Apostila Estruturas Em Treliça

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Apostila de Estruturas em Treliças

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  • Estruturas em Trelia

    Prof. Eduardo Mesquita

    - 2006 - EESSTTRRUUTTUURRAASS EEMM TTRREELLIIAA So estruturas lineares, formadas por barras que no conjunto devem formar uma

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    Estruturas em Trelia

    1

    estrutura indeformvel. Estrutura deformvel

    11.. TTIIPPOOSS DDEE TTRREELLIIAA 11..11 -- TTrreelliiaass PPllaannaass

    Suas barras esto num mesmo plano.

    11..22 -- TTrreelliiaass TTrriiddiimmeennssiioonnaaiiss

    Suas barras esto todas em planos diferentes. As trelias so utilizadas para coberturas, pontes, como vigas de lanamento, etc.

    22.. HHIIPPTTEESSEESS PPAARRAA OOSS VVRRIIOOSS PPRROOCCEESSSSOOSS DDEE CCLLCCUULLOOSS 22..11 As barras da trelia so ligadas entre si por intermdio de articulaes

    sem atrito. 22..22 As cargas e reaes aplicam-se somente nos ns da estrutura. 22..33 O eixo de cada barra coincide com a reta que une os centros das articulaes

    (como nas estruturas lineares). Satisfeitas todas as hipteses mencionadas, as barras da trelia s sero solicitadas por foras normais.

    33.. EESSFFOORROOSS SSOOLLIICCIITTAANNTTEESS Foras Normais As tenses provocadas por estas foras so chamadas tenses primrias.

    Barra indeformvel

    trao compresso

    N

    N N

    N

    A A

    B B

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    NS

    = (verificao da resistncia da pea)

    Observaes:

    1. Na prtica no se consegue obter uma articulao perfeita, sem atrito. As

    articulaes so formadas por chapas rebitadas ou soldadas, que podem ser consideradas praticamente rgidas.

    2. Devido ao fato de no termos uma articulao perfeita aparecer momento fletor e

    fora cortante, porm este estudo no parte do nosso curso.

    3. Tambm o peso prprio da barra provoca flexo na mesma, s que desprezvel

    por ser muito pequeno. O peso da barra vai aplicado nos ns.

    44.. TTRREELLIIAASS IISSOOSSTTTTIICCAASS EE HHIIPPEERREESSTTTTIICCAASS

    Dados os valores das foras P1, P2, P3 e P4, se conseguirmos determinar, pelas

    seo da pea

    A

    B

    P/2

    P/2

    P1 P2

    R1 P3 R2

    P4

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    equaes da esttica, os valores de R1 e R2 e os esforos nas barras, ela isosttica.

    Se determinarmos somente as reaes de apoio ela dita internamente hiperesttica (as incgnitas so as foras normais).

    Quando nem as reaes se determinam ela dita externamente hiperesttica.

    As incgnitas a se determinarem so:

    As reaes de apoio HA, VA e VB, chamadas de vnculos representados pela letra V. Esforos normais nas barras representados pela letra b.

    Logo o nmero de incgnitas (b + V).

    Portanto, para cada n da estrutura ns temos duas equaes, logo se a estrutura possuir N ns, teremos 2N equaes.

    Portanto, para uma trelia ser isosttica, devemos ter b V 2N+ = Trelia hiperesttica b + V > 2N.

    O grau de hiperestaticidade de uma trelia dado pela equao:

    g = (b + V) 2N

    Se g = 0 a trelia isosttica.

    HA

    P2

    A

    VB

    B

    VA

    P

    N1

    N2 N3

    x x

    y y

    N P 0

    N P 0

    + =+ =

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    Exemplos:

    v = 3, b = 11, N = 7 v = 3, b = 9

    b + v = 14 2N = 14 N = 6 b + v = 12 2N = 12

    Isosttica Isosttica

    v = 4, b = 13, N = 8 v = 3, b = 14, N = 8

    b + v = 17 2N = 16 b + v = 17, 2N = 16

    Hiperesttica (g = 1) Hiperesttica (g = 1)

    Incgnita: uma das reaes de Incgnita: esforo de uma das apoio externamente barras- internamente hiperesttica. hiperesttica.

    55 TTRREELLIIAASS SSIIMMPPLLEESS

    Geralmente quase todas as trelias so formadas a partir de um tringulo inicial. Para cada novo n introduzido, basta acrescentar duas barras no colineares.

    Se o nmero de vnculos relativos s trelias acima mencionadas forem iguais a 3, as trelias sero sempre isostticas b + 3 = 2N

    Observaes:

    1. A trelia hiperesttica com 3 vnculos, conforme desenho acima, tem uma barra a

    mais, logo no entra nesta classificao.

