Apostila 3 - Capitalização Simples e Composta - Investimento e Amortização

ETE Prof. Camargo Aranha Prof. João Edison Matemática Financeira - Operações FinanceiraApostila 3 - Capitalização Simples e Composta – investimento e amortização

Elementos da Capitalização – Capital, Juro, Taxa, Prazo e Montante

Juro é a remuneração de um capital (C) ou valor presente a uma dada taxa percentual (i), proporcional ao número de períodos de tempo (n) em que permanecer aplicado (investimento) ou emprestado (financiamento).

Denomina-se montante (M) ou valor futuro a soma do capital com os juros.Existem duas formas para o cálculo de juros: a capitalização simples ou composta.

Juros simples - Na capitalização simples os juros são fixos, ou seja, calculados sempre sobre o capital inicial e proporcional ao prazo das operações. É utilizado quando o juro não se acumula no período seguinte, permanecendo apenas o capital inicial. Podemos citar como exemplo, apesar de não serem operações usuais no nosso sistema:a) O investimento em que os juros são pagos periodicamente, e o principal aplicado retirado apenas

no final da operação; oub) Um empréstimo em que a cada período são pagos os juros, sendo resgatado o capital emprestado

apenas no final do prazo estabelecido.

Em geral, os juros simples são empregados em contratos como aluguéis de imóveis ou parcelas de financiamento de compra de bens, cujo pagamento é feito com atraso de alguns dias.

Fórmulas para o cálculo dos juros simples e do montante

j = C . i . n sendo que taxa e prazo devem estar expressos na mesma unidade

M = C + j

Exemplo 1

O capital de R$ 3 000,00 após 6 meses, à taxa de 3 % a.m., produz juros simples de:

j = 3 000,00 x 0,03 x 6 = R$ 540,00

M = 3 000,00 + 540,00 = R$ 3 540,00

Podemos calcular diretamente o valor do montante pela fórmula:

M = C . (1 + i . n )

M = 3 000,00 . (1 + 0,03 . 6 ) = 3 000,00 . 1,18

M = R$ 3 540,00


Exemplo 2:

Dado o montante de R$ 1 296,00 a ser pago num empréstimo a juros simples de

2 % a.m. pelo prazo de 4 meses, que capital foi emprestado?

1 296,00 = C . ( 1 + 0,02 . 4 )

C = R$ 1 200,00

Exercícios:

1. Completar a tabela (capitalização simples):

Capital Taxa i Prazo n Juros simples Montante

a) R$ 2 50,00 1 % a.m. 15 meses

b) R$ 600,00 9 % a.a. 8 meses

c) R$ 800,00 0,5 % a.m. 17 dias

d) R$ 1 00,00 1 % a.m. 29/10 a 5/11

2. Calcular o valor cobrado no pagamento do boleto bancário abaixo no dia 07/05/03: (esses juros são denominados de “juros simples exatos”)


3. Calcular o valor a ser pago sobre um aluguel de um imóvel no valor de R$ 1 960,00 com

vencimento em 23/07, que foi pago em 18/08 do mesmo ano. O contrato estipulava que:

“ III - O aluguel será exigível impreterivelmente no dia do vencimento supra-estabelecido, sendo que após esse prazo implicará na multa de mora de 5 % (cinco por cento) sobre o seu valor, bem como a taxa de 0,25 % por dia de atraso.” 4. O valor que a juros simples de 0,75 % ao mês importou no pagamento de R$ 4 050,00 após 50 dias da data do empréstimo corresponde a:

a) R$ 1 518,75b) R$ 3 999,38c) R$ 4 000,00d) R$ 5 062,50e) n.r.a.

5. O valor de R$ 4 380,00 a juros simples de 1,5 % ao mês produziu o montante de R$ 4 511,40 após:

a) 30 diasb) 45 diasc) 2 mesesd) 2 meses e meioe) n.r.a.

