chegada FIFO (oprimeiro a chegar o primeiro a ser atendido);

2. Pela ordem inversa de chegada - LIFO (o ltimo achegar o primeiro a ser atendido);

3. Pelo atendimento com prioridade para certasclasses (Ex.: Hospitais, Preferencial, etc...).


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Sistema de uma fila e um canal:


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Sistema de uma fila e trs canais paralelos:


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Sistema complexo de filas e canais em srie e

paralelo:


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Programao

1 Introduo ao assunto








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Medidas de efetividade de um

sistema

Nas variveis referentes ao sistema temos:

TSTempo mdio de permanncia no sistema

NSNmero mdio de clientes no sistema

Nas variveis referentes ao processo dechegada temos:

(lambda) Ritmo mdio de chegada

ICIntervalo mdio entre chegadas (IC = 1/ )


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Medidas de efetividade de um

sistema

Nas variveis referentes fila temos:

TFTempo mdio de permanncia na fila

NFNmero mdio de clientes na fila

Nas variveis referentes ao processo de atendimentotemos:

TATempo mdio de atendimento

cCapacidade de Atendimento

NA N mdio de clientes sendo atendidos

- Ritmo mdio de atendimento de cada cliente

(TA = 1/)


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Localizao das variveis no

sistema de filas


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Programao









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Sistema de um canal e uma fila

com populao infinita

Representao:


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Caractersticas Gerais

- As chegadas se processam segundo uma distribuio dePoisson com mdia ;

- Os tempos de atendimento seguem a distribuioexponencial negativa com mdia 1/ (ou seja: o nmero deatendimentos segue a distribuio de Poisson com mdia);

- O atendimento fila feito pela ordem de chegada;

- O nmero de possveis clientes suficientemente grandepara que a populao possa ser considerada infinita.


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Equaes do modelo:

a) Probabilidade de haver n clientes no sistema,ou seja, a distribuio de probabilidades do nde clientes no sistema:


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Equaes do modelo:

b) Probabilidade de que o nmero de clientes nosistema seja superior a um certo valor r:


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Equaes do modelo:

c) Probabilidade de que o sistema esteja ocioso:percentual de tempo que sistema est inativo,tambm chamado de taxa de ociosidade


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Equaes do modelo:

d) Probabilidade de que o sistema estejaocupado: tambm chamado de fator ou taxa deocupao


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Equaes do modelo: parmetros relativos

quantidade de clientes

e) Nmero mdio de clientes no sistema (NS):


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f) Nmero mdio de clientes na fila (NF):

Este valor inclui as filas de tamanho zero. Podemos calcular

tambm o tamanho mdio da fila, apenas quando h fila.

d l f l


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g) Nmero mdio de clientes na fila (p/ fila > 0):

i d l fil


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Equaes do modelo: parmetros relativos aos

tempos gastos pelos clientes

h) Tempo mdio de espera na fila por cliente (TF):

Si d l fil


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Equaes do modelo: parmetros relativos aos

tempos gastos pelos clientes

h) Tempo mdio gasto no sistema por cliente(TS):


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Si d l fil


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1) A gerente de uma mercearia na afastadacomunidade de Sunnyville est interessada emoferecer bom atendimento a todos os idosos. Em

mdia 30 idosos por hora chegam ao caixa, deacordo com uma distribuio de Poisson, e soatendidos a uma taxa mdia de 35 clientes por

hora, com tempos exponenciais. Encontre asseguintes caractersticas operacionais:

Si d l fil


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a. Probabilidade de zero cliente no sistema;

(R: 0,1429 ou 14,29%)

b. Utilizao mdia do funcionrio do caixa;(R: 0,8571 ou 85,71%)

c. Nmero mdio de clientes no sistema; (R: 6 clientes)

d. Nmero mdio de clientes na fila; (R: 5,14 clientes)e. Tempo mdio gasto no sistema; (R: 0,2 horas ou 12 min)

f. Tempo mdio de espera na fila. (R: 0,1714 h ou 10,29 min)

Si t d l fil


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2)Em um sistema de filas seqenciais no qual aspeas fluem para a linha de produo, temos:

1= 10; 2= 5; 1= 15; 2= 30; 3= 20

Calcule:

a) NF, TF, NS e TS para cada servidor;

b) NS e TS para o sistema como um todo.

