Apostila Estruturas Em Trelica

7/15/2019 Apostila Estruturas Em Trelica

1/23

Estruturas

em Trelia

Prof. Eduardo Mesquita

- 2006 -


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UNIVERSIDADE FUMEC - FEA

ESTRUTURAS EM TRELIAESTRUTURAS EM TRELIA

So estruturas lineares, formadas por barras que no conjunto devem formar umaestrutura indeformvel.

Estrutura deformvel

1. T1. TIPOSIPOSDEDE TTRELIARELIA

1.1 - Trelias Planas1.1 - Trelias Planas

Suas barras esto num mesmo plano.

1.2 - Trelias Tridimensionais1.2 - Trelias Tridimensionais

Suas barras esto todas em planos diferentes. As trelias so utilizadas paracoberturas, pontes, como vigas de lanamento, etc.

2. H2. HIPTESESIPTESES PPARAARAOSOS VVRIOSRIOS PPROCESSOSROCESSOSDEDE CCLCULOSLCULOS

2.12.1 As barras da trelia so ligadas entre si por intermdio de articulaessem atrito.

2.22.2 As cargas e reaes aplicam-se somente nos ns da estrutura.

2.32.3 O eixo de cada barra coincide com a reta que une os centros das articulaes(como nas estruturas lineares).

Satisfeitas todas as hipteses mencionadas, as barras da trelia s serosolicitadas por foras normais.

3. E3. ESFOROSSFOROS SSOLICITANTESOLICITANTES

Foras Normais

Estruturas em Trelia

2

Barra indeformvel

trao

compresso

N

NN

N

A A

B B


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As tenses provocadas por estas foras so chamadas tenses primrias.

N

S = (verificao da resistncia da pea)

Observaes:

1. Na prtica no se consegue obter uma articulao perfeita, sem atrito. Asarticulaes so formadas por chapas rebitadas ou soldadas, que podem serconsideradas praticamente rgidas.

2. Devido ao fato de no termos uma articulao perfeita aparecer momento fletor efora cortante, porm este estudo no parte do nosso curso.

3. Tambm o peso prprio da barra provoca flexo na mesma, s que desprezvelpor ser muito pequeno. O peso da barra vai aplicado nos ns.

4. T4. TRELIASRELIAS IISOSTTICASSOSTTICASEE HHIPERESTTICASIPERESTTICAS


3

seo da pea

A

B

P/2

P/2

P1

P2

R1 P

3

R2

P4


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Dados os valores das foras P1, P2, P3 e P4, se conseguirmos determinar, pelasequaes da esttica, os valores de R1 e R2 e os esforos nas barras, ela isosttica.

Se determinarmos somente as reaes de apoio ela dita internamente hiperesttica

(as incgnitas so as foras normais).Quando nem as reaes se determinam ela dita externamente hiperesttica.

As incgnitas a se determinarem so:

As reaes de apoio HA, VA e VB, chamadas de vnculos representados pela letra V.

Esforos normais nas barras representados pela letra b.

Logo o nmero de incgnitas (b + V).

Portanto, para cada n da estruturans temos duas equaes, logo se aestrutura possuir N ns, teremos 2Nequaes.

Portanto, para uma trelia ser isosttica, devemos ter b V 2N+ =

Trelia hiperesttica b + V > 2N.

O grau de hiperestaticidade de uma trelia dado pela equao:

g = (b + V) 2N

Se g = 0atrelia isosttica.


4

HA

P2

A

VB

B

VA

P

N1

N2

N3

x x

y y

N P 0

N P 0

+ =

+ =


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Exemplos:

v = 3, b = 11, N = 7 v = 3, b = 9

b + v = 14 2N = 14 N = 6 b + v = 12 2N = 12

Isosttica Isosttica

v = 4, b = 13, N = 8 v = 3, b = 14, N = 8

b + v = 17 2N = 16 b + v = 17, 2N = 16

Hiperesttica (g = 1) Hiperesttica (g = 1)

Incgnita: uma das reaes de Incgnita: esforo de uma dasapoio externamente barras- internamentehiperesttica. hiperesttica.

