Atividade 2 – Seminário de Educação à Distância

1) Como podemos garantir que a afirmação:

Se m e n são números inteiros ímpares, então m n é um inteiro ímpar é verdadeira.

Justifique essa afirmação.

Por definição temos que um número impar é:

m = 2k + 1 e n = 2j + 1 para alguns Z, k e j

assim, m.n = 2(2kj + j + k) + 1

(aqui multipliquei 2k+1 vezes 2j +1) desde que 2kj + j + k é um Z então temos que m.n

é impar reciprocamente assuma que m ou n seja par. Podemos assumir que m = 2k para

algum Z e k pertence Z então m.n = 2kn isto é m.n é divisível por 2 e dai é par. Logo,

m.n é impar se e somente se m e n sejam impares.

Demonstração:

Seja um número ímpar (2k+1), para qualquer valor de k multiplicado por 2 vai

resultar em um número ímpar.

Ex.: 2.1+1=3, 2.2+1=5, 2.3+1=7, 2.4+1=9

Portanto, se pegarmos o produto desses dois número:

(2k+1)(2k+1) = resolvendo ficará 4k²+4k+1

Para qualquer valor de "k" o resultado sempre dá um número ímpar.

Ex.: (4.1²)+(4.1)+1= (4.1)+(4.1)+1= 4+4+1=9

(4.2²)+(4.2)+1= (4.4)+(4.2)+1= 16+8+1=25

2) Para avançar um pouco mais na questão da nomenclatura, procure o significado das

palavras:

Axioma – é uma sentença ou proposição que não é provada ou demonstrada e é

considerada como óbvia ou como um consenso inicial necessário para a

construção ou aceitação de uma teoria. Por essa razão, é aceito como verdade e

serve como ponto inicial para dedução e inferências de outras verdades.

Na matemática, um axioma é uma hipótese inicial de qual outros enunciados são

logicamente derivados. Pode ser uma sentença, uma proposição, um enunciado

ou uma regra que permite a construção de um sistema formal. Diferentemente de

teoremas, axiomas não podem ser derivados por princípios de dedução e nem

são demonstráveis por derivações formais, simplesmente porque eles são

hipóteses iniciais. Isto é, não há mais nada a partir do que eles seguem

logicamente (em caso contrário eles seriam chamados teoremas). Em muitos

contextos, "axioma", "postulado" e "hipótese" são usados como sinônimos.

Exemplo: "a parte é menor que o todo"

Teorema – é uma afirmação que pode ser demonstrada verdadeira por aceitar

operações e argumentos matemáticos. Na maioria dos casos, o teorema é uma

junção de alguns princípios gerais, fazendo o novo teorema parte de uma grande

teoria. Prova é o processo de mostrar que um teorema está correto. O termo

teorema foi introduzido por Euclides, em Elementos, para significar "afirmação

que pode ser provada". Em grego, originalmente significava "espetáculo" ou

"festa". Atualmente, é mais comum deixar o termo "teorema" apenas para certas

afirmações que podem ser provadas e de grande "importância matemática", o

que torna a definição um tanto subjetiva.

Conjectura – é uma ideia, fórmula ou frase, a qual não foi provada ser

verdadeira, baseada em suposições ou ideias com fundamento não verificado. As

conjecturas utilizadas como prova de resultados matemáticos recebem o nome

de hipóteses.

Enuncie os seguintes:

Teorema de Pitágoras – é considerado uma das principais descobertas da

Matemática feita pelo matemático grego Pitágoras (570 a.C. – 495 a.C.), ele

descreve uma relação existente no triângulo retângulo. Vale lembrar que o

triângulo retângulo pode ser identificado pela existência de um ângulo reto, isto

é, medindo 90º. O triângulo retângulo é formado por dois catetos e a hipotenusa,

que constitui o maior segmento do triângulo e é localizada oposta ao ângulo

reto.

O Teorema diz que: “a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da

hipotenusa.”

a² + b² = c²

O teorema de Pitágoras é um caso particular da lei dos cossenos, do

matemático persa Ghiyath al-Kashi (1380 – 1429), que permite o cálculo do

comprimento do terceiro lado de qualquer triângulo, dados os comprimentos de

dois lados e a medida de algum dos três ângulos.

Teorema Fundamental da Aritmética – sustenta que todos os números inteiros

positivos maiores que 1 podem ser decompostos num produto de números

primos, sendo esta decomposição única a menos de permutações dos fatores.

Este teorema foi exposto, pela primeira vez, no livro IX dos Elementos de

Euclides.

