1 MATEMTICAPR VESTIBULAR Mdulo I Todos os direitos reservados a EDITORA ENSINO LTDA MATEMTICA NDICE CONJUNTOS.................................................................................................................................................2 CONJUNTOS DOS NMEROS NATURAIS E INTEIROS..................................................................................5 CONJUNTOS DOS NMEROS RACIONAIS E REAIS .......................................................................................12 POLINMIOS E EQUAES CLCULO ALGBRICO .....................................................................................20 FUNES......................................................................................................................................................27 FUNO DO 1 GRAU....................................................................................................................................30 FUNO DO 2 GRAU...................................................................................................................................31 FUNO MODULAR ........................................................................................................................................34 FUNO EXPONENCIAL............................................................................................................................................. 35 FUNO LOGARITMICA.............................................................................................................................................. 36 MATEMTICA COMERCIAL E FINANCEIRA................................................................................................................39 Jos Valdete Matoso Israel Roque Pereira 2 MATEMTICAPR VESTIBULAR Mdulo I Todos os direitos reservados a EDITORA ENSINO LTDA CONJUNTOS LINGUAGEM DE CONJUNTOS CONCEITO (noo intuitiva): Temos,emMatemtica,desdeGeogCantor(1845-1918),queconjuntoumanoobsica,umanooprimitiva,no tendoassimcomodefini-la.Podemos,entretanto,deformaintuitiva,terperfeitamenteacompreensoquandodizemoso vocbulo conjunto e, associamos ao vocbulo, uma coleo bem definida de objetos. Ex.:-Conjunto de programas do meu computador. -Conjunto das letras da palavra MATEMATICA. -Conjunto das vogais de nosso alfabeto. NOTAO: Um conjunto designado por letras maisculas e seus elementos representados por letras minsculas. RELAO DE PERTINNCIA Para indicarmos que o elemento a pertence ao conjunto V, das vogais, escrevemos: a e V Para indicarmos que o elemento b no pertence ao conjunto V, das vogais, escrevemos: a e V. A DETERMINAO DE UM CONJUNTO. H duas maneiras de determinar ou descrever um conjunto: mtodo da extenso e compreenso. 1.EXTENSO: Quando mencionamos (escrevemos) cada elemento que constitui o conjunto. Ex.: a) Conjunto dos dias da semana = S={Segunda, tera, quarta, quinta, sexta, sbado, domingo} 2.COMPREENSO:Quandoenunciamosumapropriedadecaractersticadoselementosdoconjunto.Maisexplicitamente falamos uma propriedade que todos os elementos desse conjunto possuem e somente eles. Ex.: A={conjunto dos nmeros naturais pares}={x /xe N e x par} B= {x/ x seja mltiplo de 6} DIAGRAMA DE VENN Quando escrevemos os elementos de um conjunto dentro de uma curva fechada. Veja o exemplo: Dado: V= {a, e, i, o, u} conjunto das vogais de nosso alfabeto. .a.e .i .o .u V 3 MATEMTICAPR VESTIBULAR Mdulo I Todos os direitos reservados a EDITORA ENSINO LTDA IGUALDADE DE CONJUNTOS Dois conjuntos A e B so iguais se possuem os mesmos elementos. Indicamos A= B Ex.: A={x/ x vogal da palavra MATEMATICA} e B={ x/ x vogal da palavra aritmtica} Tem-se que A = B CONJUNTO VAZIO E CONJUNTO UNITRIO Falardeconjuntovazioeunitriocausacertaestranhezajqueapalavraconjuntoestaassociadacoleo, pluralidade, ou, pelo menos, mais de um objeto. Admitimosqueexistamsituaesemqueoconjuntonopossuielementos,eentodizemosqueelevazio.Vejaalguns exemplos: A= {x/x primo positivo e menor que 2} este conjunto no possui elementos. Representamos assim: A=|ou A= { } SUBCONJUNTOS (incluso) Dados dois conjuntos A e B, dizemos que A um subconjunto de B, se todos os elementos de A pertencem ao conjunto B. A c B x eA, ento x eB (A est contido em B) B A (B contm A) Ex.: Consideremos A= {3, 4, 5} e B= {0, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Note que os elementos de A tambm so elementos de B. CONJUNTO DAS PARTES- (determinando todos os subconjuntos de um conjunto) Dado o conjunto A={2, 3, 5}, o conjunto formado por todas os subconjuntos de A denominado conjunto das partes. -Observe que A possui 3 elementos = n(A)= 3 -O conjunto vazio ser um subconjunto de A que chamaremos de parte vazia. -O prprio conjunto A ser seu subconjunto e a este, chamaremos parte cheia. | , {2}, {3}, {5}, {2, 3}, {2, 5}, {3, 5}, {2, 3, 5} estes so todos os subconjuntos de A P(A)= {| , {2}, {3}, {5}, {2, 3}, {2, 5}, {3, 5}, {2, 3, 5}} . 0.6 .2.7 .3 .4 .5 A B Conjunto das partes de A 4 MATEMTICAPR VESTIBULAR Mdulo I Todos os direitos reservados a EDITORA ENSINO LTDA Obs.: O nmero de subconjunto ou partes de A foi de 8, que exatamente 23. 2 elevado ao nmero de elementos do conjunto. OPERAES ENTRE CONJUNTOS INTERSEO DE CONJUNTOS DadosdoisconjuntosAeB,interseodeAcomBoconjuntoI formadospeloselementosquepertencemaAeaBsimultaneamente (elementos comuns). Notao: A B = I = {x/ x e A e x e B} Ex.: Dados A= {0, 2, 4, 7} e B= {1, 2, 4, 5, 6, 8} determine A B. A B = {2, 4}Observe o diagrama: UNIO DE COJUNTOS Dados dois conjuntos A e B, A unio com B (AB) o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A ou a B. AB= {x / x e A ou x e B} Considerando o exemplo dado em 1.8.1, onde A = {0,2,4, 7} e B= {1, 2,4, 5, 6, 8}, temos: AB = {0, 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8} Observe: -Que os elementos comuns (repetidos) no so escritos duas vezes. -n(AB) = n(A) + n(B) n(A B) DIFERENA DE CONJUNTOS Considerando os conjuntos do item 1.8.2, temos que a diferena entre os conjuntos A e B um conjunto formado pelos elementos que pertencem ao conjunto A e no pertence ao conjunto B. A B ={x / x e A e x e B} Ex.: Se A = {1, 3, 4, 5, 8} e B= {2, 3, 5, 7}, temos: A - B = {1, 3, 4, 5, 8} - {2, 3, 5, 7} = { 1, 4, 8} B A = {2, 7} Exerccios: 1 (ufmg- 89) Os conjuntos A, B e AB tem respectivamente, 10, 9 e 15 elementos. O nmero de elementos de A B : a)2b) 3c) 4d) 6 e)8 5 MATEMTICAPR VESTIBULAR Mdulo I Todos os direitos reservados a EDITORA ENSINO LTDA 2 Um grupo G de 250 pessoas foi pesquisado sobre a leitura dos jornais A, B e C, obtendo-se a tabela: JornaisABCA e BA e CB e CA, B e C Nmero de leitores 104495226311910

