Apostila Estruturas Em Trelica

Estruturas

em Trelia

Prof. Eduardo Mesquita

- 2006 -

EESSTTRRUUTTUURRAASS EEMM TTRREELLIIAA

So estruturas lineares, formadas por barras que no conjunto devem formar uma

UNIVERSIDADE FUMEC - FEA

Estruturas em Trelia

1

estrutura indeformvel.

Estrutura deformvel

11.. TTIIPPOOSS DDEE TTRREELLIIAA

11..11 -- TTrreelliiaass PPllaannaass

Suas barras esto num mesmo plano.

11..22 -- TTrreelliiaass TTrriiddiimmeennssiioonnaaiiss

Suas barras esto todas em planos diferentes. As trelias so utilizadas para

coberturas, pontes, como vigas de lanamento, etc.

22.. HHIIPPTTEESSEESS PPAARRAA OOSS VVRRIIOOSS PPRROOCCEESSSSOOSS DDEE CCLLCCUULLOOSS

22..11 As barras da trelia so ligadas entre si por intermdio de articulaes sem atrito.

22..22 As cargas e reaes aplicam-se somente nos ns da estrutura.

22..33 O eixo de cada barra coincide com a reta que une os centros das articulaes (como nas estruturas lineares).

Satisfeitas todas as hipteses mencionadas, as barras da trelia s sero

solicitadas por foras normais.

33.. EESSFFOORROOSS SSOOLLIICCIITTAANNTTEESS

Foras Normais

As tenses provocadas por estas foras so chamadas tenses primrias.

Barra indeformvel

trao

compresso

N

N N

N

A A

B B



2

N

S (verificao da resistncia da pea)

Observaes:

1. Na prtica no se consegue obter uma articulao perfeita, sem atrito. As articulaes so formadas por chapas rebitadas ou soldadas, que podem ser

consideradas praticamente rgidas.

2. Devido ao fato de no termos uma articulao perfeita aparecer momento fletor e fora cortante, porm este estudo no parte do nosso curso.

3. Tambm o peso prprio da barra provoca flexo na mesma, s que desprezvel por ser muito pequeno. O peso da barra vai aplicado nos ns.

44.. TTRREELLIIAASS IISSOOSSTTTTIICCAASS EE HHIIPPEERREESSTTTTIICCAASS

Dados os valores das foras P1, P2, P3 e P4, se conseguirmos determinar, pelas

seo da pea

A

B

P/2

P/2

P1 P2

R1 P3 R2

P4



3

equaes da esttica, os valores de R1 e R2 e os esforos nas barras, ela isosttica.

Se determinarmos somente as reaes de apoio ela dita internamente hiperesttica

(as incgnitas so as foras normais).

Quando nem as reaes se determinam ela dita externamente hiperesttica.

As incgnitas a se determinarem so:

As reaes de apoio HA, VA e VB, chamadas de vnculos representados pela letra V.

Esforos normais nas barras representados pela letra b.

Logo o nmero de incgnitas (b + V).

Portanto, para cada n da estrutura

ns temos duas equaes, logo se a

estrutura possuir N ns, teremos 2N

equaes.

Portanto, para uma trelia ser isosttica, devemos ter b V 2N

Trelia hiperesttica b + V > 2N.

O grau de hiperestaticidade de uma trelia dado pela equao:

g = (b + V) 2N

Se g = 0 a trelia isosttica.

HA

P2

A

VB

B

VA

P

N1

N2 N3

x x

y y

N P 0

N P 0



4

Exemplos:

v = 3, b = 11, N = 7 v = 3, b = 9

b + v = 14 2N = 14 N = 6 b + v = 12 2N = 12

Isosttica Isosttica

v = 4, b = 13, N = 8 v = 3, b = 14, N = 8

b + v = 17 2N = 16 b + v = 17, 2N = 16

Hiperesttica (g = 1) Hiperesttica (g = 1)

Incgnita: uma das reaes de Incgnita: esforo de uma das

apoio externamente barras- internamente hiperesttica. hiperesttica.

55 TTRREELLIIAASS SSIIMMPPLLEESS

Geralmente quase todas as trelias so formadas a partir de um tringulo

inicial. Para cada novo n introduzido, basta acrescentar duas barras no colineares.

Se o nmero de vnculos relativos s trelias acima mencionadas forem iguais a 3, as

trelias sero sempre isostticas b + 3 = 2N

Observaes:

1. A trelia hiperesttica com 3 vnculos, conforme desenho acima, tem uma barra a

mais, logo no entra nesta classificao.



