Aula de Teoria das Placas

ANÁLISE DE ESTRUTURAS I

PROF. EVANDRO PARENTE JUNIOR (UFC)

PROF. ANTÔNIO MACÁRIO CARTAXO DE MELO (UFC)

Flexão de Placas

Universidade Federal do CearáCentro de TecnologiaDepartamento de Engenharia Estrutural e Construção Civil

Teoria Clássica das Placas

Hipóteses básicas:O material é homogêneo, isotrópico e elástico linear;

Os deslocamentos são pequenos, comparados com a espessura h;

A placa é fina

As tensões normais que atuam perpendicularmente à superfície média podem ser desprezadas.(*)

Um segmento de reta normal à superfície média indeformada se conserva normal à superfície média após a deformação, permanecendo reto e com o mesmo comprimento.(*)

(*): Conhecidas como hipóteses de Kirchhoff ou, às vezes, de Kirchhoff-Love, por Love tê-las estendidas às cascas:

Correspondem às hipóteses de Navier-Bernoulli para vigas.

Cargas externas

Placa sujeita a um carregamento q(x,y)


Campo de deslocamentos:

xwzzyxu∂∂

−=),,(

ywzzyxv∂∂

−=),,(

),(),,( yxwzyxw =


Relações deformação-deslocamento:

Ou

xx zκε −=

yy zκε −=

xyxy zκγ 2−=

2

2

xwzx ∂

∂−=ε

yxwzxy ∂∂

∂−=

2

2γ

2

2

ywzy ∂

∂−=ε

Equações Constitutivas

O material é homogêneo, isotrópico e elástico linear.

O estado de tensões em cada lâmina da placa é plano.

Deformações não nulas:

Equações Constitutivas

Invertendo e usando as relações deformação-deslocamento:

( )zEyxx υκκ

υσ +

−−= 21

zExyxy κ

υτ

+−=

1

( ) (*)1 2 zE

xyy υκκυ

σ +−

−=

Tensões atuantes

Elemento da placa de dimensões dx, dy e h

Esforços internos

Resultantes das tensões (esforços por metro)Integração ao longo da espessura (h):

∫−

=

2

2

h

h

yx

xy

y

x

yx

xy

y

x

dzz

MMMM

ττσσ

∫−

=

2

2

h

h yz

xz

y

x dzzQQ

ττ

Substituindo nas expressões dos esforços resultantes e integrando em z:

(**)

Relações momento-curvatura

Rigidez à flexão das placas

( )

( )

( ) xyxyxy

xyy

yxx

DMM

DM

DM

κυ

υκκ

υκκ

−−==

+−=

+−=

1


Tensões ao longo da espessuraUtilizando as equações (*) e (**) obtém-se:

zhM x

x 3

12=σ

zhM xy

xy 3

12=τ

zhM y

y 3

12=σ

Momentos

Curvaturas:


2

2

xw

x ∂∂

=κ 2

2

yw

y ∂∂

=κyx

wxy ∂∂

∂=

2

κ

( )( )

( ) xyxyxy

xyy

yxx

DMMDMDM

κυ

υκκ

υκκ

−−==

+−=

+−=

1

Esforços na superfície média

Momentos fletores (Mx e My), torsores (Mxy) e Forças cortantes (Qx e Qy)


Equações de equilíbrio:


Eliminando Qx e Qy das equações de equilíbrio:

Escrevendo os momentos em função das curvaturas:

Dq

yyxxyxyx =

∂

∂+

∂∂

∂+

∂∂

2

22

2

2

2κκκ


Escrevendo as curvaturas em função dos deslocamentos obtém-se a Equação de Lagrange (1811):

É o operador biarmônico

Dqw =∇4ou

onde

Dq

yw

yxw

xw

=∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

4

4

22

4

4

4

2


Solução analítica (Eq. Dif. Parcial de 4ª ordem)Caso geral (geometria, carregamento e condições de contorno):

Solução difícil.

Em muitos casos impossível achar uma solução exata.

Geometrias e condições de contorno simples:Placas circulares (soluções fechadas).

Placas retangulares (soluções por séries):

Solução de Navier.

Solução de Levy.


Soluções aproximadasMétodos semi-analíticos:

Rayleigh-Ritz.

