ANÁLISE COMPARATIVA ENTRE OS DIVERSOS MÉTODOS DE...

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Universidade Federal do Rio de Janeiro

ANÁLISE COMPARATIVA ENTRE OS DIVERSOS

MÉTODOS DE CONSIDERAÇÃO DE EFEITOS LOCAIS

DE SEGUNDA ORDEM

Diana de Almeida Pinto Regalla

2015

ANÁLISE COMPARATIVA ENTRE OS DIVERSOS

MÉTODOS DE CONSIDERAÇÃO DE EFEITOS LOCAIS

DE SEGUNDA ORDEM


Projeto de Graduação apresentado ao

Curso de Engenharia Civil da Escola

Politécnica, Universidade Federal do Rio

de Janeiro, como parte dos requisitos

necessários à obtenção do título de

Engenheiro.

Orientador: Sérgio Hampshire de Carvalho

Santos

Rio de Janeiro

FEVEREIRO DE 2015

ii

ANÁLISE COMPARATIVA ENTRE OS DIVERSOS MÉTODOS DE

CONSIDERAÇÃO DE EFEITOS LOCAIS DE SEGUNDA ORDEM


PROJETO DE GRADUAÇÃO SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO CURSO DE

ENGENHARIA CIVIL DA ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE FEDERAL

DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A

OBTENÇÃO DO GRAU DE ENGENHEIRO CIVIL.

Examinado por:

__________________________________________ Sérgio Hampshire de Carvalho Santos

Prof. Associado, D.Sc, POLI/UFRJ (Orientador)

__________________________________________

Flávia Moll de Souza Judice Prof. Adjunto, D.Sc., POLI/UFRJ

__________________________________________ Henrique Innecco Longo

Prof. Associado, D.Sc., POLI/UFRJ

__________________________________________

Bruno Martins Jacovazzo Prof. Adjunto, D.Sc., POLI/UFRJ

RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL

FEVEREIRO DE 2015

iii

Regalla, Diana de Almeida Pinto

Análise comparativa entre os diversos métodos de

consideração dos efeitos locais de segunda ordem/ Diana

de Almeida Pinto Regalla – Rio de Janeiro: UFRJ/ ESCOLA

POLITÉCNICA, 2015.

XIII, 98 p.: il.; 29,7 cm.

Orientador: Sérgio Hampshire de Carvalho Santos

Projeto de Graduação - UFRJ/ POLI/ Engenharia

Civil, 2015.

Referencias Bibliográficas: p. 97.

1. Efeitos locais de segunda ordem. 2. NBR 6118:2014 –

Projeto de Estruturas de Concreto – Procedimento. 3.Pilares

de Concreto Armado I. Santos, Sérgio Hampshire de

Carvalho. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro, UFRJ,

Curso de Engenharia Civil. III. Título.

iv

Dedicado aos meus pais e à minha irmã.

v

AGRADECIMENTOS

Primeiramente, aos meus pais João e Teresa, pela dedicação, carinho e

paciência durante todos esses anos. Por darem base necessária para o meu

crescimento pessoal e me apoiarem em todas as escolhas feitas até hoje. O que eu

venho me tornando é fruto do amor de vocês.

À minha irmã Sabrina, que sempre serviu de inspiração. Por toda ajuda

oferecida, esforços movidos e conselhos que me ajudaram a continuar. Você é o

meu orgulho.

Ao meu namorado Caio, por sempre estar do meu lado e me fazer sentir

completa. Obrigada por todo amor, companheirismo e paciência nos últimos dez

anos.

À Vitória, pelo amor incondicional e por me ensinar o que é lealdade.

Às minhas amigas Manuela, Manoela, Deborah e Branda pelos momentos

alegres e conversas intermináveis. Obrigada também por se desdobrarem para estar

comigo e entenderem as fases difíceis durante o curso de Engenharia. Agradeço por

vocês serem sempre meu porto seguro e me fazerem sentir querida.

Aos meus amigos do Curso de Engenharia Civil, pelos longos dias de

estudos, churrascos, chopadas, viagens para Búzios e por compartilharem

momentos de alegrias e desespero. Em especial, agradeço à Priscilla e ao João que

me acompanharam durante esses cinco anos. Sem vocês tudo teria sido mais difícil.

Agradeço a todos os professores da UFRJ pela excelência no ensino. Ao

meu orientador Sérgio Hampshire, por estar à disposição, pela oportunidade e pelos

ensinamentos no âmbito acadêmico e profissional. Agradeço ao Professor Otto e ao

grupo de iniciação científica do PET por abrir meus horizontes na faculdade. Ao

pessoal dos Alunos Contadores de História e do Sangue da UFRJ por me tornar um

ser humano melhor.

À Andrade Gutierrez por iniciar minha carreira profissional, me mostrando

todas as dificuldades de se trabalhar em uma obra de grande porte.

Por fim, agradeço à Promon Engenharia por despertar meu interesse na área

de Estruturas e me dar todo incentivo para garantir uma formação de qualidade.

Obrigada especialmente aos Engenheiros Luciano Junger e Manoel Justino pela

oportunidade de trabalhar com pessoas como vocês, além de toda paciência e

contribuição para minha formação pessoal e profissional.

vi

Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica/ UFRJ como

parte dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Engenheiro Civil.

ANÁLISE COMPARATIVA ENTRE OS DIVERSOS MÉTODOS DE

CONSIDERAÇÃO DE EFEITOS LOCAIS DE SEGUNDA ORDEM


FEVEREIRO/2015

Orientador: Sérgio Hampshire de Carvalho Santos

Curso: Engenharia Civil

Neste trabalho foram comparados os diversos métodos de consideração de efeitos

locais de segunda ordem definidos pela Norma NBR 6118:2014 – Projeto de

Estruturas de Concreto – Procedimento. O objetivo é definir se os métodos

aproximados desta Norma garantem a segurança dos pilares. O estudo foi feito a

partir de várias análises de um pilar com seção geométrica constante, variando-se

sua taxa de armadura e seu índice de esbeltez, por meio do uso de aplicativos e

planilhas elaboradas para este fim. Em todos os casos, o objetivo era encontrar o

maior esforço normal de compressão suportado pelo pilar, associado ao seu

momento mínimo correspondente, sendo este usualmente o caso crítico para

pilares. A comparação foi realizada entre os métodos aproximados permitidos pela

NBR 6118:2014 (Métodos do Pilar-Padrão com curvatura aproximada, rigidez

aproximada e acoplado a diagramas M, N, 1/r) e o Método Geral. O efeito da

fluência foi considerado nos dois últimos métodos, garantindo assim uma maior

exatidão nas análises. Por fim, todos os resultados são comparados com os do

Método Exato considerando o efeito da fluência, avaliando fatores de segurança

entre os mesmos, resultando em uma avaliação sobre a segurança assegurada em

cada um dos métodos.

Palavras-chave: Efeitos locais de segunda ordem, NBR 6118:2014 – Projeto de

Estruturas de Concreto – Procedimento, Pilares de Concreto Armado.

vii

Abstract of Undergraduate Project presented to POLI / UFRJ as a partial fulfilment of

the requirements for the degree of Civil Engineer.