5

66.. PPRROOCCEESSSSOOSS DDEE RREESSOOLLUUOO

66..11 PPrroocceessssoo ddooss NNss

Seja o n C, da trelia ABCDEF. Nele concorrem as barras conforme a figura

abaixo:

Conforme j dissemos, cada n apresenta duas equaes e, se admitirmos que todas as barras estejam tracionadas, teremos:

N C: 1 1 3 2 4

1 1 3 2 2

H 0 P cos N cos N 0

V 0 P sen N sen N 0

Genericamente, teremos:

Ncos H (componente horizontal de P1) = 0

Nsen V (componente vertical de P1) = 0

As componentes verticais em funo do seno.

As componentes horizontais em funo do cosseno.

Os valores de H e V podem ser positivos ou negativos, se as foras forem de trao e

compresso, respectivamente.

Conveno: H e V

C D E 4 5

2 3

1

A

6 7 9

8

F B

P1

N2 N3

N4

P1

C

2

1

+ +



6

66..22 CCaassooss ddee SSiimmpplliiffiiccaaoo

Para carregamentos particulares pode acontecer que uma trelia possua barra

ou barras no solicitada(s), ou ento solicitadas pela mesma fora normal. Em muitos casos a identificao destas barras imediata, simplificando bastante o

clculo da trelia.

Seja a trelia abaixo:

N A duas barras no coaxiais sem foras externas aplicadas.

N1 = N4 = 0 as barras no esto solicitadas.

N C duas barras no coaxiais sem foras externas aplicadas.

N5 = 0

N2 = N6

N B duas barras no coaxiais sem foras externas aplicadas.

N17 = -P3 (compresso).

N16 = 0

N D duas barras no coaxiais sem foras externas aplicadas.

N10 = N14

N13 = 0

N E duas barras no coaxiais sem foras externas aplicadas.

N8 = N12

N9 = - P2 (compresso).

A E2 4 8

1 3

2

5 7 9

6

C

B

P1

12 16

11

10

13 15 17

14

D

P2

P3



7

66..33 PPrroocceessssooss ddooss CCooeeffiicciieenntteess ddee FFoorraa

Esse processo anlogo ao dos ns, mas leva muito mais vantagens se

houver muitas barras com inclinaes diferentes, principalmente se os

comprimentos dessas barras forem obtidos por simples medio num esquema da estrutura.

Vamos supor uma barra AB qualquer de comprimento l de projees h e v (horizontal e vertical, respectivamente).

Da figura, tiramos: v h

sen e cos , sendol l

o ngulo que a barra AB faz com

a horizontal. Voltando ao processo dos ns, onde tnhamos:

N cos H 0 , substitumos os valores do cos e sen , ficando:

N sen V 0

hN H 0

l

v

N V 0l

onde N, h, v e l em cada parcela das somatrias, referem-se a uma mesma

barra.

O coeficiente de foras de uma barra obtido da relao: N

tl

, que substituindo nas

equaes acima nos d: th H 0

tv V 0

A

B

h

v l

horizontal



8

Atravs das equaes acima, determinamos os valores de t correspondentes s diversas barras da estrutura. Em seguida, obtemos as foras normais, multiplicando-

se os valores de t pelos comprimentos das respectivas barras.

Exerccio: Resolver a trelia dada nos exemplos anteriores pelo processo dos

coeficientes de fora.

N Equao Barra t (tf/m) l (m) N (tf)

A V 3,97 + 3t1 = 0 1 -1,32 3 -3,96

H 5,2 + 4t2 = 0 2 -1,3 4 -5,2

B

V -3t1 - 3t3 = 0 3 1,32 5 6,6

H 4t4 + 4t3 = 0 4 -1,32 4 -5,28

C V -2-3t5 - 3t7 = 0 5 -1,32 3 -3,96

H -4t4 + 4t7 + 4t8 = 0 6 0,02 4 0,08

D

V +3t3 + 3t5 = 0 7 0,65 5 3,25

H -4t2 - 4t3 + 4t6 = 0 8 -1,97 4 -7,88

E V -4 - 3t9 - 3t11 = 0 9 -0,65 3 -1,95

H -4t8 + 4t12 + 4t11 = 0 10 0,68 4 2,72

F

V 3t9 + 3t7 = 0 11 -0,68 5 -3,4

H -4t7 - 4t6 + 4t10 = 0 12 -1,29 4 -5,16

G V -6cos60 - 3t13 = 0 13 -1 3 -3

H

66..44 PPrroocceessssoo ddaass SSeeeess oouu ddee RRiitttteerr

Como vimos no processo dos ns, admitimos cortadas todas as barras da trelia

e consideramos sucessivamente as condies de equilbrio (H = 0 e V = 0) relativas a todos os ns, um a um.