5 T5 TRELIASRELIAS SSIMPLESIMPLES

Geralmente quase todas as trelias so formadas a partir de um tringuloinicial. Para cada novo n introduzido, basta acrescentar duas barras no colineares.

Se o nmero de vnculos relativos s trelias acima mencionadas forem iguais a 3, as

trelias sero sempre isostticas b + 3 = 2N

Observaes:

1. A trelia hiperesttica com 3 vnculos, conforme desenho acima, tem uma barra a


5


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mais, logo no entra nesta classificao.

6. P6. PROCESSOSROCESSOSDEDE RRESOLUOESOLUO

6.1 Processo dos Ns6.1 Processo dos Ns

Seja o n C, da trelia ABCDEF. Nele concorrem as barras conforme a figuraabaixo:

Conforme j dissemos, cada n apresenta duas equaes e, se admitirmos quetodas as barras estejam tracionadas, teremos:

N C:1 1 3 2 4

1 1 3 2 2

H 0 P cos N cos N 0

V 0 P sen N sen N 0

= + + =

= =

Genericamente, teremos:

Ncos H +

(componente horizontal de P1) = 0

Nsen V + (componente vertical de P1) = 0As componentes verticais em funo do seno.

As componentes horizontais em funo do cosseno.

Os valores de H e V podem ser positivos ou negativos, se as foras forem de trao ecompresso, respectivamente.

Conveno: H e V


6

C D E4 5

23

1

A

6 79

8

F B

P1

N2

N3

N4

P1

C

2

1

++


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6.2 Casos de Simplificao6.2 Casos de Simplificao

Para carregamentos particulares pode acontecer que uma trelia possua barraou barras no solicitada(s), ou ento solicitadas pela mesma fora normal. Emmuitos casos a identificao destas barras imediata, simplificando bastante oclculo da trelia.

Seja a trelia abaixo:

N A duas barras no coaxiais sem foras externas aplicadas.

N1 = N4 = 0 as barras no esto solicitadas.

N C duas barras no coaxiais sem foras externas aplicadas.

N5 = 0

N2 = N6

N B duas barras no coaxiais sem foras externas aplicadas.

N17 = -P3 (compresso).

N16 = 0

N D duas barras no coaxiais sem foras externas aplicadas.

N10 = N14

N13 = 0

N E duas barras no coaxiais sem foras externas aplicadas.

N8 = N12


7

A E24 8

13

2

5 7 9

6

C

B

P1

12 16

11

10

13 15 17

14

D

P2

P3


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N9 = - P2 (compresso).

6.3 Processos dos Coeficientes de Fora6.3 Processos dos Coeficientes de Fora

Esse processo anlogo ao dos ns, mas leva muito mais vantagens sehouver muitas barras com inclinaes diferentes, principalmente se oscomprimentos dessas barras forem obtidos por simples medio num esquemada estrutura.

Vamos supor uma barra AB qualquer de comprimento l de projees h e v (horizontale vertical, respectivamente).

Da figura, tiramos:v h

sen e cos , sendol l

= = o ngulo que a barra AB faz com

a horizontal. Voltando ao processo dos ns, onde tnhamos:

N cos H 0 + = , substitumos os valores do cos e sen , ficando:N sen V 0 + =

hN H 0

l + =

v

N V 0l

+ =onde N, h, v e l em cada parcela das somatrias, referem-se a uma mesmabarra.

O coeficiente de foras de uma barra obtido da relao:N

t

l

= , que substituindo nas

equaes acima nos d:th H 0

tv V 0

+ =

+ =


8

A

B

h

vl

horizontal


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Atravs das equaes acima, determinamos os valores de t correspondentes sdiversas barras da estrutura. Em seguida, obtemos as foras normais, multiplicando-se os valores de t pelos comprimentos das respectivas barras.

Exerccio: Resolver a trelia dada nos exemplos anteriores pelo processo doscoeficientes de fora.