COMPARATIVE ANALYSIS BETWEEN THE DIFFERENT METHODS OF

CONSIDERATION OF SECOND ORDER LOCAL EFFECTS


FEBRUARY/2015

Advisor: Sérgio Hampshire de Carvalho Santos

Course: Civil Engineering

In this study several methods for the consideration of second order local effects

defined by the Standard NBR 6118: 2014 - Design of Concrete Structures –

Procedure have been compared. The purpose has been to define whether the

approximate methods defined by this Standard are safe enough for the design of

columns. The study was developed from several analyses with a constant geometric

column section, varying its reinforcement rate and its slenderness ratio, through the

use of computer programs and spreadsheets developed for this purpose. In all

cases, the objective has been to find out the maximum compressive forces supported

by the columns, associated with their corresponding minimum bending moments,

which is usually the critical case for the columns design. The comparison was made

among the approximate methods suggested by NBR 6118:2014 (Standard Column

with approximate curvature, approximate stiffness coupled to diagrams of M, N, 1 / r),

and the Genaral Method. Creep effects were taken into account in the last two

methods, assuring them greater accuracy to the analyses. Finally, all the results are

compared with the Exact Method considering creep effects, evaluating safety factors

among them, resulting in an evaluation of the safety assured in each method.

Keywords: Second order local effects, NBR 6118: 2014 – Design of Concrete

Structures - Procedure, Reinforced Concrete Columns.

viii

SUMÁRIO

Lista de tabelas ....................................................................................................... x

Lista de figuras ....................................................................................................... xi

1 Introdução ........................................................................................................ 1

1.1 Objetivo e Metodologia ............................................................................. 1

1.2 Descrição dos Capítulos .......................................................................... 2

2 Conceitos Fundamentais ................................................................................. 4

2.1 Efeitos de Segunda Ordem e Instabilidade ............................................. 4

2.2 Não-Linearidade Física ............................................................................. 6

2.3 Não-Linearidade Geométrica .................................................................... 7

2.4 Características do Concreto ..................................................................... 8

2.5 Características do Aço ........................................................................... 10

3 Critérios de Projeto Segundo a NBR 6118:2014........................................... 11

3.1 Dimensões mínimas ............................................................................... 11

3.2 Índice de Esbeltez ................................................................................... 11

3.3 Imperfeições Geométricas ..................................................................... 13

3.3.1 Imperfeições Globais ......................................................................... 13

3.3.2 Imperfeições Locais ........................................................................... 14

3.4 Armaduras ............................................................................................... 15

3.5 Dispensa da Análise Local de Segunda Ordem .................................... 15

3.6 Determinação dos Efeitos Locais de Segunda Ordem ......................... 16

3.6.1 Método do Pilar Padrão com Curvatura Aproximada .......................... 17

3.6.2 Método do Pilar Padrão com Rigidez Aproximada ............................. 17

3.6.3 Método do Pilar Padrão Acoplado a Diagramas M, N, 1/r .................. 19

3.6.4 Método Geral ..................................................................................... 19

3.6.5 Consideração da Fluência .................................................................. 20

4 Sobre o Programa Computacional P-Calc .................................................... 22

4.1 Funcionamento ....................................................................................... 22

4.1.1 Janela principal .................................................................................. 22

4.1.2 Entrada de dados ............................................................................... 23

4.1.3 Saída de resultados ........................................................................... 31

4.2 Verificação ............................................................................................... 34

4.3 Comparações com outros programas computacionais ....................... 65

ix

5 Análises .......................................................................................................... 67

5.1 Dados do pilar ......................................................................................... 67

5.1.1 Seção geométrica .............................................................................. 67

5.1.2 Materiais ............................................................................................ 68

5.1.3 Critérios utilizados .............................................................................. 69

5.2 Métodos de cálculo ................................................................................. 74

5.3 Intervalos do índice de esbeltez e taxa de armadura ........................... 75

6 Resultados Obtidos ....................................................................................... 77

6.1.1 Taxa de armadura = 0,4% .................................................................. 78

6.1.2 Taxa de armadura = 1% ..................................................................... 80

6.1.3 Taxa de armadura = 2% ..................................................................... 83

6.1.4 Taxa de armadura = 3% ..................................................................... 85

6.1.5 Taxa de armadura = 4% ..................................................................... 88

7 Considerações finais ..................................................................................... 91

7.1 Conclusões .............................................................................................. 91

7.2 Sugestões para trabalhos futuros ......................................................... 95

8 Referências Bibliográficas ............................................................................ 97

x

Lista de tabelas

Tabela 1 - Coeficientes de majoração em função da menor dimensão do pilar

(NBR 6118:2014) ............................................................................................. 11

Tabela 2 - Esforços normais máximos de cálculo para cada método no pilar

avaliado ........................................................................................................... 65

Tabela 3 - Características do concreto C20 ......................................................... 68

Tabela 4 - Propriedades mecânicas do aço CA-50 ............................................. 68

Tabela 5 - Comprimentos de flambagem e índices de esbeltez correspondentes

utilizados nas análises .................................................................................. 76

Tabela 6 - Taxas de armadura utilizadas nas análises deste projeto ................ 76

Tabela 7 - Valores de Esforço Normal máximo suportado pelo pilar para taxa de

armadura de 0,4% .......................................................................................... 78

Tabela 8 - Coeficiente de Segurança de cada método em relação ao Método

Geral com fluência para taxa de armadura de 0,4% .................................... 79

Tabela 9 - Valores de Esforço Normal máximo suportado pelo pilar para taxa de

armadura de 1% ............................................................................................. 81


Geral com fluência para taxa de armadura de 1% ....................................... 82

Tabela 11 - Valores de Esforço Normal máximo suportado pelo pilar para taxa

de armadura de 2% ........................................................................................ 83




de armadura de 3% ........................................................................................ 86




de armadura de 4% ........................................................................................ 88



xi

Lista de figuras

Figura 1 - Diagrama tensão-deformação idealizado (NBR 6118:2014) ................ 9

Figura 2 - Diagrama tensão-deformação para aços de armaduras passivas

(NBR 6118:2014) ............................................................................................. 10

Figura 3 - Modelo de pilar bi-rotulado .................................................................. 12

Figura 4 - Imperfeições geométricas globais ...................................................... 13

Figura 5 - Imperfeições geométricas locais. a) Elementos de travamento; b)

Falta de retilineidade no pilar; c) Desaprumo do pilar................................. 14

Figura 6 - Relação momento-curvatura ............................................................... 19

Figura 8 - Diagrama Tensão- Deformação corrigido para considerar o efeito da

fluência ........................................................................................................... 21

Figura 9 - Janela Principal do P-Calc ................................................................... 23

Figura 10 - Seções transversais disponíveis no P-Calc ..................................... 23

Figura 11 - Entrada de dados: tipo de seção transversal, vinculação e

comprimento do pilar ..................................................................................... 24

Figura 12 - Entrada de dados: características dos materiais utilizados............ 25

Figura 13 - Entrada de dados: Armação do pilar ................................................ 26