B E 4 8

1 3

2

5 7 9

6

D

A

2tf

12

16 11

10

13 3 m

HA=5,2 tf

H F

30 C G

4tf 6tf

4 m

VB=5,03 tf

4 m 4 m

VA=3,97 tf



9

Esse processo utilizado quando se deseja determinar as foras normais em

todas as barras.

No processo das sees temos condies de obter a fora normal em

apenas algumas barras ou somente em uma nica.

Neste caso, estabelecemos as condies de equilbrio do reticulado que resulta,

quando aplicamos os cortes naquelas barras cujas foras normais procuramos. Este processo permite, com sucesso, a resoluo de diversos casos de trelias

simples e compostas (associao de uma ou mais trelias que no podem ser

obtidas seguindo-se a lei da formao das trelias simples) tornando-se, entretanto, impraticvel no caso das trelias complexas.

Ao partirmos a barra CE a trelia se transforma em dois reticulados geomtricos indeformveis e interligados pela articulao F.

Logo os momentos relativos a quaisquer foras de um lado ou de outro lado dos

reticulados devem ser nulos.

Tomando, por exemplo, a parte situada esquerda de F, temos:

3NCE 2x4 3,97x8 0 3NCE 23,76 NCE 7,92tf

B E

D

A

2tf

3 m

5,2 tf

H F

30 C G

4tf 6tf

4 m

5,03 tf

4 m 4 m

3,97 tf

B E

D

A

2tf

3 m

5,2 tf

H F

30 C G

4tf 6tf

4 m

5,03 tf

4 m 4 m

3,97 tf

NCE NCE

Banzo sup.



10

Calcular a fora normal na barra CF diagonal:

Nestas condies os dois reticulados esto ligados por duas barras biarticuladas paralelas CE e DF, incapazes de impedir o deslocamento na direo vertical.

Desta forma, para no acontecer movimento relativo das partes, fazemos V 0 . Relativo a um ou outro reticulado.

Tomando o reticulado da esquerda, temos:

V 0 3,97 2 NCFsen 0

1,971,97 0,6NCF NCF 3,28 tf

0,6

Os reticulados esto interligados por duas retas paralelas BC e DF. Tambm neste caso os reticulados so incapazes de impedir o deslocamento na direo vertical. Logo

B E

D

A

2tf

3 m

5,2 tf

H F

30 C G

4tf 6tf

4 m

5,03 tf

4 m 4 m

3,97 tf

NCF

NCF

3 m

B E

D

A

2tf

5,2 tf

H F

30 C G

4tf 6tf

4 m

5,03 tf

4 m 4 m

3,97 tf

NCD

NCD



11

temos que fazer V 0.

Vamos pega os reticulado da esquerda, logo teremos:

O da esquerda: V 0 3,97 NCD 0 NCD 3,97tf.

O da direita: 2 NCD 4 5,03 6x0,5 0 9 5,03 NCD NCD 3,97tf.

Exerccio: Dado o sistema reticulado abaixo, pede-se:

Calcular as reaes de apoio.

Calcular os esforos normais em todas as barras.

Obs: Utilizar duas casas decimais.

