Capítulo 2 Teoria Clássica das Placas Finas

Teoria Clássica das Placas Finas 2.1

Capítulo 2

Teoria Clássica das Placas Finas

2.1 Introdução

As placas são elementos estruturais limitados por duas superfícies planas

distanciadas entre si de uma grandeza designada por espessura. No caso da dimensão da

espessura ser muito menor que as dimensões das superfícies planas limitantes, as placas são

designadas por placas finas. O plano equidistante das superfícies planas externas é

designado por plano médio da placa.

No caso das placas finas é possível estabelecer a chamada Teoria Clássica das

Placas Finas 1,2, 3, 4, desenvolvida por Lagrange em 1811, para a qual são consideradas

válidas as chamadas hipóteses de Kirchhoff. Considere-se o sistema de eixos coordenadas

Ox1 x2 x3 representado na figura 2.1, o qual é definido de tal modo que o plano Ox1 x2 seja

1 Timoshenko S. and Woinowsky-Krieger, Theory of Plates and Shells ,McGraw-Hill.

2 Mansfield, E, The Bending and Stretching of Plates, Pergamon Press.

3 Courbon, Plaques Minces Elastiques, Eyrolles - Paris.

4 Ugural, A.C., Stresses in Plates and Shells , McGraw-Hill Book Comp., 1981.


coincidente com o plano médio da placa antes da deformação e o eixo Ox3 seja normal ao

plano médio da placa.

O

p

e

x1

x2

x3

x1

x3

As hipóteses de Kirchhoff que são consideradas válidas para placas finas, com

isotropia total e submetidas a acções normais ao plano médio, são:

(i) A superfície média da placa é plana e indeformável, ou seja, as deformações no plano

Ox1 x2 são nulas:

ε11 = ε22 = ε12 = 0 para x3 = 0 2.1

(ii) Os pontos pertencentes à normal ao plano médio da placa antes da deformação

permanecem na normal à superfície média flectida.

(iii) A tensão na direcção normal ao plano médio, σ33 é irrelevante quando comparada com

as tensões σ11 e σ22 pelo que se considera:

σ33 ≅ 0 2.2

Figura 2.1: Sistema de Eixos de Referência.


O tensor das tensões toma neste caso a forma seguinte:

=

02313

232212

131211

ij

σσσσσσσσ

σ 2.3

como se mostra na figura 2.2 num ponto a uma distância x3 do plano médio, para um

elemento de dimensões infinitamente pequenas, dx1 dx2 e de altura igual à espessura, sendo

σ11 = σ22= σ12 = 0 para pontos sobre a superfície média da placa, de acordo com a hipótese

(i) de Kirchhoff.

eσ11

σ13

σ21 σ12

σ23

σ22

ox1

x2

x3 xd 1

x3

xd 2

Figura2.2:Estado de Tensão num Ponto

Tendo em conta a hipótese (ii) os deslocamentos, u1 e u2, de um ponto P da placa, situado a

uma distância x 3do plano médio, podem ser calculados a partir do deslocamento

transversal ω (x1,x2) do ponto contido na normal que passa pelo ponto e situado na

superfície média. Entendendo-se por deslocamento transversal o deslocamento sofrido por

um ponto do plano médio na direcção normal ao plano médio. Na figura 2.3 representa-se, a


deformada de um segmento linear sobre a normal à superfície média e o campo de

deslocamentos, no plano Ox1 x3, para o ponto P cuja posição é sobre a normal ao plano

médio antes de deformado. A consideração da hipótese (ii) implica que as componentes do

vector de deslocamentos,PP´ que se podem designar por{u1, u2, u3} T, sejam:

( ) ωωω

φω

φ ==∂∂

−=−=∂∂

−=−= 2132

32321

3131 x,xu;x

xxu;x

xxu 2.4

Os deslocamentos u1 e u2 dependem só da distância do ponto P ao plano médio, x3

e do deslocamento transversal, ω(x1,x2), da superfície média como resulta das

considerações feitas.

φ 1

φ1

φ2

φ2

x1

x 3

x2

x;

x 22

11 ∂

∂=

∂∂

=ω

φω

φ

x3

ω

ω

P

P´

P´

Figura 2.3: Deslocamentos no Ponto P e no Plano Ox1x3.

As deformações no plano Ox1 x2 a uma distância x3 do plano médio da placa

atendendo às expressões (2.4) e (1.8) são:


xxx

xx

xx

21

2

31222

2

32221

2

311 ∂∂ω∂−=ε

∂ω∂−=ε

∂ω∂−=ε ;; 2.5

Na superfície média a coordenada x3 = 0 e portanto é:

ε11 = ε22 = ε21 = 0

o que implica que a superfície média seja uma superfície neutra, uma vez que não sofre

qualquer deformação.

As deformações nos planos paralelos ao plano Ox1 x2 variam linearmente ao longo

da espessura da placa o que está de acordo com as hipóteses de Kirchhoff atrás referidas.