Figura 14 - Entrada de dados: Solicitações (força normal e momentos no topo

e na base nas duas direções) ........................................................................ 26

Figura 15 - Consideração do efeito de segunda ordem local e método de

cálculo............................................................................................................. 27

Figura 16 - Critérios de segurança ....................................................................... 28

Figura 17 - Verificação do momento mínimo ...................................................... 29

Figura 18 - Limitação das taxas de armadura segundo item 17.3.5.3 da NBR

6118:2014 ........................................................................................................ 30

Figura 19 - Consideração do efeito da fluência................................................... 31

Figura 20 - Diagrama de interação de momentos fletores X e Y ........................ 32

Figura 21 - Consideração da Não-linearidade Geométrica. a) Esforços com

método pilar padrão; b) Esforços com Método Geral ................................. 33

Figura 22 - Diagrama N, M, 1/r .............................................................................. 33

Figura 23 - Análise gerada pelo P-Calc para o Método do Pilar-Padrão com

curvatura aproximada (λx = 50 e taxa de armadura = 1,96%) ..................... 35


rigidez aproximada (λx = 50 e taxa de armadura = 1,96%) .......................... 37

Figura 25- Análise gerada pelo P-Calc para o Método do Pilar-Padrão acoplado

a diagramas N, M, 1/r (λx = 50 e taxa de armadura = 1,96%) ....................... 38

xii

Figura 26 - Rigidez secante calculada pelo P-Calc (caso sem fluência) ........... 39

Figura 27 - Análise gerada pelo P-Calc para o Método do Pilar-Padrão acoplado

a diagramas N, M, 1/r com efeito da fluência (λx = 50 e taxa de armadura =

1,96%).............................................................................................................. 40

Figura 28 - Consideração do efeito da fluência no programa P-Calc ................ 41

Figura 29 - Rigidez secante calculada pelo P-Calc (caso com fluência) ........... 42

Figura 30 - Análise gerada pelo P-Calc para o Método Geral (λx = 50 e taxa de

armadura = 1,96%) ......................................................................................... 43

Figura 31 – Aproximação da deformada por uma parábola do segundo grau .. 44

Figura 32 – Deformada do pilar dividida em trechos .......................................... 46

Figura 33 – Detalhe na deformada do pilar .......................................................... 46

Figura 34 - Gráfico momento-curvatura gerado pelo MK-UFRJ – sem fluência 50

Figura 35 - Análise gerada pelo P-Calc para o Método Geral com efeito da

fluência (λx = 50 e taxa de armadura = 1,96%) ............................................. 57

Figura 36 - Gráfico momento-curvatura gerado pelo MK-UFRJ – com fluência 58

Figura 37 - Análise no programa OBLÍQUA 1.0 ................................................... 66

Figura 38 - Geometria da seção do pilar .............................................................. 67

Figura 39 - Materiais utilizados ............................................................................ 69

Figura 40 - Coeficientes de segurança utilizados ............................................... 70

Figura 41 - Pilares biapoaidos com momentos unitários aplicados no topo e na

base. a) Pilar 1 com momentos com mesmo sentido; b) Pilar 2 com

momentos com sentidos opostos. ............................................................... 71

Figura 42 - Diagramas de momentos fletores nos Pilares 1 e 2 ......................... 71

Figura 43 - Deformadas dos pilares 1 e 2 ............................................................ 72

Figura 44 - Consideração da envoltória de momentos mínimos nas análises . 73

Figura 45 - Critérios de precisão utilizados ......................................................... 74

Figura 46 - Opções de consideração do efeito de segunda ordem local pelo P-

Calc ................................................................................................................. 75

Figura 47 - Curvas de Força Normal versus Índice de Esbeltez para a taxa de

armadura de 0,4% .......................................................................................... 79

Figura 48 - Variação dos Coeficientes de Segurança em relação ao Método

Geral com fluência para taxa de armadura de 0,4% .................................... 80

Figura 49 - Curvas de Força Normal versus Índice de Esbeltez para taxa de

armadura de 1% ............................................................................................. 81



xiii

Figura 51 - Curvas Força Normal versus Índice de Esbeltez para taxa de

armadura de 2% ............................................................................................. 84




armadura de 3% ............................................................................................. 86




armadura de 4% ............................................................................................. 89



Figura 57 - Variação dos Coeficientes de Segurança para o Método do Pilar-

Padrão com curvatura aproximada ............................................................... 91


Padrão com rigidez aproximada ................................................................... 92


Padrão acoplado a diagramas N, M, 1/r ........................................................ 93


Padrão acoplado a diagramas N, M, 1/r com fluência ................................. 94

Figura 61 - Variação dos Coeficientes de Segurança para o Método Geral sem

fluência ........................................................................................................... 95

1

1 Introdução

O estudo de pilares de concreto armado submetidos à flexão composta

oblíqua, considerando corretamente a não-linearidade física e geométrica, envolve

um grande número de cálculos numéricos e só é viável através de algoritmos

computacionais.

Uma forma clássica de dimensionamento são os ábacos de interação para

flexão composta oblíqua que existem na literatura para várias situações de

geometria de seção e distribuição de armaduras, como os conhecidos ábacos de

Montoya [1] em conjunto com métodos aproximados de avaliação de efeitos de

segunda ordem.

Métodos simplificados de cálculo para a flexão oblíqua são oferecidos pela

NBR 6118:2014 [2]. A consideração dos efeitos de não-linearidade física e

geométrica nos pilares segundo esta Norma pode ser efetuada por diversos

métodos aproximados, em função da esbeltez dos mesmos.

No entanto, existem limitações e questionamentos quanto ao uso destes

métodos aproximados. Seu uso foi analisado em diversas situações que neste

trabalho. A adequação e a segurança assegurada por cada um destes métodos foi

aqui avaliada, através de comparações com resultados obtidos com o Método Geral.

1.1 Objetivo e Metodologia

O objetivo deste trabalho é definir se os métodos aproximados de

consideração do efeito de segunda ordem em pilares da NBR 6118:2014 garantem a

segurança dos mesmos.

A metodologia utilizada foi o uso de aplicativos disponíveis e planilhas

desenvolvidas para este fim, cobrindo de forma extensiva as diversas situações de

taxa de armadura e de índices de esbeltez dos pilares.

Foram feitas 330 análises de um pilar de concreto armado com seção

transversal de 25 cm x 100 cm, usando o aplicativo P-Calc [5], variando-se a taxa de

armadura e o índice de esbeltez. Os métodos de cálculo analisados são os listados

a seguir.

2

Pilar-Padrão com curvatura aproximada;

Pilar-Padrão com rigidez aproximada;

Pilar-Padrão acoplado a diagramas N, M e 1/r;

Pilar-Padrão acoplado a diagramas N, M e 1/r considerando o efeito da

fluência;

Método Geral;

Método Geral considerando o efeito da fluência.

Em cada análise, o objetivo é encontrar a força normal máxima de

compressão que a seção do pilar suporta, simultaneamente ao momento mínimo,

gerado por uma excentricidade constante calculada em função da espessura do

pilar. O caso de momento mínimo usualmente é o mais crítico nas situações em que

os efeitos de segunda ordem são importantes.