N Equao Barra t (tf/m) l (m) N (tf)

AV 3,97 + 3t1 = 0 1 -1,32 3 -3,96

H 5,2 + 4t2 = 0 2 -1,3 4 -5,2

BV -3t1 - 3t3 = 0 3 1,32 5 6,6

H 4t4 + 4t3 = 0 4 -1,32 4 -5,28

CV -2-3t5 - 3t7 = 0 5 -1,32 3 -3,96

H -4t4 + 4t7 + 4t8 = 0 6 0,02 4 0,08

DV +3t3 + 3t5 = 0 7 0,65 5 3,25

H -4t2 - 4t3 + 4t6 = 0 8 -1,97 4 -7,88

EV -4 - 3t9 - 3t11 = 0 9 -0,65 3 -1,95

H -4t8 + 4t12 + 4t11 = 0 10 0,68 4 2,72

FV 3t9 + 3t7 = 0 11 -0,68 5 -3,4

H -4t7 - 4t6 + 4t10 = 0 12 -1,29 4 -5,16

GV -6cos60 - 3t13 = 0 13 -1 3 -3

H


9

B E4 8

1 3

2

5 7 9

6

D

A

2tf

12

1611

10

133 m

HA=5,2 tf

HF

30C G

4tf6tf

4 m

VB=5,03 tf

4 m 4 m

VA=3,97 tf


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6.4 Processo das Sees ou de Ritter6.4 Processo das Sees ou de Ritter

Como vimos no processo dos ns, admitimos cortadas todas as barras da treliae consideramos sucessivamente as condies de equilbrio (H = 0 e V = 0)relativas a todos os ns, um a um.

Esse processo utilizado quando se deseja determinar as foras normais emtodas as barras.

No processo das sees temos condies de obter a fora normal emapenas algumas barras ou somente em uma nica.

Neste caso, estabelecemos as condies de equilbrio do reticulado que resulta,quando aplicamos os cortes naquelas barras cujas foras normais procuramos.Este processo permite, com sucesso, a resoluo de diversos casos de treliassimples e compostas (associao de uma ou mais trelias que no podem serobtidas seguindo-se a lei da formao das trelias simples) tornando-se,entretanto, impraticvel no caso das trelias complexas.

Ao partirmos a barra CE a trelia se transforma em dois reticulados geomtricosindeformveis e interligados pela articulao F.

Logo os momentos relativos a quaisquer foras de um lado ou de outro lado dosreticulados devem ser nulos.


10

B E

D

A

2tf

3 m

5,2 tf

HF

30C G

4tf6tf

4 m

5,03 tf

4 m 4 m

3,97 tf

B E

D

A

2tf

3 m

5,2 tf

H

F

30C G

4tf

6tf

4 m

5,03 tf

4 m 4 m

3,97 tf

NCE NCE

Banzo sup.


11/23


Tomando, por exemplo, a parte situada esquerda de F, temos:

3NCE 2x 4 3,97x8 0 3NCE 23,76 NCE 7,92 tf + = = =

Calcular a fora normal na barra CF diagonal:

Nestas condies os dois reticulados esto ligados por duas barras biarticuladasparalelas CE e DF, incapazes de impedir o deslocamento na direo vertical.

Desta forma, para no acontecer movimento relativo das partes, fazemos V 0= .Relativo a um ou outro reticulado.

Tomando o reticulado da esquerda, temos:

V 0 3,97 2 NCFsen 0

1,971,97 0,6NCF NCF 3,28 tf

0,6

= =

= = =


11

B E

D

A

2tf

3 m

5,2 tf

HF

30C G

4tf6tf

4 m

5,03 tf

4 m 4 m

3,97 tf

NCF

NCF

3 m

B E

D

A

2tf

5,2 tf

HF

30C G

4tf6tf

4 m

5,03 tf

4 m 4 m

3,97 tf

NCD

NCD


12/23


Os reticulados esto interligados por duas retas paralelas BC e DF. Tambm nestecaso os reticulados so incapazes de impedir o deslocamento na direo vertical. Logo

temos que fazer V 0.=

Vamos pega os reticulado da esquerda, logo teremos:

O da esquerda: V 0 3,97 NCD 0 NCD 3,97 tf.= + = = O da direita: 2 NCD 4 5,03 6 x 0,5 0 9 5,03 NCD NCD 3,97 tf. + = + = =

Exerccio: Dado o sistema reticulado abaixo, pede-se:

Calcular as reaes de apoio.