O nmero N de pessoas de G que no lem nenhum dos jornais tal que: a)0 N < 30b) 30 N < 60c) 60 N < 90d) 90 N < 120 3.(FGV) sejamA,BeCconjuntosfinitos.OnmerodeelementosdeAB30,onmerodeelementos deAC20eo nmero de elementos de ABC 15. Ento o nmero de elementos de A(BUC) a)35b) 15c) 50d) 45 4.(Cesesp)NumauniversidadesolidosapenasdoisjornaisXeY,80%dosalunoslemojornalXe60%ojornalY. Sabendo-sequetodoalunoleitordepelomenosumdosdoisjornal,assinaleaalternativaquecorrespondeao percentual de alunos que lem ambos. a)80%b) 14%c) 40%d) 60% CONJUNTO DOS NMEROS NATURAIS EINTEIROS N = {0, 1, 2, 3, 4, 5...} Este conjunto foi resultado da necessidade de contar. Convm acrescentar observaes sobre as operaes: OPERAES: ADIO: a + b = seN eN eou total) (soma N s(parcela) b(parcela) a. DizemosqueaadiofechadaemN,pois,quaisquernmerosnaturaissomados,tercomoresultadoumoutro nmero natural. SUBTRAO a b = d eN eN eresto) ou(diferena N d) subtraendo ( b(minuendo) a A subtrao no fechada para N, por isso, devemos ter a b. 6 MATEMTICAPR VESTIBULAR Mdulo I Todos os direitos reservados a EDITORA ENSINO LTDA MULTIPLICAO a . b = p eN eN e(produto) N p) ador(multiplic bando) (multiplic a A multiplicao fechada em N. Multiplicando dois nmeros naturais o resultado ser um nmero natural. O zero (0) na multiplicao o fator anulador do produto. a . b = 0 se a =0 ou b = 0 MULTIPLOS DE UM NMERO Se p o produto de dois outros nmeros a e b, ento, p mltiplo de a e de b. Ex.: 48 = 6 x 8 48 mltiplo de 6 48 mltiplo de 8. Para encontramos os mltiplos de um nmero a basta que multiplic-lo pela seqncia de nmeros naturais. Ex.: M(3) = {3x0, 3x1, 3x2, 3x4, 3x5, 3x6, ....} DIVISO Estaoperaoimportantequandoqueremosrepartirumaquantiaempartesiguaisouquandoqueremossaber quantas vezes uma quantidade cabe em outra. DD RQ D = dividendo D = divisor ( deve ser diferente de zerod0) Q = quociente R = resto (R< D) (Quando o resto for zero dizemos que a diviso exata) AB 0Q A = B X Q A divisvel por B, ou que A mltiplo de B, ou que B divisor de A. Ex.: -M(5) = {0, 5, 10, 15, 20, ...5n ...} -D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12} 7 MATEMTICAPR VESTIBULAR Mdulo I Todos os direitos reservados a EDITORA ENSINO LTDA EXERCCIOS: 5.(UFMG) Nadiviso de doisinteiros positivos, o quociente 16 eo resto o maior possvel. Se a soma do dividendo e do divisor 125, o resto : a)4b) 5c) 6d)7 6.(UFMG) O menor nmero inteiro positivo n pelo qual se deve multiplicar 1.188 para se obter um nmero divisvel por 504 e tal que: a)1 n < 6b) 7 n < 10 c) 10 n < 20d) 20 n < 30 7.Se m um nmero de trs algarismos e n obtido de m, permutando-se os algarismos das unidades e das centenas ento m n sempre mltiplo de: a)2b)7c)11d)15 NMERO PRIMO E NMERO COMPOSTO Primo: admite apenas dois divisores (triviais) Composto: admite mais de dois divisores (pelo menos um divisor prprio) Ex.: 13 primo D(13) = {1, 13}15 composto D(15) = 1, 3, 5, 15}. Alm dos divisores triviais (1 e 15) apresenta outros divisores prprios (3 e 5). COMO DETERMINAR OS DIVISORES DECOMPOSIO EM FATORES PRIMOS DECOMPOSIO EM FATORES PRIMOS Todonmeronaturalcompostopodeserescrito,deumaformanica,comoprodutodefatoresprimos.Este processo denominado decomposio em fatores primos (fatorao). Ex.: Decompor em fatores primos o nmero 2520. 1735105315630126025207533222Temos 2520 = 2 x 2 x 2x 3 x 3 x 5 x 7 ou 2520 = 23x 32 x 5 x 7 Dizemos que 2, 3, 5 e 7 so os fatores primos de 2520 8 MATEMTICAPR VESTIBULAR Mdulo I Todos os direitos reservados a EDITORA ENSINO LTDA DETERMINANDO OS DIVISORES DE UM NMERO Usamos,comoumdosmeios,paradeterminarosdivisoresdeumnmero,adecomposioemfatoresprimos. Observe o exemplo: a) Determine todos os divisores de 120. 1.Fatoramos o nmero 120 , , 60 , 30 , 15 , 40 , 20 , 10 , 524 , 12 , 6 , 384215322215153060120 2.As direitas da fatorao obtm-se os divisores. O1divisordetodos,o2oprodutodofator2por1,o4oprodutode2pelo2,o8oprodutode2pelo4eassim sucessivamente. Obs.: Se queremos apenas saber quantos divisores tem um nmero bastaria que: -Fatoramos o nmero 120 = 23. 31. 51 -Tomamos os expoentes dos fatores: 3, 1, 1 -Adicionamos 1 a cada expoente -Multiplicamos o resultado. Assim: (3 +1)x (1 +1)x(1 +1) = 4 x 2 x 2 = 16. Dessa forma, o 120, possui 16 divisores. EXERCCIOS: 8.O nmero tem 48 divisores, o valor de a : a)1b) 2c) 3d) 4 9.O nmero de divisores naturais de 360 que no so primos : a)20b) 21c) 22d) 23 9 MATEMTICAPR VESTIBULAR Mdulo I Todos os direitos reservados a EDITORA ENSINO LTDA MXIMO DIVISOR COMUM E MNIMO MLTIPLO COMUM MAXIMO DIVISOR COMUM Observe os divisores seguintes: D(18)= {1, 2, 3, 6, 9, 18}, D(24)}= {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} D(30) = {1,2,3,5, 6, 10, 15, 30} fcil perceber que D(18)D(54) D(20) = {1, 2, 3, 6}. Estes so os divisores comuns do 18, 24 e 30. Entre estes, o maior divisor comum o 6. Dizemos que ele o Mximo(maior) Divisor comum entre 18, 24 e 30. MDC (18, 24, 30)= 6 Dizemos que Mximo divisor comum o maior nmero natural que divisor de todos os nmeros em questo. USANDO FATORAO PARA DETERMINAR O MDC. Ex.: MDC (60, 24) = ? 1 FATORAMOS OS NMEROS SEPARADOS 532215153060 32221361224 Logo: 60= 22x 3 x 5 e 24= 23 x 3 2 MULTIPLICAMOS OS FATORES COMUNS DE MENOR EXPOENTE: MDC = 22 x 3 = 12 USANDO O ALGORITMO DE EUCLIDES PARA DETERMINAR O MDC Para calcular o MDC entre trs nmeros, por exemplo, calculamos o MDC entre dois deles e depois o MDC do terceiro com o MDC dos dois primeiros. Ex.: Calcule o MDC (52, 39, 65). 112 65392613 26130 O MDC (65, 39) =13. Agora o MDC(52, 13). 4 5213 0 O MDC entre os trs nmeros 13. 10 MATEMTICAPR VESTIBULAR Mdulo I Todos os direitos reservados a EDITORA ENSINO LTDA MNIMO MULTIPLO COMUM Comecemos com a determinao dos mltiplos de: M(9)= {0, 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72...} M(12)= {0, 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84,...} E fcil perceber que o menor nmero, diferente de zero, mltiplo de 9 e 12 o 36. Dizemos que o 36 o mnimo mltiplo comum entre 9 e 12. MMC (12, 9)= 36 Def.: Mnimo mltiplo comum entre vrios nmeros, o menor nmero natural mltiplo (divisvel diferente de zero) por todos eles. CALCULANDO O MINIMO MULTIPLO COMUM POR FATORAO CONJUNTA Determinar o MMC(60, 24). 60, 24 2 30, 12 2 15 , 62MMC(60, 24) = 23x 3 x 5 = 120 15 , 33 5 , 15 1 , 1 Obs.: Vale a pena dizer que, podamos decompor os nmeros separadamente e multiplicar os fatores comuns e no comuns tomados com o maior expoente. Propriedades do MDC e do MMC -1 Se a divisor de b, ento o MDC (a, b) = a-2 Se a divisor de b, ento o MMC (a, b)= b. Relao entre MDC e MMC O produto do MDC pelo MMC de dois nmeros igual ao produto dos dois nmeros. MDC (a, b) x MMC (a, b) = a x b EXECCIOS: 10.(UFMG) De uma praa partem, s 6 horas da manh, dois nibus A e B. Sabe-se que o nibus A volta ao ponto de partida a cada 50 minutos, e o nibus B, a cada 45 minutos. O primeiro horrio aps as 6 em que os nibus partiro juntos : a)07:35hsb) 11:35hsc) 11:50hsd) 13:30hs 11.Dois terrenos de 21.600 e 16.800 so loteados em lotes iguais com a maior rea possvel e sem perda de terreno. O nmero de lotes obtidos : a)10b) 12c) 14d) 16 11 MATEMTICAPR VESTIBULAR Mdulo I Todos os direitos reservados a EDITORA ENSINO LTDA 12.(UFMG) O produto dos nmeros inteiros positivos a e b 3 53 2 e o MDC(a,b) =3 22Ento o MMC : a)6b) 54c) 72d) 96 13.(UFMG) um retngulo com 15m de comprimento e 9m de largura deve ser totalmente dividido em quadrados iguais e que apresentem a maior ria possvel. O nmero de quadrados obtidos : a) 30b) 25c) 20d)15

DIVISIBILIDADE EM N J sabemos que numa diviso de nmeros naturais, se o resto zero a diviso e chamada de exata. ab 0q Podemos dizer que: -a divisvel por b. -a mltiplo de b. -b divisor de a. Como ento descobrir se uma diviso exata sem efetuar a diviso? Falaremos de alguns casos. DIVISIBILIDADE POR 2 OU POR 5. Devemos analisar o ltimo algarismo (das unidades). Se for terminado em 0,2, 4, 6, 8 ele ser divisvel por 2. Se ele for terminado em 0(zero) ou 5 ele divisvel por 5. DIVISIBILIDADE POR 3 OU POR 9 Devemos analisar a soma dos algarismos que forma o nmero. Ex.: 2478 tem a soma dos algarismos 2 + 4 + 7 + 8 = 21, logo divisvel por 3, mas, no ser por nove. DIVISIBILIDADE POR 6 Se o nmero for divisvel por 2 e por 3 simultaneamente. preciso ficar claro que existe ainda regra para 4, 7, 8, 10 e 11. O professor ir falar sobre elas. EXERCCIO: 14.(UFMG)umnmerodaforma3a7bsabendo-sequeestenmerodivisvelpor25epor9osalgarismosaebso respectivamente: a)3 e 5b) 6 e 5c) 0 e 5d) 0 e 8 12 MATEMTICAPR VESTIBULAR Mdulo I Todos os direitos reservados a EDITORA ENSINO LTDA CONJUNTO DOS NMEROS INTEIROS ConsiderandooconjuntoZcomointeirospositivoseozero,eacrescentandoosinteirosnegativosaeletemoso conjunto dos nmeros inteiros(Z). Z = {...-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} Agora aqui temos um conjunto infinito e ilimitado. Todo nmero k possui um antecessor (k -1) e um sucessor(k +1). CONJUNTO DOS NUMEROS RACIONAIS E REAIS Nmeroracionalumnmeroquepodeserescritonaforma ba,ondeaumnmerointeiroqualquerebum nmero inteiro diferente de zero. So exemplos: -73, 71, 3, 1225etc.. Q= {ba / a eZ e b e Z*} Existem varias formas de escrever um nmero racional.