Desta forma, foi possível obter um quadro completo sobre a precisão e a

segurança dos vários métodos da Norma.

1.2 Descrição dos Capítulos

O presente trabalho está divido em sete capítulos: Introdução, Conceitos

Fundamentais, Critérios de Projeto segundo a NBR 6118:2014, Programa

Computacional P-Calc, Análises, Resultados obtidos e Considerações Finais.

O primeiro capítulo pretende mostrar os objetivos do trabalho, a metodologia

adotada e a organização do conteúdo.

O segundo capítulo buscou abordar assuntos relevantes ao tema do

trabalho, essenciais para seu entendimento. Mostra-se como são definidos os

efeitos de segunda ordem e a instabilidade segundo a NBR 6118:2014 [2], assim

como os conceitos de não-linearidade física e geométrica. Além disso, é feita uma

breve descrição dos materiais utilizados no elemento estrutural em questão.

O terceiro capítulo tem como objetivo explicitar os critérios adotados em

projetos de pilares usuais segundo a Norma supracitada. São apresentadas neste

capítulo as limitações de dimensões dos pilares, assim como de suas taxas de

armadura. Também é mostrado como são definidos os índices de esbeltez,

imperfeições globais e locais e quando há possibilidade de dispensar a

consideração dos efeitos de segunda ordem. Além disso, na última parte do mesmo,

há uma revisão sobre como é feito o cálculo em cada método de consideração do

efeito de segunda ordem em pilares oferecido pela Norma.

3

O quarto capítulo mostra como funciona o aplicativo P-Calc [5], utilizado

como base do desenvolvimento dos resultados deste trabalho. Sua verificação foi

feita através de cálculos manuais, bem como por meio da utilização de aplicativos já

reconhecidos no mercado e no meio acadêmico. Por fim, é mostrada a comparação

com outro programa computacional.

O quinto capítulo apresenta, de forma detalhada, como as análises foram

realizadas. Apresenta dados do pilar avaliado, bem como todos os critérios que

foram considerados durantes as análises para obtenção dos resultados.

O sexto capítulo expõe os resultados obtidos nas análises através de

gráficos e tabelas que por sua vez são avaliados com comentários sobre as curvas

geradas.

O trabalho é finalizado com o sétimo capítulo que se reserva para as

considerações finais, onde serão formuladas as conclusões acerca do tema

abordado, além de sugestões para trabalhos futuros.

4

2 Conceitos Fundamentais

2.1 Efeitos de Segunda Ordem e Instabilidade

De acordo com o item 15.2 da NBR 6118:2014 [2], os efeitos de segunda

ordem (quando a análise do equilíbrio é considerada na configuração deformada)

devem ser superpostos aos efeitos obtidos em uma análise de primeira ordem

(quando o equilíbrio da estrutura é avaliado na sua condição geométrica inicial). Os

efeitos de segunda ordem, em cuja determinação deve-se considerar o

comportamento não-linear dos materiais, podem ser desprezados sempre que não

apresentem acréscimo superior a 10% às solicitações de primeira ordem relevantes

na estrutura.

Nas estruturas de concreto armado, o estado limite último de instabilidade é

atingido sempre que, ao crescer a intensidade do carregamento juntamente com as

deformações em elementos submetidos à flexo-compressão, o aumento da

capacidade resistente passa a ser inferior ao aumento da solicitação. Existem, nas

estruturas de concreto, três tipos de instabilidade:

a) nas estruturas sem imperfeições geométricas iniciais, pode haver (para

casos especiais de carregamento) perda de estabilidade por bifurcação do equilíbrio

(flambagem);

b) em situações particulares (estruturas abatidas), pode haver perda de

estabilidade sem bifurcação do equilíbrio por passagem brusca de uma configuração

para outra reversa da anterior (ponto limite com reversão);

c) em estruturas de material de comportamento não-linear, com imperfeições

geométricas iniciais, não há perda de estabilidade por bifurcação do equilíbrio,

podendo, no entanto, haver perda de estabilidade quando, ao crescer a intensidade

do carregamento, o aumento da capacidade resistente da estrutura passar a ser

menor do que o aumento da solicitação (ponto limite sem reversão).

Para efeito de cálculo, o item 15.4.2 da NBR 6118:2014 [2], classifica as

estruturas como de nós fixos ou móveis. As estruturas são consideradas como de

nós fixos quando os deslocamentos horizontais dos nós são pequenos e, por

decorrência, os efeitos globais de segunda ordem são desprezíveis (inferiores a

10% dos respectivos esforços de primeira ordem). Nessas estruturas, basta

considerar os efeitos locais e localizados de segunda ordem. Já as estruturas de nós

5

móveis são aquelas onde os deslocamentos horizontais não são pequenos e, em

decorrência, os efeitos globais de segunda ordem são importantes (superiores a

10% dos respectivos esforços de primeira ordem). Nessas estruturas devem ser

considerados tanto os esforços de segunda ordem globais como os locais e

localizados. No entanto, há também estruturas em que os deslocamentos

horizontais são grandes e que, não obstante, dispensam a consideração dos efeitos

de segunda ordem por serem pequenas as forças normais e, portanto, pequenos os

acréscimos dos deslocamentos produzidos por elas; isso pode acontecer, por

exemplo, em postes e em certos pilares de galpões industriais.

O item 15.5 da NBR 6118:2014 [2] apresenta dois processos aproximados

para avaliar a possibilidade de dispensa da consideração dos efeitos globais de

segunda ordem em uma estrutura (ou seja, classificando a estrutura como de nós

fixos sem necessidade de um cálculo rigoroso). São eles o critério do parâmetro de

instabilidade α e o do critério do coeficiente z.

Critério do Parâmetro de Instabilidade

Uma estrutura reticulada simétrica pode ser considerada como de nós fixos

(dispensada da análise dos efeitos globais de segunda ordem), se seu parâmetro de

instabilidade α for menor que o valor 1.

𝛼 = 𝐻𝑡𝑜𝑡 √𝑁𝑘

𝐸𝑐𝑠 .𝐼𝑐 (2.1.1)

onde:

1 = 0,2 + 0,1n se: n ≤ 3

1 = 0,6 se: n ≥ 4 (dependendo se é pórtico ou pilar-parede)

sendo:

n é o número de níveis de barras horizontais (andares);

Htot é a altura total da estrutura;

Nk é o somatório de todas as cargas verticais atuantes na estrutura, com seu

valor característico;

(Ecs.Ic) é o somatório dos valores de rigidez de todos os pilares na direção

considerada.

Critério do coeficiente z

Este é um procedimento válido para estruturas reticuladas de, no mínimo,

quatro andares, podendo ser avaliado a partir dos resultados de uma análise de

primeira ordem.

6

O valor do parâmetro z é dado pela seguinte expressão:

𝛾𝑧 = 1

1− ∆𝑀𝑡𝑜𝑡,𝑑𝑀1,𝑡𝑜𝑡,𝑑

(2.1.2)

onde:

M1,tot,d é o valor de cálculo do momento de tombamento, gerado pelas forças

horizontais em relação à base da estrutura;

ΔMtot,d é a soma dos momentos de cálculo gerados pelas forças verticais

combinadas com os deslocamentos horizontais de seus respectivos pontos de

aplicação, obtidos na análise de primeira ordem.