Note-se que de acordo com o campo de deslocamentos definido, as deformações ε23 e ε13

são nulas, esta situação não é totalmente consistente com a realidade, no entanto estas

deformações poderão ser calculadas a partir dos esforços unitários, como se verá

posteriormente. O campo de deslocamentos resultante da consideração das Hipóteses de

Kirchhoff apresenta esta incongruência nas deformações de corte.

A Lei de Hooke generalizada para materiais isotrópicos com comportamento

linear elástico, estabelece uma relação entre as tensões e deformações no plano Ox1 x2 com

a forma seguinte:

−−

−−

+=

εεε

ννν

νν

ν

νσσσ

12

22

11

12

22

11

10001

11

0111

1E

2.6

sendo E o modulo de Young e ν o coeficiente de Poisson.

Tendo em conta as equações (2.5) e (2.6) é possível relacionar as tensões com os

deslocamentos transversais do seguinte modo:


∂∂∂

+−==

∂∂+

∂∂

−−=

∂∂+

∂∂

−−=

xx

x1E

xxx1

Exx

x1E

21

2

32112

21

2

22

2

3222

22

2

21

2

3211

ων

σσ

ων

ω

νσ

ων

ω

νσ

2.7

As tensões σ11, σ22 e σ12 variam linearmente ao longo do eixo dos x3 x3 como se

representa na figura 2.4, sendo nulas para x3= 0, como seria de esperar tendo em conta a

hipótese de Kirchhoff (i).

2.2 Esforços Generalizados e Curvaturas

Na análise de placas à flexão, é conveniente considerar os esforços unitários que

são: os momentos flectores unitários, M11 e M22, o momento torsor unitário, M12 e os

esforços transversos unitários, T1 e T2.

O momento flector unitário M11 é o momento resultante por unidade de

comprimento da direcção Ox1, das tensões normais σ11 ao longo da espessura da placa, ou

seja :

3311

2/e

2/e11 dxxM σ∫=

− 2.8

De modo semelhante se definem momentos unitários, M22e M12 ou seja:

3322

2/e

2/e22 dxxM σ∫=

− e 3312

2/e

2/e12 dxxM σ∫=

− 2.9-2.10

Os esforços transversos unitários calculam-se a partir das tensões σ13 e σ23 do

seguinte modo:

323

2/e

2/e2313

2/e

2/e1 dxTedxT σσ ∫=∫=

−− 2.11


O

x1

x2

x3

σ12σ22σ11

Figura 2.4: Distribuição de tensões ao longo da espessura da placa.

Integrando as expressões (2.8) a (2.10) para os momentos unitários, tendo em conta as

equações (2.7) que definem as tensões em termos do deslocamento transversal ω, obtém-se:

∂∂∂−−=

∂∂+

∂∂−=

∂∂+

∂∂−=

xx

)1(DM

xxDM

xxDM

21

2

12

21

2

22

2

22

22

2

21

2

11

ων

ων

ω

ων

ω

2.12

sendo D = E e3/12 (1 - ν2), o modulo de rigidez à flexão da placa. Note-se que a simetria

do tensor das tensões σ12 = σ21 implica que seja: M21 = M12.

As segundas derivadas do deslocamento transversal, ω,

xx e x,x 2122

222

12 ∂∂∂∂∂∂∂ ωωω , é possível demonstrar que são as curvaturas da


superfície média flectida 1, no caso de se admitir que a inclinação da superfície média

flectida em qualquer direcção é pequena de tal modo que o seu quadrado é pequeno quando

comparado com a unidade. As curvaturas podem ser designadas por χ11, χ22 e χ12

respectivamente. Portanto as equações (2.12) podem ser escritas com a forma seguinte:

−−=

χχχ

νν

ν

12

22

11

12

22

11

1000101

DMMM

2.13

em função das curvaturas da superfície média flectida.

Os esforços unitários, M11, M22, M12, resultantes das tensões estão representados

na figura 2.5.

Os esforços no plano médio são M11, M22, M12, T1 e T2, como se indicou. As

tensões σ11, σ22 e σ12 podem ser calculadas a partir dos momentos tendo em conta as

equações (2.7) e (2.12) e são determinadas a partir das seguintes expressões:

eee 333xM12;xM12;xM12 312

12322

22311

11 −=−=−= σσσ

Na face superior da placa corresponde a um valor de x3 = e / 2, as tensões σ11e σ22

são tensões de compressão no caso dos momentos flectores serem positivos e têm como

valores ee 22M6 e M6 22

2211

11 −=−= σσ , estes são um dos valores extremos das tensões

normais ao longo da espessura da placa .

1 x

x1

x21

2

1

2 2/3

21

2

11 ∂∂−≈

∂∂+

∂∂−

=ω

ω

ω

χ


θ2222 ,MM =θ1111 ,MM =

θ1212 ,M

Figura 2.5: Representação de Momentos.