-Como fraes equivalentes: 35= 610 = 915 ... -Como qualquer nmero inteiro a pode ser escrito como 1a, temos que todo inteiro racional. A FORMA DECIMAL (Representao decimal) a) -23 = -1,5 b)71 = 0,1425714257...c)3 = 3,0 d) 1225 = 2,083333...e) 818 = 2,25 Essas expresses decimais so obtidas dividindo o numerador pelo denominador. 0,1425714257... uma dizima peridica simples, pois, aps a virgula, h apenas o perodo(parte que repete). 2,083333... uma dizima peridica composta, pois, aps a virgula, alm do perodo, h o zero e o oito. 2,25 um decimal exato. CONJUNTO DOS NMEROS REAIS (IR) Hnmerosquenooresultadodadivisodedoisoutrosnmeros,nemdivisoexata(nemdecimalexatonem dizima peridica). A esses nmeros chamamos de NUMEROS IRRACIONAIS. Ex.: -2 = 1,414213562... (No so exatos e aps a vrgula no h um perodo) 13 MATEMTICAPR VESTIBULAR Mdulo I Todos os direitos reservados a EDITORA ENSINO LTDA -A = 3,1415926... Reunindo estes nmeros e todos os outros que falamos teremos os nmeros reais (Conjunto IR). IR= Q(Irracionais) INTERVALOS NA RETA REAL Ateno: -Para cada ponto da reta orientada fica associado um e um nico nmero real. -Para cada ponto da reta fica associado um nico nmero real. INTERVALOS INFINITOS Na reta acima foi marcado a parte tomada (colorida). Os nmeros considerados so todos os nmeros menores que 3. Como o ponto que marca (fixa) o lugar do nmero a uma bolinha cheia, dizemos que o intervalo ( a parte ou subconjunto) sotodososnmerosesquerdadeaincluindooprprioa.Arepresentaonaretadenominadageomtrica.Outras maneiras de represent-lo: [- , a] = [- , a) = {xeIR/ a x s } INTERVALOS ABERTOS Esse intervalo contm os nmeros que esto entrea e b, mas no contm os prprios a e b, pois um intervalo aberto.Um intervaloabertorepresentadopelabolinhavazia.Representamosesseintervaloemlinguagemalgbricadaseguinte forma:]a, b[ ou{ } b x a IR x < < e / INTERVALOS FECHADOS Esse intervalo contm todos os nmeros que entre a e b incluindo o a e o b, pois o intervalo fechado. Um intervalo fechado representado pela bolinha preenchida. Representamos esse intervalo em linguagem algbrica da seguinte forma: [a, b] ou{ } b x a IR x s s e / 14 MATEMTICAPR VESTIBULAR Mdulo I Todos os direitos reservados a EDITORA ENSINO LTDA PERAES COM INTERVALOS Dados os intervalos A= ]2; 5] e B= [4: 7[, determine: a)AB b)A Bc)A - B a) Observe que a idia de unio de conjuntos permanece aqui. O resultado a reunio do intervalo [a,b] com o intervalo [c,d]. Escrevemos: AB= [a,d]S = { xeIR/ a < x < d} b) Comointerseo so os elementos comuns (que repetem) o resultado desta operao so os nmeros que ficam de [c, b] (inclusive o a e o b, pois o intervalo fechado). Escrevemos: A B = [a, b] = { xeIR/b x a s s } c) 15 MATEMTICAPR VESTIBULAR Mdulo I Todos os direitos reservados a EDITORA ENSINO LTDA Subtrao significa retirar fcil ver no exemplo acima que todos os elementos de B foram retirados de A. A B o conjunto dos elementos que pertencem apenas ao conjunto A. Escrevemos: A B = [a, c[ S= {xeIR/ c x a < s } POTENCIAO EM IR. Definio: an = a. a.a .a .......a (produto de a n vezes) a0 =1 a1 = a a-n = na|.|

\| 1, onde a= 0. PROPRIEDADES 1) an . ap = an+p

2) an : ap = pnaa = an p, a0. 3) (an)p = an.p 4)(ab)n=an.Bn(estapropriedade,distributivadapotenciaoemrelaoamultiplicao,nodeveseraplicadaem relao a subtrao e adio.) 5) nba|.|

\|= nnba (o denominador no pode ser zero, logo, b0) 6) nba|.|

\|= nab|.|

\| EXERCCIOS: 15 . Numa diviso exata, o divisor 6 e o quociente 0. Ento, o dividendo : a)0 b) 1c) 6d) 12 16. O nmero 2n-1. 34. 5 tem 50 divisores. O valor de n : a)1b) 2 c) 3d)5 17. Se x = 1 e y = 0,935, ento o resultado de x - y escrito em notao cientfica : a) 65b)4,5x 10-2 c) 45 x102d)6,5 x 10-2 16 MATEMTICAPR VESTIBULAR Mdulo I Todos os direitos reservados a EDITORA ENSINO LTDA 18 Numa festa, h 80 homens, dos quais 37 so fumantes. Sabe-se, ainda, que 32 das mulheres presentes no fumam. Se o nmero de pessoas no fumantes na festa 103, quantas so as que fumam ou so mulheres? a) 97 b) 107c) 118 d) 127 19.(UFMG-2004) Sabe-se que os meses de janeiro, maro, maio, julho, agosto, outubro e dezembro tm 31 dias. O dia 31 de maro de um certo ano ocorreu numa quarta-feira. Ento, 15 de outubro do mesmo ano foi a)5 b)3 c)4 d)6 20.(UFMG-2007)Lanadaem1977,a sondaespacialVoyager1est,atualmente,a1,5 .1010kmdaTerra.Suponhaque,dessa distncia,aVoyager1envie,paraaTerra,umsinalderdioquesepropagavelocidadedaluz,quede300.000km/s. Despreze o movimento da Terra, do instante em que o sinal foi enviado at o momento de sua chegada a ela. Ento, CORRETO afirmar que, para chegar Terra, o sinal enviado por essa sonda gastar a)menos de 8 horas b)entre 8 e 10 horasc)entre 10 e 12 horasd)mais de 12 horas 21. A expresso 2-1 + 80,333...+9x 0,222... igual a: a)2b)4 c)25d) 27e) 29 22. O MDC dos nmeros 23.32. 5 e 2n. 34. 7 36. O valor de n : a)1b)2 c)3 d)4 23. Usando as propriedades de potenciao calcule o valor de( ) ( )( )2523542 . 22 . 2. O valor encontrado : a)21b) 8 c) 2 d) 1 24. (UFMG) Seja m = 41134- 1 2 - 72+|.|

\|. O valor de m : a)1285b) 12125 c) 320 d) 368 25. (UFMG) O valor de 10-2 x [(-3)2 (-2)3]: 3001 , 0 : a)-17 b)1,7c)-0,1 d)0,1 e)-1,7 26. Na diviso de dois inteiros positivos, o quociente 16 e o resto o maior possvel. Se a soma do dividendo e do divisor 125, o resto : a)4b) 5 c)6 d)7e)8 27. (MACK) igual a: 17 MATEMTICAPR VESTIBULAR Mdulo I Todos os direitos reservados a EDITORA ENSINO LTDA a)3150/17b)90 c)1530/73d)17/3150 e)-90

28. (UFMG) Efetuando as operaes indicadas na expresso

Obtemos: a)0,220 b)0,226 c)0,296d)0,560e)0,650 29. (UFMG) Simplificando a expresso . . Obtm-se: a)105b) 10,5c) 1,05d) 0,105e) 0,0105 30. (UFMG) O valor de : a)-2b) -2/5c) 0d) 2/3e) 2 31. (UFMG) O valor da expresso : a)-12.750x b) -12.750 xc) 12.750 x d)12.750 xe) 12.750 x 32. (UFMG) O menor nmero de 3 algarismos divisvel, ao mesmo tempo, por 2, 3, 5, 6, 11 : a)330b) 660c) 676d) 990e) 996 33. (UFMG) Trs fios tm comprimentos de 36m, 48m e 72m. Deseja-se cort-los em pedaos menores, cujos comprimentos sejam iguais, expressos em nmero inteiro de metros, sem que haja perda de material. O menor nmero total possvel de pedaos : a)7b) 9c)11d) 13e) 30 RADICIAO EMR Def.: Raiz n-zima de um nmero a um nmero b tal que b elevado a n d como resultado a. na = b bn = aa radicandon- ndiceb raiz Obs.: -Se n par, s definimos napara a 0. 18 MATEMTICAPR VESTIBULAR Mdulo I Todos os direitos reservados a EDITORA ENSINO LTDA - na um nmero real no negativo. Exemplos: a) 532 = -2, porque (-2)5= 32b) 3008 , 0 = 0,2, porque (0,2)3= 0,008 c) 4916= 74, porque 274|.|