Calcular os esforos normais em todas as barras.

Obs: Utilizar duas casas decimais.

AH 0 H 3 3 0= + + = AH 6 KN=

A B A BV 0 V V 2 2 2 0 V V 6KN = + = + = AV 6, 8KN=

A B BM 0 5V 3x5 2x3 2x7 3x3 0 5V 4KN= + + = = B

V 0, 8 KN=

cos sen 0, 71 = =

3cos 0, 83

3,61

sen 0, 55

= =

=

2cos 0,55

3,61

3

sen 0, 833,61

= =

= =


12

+

+

+

3 m

2 m

5

76

9 0 90

9 0

9 0 3

4

1

A

D3 KN

B

CE

2 KN

3 KN

2 KN

2 KN

3 m 2 m 2 m

HA

= 6 KN

VA

= 6,8 KN VB

= -0,8 KN


13/23


N E

6 7 6 6H 0 3 N N x 0,55 0 3 2, 41 x 0, 55 N N 1, 67 KN= = = =

7 7V 0 2 N x 0, 83 0 N 2 / 0, 83 2, 41KN+

= + = = =

N D

2 2H 0 3 N x 0, 83 0 N 3 / 0, 83 3, 61KN= + = = =

( )1 1V 0 2 N 3, 61 x 0,55 0 N 3, 99 KN+

= + + = =

N A

1 3 3 3V 0 6, 8 N N x 0,71 0 6, 8 3, 99 N x 0, 71 N 3, 96 KN+

= = = =3 4 4H 0 6 N x 0, 71 N N 3,19 KN= + = =

N B

5 7V 0 0, 8 N x 0, 83 N x 0, 83 0+

= = 5 50, 8 2, 41 x 0, 83 N x 0, 83 N 2, 8 / 0, 83 3, 37 KN = = =


13

2 KN

3 KNN6

N7

+

3 KN

+

2 KN

N2

N1

9 0

N4

6 KN

N3N

1

90

6,8 KN

N4

6 KN

N7

N590

-0,8 KN

90


14/23


cos 0,6

sen 0,8

=

= cos sen 0,71 = =

5cos 0,86

5,833

sen 0,515,83

= =

= =

A BH 0 2 8 H H 0= + = A B BH H 1 0 K N H 1 5, 1 4K N+ = =

BV 0 V 4 6 0+

= = BV 1 0, 0 0K N=

BBM 0 V 4x 9 8x3+

= + 6 x 4 A7H 0 = AH 5, 1 4K N=

N A

( )2H 0 N x 0, 71 5,14= = 2N 7, 2 4K N=

1 2V 0 N N x 0, 71 0+

= = 1N 5,1 4K N=

N C

4V 0 N x 0, 51 4+

= = 4N 7, 84KN=

5H 0 2 7, 84 x 0, 86 N= + = 5N 8, 7 5K N=

N B

1 3 3V 0 N N x0, 6 10 0 5,14 10 N x 0, 6+

= + + = + = 3N 8,1KN=

Prova:


14

+

+

90

N2

N1

90

-5,14 KN

N4

2 KN

4 KN

N5

+

+N5

N3

15,14 KN

N1

10 KN

90

5 m 4 m

4 kn

2 kn

4

C5

3

90

90

90

90D

8 kn

10 kn 6 kn 2

1

9 0

A HA = -5,14 KN

4 m

3 m

B HB

=15,14 KN

VB

= 10 KN


15/23


( ) 3 3H 0 15,14 8,75 N x 0,8 6,39 N x0, 8= = = 3N 7, 9 9K N=

NS EQUAES BAR

RAS

N

(KN)A

H 2 1 2N N cos 0 N 8,13 x 0,55+ = = = 2 -4,47

V 1 16,75 N sen 0 N 6, 75 / 0, 83 = = 1 8,13

CH 4 4

4 8,13 x 0,55 3, 87 x 0,71 N 0 N 3, 22 + + = = 4 3,22

V1 3

N sen N cos 4 + =

3 38,13x0,83 N x0,71 4 N 2,75 / 0,71 + = =

3 -3,87

BH

5 7N 10 N x 0, 71 0 + =

5 5N 10 3, 25 0 N 6, 75 + = =

5 -6,75

V 7 73,25 N x 0,71 0 N 3,25 / 0,71 = = 7 4,58

EH

4 6 7N N x cos N cos 6 0 + =

6 63,22 4,58x 0,71 6 N x0,89 N 0,47 /0,89 + = = 6 -0,53

V

H

2 3cos 0,55;sen 0,83

3,61 3,61 = = = =

sen cos 0,71 cos sen 0,71 = = = =

V 6 3cos 0,89 sen 0,45

6,71 6,71 = = = =

2 3cos 0,55 sen 0,83 sen cos 0,713,61 3,61

= = = = = =


15

ABD2

VA= 6,75 KN VB = 3,25 KN

5

3 KN

HB

= 10 KN

3 m3

E 6 KN

3 KN

7

90 90

90

9090

1

4

C

2 m

4 KN

3 m 3 m 3 m

4 KN

6

N1

N2

6,75 KN

90

N1

N4

4 KN

90N

3

4 KN

N7

10 KN

6,75

90

N5

N6

6 KNN4

90

3 KN

N7


16/23


6 3cos 0,89 sen 0,45 cos sen 0,71

6,71 3,61 = = = = = =

H 0= AH 5 KN= A JV 0 V V 4KN+

= + = AV 2, 07KN=

AM 0 1x2 1x 4 1x9 1x12 2x2+

= + + + 2x2+ J14V= JV 1, 93 KN=

NDE

DEV 0 N 1 2, 07 0+

= + = DEN 1, 0 7K N= (Ret. a esq.)

NDG

DG DGV 0 N x 0, 63 1 1 2, 07 0 0,63N 0, 07+

= + = = DGN 0,1 1KN=(Ret. a esq.)

NEG

EGDM 0 1x2 2,07x 4 5x2 N x 4 0+

= + = EGN 0, 9 3KN=(Ret. a esq.)

NFH

FHIM 0 N x 4 2x 4 1,93x2 1x2 0+

= = FHN 3, 4 7K N=

(Ret. a dir.)


16

1 KN

B

1 KN

D

1 KN

F

1 KN

H 2 KN

2 m

1 KN

2 m

2 KN

2 m3 m5 m2 m2 mC E G I

J

VJ=1,93 KN

VA=2,07KN

A

HA=5 KN

6,490

+


17/23


BH 0 2 2 H 0= + = BH 4 KN=

A BV 0 V V 5KN+

= + = AV 5 2, 3 1 2, 69K N= =

AM 0 2x3 1x1,5+

= 1x 1,5+ B1x5,5 1x7,5 1x12,5 2x3 4x5 V x14,5 0+ + + + =

B14,5V 33,5KN = BV 2, 31KN=

NIK

IK IKLM 0 3N 2x3 2,31x2 4x1 0 3N 2,62KN+

= + = = IKN 0, 8 7KN= (Ret. a dir.)

NFH

FHEM 0 N x3 1x3 2,69x1,5 0+

= + = FHN 0, 35K N=(Ret. a esq.)

NGJ

GJ GJV 0 1 N x 0, 83 1 2,31 0 N 0,31 /0, 83 0,37KN+

= + + = = = GIN 0, 3 7K N= (Ret. a dir.)

2 3cos 0,55 sen 0,83

3,61 3,61 = = = =

NIJ

IJ IJV 0 N 1 2, 31 0 N 1,31KN+

= + = = IJN 1, 31K N=(Ret. a dir.)


