Jorge Augusto Capitalização Composta 28/09/2020...Exemplo: Um investidor aplica R$ 10.000,00 em um...

Jorge Augusto 28/09/2020Capitalização Composta

Fundamentos da Matemática Financeira 2Prof. Jorge Augusto Costa

Capitalização Composta.➢ Juros compostos.➢ Valor presente e valor futuro na capitalização

composta.➢ Taxa de juros e prazo na capitalização composta.➢ Taxa nominal e taxa efetiva.

Plano de Aula


Objetivos

➢ Conhecer as fórmulas de juros compostos, ovalor presente e valor futuro na capitalizaçãocomposta, a taxa de juros e prazo nacapitalização composta e Taxa nominal e taxaefetiva.


Atividade – Capitalização Composta

1. Qual o juro pago no caso do empréstimo de $2.000,00 à taxa dejuros compostos de 2% ao mês pelo prazo de 10 meses?


Juros compostos.


Capitalização Composta

Juros Compostos - O Efeito dos Juros Sobre Juros


Capitalização CompostaJuros Compostos - O Efeito dos Juros Sobre Juros


Capitalização CompostaJuros Compostos - Diferenças entre os Regimes de Capitalização

Características semelhantes entre os dois regimes

(capitalização simples e capitalização composta)➢ O montante é a soma do capital e juros: M = C + J;

➢ Os juros são calculados ao final de cada período de capitalização, instante em que são pagos, recebidos ou integrados ao capital;

➢ Os períodos são definidos e, portanto, descontínuos e finitos (ano, mês, dia etc.).

Diferenças entre os dois regimes

(capitalização simples e capitalização composta)➢ A principal está na velocidade de crescimento dos juros.


Capitalização CompostaJuros Compostos -Capitalização das Taxas de Juros

JUROS

SIMPLES

JUROS

COMPOSTOS

Taxa anual

Taxa mensal 1,8333% 1,6709%

Mês

1 1,83% 1,67%

2 3,67% 3,37%

3 5,50% 5,10%

4 7,33% 6,85%

5 9,17% 8,64%

6 11,00% 10,45%

7 12,83% 12,30%

8 14,67% 14,18%

9 16,50% 16,08%

10 18,33% 18,02%

11 20,17% 20,00%

12 22,00% 22,00%

13 23,83% 24,04%

14 25,67% 26,11%

15 27,50% 28,22%

16 29,33% 30,36%

17 31,17% 32,54%

18 33,00% 34,75%

22,00%

Taxas acumuladas


Capitalização CompostaJuros Compostos - Capitalização das Taxas de Juros - Gráfico


Capitalização CompostaJuros Compostos - Fórmulas Básicas de Juros CompostosMontante, capital acumulado ou valor futuroEquação 4.1

Com base nessa equação, podemos deduzir outras equações de regime de juros compostos:

Capital, principal, valor atual ou valor presenteEquação 4.2

Taxa de jurosEquação 4.3

Prazo, número de dias, meses, anosEquação 4.4


Valor presente e valor

futuro na

capitalização

composta.


Capitalização CompostaValor Presente e Valor Futuro na Capitalização CompostaValor Futuro ou Montante a Juros CompostosOs juros são calculados ao final de cada período de capitalização, instante em que são pagos, recebidos ou integrados ao capital.

Exemplo: Um investidor aplica R$ 10.000,00 em um CDB (certificado dedepósito bancário), à taxa de juros compostos de 1% a.m., peloprazo de 8 meses. Quanto ele resgatará no vencimento?

VF = VP (1 + i)n

VF = 10.000 (1 + 0,01)8

VF = 10.000 1,082857VF = R$ 10.828,57


Capitalização CompostaValor Presente e Valor Futuro na Capitalização CompostaValor Presente ou Atual a Juros CompostosExemplo: Tem-se um título no valor de R$ 1.061,21 para resgatar daqui a

três meses e a taxa de juros da operação financeira é de 2% a.m.Qual é o seu valor presente?

VP = R$ 1.061,21 / (1 + 0,02)3

VP = R$ 1.061,21 / 1,061208VP = R$ 1.000,00

Jorge Augusto 29/09/2020Capitalização Composta


Taxa de juros e prazo

na capitalização

composta.


Capitalização CompostaTaxa de juros e prazo na capitalização composta.Fórmula da Taxa de JurosExemplo: Um valor de R$ 10.000,00 foi aplicado durante três anos e

resgatado pelo montante de R$ 13.310,00. Qual foi a taxa dejuros em período anual?

i = (13.310/10.000)1/3-1i = (1,331)0,333333-1i = 0,1=10% a.a.


Capitalização CompostaTaxa de juros e prazo na capitalização composta.Fórmula do PrazoExemplo: Em quantos meses uma aplicação de R$ 1.000,00 produzirá um

montante de R$ 1.500,00 com taxa de juros compostos de 2%a.m.?

n = 20,47 meses ou n = 20 meses e 14 dias

ou


Capitalização CompostaTaxa de juros e prazo na capitalização composta.Taxas Equivalentes a Juros CompostosExemplo: Qual é a rentabilidade mensal de uma aplicação financeira com

taxa de juros compostos de 14% a.a.?