\|= 4916 POTNCIA DE EXPOENTE FRACIONRIO Considerando a real e m e n, nmeros inteiros, onde n positivo, definimos: nma= n ma Ex.: a)214= 2 14=4= 2 b)2349|.|

\| = 2394|.|

\| = 394|.|

\| = 278 PROPRIEDADES DA RADICIAO preciso antes lembramos do que chamamos radical. Radical e toda expresso do tipo: bn ma , onde b o coeficiente, n e m so naturais. Ex.: 835 , note que 8 o coeficiente, 3, o ndice. 1)na x nb= nab (abaixo uma demonstrao)

na1xnb1=( )nab1 = nab 2) na : nb= nnba = nba

3) mna|.|

\| = n ma4) n pa= p na. 5) n pa= p nm pa.. SIMPLIFICANDO RADICAIS A ultima propriedade nos permite reduzir, a expresso dada, numa expresso mais simples. Na verdade ela diz que se dividirmos, ou multiplicarmos, por um mesmo nmero, o expoente do radicando e o ndice, teremos um radical equivalente. 19 MATEMTICAPR VESTIBULAR Mdulo I Todos os direitos reservados a EDITORA ENSINO LTDA Exemplo: a)68= 6 32= 3 : 6 3 : 32 =2 Na verdade isto possvel, pois, 6 32=( )632 =( )212=2 . OPERAO COM RADICAIS ADIO E SUBTRAO Dado dois radicais semelhantes, isto com o mesmo ndice e mesmo radicando, a soma ou diferena entre eles e um outro radical semelhante a ele obtido pela soma ou diferena entre os coeficientes. Exemplo: a)3 2- 7 2= -4 2 b)249+18 4- 3 2+ 5 3= como 249= 24 23= 22 : 4 2 : 23= 2 3 (Propriedade 5) como18 4= 23 . 2 4= 4.3 2 = 12 2 O exerccio ser: 2 3+ 12 2 - 3 2+ 5 3= 7 3+ 9 2 Obs.: Para realizar o produto e o quociente aplicamos as propriedades 1 e 2, aps reduzir os radicais ao mesmo ndice. RACIONALIZAO DE DENOMINADORES Como uma introduo a esta parte do contedo, bom deixar claro que, em outras circunstncias, muita das vezes ser feita a racionalizao de numeradores. Como isto no ocorrer neste grau, falaremos de dois casos de racionalizao de denominadores.Porhora,ento,aodepararmoscomumdenominadorondeapareaumraiznoexata(irracional), costumamos transform-la em outra frao equivalente, cujo denominador seja racional. Faz-se necessrio por hora, um produto notvel muito usado aqui, que o produto de uma soma pela diferena. (a+b)(ab)=a2b2(quemesquec-lopoderecorreradistributividadeparaencontraroresultado,isto, multiplicar cada termo de um fator pelos termos do outro). 1)caso: Denominador tem uma expresso com raiz quadrada. -Multiplicamos o numerador e o denominador pelo fator racionalizante. 20 MATEMTICAPR VESTIBULAR Mdulo I Todos os direitos reservados a EDITORA ENSINO LTDA Ex.: 212 = 212 x 22 = 2 22 12x = 42 12 = 22 12 = -6 2 2)caso: Denominador tem uma expresso com soma ou subtrao de radicais. -Multiplicamos ambos os termos da frao pelo conjugado do denominador.(O conjugado de 5-2 5 +2 ) Ex.: 1 - 53= 1 - 53x 1 51 5++ = ( )( ) 1 5 1 5) 1 5 ( 3+ + = ( ) ( )221 5) 1 5 ( 3+ = 1 5) 1 5 ( 3+= 4) 1 5 ( 3 + EXERCCIOS 34. Racionalizando as expresses 3 23, 21 x, 3 2 11 encontramos respectivamente: a)23, 22+xx, -113 2 1+ b) 23, 22++xx, 113 2 1+ c) 23, 22 x, -113 3d) 113 2 1+, 22 x, 23 35. A expresso 32 2 28 50 18 + igual a a) 4 2 b) 8 2c)2 2 d)2 36. O produto 436x 392 igual a a) 4. 1213 b) 613 c) 1213d)4. 613 37. Se x= 2,666...; y= 0,999... e Z= 1,3555..., ento a expresso : z-1 .x+y igual a: a)999360b) 61181 c) 90183d) 89488e) 99240 POLINMIOS E EQUAES - CLCULO ALGBRICO EXPRESSO ALGBRICA Expressoalgbricatodaexpressoemqueaparecem constantes evariveisrelacionadasporoperaesusuais (Adio, subtrao, multiplicao, diviso,..) Ex.: x + 1 xy - 52 + x, esta uma expresso de variveis x e y. Devemos lembrar que o denominador no pode ser zero, logo x -1 deve ser diferente de zero (x -1 0). MONMIOS (OU TERMOS) 21 MATEMTICAPR VESTIBULAR Mdulo I Todos os direitos reservados a EDITORA ENSINO LTDA umaexpressoalgbricaemqueasconstantesevariveisestorelacionadasapenascomoperaode multiplicao. Ex.: a)M(x)=-5x3,observe:-5.x.x.x.(O-5ocoeficiente).O3oexpoentedavariveledograudomonmio.O monmio de terceiro grau. b) B= -x5y2, observe:-1.x5.y2. A soma dos expoentes das variveis d o graudo termo.O termo de stimo grau (5 +2). OPERAES Adio e subtrao de Monmios -Os monmios devem ser semelhantes, isto , ter a mesma parte literal (mesmas variveis com os mesmos expoentes.) Ex.: a) -4x2y4 9x2y4 = -13x2y4 b) -2xy2 +3xy+ 4xy + 5xy2 = (-2+5)xy2 + (3 +4)xy = 3xy2 + 7xy Multiplicao e diviso Aplicamos as propriedades das potencias de mesma base. Na multiplicao de potencias de bases iguais, conserva a base e soma os expoentes e, na diviso, Conserva a base e subtrai os expoentes. Ex.: a) (-2xy3). (4ax2y2) = -8ax3y5 b) y xy x22 4412 = -3x2y0= -3x2 POLINMIOS (introduo) Um monmio ou a soma de vrios monmios denominadopolinmio.O graudo polinmio o grau domonmio de maior grau. Ex.: a) P(x)= x3y4+ 2x2y 5xy O grau desse polinmio 7 (7 grau). -Um polinmio de um termo s chamado de monmio. -Um polinmio de dois termos chamado de binmio -Um polinmio de trs termos chamado de trinmio. 22 MATEMTICAPR VESTIBULAR Mdulo I Todos os direitos reservados a EDITORA ENSINO LTDA PRODUTOS NOTVEIS 1)a(b + c d) = ab + ac ad (o fator a multiplicou todos) de grande importncia o desenvolvimento, mas, no de menos importncia o caminho de volta, a fatorao. 2)(a + b)2 = a2+ 2ab +b2 3)(a - b)2 = a2- 2ab +b2 4)(a + b). (a b)= a2 b2 5)(a +b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2+ b3 6)(a + b)(a2 ab + b2) = a3 + b3 7)(a - b)(a2 + ab + b2)= a3 - b3 EQUAES Equaotodoigualdadeentreduasexpressesalgbricasquefalamomesmonmero(verificaparaum determinado valor). Ex.: 3x 1 = x + 5 Nesta equao, 3x -1 o primeiro membro e, x + 5 o segundo membro. Para o valor 3 os dois membros falam o mesmo nmero. Ovalor que verifica a equao, que torna a sentena verdadeira a raiz da equao (ou soluo). Neste caso o 3 a raiz, pois; 3.(3) 1 = 3 + 5 Resolver uma equao encontrar os valores de que a satisfaz. Resolver encontrar suas solues. Uma equao pode ter uma nica raiz (soluo), ou varias solues, ou infinitas solues. Como resolver uma equao? Existemmuitosmtodos,mas,aquidaremos,porenquanto,algumaspropriedadesdasigualdadesqueajudaramno processo: 1)a=ba+c=b+c(somandoomesmonmeroaosdoismembrosdeumaigualdadeobtemosoutra igualdade) Esta propriedade nos permitir o cancelamento. Ex.: 2x 7 = x2 7 2x = x2 2) a = b a . c = b . c Estapropriedadetambmnospermitirocancelamentodetermoscomunsqueestejammultiplicando ambos os membros. Ex: 5x2 = 5(x 6)x2 = x 6 23 MATEMTICAPR VESTIBULAR Mdulo I Todos os direitos reservados a EDITORA ENSINO LTDA 3)abc = 0a = 0 ou b = 0 ou c = 0 Equao de 1 grau Toda equao que pode ser reduzida a forma ax = b. Para resolv-las usamos as propriedades citadas no item anterior. Equao de 2 grau Toda equao que pode ser escrita na forma ax2 + bx + c = 0 a, b e c so nmeros reais e a diferente de zero. Razes = b2 4ac ( discriminante) indica o nmero de razes que a equao ter. Se: - < 0 a equao no ter nenhuma raiz real. - = 0 a equao ter duas raiz reais e iguais (ou uma raiz dupla). - > 0 a equao ter duas razes reais e distintas (diferentes). Frmula geral: X= ab2A Convmlembrarqueasequaesincompletaspodem seremresolvidas sem usodafrmula(defato todas equaes d para resolver usando fatorao). Ex.: a)3x2 -5x=0colocando x em evidncia temos: x(3x 5) =0. Usando a 3 propriedade de resoluo de equao exposta no item 7.4.1 teremos: Se um produto igual a zero um dos fatores zero ou ambos. X = 0 Ou 3x 5 = 03x = 5x = 35 b)4x2 49 = 0Neste caso podemos usar a diferena de dois quadrados. (2x)2 (7 )2 = 0(2x + 7).(2x 7) = 0 Usando a propriedade do produto ser igual a zero temos: 2x + 7 = 02x = -7 x = 27 ou 2x 7 =02x = 7 x = 27 Relao entre razes Soma das razes: S= x1 + x2 = ab 24 MATEMTICAPR VESTIBULAR Mdulo I Todos os direitos reservados a EDITORA ENSINO LTDA Produto das razes: P = x1 . x2 = ac A equao ax2 + bx + c = 0 pode ser escrita da forma x2 + abx + ac = 0 (isto possvel bastando dividir todos os termos por a). Ao escrever, desta forma, a equao percebemos que: ab= -S(soma das razes) e ac = P(produto das razes), logo, podemos escrever x2 Sx + P = 0 EXERCCIOS VARIADOS: 38. O volume de um paraleleppedo retngulo de dimenses 90 cm, 2m e 7,5dm : a)1,35x10-2m3 b) 1,35x10-1m3 c) 1,35m3 d) 1,35x102m3e) 1,35x103 m3 39. O valor da expresso 1218dm2 + 36x104cm2 + 49x 106mm2, em mm2, igual a a) 0,9718x b) 9,718xc)97,18xd) 971,8x e) 9718x 40. O volume de um cubo de aresta 2,3m mede, em litros: a)1,2167 b) 12,167c)121,67 d) 1216,7e)12167 41. O valor numrico da expresso xyy x 2 +, sendo x= 31 e y= 54, igual a: a) 426 b) 427c) 429 D) 430 42. A expresso: (-1 2x )2 igual a: a)1 4x + 4x2b) 1 + 4x - 4x2 c) 1 + 4x + 4x2d) -1 4x - 4x2