2.3 Equações de equilíbrio. Equação de Lagrange.

As equações de equilíbrio podem ser estabelecidas em termos dos esforços

unitários que resultam das tensões actuantes num elemento paralelepipédico da placa de

dimensões dx1, segundo Ox1, dx2 segundo Ox2 e sendo segundo Ox3 considerada uma

dimensão igual à espessura da placa. O estado de tensão no referido elemento tem as

componentes que foram representadas anteriormente na figura 2.2 às quais correspondem

esforços unitários definidos de acordo com as expressões (2.8-2.11). Considere-se um

elemento ABCD de dimensões dx1, dx2 no plano médio do elemento paralelepipédico, os

esforços unitários actuantes neste elemento e relevantes para efeitos de equilíbrio estático

de esforços estão representados na figura 2.6.


A

B D

C

O)x,x(p 21

x1

x2 x3

M11

M22

M 12

M21

M111

T1

T2

M122

M121 T1

2

M112

T11

Figura 2.6: Esforços Unitários num Elemento do Plano Médio dx1, dx2.

Na figura 2.6 os esforços, M111, T1

1, M121, M1

12, M122 e T1

2, são definidos do

seguinte modo:

∂∂

+=

∂∂

+=

∂

∂+=

∂

∂+=

∂

∂+=

∂

∂+=

xdxTTT xd

xTTT

xdx

MMM xdx

MMM

xdx

MMM xdx

MMM

22

22

121

1

11

11

22

2121

1211

1

1212

112

22

2222

1221

1

1111

111

Para se obterem as forças que actuam sobre o elemento de dimensões

infinitésimais têm de multiplicar-se os esforços unitários pelo comprimento do lado

elemento de área em que actuam. As equações de equilíbrio estático a considerar são três:

equilíbrio de momentos em relação aos eixos Ox1 e Ox2 e equilíbrio de forças segundo o

eixo Ox3.


A equação de equilíbrio de momentos em relação ao eixo Ox2 é:

0xdxdTxdxdx

MMxdMxdxdx

MMxdM 211122

212112121

1

1111211 =+

∂

∂+−+

∂

∂+−

simplificando esta equação, obtém-se:

Tx

Mx

M1

2

21

1

11 =∂

∂+

∂∂

2.14

De modo análogo se obtém a equação de equilíbrio de momentos em relação ao

eixo Ox1 que é:

Tx

Mx

M2

1

12

2

22 =∂

∂+

∂∂

2.15

Finalmente considerando o equilíbrio de forças na direcção do eixo Ox3 e

admitindo que são irrelevantes os infinitésimos de ordem superior à primeira, obtém-se:

)x,x(pxT

xT

212

2

1

1 −=∂∂

+∂∂

2.16

onde p(x1, x2) representa a resultante das acções externas, por unidade de superfície,

normais ao plano médio no elemento dx1× dx2.

Substituindo as equações (2.14) e (2.15) na equação (2.16) obtém-se:

)x,x(px

Mx

Mxx

Mx

Mx

211

12

2

22

22

12

1

11

1

−=

∂

∂+

∂∂

∂∂

+

∂

∂+

∂∂

∂∂

2.17

que é a equação de equilíbrio num ponto de uma placa rectangular submetida à acção de

forças normais ao plano médio. Note-se que os esforços unitários M11, M22, M12 são


independentes entre si e que os esforços Transversos unitários T1 e T2 dependem dos

momentos flectores e torsor unitários.

Os esforços unitários M11, M22 e M12 podem ser calculados a partir dos

deslocamentos transversais ω , recorrendo às expressões (2.12) e nesse caso a equação de

equilíbrio (2.17) toma a forma seguinte:

D)x,x(p

xxx2

x21

42

4

22

21

4

41

4

−=∂∂+

∂∂∂+

∂∂ ωωω

2.18

Esta equação (2.18) é conhecida por Equação de Lagrange e pode escrever-se

duma maneira mais concisa do seguinte modo:

D)x,x(p 21−=∇∇ω

2.19

onde o símbolo ∇designa o Laplaciano, xx 2

221 ∂

∂+

∂∂

.

Substituindo nas equações de equilíbrio de momentos (2.14) e (2.15) as expressões

(2.12) para os momentos unitários, obtém-se para os esforços transversos unitários as

expressões seguintes:

( )ωωω

∇∂∂

−=

∂∂+

∂∂

∂∂

−=x

Dxxx

DT1

22

2

21

2

11

e (2.20)

( )ωωω

∇∂

∂−=

∂∂+

∂∂

∂∂

−=x

Dxxx

DT2

22

2

21

2

22

Sendo conhecida a solução da Equação de Lagrange é possível calcular os

esforços unitários a partir das expressões (2.12) e (2.20). A solução da referida equação para

o domínio da placa vai depender das condições de contorno.

2.4 Condições de Contorno


2.4.1 Reacções de Apoio

O deslocamento transversal ω deve satisfazer a equação de Lagrange e as

condições ao limite sobre o contorno da placa. Antes de se considerarem as condições de

contorno propriamente ditas devem calcular-se as reacções que têm de ser consideradas na

presença e na ausência de ligações ao exterior. Considere-se um elemento infinitésimal de

dimensão dx1 no contorno da placa como se representa na figura 2.7 de tal modo que a

direcção normal ao contorno, no elemento infinitésimal considerado, tenha a direcção do

eixo dos x2 x2; os esforços actuantes no elemento são os seguintes: M22dx1 resultante das

tensões σ22; M12dx1 resultante das tensões σ12 e T2 dx1 resultante das tensões σ13.