AH 0 H 3 3 0 AH 6KN

A B A BV 0 V V 2 2 2 0 V V 6KN AV 6,8KN

A B BM 0 5V 3x5 2x3 2x7 3x3 0 5V 4KN BV 0,8KN

cos sen 0,71

3cos 0,83

3,61

sen 0,55

2cos 0,55

3,61

3sen 0,83

3,61

+

+

+

3 m

2 m

5 7

6

90 90

90

90 3

4

1

A

D 3 KN

B

C E

2 KN

3 KN

2 KN

2 KN

3 m 2 m 2 m

HA = 6 KN

VA = 6,8 KN VB = -0,8 KN



12

N E

6 7 6 6H 0 3 N N x0,55 0 3 2,41x0,55 N N 1,67KN

7 7V 0 2 N x0,83 0 N 2 /0,83 2,41KN

N D

2 2H 0 3 N x0,83 0 N 3 /0,83 3,61KN

1 1V 0 2 N 3,61x0,55 0 N 3,99KN

N A

1 3 3 3V 0 6,8 N N x0,71 0 6,8 3,99 N x0,71 N 3,96KN

3 4 4H 0 6 N x0,71 N N 3,19KN

N B

5 7V 0 0,8 N x0,83 N x0,83 0

5 50,8 2,41x0,83 N x0,83 N 2,8 /0,83 3,37KN

2 KN

3 KN N6

N7

+

3 KN

+

2 KN

N2

N1

90

N4

6 KN

N3 N1

90

6,8 KN

N4

6 KN

N7 N5 90

-0,8 KN

90



13

cos 0,6

sen 0,8

cos sen 0,71

5cos 0,86

5,83

3sen 0,51

5,83

A BH 0 2 8 H H 0 A B BH H 10KN H 15,14KN

BV 0 V 4 6 0

BV 10,00KN

BBM 0 V 4x9 8x3

6x 4 A7H 0 AH 5,14KN

N A

2H 0 N x0,71 5,14 2N 7,24KN

1 2V 0 N N x0,71 0

1N 5,14KN

N C

4V 0 N x0,51 4

4N 7,84KN

5H 0 2 7,84x0,86 N 5N 8,75KN

N B

1 3 3V 0 N N x0,6 10 0 5,14 10 N x0,6

3N 8,1KN

Prova:

+

+

90

N2

N1

90

-5,14 KN

N4

2 KN

4 KN

N5

+

+ N5

N3

15,14 KN

N1

10 KN

90

5 m 4 m

4 kn

2 kn

4

C 5

3

90

90

90

90

D

8 kn

10 kn 6 kn 2

1

90

A HA = -5,14 KN

4 m

3 m

B HB =15,14 KN

VB = 10 KN



14

3 3H 0 15,14 8,75 N x0,8 6,39 N x0,8 3N 7,99KN

NS EQUAES BAR RAS

N (KN)

A H 2 1 2

N N cos 0 N 8,13x0,55 2 -4,47

V 1 16,75 N sen 0 N 6,75 /0,83 1 8,13

C H 4 4

4 8,13x0,55 3,87x0,71 N 0 N 3,22 4 3,22

V 1 3N sen N cos 4

3 38,13x0,83 N x0,71 4 N 2,75 /0,71 3 -3,87

B H

5 7N 10 N x0,71 0

5 5N 10 3,25 0 N 6,75 5 -6,75

V 7 73,25 N x0,71 0 N 3,25 /0,71 7 4,58

E H

4 6 7N N xcos N cos 6 0

6 63,22 4,58x0,71 6 N x0,89 N 0,47 /0,89 6 -0,53

V

H

2 3cos 0,55;sen 0,83

3,61 3,61

sen cos 0,71 cos sen 0,71

V 6 3cos 0,89 sen 0,45

6,71 6,71

2 3cos 0,55 sen 0,83 sen cos 0,71

3,61 3,61

A B D 2

VA = 6,75 KN VB = 3,25 KN

5

3 KN

HB = 10 KN

3 m 3

E 6 KN

3 KN

7

90 90

90

90

90 1

4

C

2 m

4 KN

3 m 3 m 3 m

4 KN

6

N1

N2

6,75 KN

90

N1

N4 4 KN

90 N3

4 KN

N7

10 KN

6,75

90

N5

N6

6 KN N4

90

3 KN

N7



15

6 3cos 0,89 sen 0,45 cos sen 0,71

6,71 3,61

H 0 AH 5 KN A JV 0 V V 4KN

AV 2,07KN

AM 0 1x2 1x 4 1x9 1x12 2x2

2x2 J14V JV 1,93KN

NDE

DEV 0 N 1 2,07 0

DEN 1,07KN (Ret. a esq.)

NDG

DG DGV 0 N x0,63 1 1 2,07 0 0,63N 0,07

DGN 0,11KN (Ret. a esq.)

NEG

EGDM 0 1x2 2,07x 4 5x2 N x 4 0

EGN 0,93KN (Ret. a esq.)

NFH

FHIM 0 N x 4 2x 4 1,93x2 1x2 0

FHN 3,47KN (Ret. a dir.)

1 KN

B

1 KN

D

1 KN

F

1 KN

H 2 KN

2 m

1 KN

2 m

2 KN

2 m 3 m 5 m 2 m 2 m C E G I

J

VJ=1,93 KN VA=2,07KN

A

HA=5 KN

6,4 90

+



16

BH 0 2 2 H 0 BH 4 KN

A BV 0 V V 5KN

AV 5 2,31 2,69KN

AM 0 2x3 1x1,5

1x 1,5 B1x5,5 1x7,5 1x12,5 2x3 4x5 V x14,5 0

B14,5V 33,5KN BV 2,31KN

NIK

IK IKLM 0 3N 2x3 2,31x2 4x1 0 3N 2,62KN

IKN 0,87KN (Ret. a dir.)