1

2

3

1

2 3


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Si t d l fil


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3) Uma seo de apoio administrativo, ligada linha de produo de uma grande indstria, encarregada de preencher diversos tipos de

formulrios referentes a requisio de peas,materiais e manuteno de equipamentos. Para obom desempenho da linha de produo, essa

seo deve processar os formulriosrapidamente, a fim de no causar atraso nosprocessos produtivos que dependem dasrequisies e dos formulrios processados.

Si t d l fil


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Por outro lado, o sistema tem caractersticasaleatrias, j que os encarregados de produono podem prever, com muita antecipao, os

pedidos que devem ser feitos.Deseja-se estudar o funcionamento da equipe, demodo a determinar os elementos de deciso com

relao a uma possvel ampliao.

Si t d l fil


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Levantamento de dados:

- As caractersticas do sistema de filas foramestudados com o objetivo de escolher o modelo

de filas adequado.

- Qualquer funcionrio tinha condies depreencher todos os tipos de formulrios.

- Clientes: formulrios e requisies.

- Populao de clientes: infinita (no havia

restries ao n de formulrios e requisies).

Si t d l fil


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Levantamento de dados:

- Verificou-se que o sistema pode ser analisadopelo modelo de uma fila e um canal com

populao infinita.

- Levantamento estatstico do n de pedidos deformulrios por dia de servio e dos temposgastos no preenchimento.

- Os experimentos foram realizados em 120 diasteis.


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Sistema de m canal e ma fila


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Medidas de desempenho do sistema:

- Nmero mdio de pedidos/dia: = 15 pedidos

- Nmero mdio de atendimentos/dia: = 21 atendimentos

- Taxa de utilizao da seo: = 0,714

- Nmero mdio de pedidos na seo: NS = 2,5

- Nmero mdio de pedidos aguardando processamento: NF = 1,78

- Tempo mdio de espera por formulrio, antes do preenchimento:TF = 0,12 dia ou 57,6 minutos

- Tempo mdio gasto na seo por formulrio, incluindo espera epreenchimento: TS = 0,17 dia ou 81,6 minutos.

P


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Programao








Taxa de servio para Mnimo Custo


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Total do Sistema

No sistema de fila analisado tem-se dois tipos

de custos:

1) Custo do cliente: custo decorrido da espera

que o cliente gasta dentro do sistema;

2) Custo do atendimento: todos os custosproduzidos pelo processo de atendimento

(salrios, aluguis, equipamentos, etc.).



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Total do Sistema

Objetivo: determinar a taxa de servio que

resulta no menor custo total do sistema.



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Total do SistemaNomenclatura:

CT: custo total do sistema

CE: custo de permanncia do cliente no sistema mdio

por perodo

CA: custo de atendimento mdio por perodo

CEunit: custo de permanncia unitrio (por cliente) por

perodo

CAunit: custo de atendimento unitrio, por cliente



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Total do Sistema



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Total do SistemaExemplo: Uma oficina de reparos de eletrodomsticosrecebe por dia uma mdia de 2 pedidos, segundo umadistribuio de Poisson. O eletricista consegue reparar umamdia de 2,5 aparelhos por dia, tambm segundo uma

distribuio de Poisson. A oficina estima que cada dia deespera de um aparelho custa R$ 80 em termos de seguros edeteriorao da imagem da firma. Por outro lado, cadaconserto custa uma mdia de R$ 80 de mo de obra. Pede-

se:

1. O custo total de operao da firma, por dia;

2. A eficincia do eletricista que resultaria no menor custo

total.