Estes esforços vão tender a ser equilibrados por esforços de reacção que são em geral

momentos flectores e forças na direcção normal ao plano médio da placa. No caso do apoio

não poder desenvolver momentos flectores que equilibrem o momento flector Mn, o

momento normal à faceta, tem de ser considerado igual a zero ou igual ao momento

aplicado caso exista.

O binário representado na figura 2.7b, ± M'12, é capaz de equilibrar o momento

torsor M21dx1 considerado na figura 2.7a, o qual actua num elemento do contorno de

comprimento dx1, desde que seja:

MM 12121 =

Supondo que a placa está apoiada ao longo do contorno num apoio tal que não

possa produzir uma reacção de apoio que seja um momento torsor, este pode ser substituído

por uma distribuição de forças ao longo do contorno do tipo representado na figura 2.7b,

M121 M1

21, etc..


O

(a)

(b)

x1

x2 x3

xdM, 12121σ xdx

MM,xdx

11

21211

1

2121 ∂

∂+

∂∂

+ σσ

xd 1 xd 1

dxT 12 dxT 12

dxT 12− dxT 12−

xdx

MM 1

1

1211

21 ∂∂

−−M1

21−

xdx

MM 11

1211

21 ∂∂

+M1

21

Figura 2.7: Distribuição das Tensões nos Bordos.

Considerando um elemento contínuo ao anteriormente referido, nele actua um

momento torsor:

xdxdx

MM 111

2121

∂

∂+

o qual pode ser equilibrado por um binário de forças do tipo representado na figura 2.7. As

forças M121 e dx

xMM 1

1

1211

21 ∂∂

−− que actuam segundo o lado comum aos 2 elementos

infinitésimais adjacentes, eliminam-se em parte, dando origem a uma força dirigida para

cima de grandezas dxx

M1

1

121

∂∂ , no caso do incremento dx

xM

11

121

∂∂ ser positivo.

A consideração dos momentos equilibrados atrás referidos só provoca alterações

ao comportamento estático da placa na vizinhança do contorno.

Portanto as reacções verticais por unidade de comprimento do contorno não

são iguais ao esforço cortante T1 ou T2, mas são iguais à soma destes esforços com a

variação dos momentos torsores, ou seja:


xMTR e

xMTR

1

2122

2

2111 ∂

∂+=

∂∂

+= 2.21

Estas reacções podem exprimir-se, em função das derivadas de ω atendendo às

expressões (2.5) e (2.20), do seguinte modo:

∂∂

∂−+∂∂−=

xx)2(

xDR 2

21

3

31

3

1ω

νω

∂∂

∂−+∂∂−=

xx)2(

xDR

221

3

32

3

2ω

νω

2.22

Nas placas rectangulares o contorno não é contínuo e apresenta arestas; na

vizinhança destas arestas há uma variação brusca do momento torsor, como se representa

na figura 2.8.

A-ε

V

A+εA

M1´´

M 2´´

Figura 2.8 Momento torsor nas Arestas


Quando o momento torsor varia bruscamente de direcção num ponto A, como se

representa na referida figura, desde um valor M"1 até um valor M"2, no elemento

infinitésimal compreendido entre A - ε e A + ε, a força de substituição tem valor seguinte:

[ ] [ ] MMMMdxx

Mdxx

MV 1221AA21

AA2

A

A 2

121

A

A 1

12 ´´´´ −=+=∫∂

∂+∫

∂∂

= ε−ε+

ε−

ε+

2.23

Portanto num canto da placa existirá uma força de substituição dada por (2.23), se o ângulo

for recto M´´2 é igual a M´´1 e de sentido contrário, portanto a reacção concentrada a ser

considerada no canto é:

∂∂

∂−=−=xx

D)1(2M2R21

2

12vω

ν 2.24

Esta força de reacção é negativa, dirigida para baixo devendo ser transmitida pelo

apoio para evitar que a placa levante no canto, é o resultado da existência da força de

levantamento V.

2.4.2 Condições de Fronteira Propriamente Ditas

2.4.2.1 Bordo simplesmente apoiado

Para as condições de bordo simplesmente apoiado, o movimento segundo o eixo

dos x3 x3, está impedido, podendo no entanto rodar livremente. A notação gráfica mais

usual para este tipo de apoio em placas é a que se representa nas figuras 2.9.

As condições de contorno simplesmente apoiado são:

ω= 0 e Mn= Maplicado


sendo ω o deslocamento transversal e Mn o momento que provoca uma rotação normal no

bordo simplesmente apoiado.