6. A taxa mensal que produziu R$ 184,95 de juros simples, num empréstimo de R$ 2 740,00 por 75 dias corresponde a:

a) 2,50 %b) 2,70 %c) 3,38 %d) 6,75 %e) n.r.a.

7. Y emprestou a K R$ 3 600,00 para ser devolvido após 60 dias, cobrando juros simples de 2 %

a.m. Qual o valor nominal da nota promissória a ser emitida, para garantia dessa operação realizada

entre duas pessoas físicas ?

8. A letra de câmbio é um comprovante de aplicação com vencimento pré-determinado, emitido por uma Sociedade de Crédito, Financiamento e Investimento, visando financiamento do crédito direto ao consumidor. Calcular o valor nominal de uma letra de câmbio na aplicação de R$ 2 574,00 por 180 dias a juros simples de 2,5 % a.m.

Juros compostos

Na capitalização composta os juros de cada período são somados ao principal, passando a produzir juros no período seguinte. Podemos citar como exemplos:a) o investimento em que o principal e os juros são resgatados integralmente, após o período de sua

aplicação; oub) um empréstimo a ser resgatado com os juros acumulados, em única parcela, no final do prazo

estabelecido.

Fórmula para o cálculo do montante a juros compostos


(taxa e prazo na mesma unidade em que os juros serão capitalizados)

Exemplo 1

O capital de R$ 3 000,00 após 6 meses, à taxa de 3 % a.m., produz juros compostos de: M = R$ 3 000,00 x 1,194052297 = R$ 3 582,16 Taxa efetiva = 19,41 %Neste caso, os juros compostos capitalizados mensalmente correspondem a: j = M – C = 3 582,16 - 3 000,00 = R$ 582,16

Exemplo 2 O capital de R$ 3 000,00 após 6 meses, à taxa de 36 % a.a., produz juros compostos de: M = R$ 3 000,00 x 1,166190379 = R$ 3 498,57 Taxa efetiva = 16,62 %Neste caso, os juros compostos capitalizados anualmente correspondem a:

j = M – C = 3 498,57 - 3 000,00 = R$ 498,57Que corresponde a valor inferior se comparado aos juros simples nesse mesmo período, a uma taxa proporcional mensal de 3 % a.m.:

M = 3 000,00 . (1 + 0,03 . 6) = 3 000,00 . 1,18

M = R$ 3 540,00 ou seja j = R$ 540,00

Ou seja, a juros compostos taxas proporcionais não são equivalentes.

Para a captação de recursos para financiamento de capital de giro e fixo às empresas, os Bancos

Comerciais emitem para aplicações a prazo fixo títulos de crédito como os CDBs (certificados de

depósito bancário nominativos e endossáveis) e os RDBs(recibos de depósito bancário nominativos e

intransferíveis). As taxas de rendimento desses títulos podem ser pré ou pós-fixadas, e são

calculadas no regime de capitalização composta anual.

Exercícios:

9. Completar a tabela (capitalização composta):

Capital R$ Taxa i Prazo nJuros compostos

R$Montante

R$

a) 2 350,00 0,5 % a.m. 12 meses

b) 16 495,0012 % a.a. capitalizados

mensalmente8 meses

c) 793,50 0,45 % a.m. 120 dias

d) 1 492,758 % a.a. capitalizados

mensalmente216 dias

e) 3 980,0010 % a.a. capitalizados

mensalmente144 dias


f) 5 640,50 8,6 % a.a. 45 dias

g) 450,75 8 % a.a. 52 dias

10.Uma loja financia a venda de certo produto de valor R$ 3 280, 00, para pagamento sem entrada, em uma única prestação de R$ 3 629,99 para 60 dias. A taxa de juro composto mensal cobrado nessa venda a prazo é de:a) 4,0 %b) 4,5 %c) 4,9 %d) 5,2 %e) n.r.a.