43. Simplificando a expresso ( ) ( )( )222 242 . 2 + xx x, Obtm-se: a)1 b)2 c) x -4 d)(x + 2)2 44. (UNA) Simplificando a expresso ( ) ( )( )( ) b a b ab a b a + +2 2obtemos: a) 0b) 2c)b ab a+ d) 2 24b aab 45. (PUC) Sabendo-se que x + x1= 22 3, ento x2 +21|.|

\|x igual a: a) 3/2 b) 7/2 c)3 d) 5/2 46. (UFRS) Uma pessoa gasta 41 do dinheiro que tem e, em seguida, 32 do que lhe resta, ficando com R$350,00. Quanto tinha inicialmente em reais? a) 1400 b )350c) 1000d) 2400 25 MATEMTICAPR VESTIBULAR Mdulo I Todos os direitos reservados a EDITORA ENSINO LTDA 47. (UFMG-2007) Sejam polinmios com coeficientes reais. Sabe-se que esses polinmios possuem as mesmas razes. Ento, CORRETO afirmar que o valor de a + b A) 3. B) 6. C) 9. D)12 48.(UFMG-2007)OsirmosArmando,BernardoeCaiodecidiramajudarnareformadopisodacasadeseuspais,dividindo igualmente, entre eles, o custo de 100 m2 de cermica. Armando e Bernardo compraram, respectivamente, 60 m2 e 40 m2 da mesma cermica, pagando o mesmo preo pelo metro quadrado. Para acertar sua parte nessa compra, Caio pagou a seus dois irmos um total de R$ 1 500,00. Sejam x a parte dessa quantia que coube a Armando e y a parte que coube a Bernardo. Ento, CORRETO afirmar que o valor de x - y A) R$ 200,00.B) R$ 300,00.C) R$ 500,00.D) R$ 900,00. 49. (UFMG) Se a massa de 1000de certo lquido 3,75Kg a massa de 1,35do mesmo liquido : a) 5,0625Kgb) 50,625Kgc) 506,25Kgd) 5062,6Kge) 50.625Kg 50. (UFMG) Um menino percorre de bicicleta, 7 Km em 35 min, com velocidade constante. Aumentando essa velocidade de 1/5 do seu valor, o tempo que leva, em minutos para percorrer 12Km, : a)30b) 40c) 50d) 60e)72 51. (UFMG) Considere os nmeros 10/54 , 11/60 , 9/45. A diferena entre o dobro do maior e o triplo do menor : a)-7/30b) -77/90c) -7/45 d) -3/20 52. (UFMG) Se a = 51/499 e 1/a + 1/b = 1, ento o valor de b : a)-550/51b) -4448/51c) 51/488d) -51/488 53. (UFMG) O valor de m = : a)-8/3b) -4/3c) -2/3d) -5/3 54. O valor de igual a: a) b)c) d) 26 MATEMTICAPR VESTIBULAR Mdulo I Todos os direitos reservados a EDITORA ENSINO LTDA 55. A expresso igual a: a)b) c) d) Gabarito: 1234567891011121314151617181920 CDAACDCDBDDCDAADDDDD 2122232425262728293031323334353637383940 EBBCECCAEEAADAAABCEE 414243444546474849505152535455 CCADDACBDCDDACC 27 MATEMTICAPR VESTIBULAR Mdulo I Todos os direitos reservados a EDITORA ENSINO LTDA FUNES Dadosdoisconjuntos,AeB,novazios,eumarelaodeAemB,dizemosquefumafunodeAemBse,e somente se, para todo x e A est associado um e um nico elemento Ye B. A relao abaixo uma funo de A em B, pois existe uma relao biunvoca entre esses elementos. Observe que todos os elementos de A esto todos ligados a elementos de B e todos de A tm um nico correspondente em B. O nmero -2 est relacionado apenas com o nmero 4 (a imagem do -2 o 4). O nmero 2 est relacionado apenas com o nmero 4(a imagem do 2 o 4). O nmero 3 est relacionado apenas com o nmero 9 (a imagem do 3 o 9). O nmero 4 est relacionado apenas com o 16(a imagem do 4 o 16). Notao: B A f :x y = f(x) (lei da funo). Na verdade neste exemplo, o x est relacionado com um y que o quadrado do x. x y = f(x)= x2 Obs.: No so funes as relaes abaixo:a) No funo, pois de um nico elemento de A parte mais de uma correspondncia para B. b) No funo, pois tem elementos de A que no tem correspondente em B DOMNIO DE UMA FUNO (D(f)) um conjunto de todos os elementos do conjunto A (conjunto de partida das correspondncias). CONTRA DOMNIO de uma Funo (CD(f)) o conjunto de todos os elementos do conjunto B (conjunto de chegada das correspondncias). A B A - -2 - 2 - 3 - 4 - 4 - 9 - 16 - 25 --- ------- --- A B B 28 MATEMTICAPR VESTIBULAR Mdulo I Todos os direitos reservados a EDITORA ENSINO LTDA IMAGEM DE UMA FUNO (Im(f)) o conjunto dos elementos do conjunto B que esto associados aos elementos do conjunto A. Exemplo: 1. Verifique se o diagrama abaixo representa ou no uma funo. Indique o conjunto domnio, o contra domnio e a imagem. funo, pois cada elemento de A tem um nico correspondente em B. O nmero 1 est relacionado apenas com o zero e mais nenhum. O nmero 2 est relacionado apenas com o nmero 3 e mais nenhum. O nmero 3 est relacionado apenas com o nmero 4 e mais nenhum. O nmero 4 est relacionado apenas com o nmero 5 e mais nenhum. O conjunto {-1, 2, 3, 4} o conjunto Domnio. O conjunto {-1, 0, 3, 4, 5, 6} o conjunto Contra domnio. O conjunto {0, 3, 4, 5} o conjunto Imagem. Determinao do Domnio da Funo Almdaformaapresentadaacima,ondecadaconjuntorepresentadoporumdiagrama,existemoutrasmaneiras para determinar o domnio de uma funo. Temos: a) No caso da funo ser dada pela sua lei: f(x)= BA devemos lembrar que um quociente s definido se o denominador for diferente de zero, isto , B= 0. Ex.: a) f(x)= 25 2+xx A expresso X +2 denominador, logo no pode ser zero. X +2= 0x= -2. O domnio ento ser: D= {xe9/ x= -2} f(x)= nA , devemos lembrar que se n for par, ento, A >0. Se n for impar ento A pode ser qualquer valor real. - -1 - 2 - 3 - 4 - -1 - 0 - 3 - 4 - 5 - 6 A B 29 MATEMTICAPR VESTIBULAR Mdulo I Todos os direitos reservados a EDITORA ENSINO LTDA Exemplo a) f(x)= 43 2 xComo o ndice par ento 2x 3>0x>23 O domnio ser: D= {x e9/ x>23} Exemplo b) f(x) = 36 3 + x Como o ndice impar o resultado da expresso 36 3 + xexistir, ser definida para qualquer valor de x, logo: D=9 1) Relao a) Produto Cartesiano A x B = {(x,y) / xe A e ye B}, lemos produto cartesiano de A por B e o conjunto de pares (x, y) de forma que x pertena a A e y pertena a B. b) Relao de A em B qualquer subconjunto de AxB. 2) Funo Definio: Uma relao f de A em B funo se para todo x e A existe um nico Y e B tal que (x,y) e f. Notao: f: A B xy= f(x) 3) Zero de uma Funo (ou raiz) Um nmero k zero de y = f(x) se e somente se f(a) = O (entenda: ao substituir x por k, o resultado de y ser zero) 4) Domnio de uma funo Seja f: A B. Domnio de f o conjunto dos xe A para os quais f(x) e B. 5) Imagem de uma funo Se f: A B, imagem de f o conjunto dos ye B, tais que exista x e A relacionado com ele. 30 MATEMTICAPR VESTIBULAR Mdulo I Todos os direitos reservados a EDITORA ENSINO LTDA 6) Funes iguais As funes f e g so iguais se tem o mesmo domnio e f(x) = g(x) para todo x desse domnio. 7) Funo Composta Sejam as funes f: A B e g: B C. Funo composta de g e f a funof g :A C tal que)] ( [ ) ( x f g x f g = . 8) Tipos de funo Injetora: X1 X2f(X1) f(X2) Sobrejetora: Im(f) = contra-domnio de f Bijetora: injetora e sobrejetora 9) Funo Inversa Seja f: A B uma funo bijetora. Chamamos de inversa de f a funo f-1 :BA tal que: y = f(x) f-1(y) = X. 10) Funo Constante a funo f:R R definida por f(x) = C, Ce IR. Grfico: uma reta horizontal passando por (O, C) 31 MATEMTICAPR VESTIBULAR Mdulo I Todos os direitos reservados a EDITORA ENSINO LTDA FUNO DO 1 GRAU a funo f: R R definida por f(x) = ax + b. a coeficiente angular( valor da tangente do ngulo formado com o eixo x) b coeficiente linear ( interseo com o eixo y onde a reta corta o eixo y) Grfico: uma reta que corta o eixo y em (O, b) e : Decrescente se a < OCrescente se a > O 3 2 ) ( + = x x f3 2 ) ( + = x x f 3) ESTUDO DO SINAL 1 Determine o zero da funo (Raiz) e esboce o grfico. a < 0 a > 0 2 No estudo foi usada a regra abaixo. A esquerda da raiz sinal contrrio de a. A direita da raiz mesmo sinal de a. 32 MATEMTICAPR VESTIBULAR Mdulo I Todos os direitos reservados a EDITORA ENSINO LTDA FUNO DO 2 GRAU 1)Definio: a funo f : R R definida por f(x) = ax2 + bx + c, com a O. 2)Grfico: uma curva chamada parbola. a > 0 a < 0