Em termos analíticos estas condições de contorno para a placa rectangular da

figura 2.9 e para os lados paralelos ao eixo dos x1 x1, AB e CD ,são as seguintes na ausência

de momentos exteriores aplicados:

u3 = ω = 0 e M2 = 0 2.25

e para os lados paralelos ao eixo dos x2 x2, AC e BD, na ausência de momentos exteriores

aplicados são:

u3 = ω = 0 e M1 = 0 2.26

O

A B

O=C D

MtMn

x1

x2

x2

x2

Figura 2.9: Bordo Simplesmente Apoiado

Considerar M2 = 0 ao longo de AB e CD, se se tiver em conta que ω = 0 ao longo

de AB e CD, é equivalente a considerar que:


0x2

2

2

=∂∂ ω

2.27

Ao longo do lado AC e BD, considerar que M1 é igual a zero , implica que seja:

0x2

1

2

=∂∂ ω

2.28

As condições (2.25) e (2.26) resumem-se portanto à condição u3 = ω = 0 e às

condições (2.27) e (2.28), no caso das placas de bordos ortogonais paralelos aos eixos

coordenados.

2.4.2.2. Bordo perfeitamente encastrado

No bordo perfeitamente encastrado os deslocamentos e as inclinações têm valor

nulo e um dos modos de representação do bordo é o que se indica na figura 2.10. A placa

representada nesta figura é considerada rectangular com os lados paralelos aos eixos

coordenados.

As condições de fronteira ao longo dos lados AB e CD, paralelos ao eixo dos

1x ,são representadas através das seguintes igualdades:

ω = 0 e 0x2

=∂

ω∂ 2.29

e ao longo dos lados AC e BD traduzem-se do seguinte modo:

ω = 0 e 0x1

=∂

ω∂ 2.30

Tendo em conta que a equação de Lagrange é em termos de ω, as equações

anteriores que representam as condições de contorno são um complemento da referida

equação.


2.4.2.3. Bordo Livre.

Se a placa tiver um ou mais lados livres, em todos os pontos do bordo livre devem

de ser nulos os momentos flectores M11 ou M22 e as reacções R1 e R2. Estes esforços serão

não nulos caso exista algum esforço ou momentos aplicados no bordo, nesse caso serão

iguais a uma função de x1 ou x2 conhecida. No caso de bordo livre sem cargas aplicadas e

paralelo a um dos eixos coordenados, as condições de contorno exprimem-se

analiticamente do seguinte modo:

R1 = 0 e M11 = o para x1 = 0

R2 = 0 e M22 = 0 para x2 = 0 2.31

As condições anteriores em termos dos deslocamentos ω, são para x1 = 0:

0xx

)2(x

e 0xx

D221

3

21

3

22

2

21

2

=

∂∂

∂−+∂∂=

∂∂+

∂∂−

ων

ωων

ω 2.32

Bordos Encastrados

Figura 2.10 : Placa com Bordos Encastrados


A deformada ω deve satisfazer simultaneamente a equação de equilíbrio ou seja a

equação de Lagrange (2.18) e as condições de fronteira (2.31) e (2.32).

2.5. Flexão Pura de Placas Rectangulares

2.5.1 Determinação da Equação da Deformada

A placa rectangular representada na figura 2.11 tem espessura constante, e, e está

submetida à acção de momentos uniformemente distribuídos ao longo dos bordos paralelos

aos eixos dos x2 x2 e dos x1x1. Os momentos por unidade de comprimento são

respectivamente M1 e M2.

A placa sob a acção dos momentos M1 e M2, como se representa na figura 2.11,

fica submetida à flexão nos planos x1 x3 e x2 x3. O plano médio Ox1 x2, assim como

qualquer plano paralelo a este, transforma-se numa superfície de dupla curvatura, após a

ocorrência de deformação.

AB

D

x1

x2

CM2

M1

M1

M2

Figura 2.11: Placa Rectangular em Flexão Pura.

Para esta solicitação os esforços transversos unitários são nulos em qualquer

ponto da placa. Podem considerar-se também momentos torsores M12 aplicados ao longo do

contorno da placa como se representa na figura 2.12.


AB

D x 1

x2

C

M12

M12

Figura 2.12:Placa Rectangular Submetida à Torção.

As tensões σ1 σ2 e σ12 na face superior da placa, para uma placa submetida à acção

dos momentos M1, M2 e M12, são neste caso constantes e são, em qualquer ponto da placa

pertencente à faceta superior que está à compressão, iguais a:

eee 2

1212212

222

11

M6 e M6,M6−==−=−= σσσσ 2.33

As curvaturas normais do plano médio em relação aos eixos dos x1 x1 e dos x2

x2 e o empenamento são determinadas a partir da Lei de Hooke generalizada 2.12. Essas

curvaturas são:

( ) ( ) ( )ν

ω

ν

νω

ν

νω2

12

21

2

212

22

2

221

21

2

1DM

xx e

1DMM

x ,

1DMM

x −=

∂∂∂

−−

=∂∂

−−

=∂∂ 2.34

Atendendo a que M1, M2 e M12 são constantes e escolhendo a origem das

coordenadas no ponto de coordenadas x1 = 0 e x2 = 0, no plano médio Ox1 x2, a equação

da deformada obtida por integração das equações 2.34, é:

( ) ( ) ( ) xx1DM

2x

1DMM

2x

1DMM

21212

22

212

21

221

νν

ν

ν

νω

−+

−−

+−

−= 2.35

No caso particular de ser M12 = 0 e M1 = M2 = M obtêm-se:


( )xx)1( D2M 2

221 +

+=

νω

2.36

e a superfície média flectida é neste caso, um paraboloide de revolução, que no caso de ω

ser muito pequeno, se pode considerar uma esfera de raio:

R=M

)1(D ν+ 2.37

podendo então dizer-se que a flexão é esférica. A inconsistência destes resultados resultam

só da consideração de expressões aproximadas para as curvaturas.