11. A taxa efetiva correspondeu a:a) 11,07 %b) 10,67 %c) 7,92 %d) 5,20 %e) n.r.a.

12.Calcular o montante líquido de uma aplicação em CDB no valor de R$ 4 600,00 por 120 dias, à

taxa de juros compostos de 6 % a.a., utilizando a tabela abaixo de alíquotas de dedução de imposto de renda retido na fonte:

Prazo de Aplicação Alíquota de IRAté 6 meses 22,5%De 6 meses e um dia até 12 meses 20,0%De 12 meses e um dia até 24 meses 17,5%Acima de 24 meses 15,0%

13.Foi concedido um empréstimo no valor de R$ 1 250,00 para que à taxa mensal de juros compostos de 1,45 % seja pago o montante de R$ 1 402,58 em uma única parcela. O prazo acordado (em meses) correspondeu a:a) 8 mesesb) 7 mesesc) 180 diasd) 135 diase) n.r.a.

14.A taxa efetiva desse empréstimo correspondeu a:a) 11,60 %b) 12,21 %c) 14,50 %d) 15,00 %e) n.r.a.

15.Calcular a taxa efetiva após 12 meses correspondente à taxa nominal de 8 % a.a capitalizados

mensalmente.

16.Calcular a taxa nominal e a taxa efetiva no financiamento de R$ 3 870,00 a ser pago em parcela

única de R$ 5 916,00 após 12 meses, a juros compostos capitalizados mensalmente.


17.Calcular o montante líquido de uma aplicação financeira de R$ 3 960,00 por 90 dias, à taxa de juros de 9 % a.a., com dedução de IR na fonte

18.Foram aplicados inicialmente R$ 4 800,00 a juros simples de 2 % a.m. e, após alguns meses a

taxa foi aumentada para 3 % a.m. Sabendo que em 8 meses o rendimento bruto totalizou R$

912,00, o prazo em que vigorou a última taxa foi de:

a) 2 meses

b) 3 meses

c) 4 meses

d) 5 meses

e) nada podemos afirmar

19.Um investidor aplicou dois terços do seu capital a 3 % a.m. e o restante num outro tipo de

investimento que lhe proporcionou ganho de 2,5 % a.m. Após 3 meses, recebeu um total de juros

simples brutos de R$ 1 020,00, relativo às duas aplicações. O capital inicial foi de:

a) R$ 4 000,00

b) R$ 8 000,00

c) R$ 12 000,00

d) R$ 16 000,00

e) n.r.a.

20.O capital de R$ 7812,00 foi dividido em duas partes e aplicado a juros simples. A primeira colocada a 4 % a.m. rendeu durante 5 meses o mesmo juro que a segunda durante 8 meses a 2 % a.m. Calcular o valor de cada parte.

Montante de n depósitos antecipados, iguais e periódicos, a juros compostos

Vamos calcular, por exemplo, o montante líquido de 6 depósitos mensais de R$ 100,00 após 6

meses, a uma taxa de juros de 2 % a.m., capitalizados menalmente, sendo o primeiro depósito

realizado na data de contrato com o banco. O imposto de renda corresponde a 22,5 %.

M = 112,62 + 110,41 + 108,24 + 106,12 + 104,04 + 102,00 = R$ 643,43

Prazo de Aplicação Alíquota de IRAté 6 meses 22,5%De 6 meses e um dia até 12 meses 20,0%


De 12 meses e um dia até 24 meses 17,5%Acima de 24 meses 15,0%

IR = 22,5 % de 643,43 = R$ 9,77

Montante líquido = 643,43 – 9,77 = R$ 633,66

Vamos deduzir uma fórmula para o cálculo de aplicações programadas com depósitos mensal iguais

no início de cada mês, a uma taxa de juros pré-fixada:

A soma indicada entre colchetes corresponde à soma de 7 termos em progressão geométrica,que se

obtém pela fórmula:

Então teremos:

Onde

M é o montante resultante das aplicações

n é o número de depósitos periódicos iguais e antecipados C

i é uma taxa pré-fixada de juros compostos capitalizados mensalmente

Exercícios:

21.Calcular o montante líquido de:

a) 12 depósitos mensais de R$ 175,00 sendo o primeiro na data de contrato, a uma taxa nominal

de 1,5 % a.m.

b) 24 depósitos antecipados de R$ 300,00 a uma taxa nominal de 2 % a.m.