Considera-se que a estrutura é de nós fixos se for obedecida a condição

z ≤ 1,10.

2.2 Não-Linearidade Física

O concreto armado não é um material elástico perfeito, pois os efeitos de

fissuração, fluência, escoamento das armaduras, bem como de outros fatores de

menor importância, conferem ao mesmo um comportamento de não-linearidade

física.

Segundo o item 15.7.3 da NBR 6118:2014 [2], a não-linearidade física pode

ser considerada de maneira aproximada para a análise dos esforços globais de

segunda ordem em estruturas reticuladas (com o mínimo de quatro andares),

tomando-se para a rigidez dos elementos estruturais os seguintes valores:

- lajes (EI)sec = 0,3 ECi IC (2.2.1)

- vigas (EI)sec = 0,4 ECi IC para As’ ≠ As (2.2.2)

(EI)sec = 0,5 ECi IC para As’ = As (2.2.3)

- pilares (EI)sec = 0,8 ECi IC (2.2.4)

onde:

IC é o momento de inércia da seção bruta de concreto incluindo, quando for o caso,

as mesas colaborantes;

(EI)sec é a rigidez secante;

ECi é o módulo de elasticidade tangente inicial do concreto;

7

Esses valores de rigidez aproximados não podem ser usados para avaliar

efeitos locais de segunda ordem, mesmo com uma discretização maior da

modelagem.

De acordo com o item 8.2.8 da NBR 6118:2014 [2], o módulo de elasticidade

tangente inicial pode ser tomado como igual a:

𝐸𝐶𝑖 = 𝛼𝐸 . 5600 √𝑓𝑐𝑘 , para 20 MPa ≤ fck ≤ 50 MPa; (2.2.5)

𝐸𝐶𝑖 = 21,5 . 103. 𝛼𝐸 . (

𝑓𝑐𝑘

10+ 1,25)

1/3 para 55 MPa ≤ fck ≤ 90 MPa. (2.2.6)

sendo E definido em função da natureza da rocha matriz dos agregados

graúdos utilizados na preparação do concreto:

E = 1,2 para basalto e diabásio

E = 1,0 para granito e gnaisse

E = 0,9 para calcário

E = 0,7 para arenito

Eci e fck são dados em megapascal (MPa).

2.3 Não-Linearidade Geométrica

A não-linearidade geométrica corresponde aos efeitos adicionais provenientes

do deslocamento horizontal das estruturas, que ocasionam o aparecimento de

acréscimos de esforços capazes de conduzí-la ao colapso. Dessa forma, a

consideração da não-linearidade geométrica de uma estrutura levará em conta a

condição de equilíbrio da estrutura em sua condição deformada.

O método “P-Delta” é um método aproximado empregado na avaliação dos efeitos

globais de segunda ordem. Seu objetivo é determinar forças horizontais fictícias que

gerem momentos equivalentes aos momentos de segunda ordem. Estas forças

equivalentes são calculadas até que a posição final de equilíbrio seja obtida. Neste

método, a análise não-linear é substituída por uma série de análises lineares, sendo

que, em cada etapa, as características de rigidez são consideradas como

constantes. Em cada etapa, os resultados da etapa anterior são alterados e o

processo só termina quando houver convergência, ou seja, quando os resultados se

mantiverem praticamente os mesmos em duas etapas consecutivas (LONGO [6]).

8

Os efeitos locais da não-linearidade geométrica são considerados de maneira

aproximada em alguns métodos de cálculo do efeito de segunda ordem sugeridos

pela NBR 6118:2014 [2] e de maneira não aproximada no seu Método Geral.

2.4 Características do Concreto

Conforme é definido no item 8.2.1 da NBR 6118:2014 [2], o concreto pode ser

classificado de acordo com sua resistência em classes. Os concretos da classe C15

(fck = 15 MPa, sendo fck a resistência característica à compressão do concreto) só

podem ser aplicados em obras provisórias, em estruturas de fundações ou em

concretos sem fins estruturais. Já os concretos da classe C20 (fck = 20 MPa) ou

superior, podem ser aplicados em estrutura de concreto armado de forma geral com

armadura passiva, sem protensão.

Os conceitos e equações que a NBR 6118:2014 [2] estabelece, se aplicam

aos concretos de massa específica normal, concretos que depois de secos em

estufa, têm massa especifica ρc, entre 2000 kg/m³ e 2800 kg/m³. Caso a massa

específica real não seja conhecida, para efeito de cálculo pode-se considerar o valor

de 2400 kg/m³ para o concreto simples e 2500 kg/m³ para o concreto armado. Se for

conhecida a massa específica do concreto simples, pode-se utilizá-la acrescida de

100 kg/m³ a 150 kg/m³ para o concreto armado.

De acordo com o item 8.2.4 da NBR 6118:2014 [2], a resistência característica

do concreto à compressão fck é determinada a partir dos resultados de ensaios em

corpos de prova cilíndricos, moldados conforme a NBR 5738 [3] e realizados de

acordo com a NBR 5739 [4].

O diagrama tensão-deformação para o concreto à compressão, mostrado na

Figura 1, deve ser usado nas análises do estado limite último, de acordo com o item

8.2.10.1 de NBR 6118:2014 [2].

9

Figura 1 - Diagrama tensão-deformação idealizado (NBR 6118:2014)

onde:

σc é a tensão no concreto.

εc é a deformação específica de encurtamento do concreto.

𝜀𝑐2 é a deformação específica de encurtamento do concreto no início do

patamar de escoamento.

𝜀𝑐𝑢 é a deformação específica de encurtamento do concreto na ruptura.

fck é a resistência característica à compressão do concreto.

fcd é a resistência de cálculo à compressão do concreto.

Para concretos até a classe C50 (fck = 50 MPa):

𝜀𝑐2 = 2,0 ‰

𝜀𝑐𝑢 = 3,5 ‰

Para concretos da classe C55 (fck = 55 MPa) até C90 (fck = 90 MPa):

𝜀𝑐2 = 2,0 ‰+ 0,085 ‰ ⋅ (𝑓𝑐𝑘– 50)0,53

𝜀𝑐𝑢 = 2,6 ‰+ 35 ‰ ⋅ (90 – 𝑓𝑐𝑘100

)4

O multiplicador 0,85 representa a redução da resistência do concreto,

submetido a cargas de longa duração (efeito Rüsch). Já a resistência de cálculo à

compressão do concreto fcd é obtida dividindo-se a resistência característica fck pelo

coeficiente de minoração de resistência do concreto, usualmente c =1,4.

10

2.5 Características do Aço

Os aços utilizados nos projetos de estruturas de concreto armado no Brasil

são os classificados na NBR 7480:1996, em função do valor característico de sua

resistência de escoamento, nas categorias CA-25, CA-50 e CA-60.