2.5.2 Determinação das Direcções Principais de Flexão

Para determinar o momento flector M e o momento torsor, Mt, por unidade de

comprimento numa secção normal ao plano médio, figura 2.13, orientada de tal modo que a

normal faça um ângulo θ com o sentido positivo do eixo dos x1 x1, basta considerar o

equilíbrio de momentos no elemento triangular ABC da placa. As dimensões deste

elemento são: BC = ds, AB = ds senθ e AC = ds cosθ. Obtém-se assim a equação vectorial:

θθ sen)jMiM()cosjMiM(jMiM 122112t +−++−=+ 2.38

Atendendo a que:

θθ senjcosii −=

θθ cosjensij += 2.39

a equação (2.38) é equivalente às equações seguintes:


x2

x1

M12M2

M12

M1

C

AB

M

Mt

x1

x2

O

jj'

i

i'θ

x'1x'2

Figura 2.13.: Orientação dos Sistemas de Eixos

M = M1 cos2 θ + M2 sen2 θ + 2 M12 sen θ cos θ

Mt = (M1 - M2) sen θ cos θ - M12 (cos2 θ - sen2 θ) 2.40

Existem duas direcções principais para as quais o momento torsor Mt é nulo e que

são definidas, partindo da equação (2.40) fazendo Mt = 0 e tendo em conta que:

sen θ cos θ = ½ sen2θ e cos2θ - sen2θ = cos2 θ

Nestas condições a equação (2.40) toma a forma:

MMM22gtan

21

12

−=θ

2.41

Os momentos flectores principais correspondentes são as raízes da equação

seguinte:

( ) ( ) 0MMMMMMM 2122121

2 =−++− 2.42

Os momentos principais são:


( )

−

+±+=2

MMMMM21M 1122

2212

2/1

2211 2.43

No caso do momento torsor aplicado, M12, ser igual a zero, as direcções

principais correspondem aos ângulos θ = 0 e θ = π/2, ou sejam as direcções paralelas aos

eixos dos x1 x1 e dos x2 x2 considerados são direcções principais. Os momentos flectores

principais são neste caso particular M1 e M2 sendo M12 = 0.

As direcções principais dos momentos correspondem às direcções principais do

tensor das curvaturas e portanto às direcções principais de flexão correspondem curvaturas

principais da superfície média flectida.

2.6. Trabalho Virtual das Tensões e Energia de Deformação

O trabalho virtual das tensões σij numa deformação virtual εij tem por expressão:

dV)222(dVT 23231313121222332222V

1111ijV ij εσεσεσεσεσεσεσδ +++++∫=∫=

ou no caso das placas 2.44

dVxx

M2x

Mx

Mxe12T

21

2

1222

2

2221

2

11V

233

∂∂

∂+∂∂+

∂∂

∫=ϖϖϖ

δ

sendo ϖ o deslocamento virtual e sendo o integral é estendido ao volume da placa,V.

No caso da placa estar sujeita a acções externas normais ao plano médio, as

deformações neste caso são devidas ao efeito de flexão, a placa pode ser tratada como um

estado plano de tensão. A equação (2.44) pode ser modificada, tendo em conta as equações

(2.5) e (2.7) e integrando ao longo da espessura, por forma a obter equação seguinte:


( ) dSxxxx

2xxxx

1xxxx

DT S21

2

21

2

22

2

21

2

22

2

21

2

22

2

21

2

22

2

21

2

∫

∂∂

∂∂∂

∂−∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂−−

∂∂+

∂∂

∂∂+

∂∂=

ωωωωωων

ωωωωδ

2.45

onde δω=ω , representa o deslocamento virtual.

O trabalho virtual das forças exteriores deve igualar o trabalho virtual de

deformação, δT, como resulta do chamado Teorema dos Trabalhos Virtuais. O trabalho

virtual das forças exteriores é:

xdxd)x,x(pT 212S

1 ωδ ∫= 2.46

A energia de deformação da placa é:

dV)222(21dV

21U 23231313121222332222

V1111ijV ij εσεσεσεσεσεσεσ +++++∫=∫= 2.47

Integrando ao longo da espessura, tratando a placa como um estado plano de

tensão e tendo em conta as definições (2.5) e (2.7), obtém-se:

dSxxxx

)1(2xx2

DU S21

2 2

22

2

21

2

22

2

21

2 2

∫

∂∂

∂−∂∂

∂∂−−

∂∂+

∂∂=

ωωων

ωω 2.48

A energia potencial total, ∏, é a soma da energia de deformação interna,U, com a

energia potencial devida às forças exteriores,T, ou seja:

( ) xdxdx,x)x,x(pU 21212S 1 ω∫−=∏ 2.49

Minimizando a energia potencial total, δΠ = 0, obtém-se:


2.50 Aplicando o teorema de Green ao integral de superfície contido nesta expressão e

considerando que o contorno é definido por segmentos ortogonais paralelos aos eixos

coordenados, obtém -se:

2.51

Tendo em conta as equações (2.12), a equação (2.51) toma a forma:

( ) −∫∂

∂+∫

∂∂

−∫ −∇ xdx

)(MDxd

x)(

MDxdxdpD 1C 2

222C 1

1121S2 δωδω

δωω

−∫∂

∂+∫

∂∂

− xdx

)(MDxd

x)(

MD 1C 1

122C 2

12δωδω

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 2 2 2

2 2 2 2 2 2S1 2 1 2 2 1 1 2 1 2

1 2 1 2S

( )D (1 ) 2 dSx x x x x x x x x x

p p( , ) d d 0x x x x

δω δω δω δω ω ω ω δω∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂∇ω + − − ν + − − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

− δω =

∫

∫

( ) ( )−

∂∂

∫

∂∂

∂−+∂

∂∫

∂∂+

∂∂− xd

xxx)1(Dxd

xxxD 2

2C 21

2

22C

21

2

22

2 δωων

δωων

ω

( ) ( )−

∂∂

∫

∂∂+

∂∂+∫ −∇ xd

xxxDxdxdpD 1

1C22

2

21

2

21S2 δωω

νω

δωω

( )−∫

∂∂

∂+∂∂+

∂∂

∫

∂∂

∂−− xdxxx

Dxdxxx

)1(D 2C

212

3

32

3

11C 21

2

δωω

νωδωω

ν

−∫

∂∂

∂−+∫

∂∂

∂+∂∂− xd

xx)1(Dxd

xxxD 1

C 221

3

2C

221

3

31

3

δωω

νδωω

νω

0xdxx

)1(D 1C

221

3

=∫

∂∂

∂−− δωω

ν


xdx

Mx

MD 1C 1

12

2

22 δω∫

∂

∂+

∂∂

−

2.52

0xdx

Mx

MD 2C 2

12

1

11 =∫

∂

∂+

∂∂

+ δω

Fazendo uso das equações de equilibro (2.14) e (2.15) a equação anterior toma a forma:

( ) −∫∂

∂+∫

∂∂

−∫ −∇ xdx

)(Mxd

x)(

MxdxdpD 12

2221

1121S2 δωδω

δωω

0xdTxdT

xdx

)(Mxd

x)(

M

1112

11

1222

12

=∫+∫−

−∂

∂∫+

∂∂

∫−

δωδω

δωδω

2.53

ou ainda:

( ) −∫∂

∂+∫

∂∂

−∫ −∇ xdx

)(Mxd

x)(

MxdxdpD 12

2221

1121S2 δωδω

δωω

0xd x

MT xd x

MT 22

1221

1

121 =∫

∂

∂+−

∂

∂+∫+ δωδω

donde se infere que por minimização da energia potencial se obtém a equação de Lagrange

que resulta de se igualar a zero o integrando do integral estendido à superfície e um

conjunto de condições de fronteira que resultam da anulação dos integrandos dos integrais

estendidos ao contorno da placa.

A teoria das placas referida é suficientemente precisa para fins práticos no caso

das placas serem finas. Na vizinhança de esforços transversos concentrados, junto de cantos

e de orifícios de diâmetro com uma dimensão da ordem de grandeza da espessura da placa


esta teoria mostra-se pouco precisa sendo necessário considerar uma teoria exacta 1 de

placas.

2.7. Aplicação da Teoria de Placas Finas a Placas Ortotrópicas

O sistema de eixos a ser considerado é um sistema de eixos Oxyz definido por

forma a considerar-se o plano Oxy coincidente com o plano médio e o eixo dos zz normal a

esse plano como foi referido na Teoria das Placas Finas. Note-se que: x = x1, y = x2 e z =

x3.

O campo de deslocamentos, {u = u1, v = u2, w = u3} e deformações {εxx= ε11,

εyy=ε22, εxy = ε12}, considera-se definido de modo análogo ao considerado na Teoria de

Flexão de Placas Finas isotrópicas, ou seja:

[ ] [ ])y,x(;y/z;x/zw,v,u TT ωωω ∂∂−∂∂−=

[ ] [ ]xy/z;y/z;x/z,, 22222 Txyyyxx

T∂∂∂−∂∂−∂∂−= ωωωεεε

As relações tensões - deformações ainda se regem pela Lei de Hooke, no caso de

existir ortotropia do material e no caso de os eixos materiais coincidirem com os eixos de

referência, esta Lei toma a forma:

)(1

Eyy21xx

1221

1xx ενε

ννσ +

−=

)(1

Exx21yy

1221

1yy ενε

ννσ +

−=

εσ xy12xy G=

1 Love ,J. H. , The Mathematical Theory of Elasticity , 1927


Fazendo uso das expressões das deformações em termos dos deslocamentos, a Lei

de Hooke toma a forma:

∂∂+

∂∂

−=

yx1E

2

2

212

2

1221

1xx

ων

ω

ννσ

∂∂+

∂∂

−=

xy1E

2

2

122

2

1221

2yy

ων

ω

ννσ

yxG

2

12xy ∂∂∂=

ωσ

Os esforços unitários de flexão determinam-se a partir das tensões do seguinte modo:

dzyx

z1EdzzM 2

2

212

22e

2/e

2

1221

12/e

2/exxxx

∂∂+

∂∂

∫−

−=∫=−−

ων

ω

ννσ

dzxy

z1EdzzM 2

2

122

22e

2/e

2

1221

22/e

2/eyyyy

∂∂+

∂∂

∫−

−=∫=−−

ων

ω

ννσ

dzyx

zGdzzM22e

2/e

212

2/e

2/exyxy

∂∂∂

∫−=∫=−−

ωσ

Procedendo às integrações envolvidas, obtém-se:

( )νν

ων

ω

2112

31

12

2

212

2

1xx 112eED onde

yxDM

−=

∂∂+

∂∂−=

( )νν

ων

ω

2112

32

22

2

122

2

2yy 112eED onde

xyDM

−=

∂∂+

∂∂−=


12eGD onde

yxDM

312

3

2

3yy =∂∂

∂−=ω

As equações de equilíbrio de esforços são:

TyM

xM

xxyxx =

∂∂

+∂

∂

TxM

yM

yxyyy =

∂∂

+∂

∂

)y,x(pyT

xT yx −=

∂∂

+∂

∂

Eliminando Tx e Ty na 3ª equação fazendo uso da 1ª e 2ª equações, obtém-se a

equação de equilíbrio de forças segundo o eixo dos zz em termos dos momentos unitários

de flexão e torção, ou seja:

)y,x(pyM

yxM2

xM

2xx

2xy

2

2xx

2

−=∂

∂+∂∂

∂+∂

∂

Substituindo nesta equação os momentos flectores em função das curvaturas

obtém-se:

)y,x(py

Dyx

´D2x

D 4

4

222

4

34

4

1 =∂∂+

∂∂∂+

∂∂ ωωω

onde D3 = D´3 + ν12D1 = D´3 + ν21 D2. Está determinada a equação de Lagrange para

placas ortotrópicas. As condições de fronteira são definidas de modo análogo às condições

de fronteira consideradas no caso das placas isotrópicas.


Problemas Propostos

1. Mostre que as curvaturas se relacionam com os momentos unitários através das

seguintes expressões:

( )( )

)1(DD´ onde´D/M)1(

´D/MM

´D/MM

2

1212

112222

221111

ν

νχ

νχ

νχ

−=

+=

−=

−=

2. Mostre que a forma da deformada de uma placa com valores constantes da curvatura é:

x21

xxx21 2

22221122111 χχχω ++=

com um movimento de corpo rígido da forma (Ax1 + Bx2 + C)

3. Considere os sistemas de eixos representados na figura e mostre que as curvaturas no

sistema de eixos OXYZ se relacionam com as curvaturas no sistema de eixos Oxyz do

seguinte modo:

O x

X

Y

y

φ

φ


φχφφχφχχ sencossen2cos 2yyxy

2xxXX ++=

φχφφχφχχ coscossen2sen 2yyxy

2xxYY +−=

( ) )sencos(cossen 22xyyyxxXY φφχφφχχχ −+−=

Note-se que OZ = Oz . Pode fazer uso da expressão da deformada referida na questão 2.

4. Mostre que são invariantes das curvaturas as grandezas:

( )χχ yyxx21

+ ;

−+

2yyxx

22xy

χχχ ;- χχχ −yyxx

2

xy

5. Mostre que o momento torsor máximo para uma placa rectangular é:

( )

−+=

2MM

MMyx

22xy

2/1

T max

6. Mostre que:

MMM

yyxx

xy

yyxx

xy

−=

− χχ

χ

7. Considere uma placa rectangular sujeita a um estado de flexão pura. Os momentos

aplicados são M1 e M2 sendo M12 = 0. Determine a energia de deformação da placa em

termos do deslocamento transversal ω.

Resposta:

∂∂

∂∂+

∂∂+

∂∂=

yx2

yxDA

21U 2

2

2

2

2

22

2

22

ωων

ωω

8. Considere o sistema de coordenadas oblíquas representado na figura.


a) Deduza a equação de equilíbrio de forças segundo o eixo normal ao plano Ox*y*, tendo

em conta que as coordenadas x*e y* se relacionam com as coordenadas x e y do

seguinte modo:

φ=φ+= sen/yyegcotyxx **

Ox

y

φ

x*

y*

P y*

x, x*

b) Deduza a equação de Lagrange no sistema de eixos Ox*y*.

9. Considere uma placa de espessura variável segundo a direcção do eixo dos yy, como se

representa na figura, de acordo com uma lei do tipo:

tt

b3a e espessura a representa t onde ett

0

1a3y0 ln/

π=α= απ

a

z, Wx

t1y

O

to

b

e determine a equação de Lagrange nestas condições.

Capítulo 2 Teoria Clássica das Placas Finas

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