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    66.. PPRROOCCEESSSSOOSS DDEE RREESSOOLLUUOO 66..11 PPrroocceessssoo ddooss NNss

    Seja o n C, da trelia ABCDEF. Nele concorrem as barras conforme a figura abaixo:

    Conforme j dissemos, cada n apresenta duas equaes e, se admitirmos que todas as barras estejam tracionadas, teremos:

    N C: 1 1 3 2 4

    1 1 3 2 2

    H 0 P cos N cos N 0

    V 0 P sen N sen N 0

    = + + = = =

    Genericamente, teremos:

    Ncos H + (componente horizontal de P1) = 0 Nsen V + (componente vertical de P1) = 0

    As componentes verticais em funo do seno.

    As componentes horizontais em funo do cosseno.

    Os valores de H e V podem ser positivos ou negativos, se as foras forem de trao e compresso, respectivamente.

    Conveno: H e V

    C D E 4 5

    2 3

    1

    A

    6 7 9

    8

    F B

    P1

    N2 N3

    N4

    P1

    C

    21

    + +

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    66..22 CCaassooss ddee SSiimmpplliiffiiccaaoo

    Para carregamentos particulares pode acontecer que uma trelia possua barra ou barras no solicitada(s), ou ento solicitadas pela mesma fora normal. Em muitos casos a identificao destas barras imediata, simplificando bastante o clculo da trelia.

    Seja a trelia abaixo:

    N A duas barras no coaxiais sem foras externas aplicadas. N1 = N4 = 0 as barras no esto solicitadas.

    N C duas barras no coaxiais sem foras externas aplicadas. N5 = 0

    N2 = N6

    N B duas barras no coaxiais sem foras externas aplicadas. N17 = -P3 (compresso). N16 = 0

    N D duas barras no coaxiais sem foras externas aplicadas. N10 = N14

    N13 = 0

    N E duas barras no coaxiais sem foras externas aplicadas. N8 = N12

    N9 = - P2 (compresso).

    A E2 4 8

    1 3

    2

    5 7 9

    6

    C

    B

    P1

    12 16

    11

    10

    13 15 17

    14

    D

    P2

    P3

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    66..33 PPrroocceessssooss ddooss CCooeeffiicciieenntteess ddee FFoorraa

    Esse processo anlogo ao dos ns, mas leva muito mais vantagens se houver muitas barras com inclinaes diferentes, principalmente se os comprimentos dessas barras forem obtidos por simples medio num esquema da estrutura.

    Vamos supor uma barra AB qualquer de comprimento l de projees h e v (horizontal e vertical, respectivamente).

    Da figura, tiramos: v h

    sen e cos , sendol l

    = = o ngulo que a barra AB faz com a horizontal. Voltando ao processo dos ns, onde tnhamos:

    N cos H 0 + = , substitumos os valores do cos e sen , ficando: N sen V 0 + =

    hN H 0

    l + =

    v

    N V 0l

    + = onde N, h, v e l em cada parcela das somatrias, referem-se a uma mesma barra.

    O coeficiente de foras de uma barra obtido da relao: N

    tl

    = , que substituindo nas

    equaes acima nos d: th H 0

    tv V 0

    + = + =

    A

    B

    h

    v l

    horizontal

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    Atravs das equaes acima, determinamos os valores de t correspondentes s diversas barras da estrutura. Em seguida, obtemos as foras normais, multiplicando-se os valores de t pelos comprimentos das respectivas barras.

    Exerccio: Resolver a trelia dada nos exemplos anteriores pelo processo dos coeficientes de fora.

    N Equao Barra t (tf/m) l (m) N (tf)

    V 3,97 + 3t1 = 0 1 -1,32 3 -3,96 A H 5,2 + 4t2 = 0 2 -1,3 4 -5,2

    V -3t1 - 3t3 = 0 3 1,32 5 6,6 B H 4t4 + 4t3 = 0 4 -1,32 4 -5,28

    V -2-3t5 - 3t7 = 0 5 -1,32 3 -3,96 C H -4t4 + 4t7 + 4t8 = 0 6 0,02 4 0,08

    V +3t3 + 3t5 = 0 7 0,65 5 3,25 D H -4t2 - 4t3 + 4t6 = 0 8 -1,97 4 -7,88

    V -4 - 3t9 - 3t11 = 0 9 -0,65 3 -1,95 E H -4t8 + 4t12 + 4t11 = 0 10 0,68 4 2,72

    V 3t9 + 3t7 = 0 11 -0,68 5 -3,4 F H -4t7 - 4t6 + 4t10 = 0 12 -1,29 4 -5,16

    V -6cos60 - 3t13 = 0 13 -1 3 -3 G H

    66..44 PPrroocceessssoo ddaass SSeeeess oouu ddee RRiitttteerr

    Como vimos no processo dos ns, admitimos cortadas todas as barras da trelia e consideramos sucessivamente as condies de equilbrio (H = 0 e V = 0) relativas a todos os ns, um a um.

    B E 4 8

    1 3

    2

    5 7 9

    6

    D

    A

    2tf

    12

    16 11

    10

    13 3 m

    HA=5,2 tf

    H F

    30 C G

    4tf 6tf

    4 m

    VB=5,03 tf

    4 m 4 m VA=3,97 tf

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    Esse processo utilizado quando se deseja