Para os aços de armadura passiva, a sua massa específica pode ser adotada

igual a 7850 kg/m³, de acordo com a NBR 6118:2014 [2]. A mesma Norma também

estabelece que, na ausência de ensaios ou valores fornecidos pelos fabricantes, o

valor do módulo de elasticidade pode ser admitido como igual a 210 GPa.

O item 8.3.6 da NBR 6118:2014 [2] apresenta, para o cálculo nos estados-

limites de serviço e último, o diagrama tensão-deformação idealizado reproduzido na

Figura 2. O patamar de escoamento é bem definido e sem acréscimo de tensões

após a deformação de escoamento.

Figura 2 - Diagrama tensão-deformação para aços de armaduras passivas (NBR 6118:2014)

11

3 Critérios de Projeto Segundo a NBR 6118:2014

3.1 Dimensões mínimas

O item 13.2.3 da NBR 6118:2014 [2] define uma espessura mínima para

pilares de 19 cm. Em casos especiais permite-se a consideração de espessuras de

14 cm a 19 cm, desde que se multipliquem as ações por um coeficiente adicional n

(ver Tabela 1).

Tabela 1 - Coeficientes de majoração em função da menor dimensão do pilar

(NBR 6118:2014)

b (cm) ≥ 19 18 17 16 15 14

γn

1,00

1,05

1,10

1,15

1,20

1,25

onde:

n = 1,95 – 0,05 b (3.1.1)

b é a menor dimensão da seção transversal do pilar, expressa em

centímetros (cm).

O coeficiente n deve majorar os esforços solicitantes finais de cálculo quando

de seu dimensionamento.

3.2 Índice de Esbeltez

Os trechos de pilares entre pisos devem ser considerados, isoladamente,

como birrotulados (Figura 3).

12

Figura 3 - Modelo de pilar bi-rotulado

De acordo com o item 15.6 da NBR 6118:2014, o comprimento equivalente le

do elemento comprimido (pilar) é o menor entre os dois valores:

e = 0 + hpilar (3.2.1)

e = (3.2.2)

onde:

0 é distância entre as faces internas dos elementos estruturais, supostos

horizontais, que vinculam o pilar;

hpilar é a dimensão do pilar medida na direção de análise;

é a distância entre os eixos dos elementos estruturais aos quais o pilar está

vinculado.

No caso de pilar engastado na base e livre no topo, o valor do comprimento

equivalente será o dobro de .

A expressão do cálculo do índice de esbeltez está definida no item 15.8.2 da

Norma:

= e /i (3.2.3)

onde i é o raio de giração da seção geométrica de acordo com a expressão abaixo:

𝑖 = √𝐼𝑐

𝐴𝑐 (3.2.4)

13

onde:

Ic é o momento de inércia da seção de concreto;

Ac é a área da seção transversal de concreto.

3.3 Imperfeições Geométricas

De acordo com o item 11.3.3.4 da NBR 6118:2014 [2], as imperfeições

geométricas nos eixos dos elementos verticais da estrutura descarregada devem ser

consideradas nas verificações do estado-limite último. Essas imperfeições podem

ser divididas em imperfeições globais e locais.

3.3.1 Imperfeições Globais

Na análise global das estruturas reticuladas, sejam elas contraventadas ou

não, deve-se considerar um desaprumo angular igual a 𝜃1 nos elementos estruturais

verticais, conforme a Figura 4.

Figura 4 - Imperfeições geométricas globais

𝜃1 = 1

100 √𝐻

(3.3.1.1)

𝜃𝑎 = 𝜃1 √1+1/𝑛

2

(3.3.1.2) onde:

H é a altura total da edificação, em metros (m);

n é o número de prumadas de pilares no pórtico plano.

14

1min = 1/300 para estruturas reticuladas e imperfeições locais;

1máx = 1/200.

3.3.2 Imperfeições Locais

Deve ser considerado no projeto, no caso do dimensionamento ou

verificação de um lance de pilar, o efeito de desaprumo ou falta de retilineidade do

pilar, conforme mostrado na Figura 5.

Figura 5 - Imperfeições geométricas locais. a) Elementos de travamento; b)

Falta de retilineidade no pilar; c) Desaprumo do pilar

Os efeitos das imperfeições locais nos pilares podem ser substituídos em

estruturas reticulares pela consideração de um momento mínimo de primeira ordem,

dado pela expressão:

M1d,min = Nd (0,015+0,03.h) (3.3.2.1)

onde,

h é a altura da seção transversal na direção considerada, expressa em

metros (m).

Pode-se dizer que a excentricidade acidental é então:

ea = (0,015+0,03.h) (3.3.2.2)

15

3.4 Armaduras

O item 17.3.5.3 da NBR 6118:2014 [2] apresenta valores-limites para as

armaduras longitudinais de pilares e define requisitos básicos para o detalhamento

dessas armaduras. Devem ser atendidas as condições seguintes.

Armadura Mínima

𝐴𝑠,𝑚í𝑛 = (0,15 𝑁𝑑/𝑓𝑦𝑑) ≥ 0,004 𝐴𝑐 (3.4.1)

onde:

Nd é o valor da força normal de cálculo;

fyd é a tensão de escoamento do aço;

Ac é a área da seção transversal do pilar.

Armadura Máxima

𝐴𝑠,𝑚á𝑥 = 0,08 𝐴𝑐 (3.4.2)

A armadura máxima permitida deve ser de 8% da seção real, considerando

inclusive a sobreposição das armaduras existentes em regiões de emenda por

traspasse.

3.5 Dispensa da Análise Local de Segunda Ordem

De acordo com o item 15.8.2 da NBR 6118:2014 [2], os esforços locais de

segunda ordem em elementos isolados podem ser desprezados quando o índice de

esbeltez for menor que o valor limite 1. Este valor depende de diversos fatores:

− excentricidade relativa de primeira ordem e1 / h na extremidade do pilar onde

ocorre o momento de primeira ordem de maior valor absoluto;

− vinculação nos extremos da coluna isolada;

− forma do diagrama de momentos de primeira ordem.

O valor 1 pode ser calculado pela seguinte expressão:

𝜆1 = 25+12,5

𝑒1ℎ⁄

𝛼𝑏 (3.5.1)

onde:

35 ≤ 1 ≤ 90.

16

O valor de αb deve ser obtido conforme estabelecido a seguir:

a) Para pilares biapoiados sem cargas transversais:

𝛼𝑏 = 0,60 + 0,40 𝑀𝐵

𝑀𝐴 ≥ 0,40 (3.5.2)

sendo:

1,0 ≥ b ≥ 0,4

MA e MB - momentos de primeira ordem nos extremos do pilar. Deve ser

adotado para MA o maior valor absoluto ao longo do pilar biapoiado e para MB o sinal

positivo, se tracionar a mesma face que MA, e negativo em caso contrário.

b) Para pilares biapoiados com cargas transversais significativas ao longo

da altura:

b = 1,0

c) Para pilares em balanço:

𝛼𝑏 = 0,80 + 0,20 𝑀𝐶

𝑀𝐴 ≥ 0,85 (3.5.3)

sendo:

1,0 ≥ b ≥ 0,85;

MA é o momento de primeira ordem no engaste e MC é o momento de

primeira ordem no meio do pilar em balanço.

d) Para pilares biapoiados ou em balanço com momentos menores que o

momento mínimo:

b = 1,0

3.6 Determinação dos Efeitos Locais de Segunda Ordem

Segundo o item 15.8.3 da NBR 6118:2014, o cálculo de barras submetidas à

flexo-compressão normal pode ser feito pelo Método Geral ou por métodos

aproximados (Pilar-Padrão e Pilar-Padrão Melhorado). A Norma estabelece que a

consideração da fluência só é obrigatória para > 90.