P


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Programao








Sistema de uma fila e diversos


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canais

Representao:



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canais


- CHEGADAS: ocorrem segundo uma DISTRIBUIO DEPOISSON com mdia chegadas/tempo

- TEMPOS DE ATENDIMENTO: seguem a distribuioexponencial negativa com mdia 1/

- NMERO DE ATENDIMENTOS: segue a distribuio dePoisson com mdia

- O atendimento fila feito por ordem de chegada

- Nmero de canais de servio: S

Cont...



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canais


- O nmero de clientes potenciais suficientemente grandepara que a populao possa ser considerada infinita.

- Ritmo de servio: . S

- Condio de estabilidade do sistema: < . S



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canais

Equaes do modelo:


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canais

Equaes do modelo:



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canais

Clculo Grfico da POCUP. TOTAL:



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canais

Exemplos...



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canais

1)Em um banco, cuja mdia de chegada de clientes de36 por hora, existem 3 caixas que trabalham noatendimento dos mesmos. Cada caixa tem capacidade

de atender somente 15 clientes por hora. Pede-se:a) O nmero mdio de clientes na fila

b) O tempo mdio que o cliente fica na fila

c) O nmero mdio de clientes no sistema

d) O tempo mdio que o cliente fica no sistema

e) Qual a probabilidade de haver 5 clientes no sistema?

f) Qual a probabilidade de haver 2 clientes no sistema?



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canais

Respostas:

a) NF = 2,58 clientes

b) TF = 0,0717 h

c) NS = 4,98 clientes

d) TS = 0,138 h

e) P5 = 0,0826 ou 8,26%

f) P2 = 0,1613 ou 16,13%



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canais

2) Um sistema de uma fila e um canal est com sobrecargade trabalho. Aps anlise estatstica, o analista de PesquisaOperacional descobriu que a mdia de chegada de clientesao sistema de 30 por hora. O atendente tem capacidade de

atender somente 20 clientes por hora. Desta forma, ele estplanejando criar mais uma seo de atendimento igual aprimeira e passar a operar com dois canais e uma filasomente. Para essa nova situao, calcule:

a) O tempo mdio que o cliente fica na fila; (R.: TF = 0,0643)

b) O nmero mdio de clientes na fila. (NF = 1,929 clientes)

Programao


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Programao








Sistema de um Canal com


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Populao Finita

Representao:


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Populao Finita

Exemplos

- Um almoxarifado atendendo a sees de uma fbrica (nde operrios que necessitam de ferramentas e peas

finito);- Uma equipe de manuteno encarregada de manter emoperao um certo n de mquinas;

- Um sistema de caminho-escavadeira com n finito decaminhes para carregamento.



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Populao Finita

Equaes do modelo:



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Populao Finita

Equaes do modelo:


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Populao Finita

1) Uma seo de fbrica dispe de 6 mquinas queapresentam defeito a uma taxa mdia de 3 por semana,segundo a distribuio de Poisson. A equipe demanuteno consegue reparar, em mdia, 6 mquinaspor semana. Pede-se:

a) Calcule a probabilidade de haver n mquinas fora de operao(1 mquina em reparo e n1 esperando), para n= 0, 1, 2, 3, 4, 5,

6.b) Calcule o tempo mdio gasto por mquina na equipe demanuteno, o tempo mdio gasto na espera, o n mdio demquinas na fila e o n mdio de mquinas paradas por semana.



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Populao Finita

1) Uma seo de fbrica dispe de 6 mquinas queapresentam defeito a uma taxa mdia de 3 por semana,segundo a distribuio de Poisson. A equipe demanuteno consegue reparar, em mdia, 6 mquinaspor semana. Pede-se:

a) Calcule a probabilidade de haver n mquinas fora de operao(1 mquina em reparo e n1 esperando), para n= 0, 1, 2, 3, 4, 5,

6.b) Calcule o tempo mdio gasto por mquina na equipe demanuteno, o tempo mdio gasto na espera, o n mdio demquinas na fila e o n mdio de mquinas paradas por semana.


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T i d Fil


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Teoria das Filas

Fim...

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