17

1 KN 1 KN 1 KN 1 KN

1 KN

2 KN

3 m

2 m

1 m

2 m

VB=2,31KN

HB=4KN

2 m 5 m

B

LJH

KIGE

F

C

D

A

4 m1,5 m1,5 m

VA=2,69KN

2 KN

+

6 t

6 t

6 t

HC

VC

VA

2 m 4 m

6 t

CB

A

D

5

34

1

2

2m

4m


18/23


5sen

5

2 5cos5

2 5sen

5

5cos

5

=

=

=

=

Reaes de Apoio

A C A

C C

C A A

V 0 V V 12t V 12t

H 0 H 12t V 0

M 0 V x6 6 x6 6 x 6 0 V 12t

= + = =

= = =

= = =

Equilbrio dos Ns

N AA 1 2

2

V 0 V N N sen 0

H 0 6 N cos 0

= + + =

= + =

N B1 3

5 3

V 0 6 N N sen 45 0

H 0 6 N N cos 45 0

= =

= + + =

N CC 4

C 5 4

V 0 V 6 N sen 0

H 0 H N N cos 0

= =

= =


18

1

2

N 0

N 6 5t

=

=

3

4

5

N 6 2 t

N 6 5 t

N 0

=

=

=


19/23


N Equao

A VA 1V 5T 0+ =

H 5 T2 = 0

BV VB + 5T3 + 10T4 + 10T5 = 0

H -HB 5T2 5T3 5T4 = 0

CV -5T1 5T3 + 5T7 + 5T9 =0

H - 12T9 + 5T3 = 0

DV -P2 10T5 = 0

H -5T6 = 0

EV -5T7 10T4 = 0

H -12T8 + 5TA + 5T6 = 0

FV -P1 5T9 = 0

H 12T8 + 12T9 = 0

Exerccio:


19

AB

C

DEF

5

6

4

3

2

1

7

8

9

HB

VB

VA 5 m12 m

5m

5

m

P1=500kg P

2=1500kg

Reaes

VA 1700

VB 300

HB 0

T L Normal

1 -340 5 -1700

2 0 5 0

3 -240 7,07 -1697

4 240 11,18 2683

5 -150 10 -1500

6 0 5 0

7 -480 5 -2400

8 100 12 1200

9 -100 13 -1300

2t

E

5tDF

A

6

7

5

9

4

8

3

21

3t

HA

C

B1t

VA

VC

2 m 2 m

1,5 m

3 m


20/23


N Equao

BV 91 N 0 + =

H 1 2N N 0 + =

EV 9 5 42 N N sen N sen 0 =

H5 4

N cos N cos 0 + =

FV 5 7 63 N sen N sen N 0 + + =

H 5 7N cos N cos 0 + =

DV 4 8N sen N sen 3 0 =

H A 85 N cos N cos 0 =

CV C 3 7V N N sen 0+ + =

H 2 7N N cos 0 =

AV A 6 8V N N sen 0+ + =

H A 1 8H N N cos 0+ + =

1. Calcular as foras normais nas barras da trelia:Estruturas em Trelia

20

3t 5t

2tD 7 E

6

5

4

3

C

1

2

A B

4 m 4 m

6m


21/23


2. a) Verificar se a trelia isosttica.

b) Calcular a fora normal em todas as barras da trelia, utilizar o processo dosns ou o processo dos coeficientes de fora.

3. Dada a trelia, determinar as reaes de apoio e a fora normal nas barras:


21

1000 kgf

A

B

1 2

3 C 500 kgf

4

D

5

6

7 E

8

4 m

9

F

2 m

3m

3m

5 m


22/23


4. Determinar as foras normais da trelia abaixo (qualquer mtodo):

5. Dada a trelia abaixo, pede-se verificar se a mesma isosttica, suas reaes deapoio e as foras normais em todas as suas barras.


22

5t4 m4 m

3 m

3t

2t

C

B

D

6 m 4 m

3 m

3 m 7 m

A E B

C D F5 t

2 t

4 m

A B

4

3

12

C D7

3 m

865 3 m

EF

3 m

11

12109

2 KN

G13

2,54 KN4 KN

60


23/23


NS EQUAES N (EM KN)

A H

V

B HV

C H

V

D H

V

E H

V

F HV

G H

V

H H

V

23

Apostila Estruturas Em Trelica

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