Neste tópico, os métodos citados serão descritos brevemente, conforme

definido na Norma. A aplicação dos métodos será ilustrada com exemplos

numéricos no Capítulo 4.

17

3.6.1 Método do Pilar Padrão com Curvatura Aproximada

Este método pode ser empregado para pilares com ≤ 90, com seção

constante e armadura simétrica e constante ao longo de seu eixo.

Neste método, a não-linearidade geométrica é considerada de forma

aproximada supondo-se que a deformação da barra seja senoidal, enquanto que a

não-linearidade física é considerada através de uma expressão aproximada da

curvatura na seção crítica. Dessa forma, a linha deformada é representada de forma

aproximada por uma senóide:

𝑦(𝑥) = 𝑦𝑚á𝑥 . 𝑠𝑒𝑛 (𝜋 .𝑥

𝑙𝑒) (3.6.2.1)

O momento total máximo no pilar pode ser avaliado pela expressão:

𝑀𝑑,𝑡𝑜𝑡 = 𝛼𝑏 . 𝑀1𝑑,𝐴 + 𝑁𝑑 .𝑙𝑒2

10 .1

𝑟 ≥ 𝑀1𝑑,𝐴 (3.6.2.2)

Nesta expressão, 1/r é a curvatura na seção crítica, que pode ser avaliada

pela expressão aproximada:

1

𝑟=

0,005

ℎ (𝜈+0,5) ≤

0,005

ℎ (3.6.2.3)

sendo:

𝜈 = |𝑁𝑑|

𝐴𝑐 . 𝑓𝑐𝑑 (3.6.2.4)

onde

h é a altura da seção na direção considerada;

𝜈 é a força normal adimensional.

A força normal Nd é inserida na equação com sinal positivo (força normal de

compressão).

3.6.2 Método do Pilar Padrão com Rigidez Aproximada

Esse método busca uma avaliação mais precisa da curvatura. Só pode ser

empregado no cálculo de pilares com ≤ 90, com seção retangular constante e

armadura simétrica e constante ao longo de seu eixo.

18

Neste método, a não-linearidade geométrica é considerada de forma

aproximada, supondo-se que a deformação da barra seja senoidal, enquanto a não-

linearidade física é considerada através de uma expressão aproximada da rigidez.

De acordo com o item 15.3.1 da NBR 6118:2014 [2], a rigidez secante (EI)sec

é definida como a relação entre o momento resistente de cálculo e a correspondente

curvatura na seção considerada, para um certo nível de força normal de cálculo:

(𝐸𝐼)𝑠𝑒𝑐 = 𝑀𝑅𝑑

1,1⁄

1/𝑟 (3.6.3.1)

O momento total máximo no pilar, incluindo os efeitos de segunda ordem

pode ser calculado a partir da majoração dada abaixo, a ser aplicada ao momento

de primeira ordem.

𝑀𝑆𝑑,𝑡𝑜𝑡 = 𝛼𝑏 . 𝑀1𝑑,𝐴

1− 𝜆2

120 . 𝜅 𝜈⁄

(3.6.3.2)

O valor da constante adimensional é dado pela expressão aproximada:

𝜅𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥 = 32 . (1 + 5 𝑀𝑅𝑑,𝑡𝑜𝑡

ℎ . 𝑁𝑑) . 𝜈 (3.6.3.3)

Sendo 𝜅 definido como:

𝜅 = (𝐸𝐼)𝑠𝑒𝑐

𝐴𝑐 . ℎ² . 𝑓𝑐𝑑 (3.6.3.4)

Onde a grandeza 𝜈 está definida na expressão (3.6.2.4).

Para evitar o cálculo iterativo citado pela NBR 6118:2014 [2], pode-se obter o

momento total de cálculo como a maior raiz positiva da equação do segundo grau:

𝐴 .𝑀𝑑,𝑡𝑜𝑡2 + 𝐵.𝑀𝑑,𝑡𝑜𝑡 + 𝐶 = 0 (3.6.3.5)

Onde:

A = 5 h

𝐵 = ℎ² |𝑁𝑑| − |𝑁𝑑| . 𝑙𝑒

2

320− 5 ℎ 𝛼𝑏 𝑀1𝑑

𝐶 = − |𝑁𝑑| ℎ2 𝛼𝑏 𝑀1𝑑

19

3.6.3 Método do Pilar Padrão Acoplado a Diagramas M, N, 1/r

A avaliação dos efeitos locais de segunda ordem em pilares com

≤ 140 pode ser feita pelo método do Pilar-Padrão Melhorado, utilizando-se para a

curvatura da seção crítica os valores obtidos de diagramas M, N, 1/r específicos

para o caso. Se > 90, é obrigatória a consideração dos efeitos de fluência.

Figura 6 - Relação momento-curvatura

A Figura 6 mostra a relação momento-curvatura considerada na NBR

6118:2014, na qual a curva tracejada, obtida com os valores de cálculo usuais das

resistências do concreto e do aço, é utilizada para definir o momento fletor resistente

MRd em função de NSd. A curva cheia é obtida substituindo-se a resistência do

concreto, 0,85 fcd, por 1,1 fcd, e obtida para a força normal de cálculo igual a NSd/1,1.

A rigidez secante é obtida na segunda curva para o momento de cálculo igual a

MRd/1,1. A curva cheia AB é, a favor da segurança, linearizada pela reta AB.

A rigidez secante adimensional e o momento total no pilar são definidos

conforme foi mostrado no item 3.6.3 deste trabalho.

3.6.4 Método Geral

Este método consiste em uma análise não-linear de segunda ordem efetuada

com discretização adequada da barra, com consideração das relações momento-

curvatura reais em cada seção e consideração da não-linearidade geométrica de

maneira não aproximada. O método geral é obrigatório para >140.

20

Considerando-se as mesmas hipóteses anteriormente enunciadas para os

outros métodos, na aplicação que será aqui apresentada a curva deformada do pilar

é aproximada por uma função do segundo grau em trechos consecutivos de

discretização (com a função passando nos três pontos que formam os dois trechos),

o que permite obter uma expressão aproximada para a curvatura:

1

𝑟= 2

𝑓

∆𝐿2 (3.6.6.1)

onde:

ΔL é o comprimento dos trechos em que o pilar está discretizado;

f é a distância, no ponto comum aos dois trechos, entre a curva de segundo

grau e a reta que liga os dois pontos extremos dos trechos em questão.

Através de um procedimento iterativo de compatibilização entre deformadas

e curvaturas, obtêm-se os momentos fletores de segunda ordem.