Prazo de Aplicação Alíquota de IRAté 6 meses 22,5%De 6 meses e um dia até 12 meses 20,0%De 12 meses e um dia até 24 meses 17,5%Acima de 24 meses 15,0%


Operações de desconto

As operações de desconto ( d ) são realizadas quando um título de crédito é negociado antes de seu

vencimento. Ao valor líquido ( A ) resultante dessa operação de desconto denomina-se valor atual do

título.

Desconto simples, comercial , bancário ou por fora.

Corresponde ao valor nominal, futuro ou de face ( N ) retirando-se o desconto ( d ) concedido .

d = N . i . n ; A = N - d ou seja A = N.( 1 - i.n )

Exercícios:

22.Completar a tabela:

Valor nominal R$ Taxa iPrazo para o vencimento n

Desconto simples R$

Valor atual R$

3 590,00 2 % a.m. 90 dias

600,00 1,5 % a.m. 120 dias

23. O valor de uma duplicata descontada por R$ 6 790,00 45 dias antes do seu vencimento à taxa de

desconto comercial de 2 % a.m., é de:

a) R$ 2 037,00

b) R$ 6 586,30

c) R$ 6 900,00

d) R$ 7 000,00

e) n.r.a.

24.Apurar o montante líquido recebido por uma empresa que descontou duplicatas junto a um banco, à taxa de desconto de 1,5 % a.m.: R$ 3 450,00 para 90 dias R$ 1 269,60 para 60 dias R$ 3 280,00 para 30 dias

Desconto composto

O desconto composto corresponde ao valor cobrado sobre um título de crédito, pela sua negociação

antecipada, no regime de capitalização composta. É empregado para operações de longo prazo, já

que a aplicação do desconto simples nesses casos pode ultrapassar o valor nominal do título.


Exemplo: Um investimento de R$ 12 000,00 para 48 meses a juros compostos pré-fixados de 9 %

a.a. resultou num título de crédito de R$ 16 938,98. Após 6 meses o investidor descontou esse título,

à taxa de desconto de 0,75 % a.m..

Pelo desconto simples receberia o valor líquido de R$ 11 603,20 com prejuízo de R$ 396,80 em

relação ao valor inicialmente aplicado.

O desconto composto é calculado pela fórmula da capitalização composta, igualando o montante ao

valor nominal do título ( M = N ) e o capital ao valor atual ( C = A ), ou seja:

O valor

líquido do título de R$ 16 938,98 negociado 42 meses antes de seu vencimento corresponderá então

pelo desconto composto a R$ 12 528,37 assegurando integralmente o valor aplicado de R$ 12

000,00 e proporcionando ainda rendimentos brutos de R$ 528,37 relativos aos 6 meses de aplicação,

pois veja que:

No desconto de duplicatas é utilizado o desconto simples comercial ou bancário, porque proporciona

maior ganho para os bancos comerciais, visto que esse valor é maior que o desconto composto.

No entanto, na negociação antecipada de títulos de crédito de médio ou longo prazo, provenientes de

aplicações financeiras, é utilizado o desconto composto.

Exercícios:

25.Completar a tabela:

Valor nominal R$ Taxa (i) Prazo (n)Desconto composto

R$Valor atual R$

13 590,00 6 % a.a. 3 anos

5 600,00 7 % a.a. 30 meses

10 890,00 9 % a.a. 720 dias

26.Calcular o valor a ser resgatado numa aplicação financeira no valor de R$ 15 000,00 para 2 anos e meio, com rendimento pré-fixado de juros compostos de 2,5 % a.m. O título emitido nessa


aplicação foi negociado 1 ano antes de seu vencimento pelo desconto bancário de 3% a.m. (utilizar tabela de dedução de imposto de renda na fonte).