Capitalização CompostaTaxa de juros e prazo na capitalização composta.Períodos Não InteirosConvenção linear

A convenção linear é pouco utilizada nas operações financeiras.

Convenção exponencial

É a convenção utilizada no dia a dia do mercado financeiro brasileiro.


Capitalização CompostaTaxa de juros e prazo na capitalização composta.Períodos Não InteirosExemplo de Convenção exponencial:

Aplicação pelo prazo de oito meses, à taxa de juros compostos de 10% a.a.

ief = (1 + 0,1)0 + 8/12 − 1

ief = 1,10,666667 − 1 = 0,0656 = 6,56%


Taxa nominal e taxa

efetiva.


Capitalização CompostaTaxa nominal e taxa efetiva.Conversão de Taxa Nominal e Taxa EfetivaExemplo: Dada uma taxa nominal de 24% a.a., encontre a taxa efetiva

capitalizada mensalmente durante um ano.


Capitalização CompostaTaxa nominal e taxa efetiva.Conversão de Taxa Nominal e Taxa EfetivaExemplo: Qual é a taxa efetiva anual de uma taxa nominal de 12% a.a. com

capitalização mensal?


Capitalização CompostaTaxa nominal e taxa efetiva.Conversão de Taxa Efetiva em Taxa Nominal

Aplicando a fórmula sobre os dados dos exemplo anteriores


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Fundamentos da Matemática Financeira Prof. Jorge Augusto Costa 27

Solução da AtividadeCapitalização Simples e

Composta


Atividade – Capitalização Simples1. Suponhamos que se tome emprestada a quantia de $1.000,00 pelo prazo de 2 anos e à

taxa de 10% ao ano. Qual será o valor a ser pago como juro?

Solução

Capital inicial (C) = 1.000,00

Taxa de juros (i) = 10%

Número de períodos (n) = 2 anos

Trabalhando com a taxa de juros na

forma unitária, teremos o juro do primeiro ano como sendo:

J1 = 1.000,00 x 10/100 x 1 = 100,00

No segundo ano, teremos:

J2 = 1.000,00 x 10/100 x 1 = 100,00

O juro total será a soma do juro devido no

primeiro ano ( J1 ) mais o juro devido no segundo ano ( J2 )

J = J1 + J2

J = 100,00 + 100,00 = 200,00

J = 200,00


Atividade – Capitalização Simples2. Considerando os dados do exercício 1 acima calcule o montante, ou seja, qual é o

montante de um capital de $1.000,00 aplicado à taxa de 10%a.a., pelo prazo de 2 anos?

capital inicial (C) = 1.000,00

Taxa de juros (i) = 10%

Número de períodos (n) = 2 anos

E sendo:

M = C(1+in)

Substituindo os valores, temos:

M = 1000 ( 1 + 10/100 x 2)

M = 1000 ( 1 + 0,20)

M = 1.200,00


Atividade – Capitalização Simples

SoluçãoTemos:I1 = 5% a.t. = 0,05 a.t.I2 = 25% a.a. = 0,25 a.a.N1 = 3 mesesN2 = 12 mesesComo: i1 n1_____ = _____

I2 n2

Substituindo Os valores: 0,05 3______ = _____

0,25 12Notamos que não são grandezas proporcionais, porque o produto dos meios (0,25 x 3) = 0,75 é igual ao produto dos extremos (0,05 x 12) = 0,6.Logo, as taxas não são proporcionais.

3. Verifique se as taxas de 5% ao trimestre e de 25% ao ano são proporcionais.


Atividade – Capitalização Simples

SoluçãoTemos:I1 = 5% a.t. = 0,05 a.t.I2 = 20% a.a. = 0,25 a.a.N1 = 3 mesesN2 = 12 mesesComo: i1 n1_____ = _____

I2 n2

Substituindo Os valores: 0,05 3______ = _____

0,20 12Notamos que não são grandezas proporcionais, porque o produto dos meios (0,20 x 3) = 0,60 é igual ao produto dos extremos (0,05 x 12) = 0,60Logo, as taxas são proporcionais.

4. Verifique se as taxas de 5% ao trimestre e de 20% ao ano são proporcionais.


Atividade – Capitalização Simples5. Considere que uma pessoa possui hoje a quantia de $10.000,00. Qual será o valor futuro se a pessoa aplicar esta importância a taxa de 5% ao mês, daqui a 3 meses?

Solução

Temos: M = C (1 + In)

Onde M + ?

C = 10.000,00

I = 0,05

n = 3 meses

Logo:

M = 10.000 (1 + 0,05 x 3 )

M = 10.000 (1,15)

M = 11.500,00

O valor futuro será de $11.500,00 daqui a 3 meses


Atividade – Capitalização Composta1. Qual o juro pago no caso do empréstimo de $2.000,00 à taxa de juros compostos de 2% ao mês pelo prazo de 10 meses?

Solução

Dados:

C0 = 2.000

i = 2% a.m.

n = 10 meses

Temos:

Jn = C0 [(1 + i )n – 1]

Substituindo:

Jn = 2.000 [(1 +0.02 )10 – 1]

Jn = 2.000 [(1,02 )10 – 1]

Jn = 2.000 [(0.21899)]

Jn = 437,98


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