4 5 ) (2+ = x x x f 4 5 ) (2 = x x x f No primeiro exemplo dizemos que4 12 1= = x e x so os zeros da funo ou razes. O ponto (0, C) a intercesso com o eixo y. Quando a maior que zero a funo ter mnimo, mas, se a menor que zero a funo ter mximo. 3) Vrtice xv = ab2 ; yv =a 4A 4) Frmula de Baskhara( para calcular as razes) x = ab2A 5) Discriminao das razes SeA> 0, a funo ter duas razes reais e distintas (x1 x2) SeA= 0, a funo ter duas razes reais e iguais (ou uma raiz dupla- x1 = x2) SeA< 0, a funo no ter razes reais. Lembre-se: A soma das razes e o produto das razes, chamado tambm de relao de Girard, devem ser usadas. X1 + X2 = ab e X1-X2 = ac 33 MATEMTICAPR VESTIBULAR Mdulo I Todos os direitos reservados a EDITORA ENSINO LTDA 5) Imagem da funo quadrtica Se a > O, ento Im(f) = {ye IR/ y a 4A } Se a < O, ento Im(f) = {ye IR/ y a 4A } 6) Estudo do sinal:1 caso:A > O O sinal de y entre as razes ser sinal contrrio de a, fora das razes o mesmo sinal de a. 2 caso:A = O 3 caso:A < 0 a >0 EXERCCIOS 1. (PUC-MG) Na funo f(x) =. 1 + x , f(a) = 3 , O valor de a : a)2 b) 4 c) 5D) 8 2. (PUC-MG) Se f(x) = 1223X, ento f (6) - f (2) igual a: a)3223b) 2236 c) 3323 d) 6226 3. (UNI-BH) Sabendo que f(a)= f(a - 1) + 1 e que f (2) = 1, o valor de f (O) : a)-2b)-1c)Od)1 4. (PUC-MG) Considere f (x) = x - 3 e f [g (x)] = 3x + 4. O valor de g (3) : a) 6b) 8c) 10d) 13e) 16 34 MATEMTICAPR VESTIBULAR Mdulo I Todos os direitos reservados a EDITORA ENSINO LTDA 6.(Itana-MG)AimpressodelivrostemumcustofixodeR$20,00,paraqualquerquantidadedeexemplares,eumcusto varivel, por unidade de R$ 3,00. A expresso que representa o custo total para a impresso de (x-3) exemplares : a) C(x) = 3x + 20 b) C(x) = 3x 11 c) C(x) = 3x + 1d) C(x) = 3x + 11 Gabarito: 12345 DDBDD FUNO MODULAR Chama-se mdulo ou valor absoluto de um nmero real x o nmero real representado por |x|, assim definido: < >=0 ,0 ,x se xx se xxEnto: -Se x positivo ou zero,x igual a x. -Se x negativo,x igual a x. O mdulo de um nmero real nunca negativo. Definiremos como equao modular toda a equao que contiver incgnita em mdulo em algum dos membros. Baseando-se nas idias de valor absoluto de um nmero faremos a seguinte definio de funo modular: < >=0 ,0 ,) (x se xx se xx f Veja o que ocorre com os grficos de uma funo modular.

x x f = ) ( x x f = ) ( 35 MATEMTICAPR VESTIBULAR Mdulo I Todos os direitos reservados a EDITORA ENSINO LTDA FUNO EXPONENCIAL Antes de introduzir o tema, faamos uma breve meno acerca das equaes exponenciais. Chama-se equao exponencial toda equao que contm incgnita no expoente. Exemplo:16 2 =x

Resoluo de equaes elementares: Exemplo:256 2 =x Resoluo: Transformando a equao dada em igualdade de mesma base, temos: 82 2 256 2 = =x x Igualando os expoentes, temos: 8 = x Resposta:{ } 8 = S Resoluo de equaes que exigem transformaes e artifcios: Exemplo: Resolver a equao0 4 2 5 2 = + x x Resoluo: Vamos inicialmente, realizar uma transformao: 0 4 ) 2 ( 5 ) 2 ( 0 4 2 5 22= + = + x x x x Fazendoyx= 2 , teremos a equao: ==== = A= + 1423 59 16 250 4 5, ,,2yyyy y Comoyx= 2 , temos: -2 2 2 4 22== = xx x -0 2 2 1 20== = xx x Resposta:{ } 2 , 0 = S Levando em considerao as idias propostas acima, realizaremos uma definio de funes exponenciais. Definio: A funo f: IR IR dada por xa x f = ) ((com0 1 > = a e a ) denominada funo exponencial de base a e definida para todo x real. Exemplo: xx f 2 ) ( = 36 MATEMTICAPR VESTIBULAR Mdulo I Todos os direitos reservados a EDITORA ENSINO LTDA Grficos: Quando a > 1 a funo crescente Quando 0 < a < 1 a funo decrescente.