Amortização composta

Amortizar significa pagar uma dívida de empréstimo ou financiamento, pagando:

(A)os juros periodicamente e o capital emprestado ao final;

(B)os juros e o principal somente no final do empréstimo; ou ainda

(C) por meio de prestações periódicas.

No primeiro caso os juros não se acumulam e portanto aplica-se o regime de capitalização simples. No segundo caso os juros se acumulam, valendo o regime de capitalização composta. Na última hipótese, muito utilizada pelo sistema financeiro, as prestações incluem os juros do período e uma quota de amortização da dívida.

Cálculo do valor das prestações constantes, periódicas e postecipadas

TABELA PRICE

Denominamos renda à uma sucessão de depósitos periódicos para formação de um capital.

As rendas podem ser antecipadas, postecipadas ou diferidas, em função da data de vencimento do 1º

termo:

0 1 2 3

Renda antecipada = data 0 (ou seja, no início do 1º período)

Renda postecipada ou imediata = data 1 ( ou seja, no final do 1º período)

Renda diferida com carência de 2 períodos = data 3 ( ou seja, no final do 3º período)

Vamos considerar, como exemplo, uma dívida a ser financiada em 6 prestações iguais mensais de R$

100,00 vencendo a primeira após 30 dias (renda postecipada ou imediata).

Sendo a taxa de 24 % a.a. com capitalizações mensais, o valor dessa dívida inicial poderá ser obtido

por meio da soma das prestações a serem pagas, atualizadas na data zero, ou seja:

A = 98,04 + 96,12 + 94,23 + 92,38 + 90,57 + 88,80 = R$ 560,14

Vamos deduzir uma fórmula para o cálculo de prestações mensais iguais a juros compostos

capitalizados mensalmente:


A soma indicada no numerador da fração corresponde à soma de 6 termos em progressão

geométrica,que se obtém pela fórmula:

Então teremos:

Dessa forma, podemos generalizar que:

onde A corresponde ao valor a ser financiado, N é o valor de cada uma das

prestações constantes e periódicas, i é a taxa de juros compostos e n é o número de prestações.

Exercícios:

27.Calcular o valor da prestação mensal para um financiamento de R$ 20 000,00 para ser pago em 4

anos, a 15 % a.a., capitalizados mensalmente. (Tabela Price).

28. Calcular o valor da prestação mensal para um financiamento de R$ 7 5000,00 para ser pago em 2

anos,a 12 % a.a., capitalizados mensalmente (Tabela Price).

29.O valor do financiamento pago em 12 prestações R$ 524,71 pela Tabela Price, à taxa de juros de 9

% a.a. corresponde a:

a) R$ 5 990,00

b) R$ 5 998,00

c) R$ 6 000,00

d) R$ 6 003,00


e) n.r.a.

Planilhas de amortização de uma dívida Tabela Price e Sistema de Amortização Constante

Vamos considerar o financiamento no valor de R$ 8 000,00 a ser pago em 5 prestações mensais,

pela TABELA PRICE , a juros compostos de 12 % a.a., capitalizados mensalmente.

TABELA PRICE

Prestação (N) R$ Juros (j) R$ Amortização (a) R$Saldo devedor (SD)

R$

0 - - -

1

2

3

4

5

Total

Sistema de Amortização Constante (SAC)

Esse sistema de amortização consiste em saldar uma dívida A por meio de n quotas de amortização constante. Neste Caso temos:

O valor de cada prestação N é resultante da parcela a amortizar ( a ) acrescida dos juros ( j ) do

período. N = a + j

S.A.C.

Prestação(N) R$ Juros(j) R$ Amortização (a) R$Saldo devedor (SD)

R$

0 - - -

1

2

3


4

5

Total

Exercícios:

30) Construir as planilhas de amortização SAC e PRICE no financiamento de um bem de valor R$ 30 000,00 em 10 prestações mensais, à taxa de juro de 0,75 %

S.A.C.


R$

0 - - -

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Total

TABELA PRICE


R$

0 - - -

1

2


3

4

5

6

7

8

9

10

Total

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