Teorema:

Seja a > 1, um inteiro positivo. Então, existem primos positivos P1 ≤ P2 ≤ ... ≤

Pt tais que a = P1 P2... Pt, e essa decomposição é única.

Axioma de Arquimedes – Esse axioma foi enunciado explicitamente, pela

primeira vez, por Arquimedes, por isso é às vezes chamado de Axioma de

Arquimedes.

O Axioma de Eudoxo é utilizado na demonstração do seguinte Teorema:

Teorema 1 (Princípio de Eudoxo ou Método da Exaustão).

Sejam M0, M1, M2, M3, M4, ... números positivos tais que M1 < [pic]M0,

M2 < [pic]M1, M3 < [pic]M2, e assim por diante. Seja [pic] > 0. Então existe

um número inteiro positivo N tal que MN [pic] M0

Conjectura de Goldbach – proposta pelo matemático prussiano Christian

Goldbach, é um dos problemas mais antigos não resolvidos da matemática, mais

precisamente da teoria dos números. Ela diz que todo número par maior ou igual

a 4 é a soma de dois primos.

Exemplo: 4 = 2 + 2; 6 = 3 + 3; 8 = 5 + 3; 10 = 3 + 7 = 5 + 5; 12 = 5 + 7; etc.

Verificações por computador já confirmaram a conjectura de Goldbach para

vários números. No entanto, a efetiva demonstração matemática ainda não

ocorreu.

O melhor resultado até agora foi dado por Olivier Ramaré em 1995: todo

número par é a soma de até 6 números primos.

Axioma (ou Princípio) da Incerteza (este é um axioma da Física...) – No estudo

da Mecânica Newtoniana (Mecânica Clássica), se souber a posição inicial e o

momento (massa e velocidade) de todas as partículas pertencentes a um sistema,

podemos calcular suas interações e prever como elas se comportarão. Porém,

para a mecânica Quântica, esse processo é um pouco mais complexo.

No final da década de 1920, Heisenberg formulou o chamado princípio da

incerteza. De acordo com esse princípio, não podemos determinar com precisão

e simultaneamente a posição e o momento de uma partícula.

Ou seja, em uma experiência não se pode determinar simultaneamente o valor

exato de um componente do momento px de uma partícula e também o valor

exato da coordenada correspondente, x.

A razão dessa incerteza não é um problema do aparato utilizado nas medidas das

grandezas físicas, mas sim a própria natureza da matéria e da luz.

Para que possamos medir a posição de um elétron, por exemplo, precisamos vê-

lo e, para isso, temos que iluminá-lo (princípio básico da óptica geométrica).

Além disso, a medida será mais precisa quanto menor for o comprimento de

onda da luz utilizada. Nesse caso, a física quântica diz que a luz é formada por

partículas (fótons), que têm energia proporcional à frequência dessa luz.

Portanto, para medir a posição de um elétron precisamos incidir sobre ele um

fóton bastante energético, já que quanto maior for a frequência, menor é o

comprimento de onda do fóton.

No entanto, para iluminar o elétron, o fóton tem que se chocar com ele, e esse

processo transferem energia ao elétron, o que modificará sua velocidade,

tornando impossível determinar seu momento com precisão.

Esse princípio proposto por Heisenberg se aplica somente ao mundo

subatômico, uma vez que a energia do fóton transferida para um corpo

macroscópico não seria capaz de alterar sua posição.

3) Dentre as disciplinas que você está estudando nesse primeiro semestre escolha uma

afirmação matemática e depois escreva-a aqui.

O conjunto N ⊂ Z.

N = {1, 2, 3, 4, 5...} Z = {-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5...}

Todo número natural é par ou ímpar.

N = {1, 2, 3, 4, 5, 6...}

A soma de dois números pares é par.

2 + 2 = 4 4 + 6 = 10 2 + 6 = 8

n² - 1 é um múltiplo de 4 se n for ímpar.

3² - 1 = 9 – 1 = 8 5² - 1 = 25 – 1 = 24 7² - 1 = 49 – 1 = 48

8, 24 e 48 são múltiplos de 4, essa afirmação é correta.

Uma equação também é uma afirmação matemática que estabelece uma igualdade entre

duas expressões. Exemplo:

x + 8 = 20

20 – 8 = x

12 = x

Referências Bibliográficas:

http://pt.wikipedia.org/wiki/Conjectura

http://portaldoprofessor.mec.gov.br/index.html

http://www.brasilescola.com/

http://www.infoescola.com/matematica/teoria-dos-conjuntos/