FUNO LOGARTMICA Aocontrriodoquemuitosacreditam,oslogaritmosapresentam-sedemodosimplescomoumapoderosaferramentana resoluo de alguns problemas. Pense na seguinte situao: A que expoente x se deve elevar o nmero 3 para se obter 81? Pelo enunciado, temos: 4 3 3 81 34== = xx x

Essevalor4encontradoparaoexpoentexdenomina-selogaritmodonmero81nabase3eserepresentapor: 4 81 log3= A partir das idias acima podemos obter uma representao genrica para o logaritmo de um nmero. Definio: o logaritmo de um nmero real e positivo b, na base a, positiva e diferente de 1, o nmero x ao qual se deve elevar a para se obter b. b a x bxa= = logcom b > 0, e 0 < a 1. Propriedades operatrias 1 logb(a . c) = log ba + log bc 2 logb(a : c) = log ba - log bc 3 mablog = m.log ba 37 MATEMTICAPR VESTIBULAR Mdulo I Todos os direitos reservados a EDITORA ENSINO LTDA Mudana de base: bmam ablogloglog = Funo logartmica Suponhamos que a seja uma constante real tal que a> 0 e a 1. Chama-se funo logaritmo de base a a funo real de domnio nos reais positivos no nulos, por Y = f(x) = Exemplos A funo logaritimo de base 2 dada por y = na tabela abaixo, vemos alguns pares ordenados ((x,). A partir deles, construmos o grfico da funo. EXERCCO: 1.(UFMG) seja, a > 0. O valor da base a : a)1/16 b) 1/8c) 2 d) 10 e) 16 2.(UFMG), ento y igual a: 3.5x + 10b) 50xc)d) e) 4.(UFMG)A soluo da equao um nmero: a)Menor do que 3b) Entre - 2 e 1c) Entre 0 e 1d) Entre 2 e 3e) Maior do que 3 5.Uma determinada mquina industrial se deprecia de tal forma que seu valor, t anos aps a sua compra, dado por tv t v2 , 002 ) ( = , em que v0 uma constante real. Se, aps 10 anos, a mquina estiver valendo R$ 12 000,00, determine o valor que ela foi comprada. 6.Numa populao de bactrias, h tt p3 94 10 ) ( =bactrias, no instante t medido em horas (ou frao de horas). Sabendo-se que inicialmente existem 910 Bactrias, quantos minutos so necessrios para que se tenha o dobro da populao inicial? a)20b)12c)15d) 30e) 10 7. Pode-se determinar o instante da morte de um organismo utilizando-se a Lei de Resfriamento de Newton, segundo a qual a taxa de variao da temperatura de um corpo proporcional diferena entre as temperaturas do corpo e do meio externo.Nesse sentido, suponha que,nainvestigao de umhomicdio, atemperatura do cadver encontrado, 38 MATEMTICAPR VESTIBULAR Mdulo I Todos os direitos reservados a EDITORA ENSINO LTDA em oC, em horas (h) aps o bito, seja dada pela funo, em que: representa o instante em que o corpo foi encontrado; corresponde, em mdulo, quantidade de horas decorridas antes da descoberta do cadver; representa a quantidade de horas decorridas desde a descoberta do corpo; e uma constante positiva. Admitindo que, nessa situao hipottica, na hora do bito, a temperatura do corpo era de 37 oCeque,duashorasapsadescobertadocorpo,atemperaturaerade25 oCeconsiderando, ,, temos as seguintes afirmaes: -No instante em que o corpo foi descoberto, sua temperatura era inferior a 30oC. -A funo inversvel e sua inversa dada por -Com base nos dados, conclui-se que o bito ocorreu 40 minutos antes da descoberta do cadver. Se V representa verdadeiro e F falso, a sequncia correta : A) F, V, V B) V, F, FC) F, V, FD) V, V, F 8. (UFMG) Seja y =. Nesse caso o valor de y : a)35b) 56c) 49 d) 70 12345678 CECC48.000EAD 39 MATEMTICAPR VESTIBULAR Mdulo I Todos os direitos reservados a EDITORA ENSINO LTDA MATEMTICA COMERCIAL E FINANCEIRA. RAZO E PROPORO Razo entre dois nmeros a e b, com b 0, o quociente ba. -a denominado numerador, primeiro termo ou antecedente. -b denominado denominador, segundo termo ou conseqente. Ex.: Um corpo percorre 204km em 4 horas. Calcule sua velocidade mdia. A velocidade a razo entre a distancia e o tempo, logo: V= td = 4204= 51km/h Uma mistura homognea de volume 15dm3 possui massa de 45kg. Determine a densidade. Sabemos que densidade a razo entre massa e volume logo: D= vm= 1545= 3 kg/dm3, como a unidade usual de densidade g/cm3, podemos escrever: 31500045000cmg. Entre as razes h uma muito usada em geografia, engenharia e etc... Esta razo a ESCALA. A escala de uma figura a razo entre o comprimento no desenho e seu comprimento real. Exemplo: AdistnciarealentreascidadesAeB30km.Suarepresentao,emummapa,umsegmentode6cm.Quala escala utilizada? E=realdesenho noo Comprimento Compriment= kmcm306= cmcm300000006= 50000001 PROPORO Proporo a igualdade de duas razes. dcba=meios. de chamados so c e bextremos de chamados so d e a PROPRIEDADE FUNDAMENTAL Numa proporo, o produto dos meios igual ao produto dos extremos. dcba= c b. a.d = possvel trocar os meios ou os extremos, assim: Trocando os meios - dbca= 40 MATEMTICAPR VESTIBULAR Mdulo I Todos os direitos reservados a EDITORA ENSINO LTDA Trocando os extremos- acbd= OUTRAS PROPRIEDADES I) cd cab a = ou dd cbb a = II) bad bc a= ou dcd bc a= III) 22..bad bc a=ou 22..dcd bc a= GRANDEZAS GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS Duas grandezas so diretamente proporcionais quando variam sempre na mesma razo. Ex. A distancia percorrida e o tempo para percorr-la. Em 1 hora se percorre 80km Em 2 horas se percorre 160km Ao dobrar o tempo tambm fica dobrada a distncia percorrida. td = constante ou td = k(constante) GRADEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS Duas grandezas so inversamente proporcionais se variarem na razo inversa. Ex.: O nmero de operrios e o tempo que eles gastam para fazerem certa obra. Com 2 operrios gasta-se 27 dias para fazer uma obra. Com 6 operrios gasta-se 9 dias para fazer a mesma obra. Cabe ressaltar que os operrios tm a mesma capacidade produtiva. Observe tambm que ao triplicarmos o nmeros de operrios, o tempo ficou reduzido a tera parte (foi dividido por 3). Op x Dias um valor constante. DIVISO PROPORCIONAL Ex.a) Uma empresa teve, no ano, um lucro de R$ 360.000,00. Dividir esse lucro entre os trs scios A, B e C, cujas participaes no capital da empresa so proporcionais (diretamente proporcional) a 2, 3 e 5. Que parte do lucro cabe a cada um? Seja a parte de cada um A, B e C. Somando essas partes temos: A + B + C = 360000 kC B A= = =5 3 2Escrevemos 2A= kA= 2.k, 3B= kB = 3k; 5C= k; C= 5k. Substituindo: 2k+3k+5k = 360000010k = 360000 41 MATEMTICAPR VESTIBULAR Mdulo I Todos os direitos reservados a EDITORA ENSINO LTDA k= 10360000= 36000 Logo o scio: A= 2k= 2.(36000) = 72000 B= 3k = 3(36000) = 108000 C= 5k = 5.(36000) = 180000 b) Dividir o nmero 130 em partes inversamente proporcionais aos nmeros 2, 3 e 4. Seja x, y e z as partes, logo: x + y + z = 130 (I) kz y x= = =413121 temos ento: 21x=k x = 21k ; 31y=ky = 31k; 41z=k z= 41k Substituindo em (I): 1304 3 2= + +k k k, logo:130123 4 6=+ + k k k1301213=k k =120 x = 2120 = 60;y = 3120 = 40;z = 4120= 30 REGRA DE TRS o uso das propores na resoluo de problemas. REGRA DE TRS SIMPLES Denominamos regra de trs simples aos problemas que envolvem apenas duas grandezas variando. Ex.: a)Uma mquina produz 350 peas em 15 horas. Quantas peas produziro em trs horas? As grandezas do problema so: nmero de peas (P) e o tempo em horas (T). P T 350 15 x 3 Observe que se dobrarmos o nmero de peas, o nmero de horas ser dobrado tambm. Dizemos que as grandezas so diretamente proporcionais, logo: 315 350=x, usando a propriedade fundamental das propores vem: 15x = 350 x 3 x = 151050= 70 Logo a mquina produzir 70 peas em 3 horas. b)5 pessoas gastam 6 horas para executar uma tarefa. Em quanto tempo 3 pessoas igualmente eficientes executar a mesma tarefa? 