NFH

FHEM 0 N x3 1x3 2,69x1,5 0

FHN 0,35KN (Ret. a esq.)

NGJ

GJ GJV 0 1 N x0,83 1 2,31 0 N 0,31/0,83 0,37KN

GIN 0,37KN (Ret. a dir.)

2 3cos 0,55 sen 0,83

3,61 3,61

NIJ

IJ IJV 0 N 1 2,31 0 N 1,31KN

IJN 1,31KN (Ret. a dir.)

1 KN 1 KN 1 KN 1 KN

1 KN

2 KN

3 m

2 m

1 m

2 m

VB=2,31KN

HB=4KN

2 m 5 m

B

L J H

K I G E

F

C

D

A

4 m 1,5 m 1,5 m

VA=2,69KN

2 KN

+



17

5sen

5

2 5cos

5

2 5sen

5

5cos

5

Reaes de Apoio

A C A

C C

C A A

V 0 V V 12t V 12t

H 0 H 12t V 0

M 0 V x6 6 x6 6 x6 0 V 12t

Equilbrio dos Ns

N A A 1 2

2

V 0 V N N sen 0

H 0 6 N cos 0

N B 1 3

5 3

V 0 6 N N sen45 0

H 0 6 N N cos45 0

N C C 4

C 5 4

V 0 V 6 N sen 0

H 0 H N N cos 0

6 t

6 t

6 t

HC

VC

VA

2 m 4 m

6 t

C B

A

D

5

3 4

1

2

2 m

4 m

1

2

N 0

N 6 5t

3

4

5

N 6 2 t

N 6 5 t

N 0



18

N Equao

A V A 1V 5T 0

H 5 T2 = 0

B V VB + 5T3 + 10T4 + 10T5 = 0

H -HB 5T2 5T3 5T4 = 0

C V -5T1 5T3 + 5T7 + 5T9 =0

H - 12T9 + 5T3 = 0

D V -P2 10T5 = 0

H -5T6 = 0

E V -5T7 10T4 = 0

H -12T8 + 5TA + 5T6 = 0

F V -P1 5T9 = 0

H 12T8 + 12T9 = 0

A B

C

D E F

5

6

4

3

2

1

7

8

9

HB

VB VA 5 m 12 m

5 m

5 m

P1=500kg P2=1500kg

Reaes

VA 1700

VB 300

HB 0

T L Normal

1 -340 5 -1700

2 0 5 0

3 -240 7,07 -1697

4 240 11,18 2683

5 -150 10 -1500

6 0 5 0

7 -480 5 -2400

8 100 12 1200

9 -100 13 -1300



19

Exerccio:

N Equao

B V 91 N 0

H 1 2N N 0

E V 9 5 42 N N sen N sen 0

H 5 4N cos N cos 0

F V 5 7 63 N sen N sen N 0

H 5 7N cos N cos 0

D V 4 8N sen N sen 3 0

H A 85 N cos N cos 0

C V C 3 7V N N sen 0

H 2 7N N cos 0

A V A 6 8V N N sen 0

H A 1 8H N N cos 0

2t

E

5t D F

A

6

7

5

9

4

8

3

2 1

3t

HA C

B 1t

VA VC

2 m 2 m

1,5 m

3 m



20

1. Calcular as foras normais nas barras da trelia:

2. a) Verificar se a trelia isosttica.

b) Calcular a fora normal em todas as barras da trelia, utilizar o processo dos

ns ou o processo dos coeficientes de fora.

3t 5t

2t D 7 E

6

5

4

3

C

1

2

A B

4 m 4 m

6 m

1000 kgf

A

B

1 2

3 C 500 kgf

4

D

5 6

7 E

8

4 m

9

F

2 m

3 m

3 m

5 m



21

3. Dada a trelia, determinar as reaes de apoio e a fora normal nas barras:

4. Determinar as foras normais da trelia abaixo (qualquer mtodo):

5. Dada a trelia abaixo, pede-se verificar se a mesma isosttica, suas reaes de apoio e as foras normais em todas as suas barras.

5t 4 m 4 m

3 m

3t

2t

C

B

D

6 m 4 m

3 m

3 m 7 m

A E B

C D F 5 t

2 t

4 m

A B

4

3

1 2

C D 7

3 m

8

6 5 3 m

E F

3 m

11

12 10 9

2 KN

G 13

2,54 KN 4 KN

60



22

NS EQUAES N (EM KN)

A H

V

B H

V

C H

V

D H

V

E H

V

F H

V

G H

V

H H

V

Apostila Estruturas Em Trelica

Documents

Transcript of Apostila Estruturas Em Trelica