Galerkin.

Métodos numéricos:Método das Diferenças Finitas.

Método dos Elementos Finitos.

Método dos Elementos de Contorno.

Métodos sem malha (meshless).

Condições de contorno

Bordo simplesmente apoiado:w = 0Mp = 0 (Mp é o momento na direção ⊥ ao bordo)

Bordo engastado:w = 0θb = 0 (θb é a rotação em torno do bordo)

Bordo livre:Mp = 0Vp = 0 (Vp é o cortante efetivo na direção ⊥ ao bordo)

Esforço Cortante Efetivo

Momento de torção (Mxy) em um elemento da borda x = a de comprimento dy:


Substituição por duas forças verticais de módulo Mxy

separadas de dy:


O momento de torção não se altera. Há apenas uma mudança localizada na distribuição de tensões numa região muito próxima da borda da placa (Princípio de Saint-Venant).

Nos elementos dy da borda x = a, a distribuição de Mxy é estaticamente equivalente a um esforço cortante distribuído e a forças concentradas nos cantos.



Esforço cortante efetivo na borda x = a é definido como:

Exemplo 1

Placa retangular simplesmente apoiada e sujeita a uma carga senoidal:

Com q0 = intensidade do carregamento no centro da placa

Exemplo 1

Exemplo 1

Substituindo a Eq. (1) na equação de Lagrange:

Condições de contorno (flechas e momentos nulos nos bordos):

Em x = 0 e x = a: Em y = 0 e y = b:

Exemplo 1

Solução candidata:

Família de soluções que satisfazem as condições de contorno (Eq. 3) e (Eq. 4).

Constante C: Selecionada tal que a equação diferencial (Eq. 2) seja satisfeita.

Exemplo 1

MetodologiaAvaliar as derivadas de w (Eq. 5) necessárias e substituir na Eq. (2).

Obter C igualando os dois lados da equação para qualquer x e y.

Solução final:

Exemplo 1

Momentos

Exemplo 1

Cortantes

Exemplo 1

Reações de apoio (cortante efetivo)Para x = a

Para y = b

Onde:

Exemplo 1

Forças concentradas nos cantos:Em x = a e y = b:

Obs: R < 0 – Sentido para baixo.

Exemplo 1

Demais cantos: da simetria, têm a mesma força com o mesmo sentido.

Exemplo 1

ObservaçõesO equilíbrio entre a carga aplicada q e as reações;O aparecimento de R decorre da hipótese simplificadora de Kirchhoff(cortante efetivo);Teoria mais refinada, incluindo a deformação de cisalhamento transversal:

As reações concentradas desaparecem;Próximo aos cantos as reações continuam distribuídas, apontando para baixo, com efeito equivalente ao de R.

Reações para baixo nos cantosPlacas apoiadas nas bordas, mas não presas nelas, tendem a levantar nos cantos, R impede este levantamentoSe os cantos não forem devidamente presos, os momentos fletores na região central aumentarão.

Exemplo 2

Placa retangular simplesmente apoiada e sujeita a carga:

m e n: inteiros positivos (número de meias-ondas).

De forma análoga ao Exemplo 1:

Esforços e reações obtidas da mesma forma.

Solução de Navier

Equação diferencial linear – superposição de soluções do tipo (*)

Representando o carregamento como uma série de Fourier:

Dq

yw

yxw

xw

=∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

4

4

22

4

4

4

2

Solução de Navier

A solução para o carregamento transversal será

onde os coeficientes qmn são dados por:

Exemplo 3

Placa retangular simplesmente apoiada submetida a carga uniformemente distribuída q0 .

Exemplo 3

Expansão do carregamento em série de Fourier

onde

m,n = 1, 3, 5, 7...

Exemplo 3

Deslocamentos transversais:

Momentos

Exemplo 3

Exemplo 3

Placa quadrada (a = b):w, Mx, My máximos – centro (x = y = a/2)

Exemplo 3

Resultados para v = 0.3

Termos wmax/(q0a4/D) Mmax/(q0a2)1 (m = n = 1) 0,00416 (2,5%) 0,0534 (11,5%)4 (m,n = 1,3) 0,00406 (0,0%) 0,0469 (-2,1%)Valor exato 0,00406 0,0479

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