42 MATEMTICAPR VESTIBULAR Mdulo I Todos os direitos reservados a EDITORA ENSINO LTDA c) P (pessoas) T(tempo em horas) 56 3x Nestesegundocaso,dobrandoonmerodepessoasonmerodehorasficarreduzidoametade.Dizemosqueas grandezas envolvidas so inversamente proporcionais. S com este raciocnio resolveria esta questo, mas usando o recurso de proporo temos: 6 35 x= 3.x = 5 . 6x = 330 =10 Resposta: as trs pessoas faro a mesma tarefa em 10 horas. REGRA DE TRS COMPOSTA Todo problema que envolve mais de duas grandezas variando resolvido por uma regra de trs composta. Ex.: a)Numafbrica,10mquinas,trabalhando20diasproduzem2000peas.Quantasmquinasseronecessriasparase produzir 1680 peas em 6 dias? Observe que as grandezas envolvidas, e que vo variar, so: nmero de mquinas(M), nmero de dias(D) e nmero de peas(P). Comparando as grandezas duas a duas, sempre com o que est pedindo, conclumos: -SedobrarmosoNdemquinas,onmerodediasficareduzidometade.Maquinasediasso inversamente proporcionais. -SedobrarmosoNdemquinas,onmerodepeastambmdobra.Mquinasepeassodiretamente proporcionais. MD P 10 20 2000 x 6 1680 16802000206 10- =xx= 28 mquinas. b) Sabe-se que 6 operrios, trabalhando 5 horas por dia, constroem um muro de 24 m de extenso em 8 dias. Em quantos dias 10operriosigualmenteeficientes,trabalhando10horaspordia,construiriamummurodomesmotipo,com50mde extenso? OHED 65 24 8 1010 50x 43 MATEMTICAPR VESTIBULAR Mdulo I Todos os direitos reservados a EDITORA ENSINO LTDA -Sedobrarmosonmerodeoperrios,onmerodediascaiparametade.Operriosediasso inversamente proporcionais. -Sedobrarmosashoras trabalhadas,onmerodediasparafazerum servioreduzirametade.Horas e dias so inversamente proporcionais. -Se dobrarmos a extenso do muro, o nmero de dias para faz-lo dobrar. Extenso e dias so diretamente proporcionais. 5024510610 8- - =xx= 5 dias EXERCCIOS 1.(UFOP-MG) Na planta de uma casa, escala 1:100, a rea de uma sala retangular, com dimenses de 5m por 6m : 2.(UFMG) Quando um litro de leo mineral misturado com um milho de litros de gua doce, esta deixa de ser potvel. A quantidade de leo mineral suficiente para estragar os 3,5 xlitros de gua do solo que abastecem anualmente uma determinada cidade : a)3.500Lb) 35.000Lc) 350.000L d) 3.500.000Le) 35.000.000L 3.(UFMG) Para remoo dos escombros de um desabamento foram previstos 80 homens trabalhando durante 12 dias. Desejando acelerar o ritmo das obras, quantos homens devem ser acrescentados para que o servio esteja pronto em 8 dias? a)40b) 21c) 54d) 120e) 60 4.(USP) Uma famliacomposta de 6 pessoas consome em 2 dias 3Kg de po. Quantos quilos sero necessrios para aliment-la durante 5 dias? a)3b) 2c) 4d) 6e) 7,5 5.(UFMG) dez maquinas, funcionando 6 horas por dia, durante 60 dias, produzem 90.000 peas. O nmero de dias para que 12 maquinas, funcionando 8 horas por dia, produzem 192.000peas : a)40b) 50c) 70d) 80e) 90 6.(UCMG) Se, para encher um tanque, uma torneira A gasta 3h, e outra torneira B, gasta 7h , ambas abertas ao mesmo tempo levam: a)1h e 15min b) 2h e 06min c) 2h e 10min d) 2h e 20mine) 2h e 30min Gabarito 123456 DACEDB 44 MATEMTICAPR VESTIBULAR Mdulo I Todos os direitos reservados a EDITORA ENSINO LTDA PORCENTAGEM uma razo cujo denominador 100. Consideramos nesse caso sempre num total de 100. Quando dizemos que tivemos 7% de aumento sobre o salrio, estamos na verdade dizendo que para cada 100 reais do salrio ouve um aumento de 7 reais. Ex.: a)Dos 56 alunos de uma sala, 42 foram aprovados no concurso da polcia federal. Qual foi o percentual de aprovados? 1 maneira 42 em 56, quantos em 100?100 5642 x= x = 75% 2 maneira 5642 = 0,75 isto seria taxa unitria, portanto em 100 s multiplicar por 100. FATOR DE AUMENTO E DESCONTOS. Ex.: a) O valor de uma bicicleta foi reajustado de 250 para 320 reais. Vamos efetuar e interpretar a razo entre o valor final (320) e o valor inicial (250). 250320= 1,28 = 1 + 0,28 = 1 + 28% A razo encontrada maior que 1, porque houve aumento(reajuste). O 1 representa os 100%, correspondente ao valor inicial.O 0,28 representa 28%, correspondente ao percentual de aumento. Ex. b)UmaparelhodeDVDquetinhapreode250reais, estnumapromoode190reais. Vamosnovamente calculare interpretara razo entre o valor final(190) e o valor inicial(250). 250190= 0,76 = 1 -0,24 = 1 24% Agora a razo foi menor que 1, porque houve desconto. O resultado apresenta dois valores: O 1 representa 100%, correspondente ao valor inicial; O 0,24 representa 24%, correspondente ao percentual de desconto. 1 + i chamado de fator de aumento e, 1 i fator de desconto. JUROS Emsituaesdeemprstimo,ondeousetomaemprestadoumcapitalouseemprestaumcapital,asgrandezasa serem consideradas so: -CAPITAL(C): Valor do emprstimo -JUROS(J): Valor pago pelo capital emprestado. -TAXA(i):um coeficientereferenteaumdadotempo.aremuneraodaunidadedocapitalduranteum tempo. -TEMPO(n): tempo de emprstimo -MONTANTE(M): Soma do capital mais os juros. (O total a ser devolvido) 45 MATEMTICAPR VESTIBULAR Mdulo I Todos os direitos reservados a EDITORA ENSINO LTDA JUROS SIMPLES. Quando a taxa fixa e for calculada sempre sobre o valor inicial. Ex.: Se voc emprestar R$ 100,00 a juros simples de 5% ao ms, receber ao fim do primeiro ms, R$ 5,00 de juros, aps o segundo ms, R$ 5,00 e assim por diante. O clculo dos juros simples 100n i CJ- -= , lembrando que:J = juros, i = taxa (numa unidade de tempo), n = tempo JUROS COMPOSTOS O juro ser composto se, ao final de cada unidade de tempo, for incorporado ao capital. So calculados tendo como base o montante da dvida acumulada no final de cada perodo Ex.: Se voc emprestar R$ 100,00 a juros compostos, a uma taxa de 5% ao ms tem-se: Ao final do primeiro ms Juros = 5,00 e o capital no ser mais 100 e sim M = 100 +5 = 105 Ao final do segundo ms Juros = 5,25 e M = 105 + 5,25 = 110,25 O calculo do montante nos juros compostos ( )ni c M + - = 1 EXERCCIOS: 1.(PUC-SP) Dentre os inscritos em um concurso publico, 60% so homens e 40% so mulheres. J tm emprego 80% dos homens e 30% das mulheres. Qual a porcentagem dos candidatos que j tem emprego? a)60%b) 40%c) 30% d) 24%e) 12% 2.Um capital empregado nas seguintes condies: a metade a 3% ao ano e o restante a 8% ao ano. A que taxa nica anual poderia ser empregado todo o capital a fim de se obter o mesmo rendimento anual? a)4,5%b) 4%c) 16%d) 5%e) Nenhuma anterior 3.(FUVEST) Uma loja vende seus artigos nas seguintes condies: vista com 30% de desconto sobre o preo de tabela ou no carto de credito com 10% de acrscimo sobre o preo de tabela. Um artigo que vista sai por R$ 7.000,00 no carto sair por: a)R$ 13.000,00b) R$ 11.000,00c) R$ 10.010,00d) R$ 9.800,00e) R$7.700,00 4.Asmulheres constituem60%dapopulaodeumacidade.Sabe-seaindaque10%doshomens e15%damulheres so analfabetos. O percentual de habitantes alfabetizados nesta cidade : a)88%b) 87%c) 86,5% d) 86%e) 85% 46 MATEMTICAPR VESTIBULAR Mdulo I Todos os direitos reservados a EDITORA ENSINO LTDA 5.DurantequantotempoumacapitaldeR$2.000,00deveseraplicado,taxade2%aomsparaproduzirum montante de R$ 3.500,00? a)3 anosb) 37 mesesc) 1080 diasd) 1125 diase) 1150 dias 6.(CESGRANRIO) se o seu salrio subiu 56%, e os preos subiram 30%, de quanto aumentou o seu poder de compra? a)20%b) 21%c) 23%d) 25%e) 26% 7.Um capital de R$ 5.000,00 produziu, durante 4 meses, um juros simples igual a 12% desse mesmo capital. A que taxa mensal foi aplicado o capital? a)3,6%b) 3%c) 4%d) 3,5% 8.(UCMG) O tempo necessrio em anos pra que um capital C se quadruplique, estando emprestado a juros simples de 12% ao ano : a)36b) 25c) 24d) 28e) 32 9.(UFMG)umapessoatem60%doseucapitalaplicadotaxade5,5%aomseorestantea5%aoms;osjuros produzidos foram de R$ 2.650,00. O capital inicial de: a)R$ 40.000,00b) R$ 45.000,00c) R$ 50.000,00d) R$ 53.000,00e) R$ 55.000,00 Gabarito 123456789 AABBDEBBC