3.6.5 Consideração da Fluência

Segundo o item 15.8.4 da NBR 6118:2014 [2], a consideração da fluência

deve obrigatoriamente ser feita em pilares com índice de esbeltez > 90. Essa

consideração pode ser feita de forma aproximada, através de uma excentricidade

adicional ecc, dada pela expressão a seguir:

𝑒𝑐𝑐 = 𝑒1 . (2,718(𝜑 𝑁𝑠𝑔

𝑁𝑒− 𝑁𝑠𝑔)− 1) (3.6.5.1)

onde:

𝑒1 = (𝑀𝑠𝑔

𝑁𝑠𝑔+ 𝑒𝑎) (3.6.5.2)

𝑁𝑒 = 10 𝐸𝐶𝑖 𝐼𝐶

𝑙𝑒2 (3.6.5.3)

ea é excentricidade devida a imperfeições locais (representada na Figura 5

deste trabalho);

Msg e Nsg são esforços solicitantes obtidos na combinação quase permanente

de cargas;

φ é o coeficiente de fluência.

21

A consideração do efeito de segunda ordem deve ser feita como se fosse um

efeito imediato, que se soma à excentricidade de primeira ordem e1.

A consideração da fluência no concreto também pode ser feita de forma

aproximada, corrigindo o diagrama tensão-deformação conforme a Figura 8, onde o

coeficiente φ pode ser obtido da Tabela 8.1 da NBR 6118:2014 [2].

Figura 7 - Diagrama Tensão- Deformação corrigido para considerar o efeito da

fluência

22

4 Sobre o Programa Computacional P-Calc

O Programa Computacional P-Calc [5] é um aplicativo que resolve

numericamente o problema da flexão composta oblíqua e explora todos os métodos

que a norma ABNT NBR 6118 oferece para avaliação dos efeitos locais de segunda

ordem em pilares. O programa está apto a realizar análise de pilares com resistência

característica à compressão do concreto superior a 50 MPa, conforme a NBR

6118:2014 [2].

O aplicativo P-Calc [5], foi desenvolvido pelo Engenheiro Sander Cardoso,

em linguagem Java®, para a análise de pilares submetidos à flexão composta

oblíqua com a consideração da não-linearidade física e geométrica. O usuário pode

escolher entre os quatro métodos propostos pela ABNT NBR 6118 para a

consideração dos efeitos locais de segunda ordem. O programa está disponibilizado

na página da internet www.pcalc.com.br [5].

4.1 Funcionamento

4.1.1 Janela principal

A janela principal do aplicativo (Figura 8) é organizada de uma forma prática,

com acesso rápido a todas as entradas de dados e saída de resultados.

http://www.pcalc.com.br/

23

Figura 8 - Janela Principal do P-Calc

4.1.2 Entrada de dados

A entrada de dados do programa está dividida em:

a) Geometria

Nesta janela são informados: o tipo de seção transversal (Figura 9), a

vinculação do pilar bem como seu comprimento (Figura 10) e a resistência à

compressão do pilar fck (Figura 11).

Inicialmente, estão disponíveis as seguintes seções transversais:

Figura 9 - Seções transversais disponíveis no P-Calc

24

Os tipos de vinculações disponíveis são: pilar em balanço e pilar biapoiado.

Ainda é possível fazer uma análise somente da seção transversal, na opção “Única

Seção”.

Figura 10 - Entrada de dados: tipo de seção transversal, vinculação e

comprimento do pilar

As propriedades do concreto e do aço são preenchidas de acordo com o

caso analisado em questão, podendo-se escolher a resistência característica à

compressão do concreto, a tensão de escoamento característica do aço e o módulo

de elasticidade considerado para o aço (Figura 12).

25

Figura 11 - Entrada de dados: características dos materiais utilizados

b) Armação

A armação é inserida por meio de coordenadas, informando-se seu diâmetro.

Pode ser inserida individualmente ou por uma linha de barras, informando a

quantidade de barras e as coordenadas das barras inicial e final da linha (Figura 13).

26

Figura 12 - Entrada de dados: Armação do pilar

c) Solicitações

Como dados de entrada de solicitações são informados a força normal e os

momentos no topo e na base segundo as direções x e y. É possível ainda resolver

de forma simultânea mais de uma combinação de solicitações, com o programa

identificando a combinação mais desfavorável (Figura 14).

Figura 13 - Entrada de dados: Solicitações (força normal e momentos no topo

e na base nas duas direções)

27

d) Efeitos locais de segunda ordem

Os efeitos locais de segunda ordem podem ou não ser considerados na

análise do pilar. Desta forma, existem três opções para consideração desse efeito:

sempre considerar, considerar apenas se > 1 ou nunca considerar (Figura 15). É

possível ainda escolher qual método de cálculo será utilizado: Pilar-Padrão com

curvatura aproximada, Pilar-Padrão com rigidez aproximada, Pilar-Padrão acoplado

ao diagrama N, M, 1/r, Método Geral acoplado ao diagrama N, M, 1/r e Método

Geral acoplado a diagramas N, Mx, My, 1/r (considerando as direções acopladas).

Figura 14 - Consideração do efeito de segunda ordem local e método de

cálculo

e) Critérios

É possível definir os critérios de segurança (Figura 16) através dos

coeficientes de minoração das resistências dos materiais e majoração dos esforços

solicitantes.

28

Figura 15 - Critérios de segurança

Além disso, o programa dá a opção de fazer a verificação para o momento

mínimo de acordo com a envoltória mínima de segunda ordem (Figura 17), descrita

no item 15.3.2 da NBR 6118:2014 [2], que define que a consideração desta

envoltória mínima pode ser realizada através de duas análises à flexão composta

normal, calculadas de forma isolada e com momentos fletores mínimos de primeira

ordem atuantes nos extremos do pilar, nas duas direções principais.

29

Figura 16 - Verificação do momento mínimo

Em seguida, define-se a taxa de armadura máxima e mínima da seção

(Figura 18) e a consideração do efeito da fluência (Figura 19).

30

Figura 17 - Limitação das taxas de armadura segundo item 17.3.5.3 da NBR

6118:2014

31

Figura 18 - Consideração do efeito da fluência

4.1.3 Saída de resultados

Basicamente, os resultados e verificações do programa são apresentados na

seguinte forma:

a) Diagrama de interação

A verificação quanto ao Estado Limite Último é feita por meio dos diagramas

de interação, que são curvas envoltórias resistentes. Se um ponto, representado

pelos pares de momentos solicitantes de cálculo, cair dentro do diagrama, a

segurança estará garantida, pois os esforços solicitantes são inferiores aos esforços

32

resistentes. Analogamente, se o ponto cair fora do diagrama, a segurança não

estará garantida. Um esquema desta verificação é apresentado na Figura 20.

Figura 19 - Diagrama de interação de momentos fletores X e Y

b) Não-linearidade geométrica

Como mencionado anteriormente, o programa calcula os esforços de

segunda ordem de acordo com os quatros métodos definidos pela ABNT NBR 6118.

A consideração da não-linearidade geométrica pode ser feita através do Método

Pilar-Padrão (somente na seção central do pilar) ou Método Geral (ao longo de toda

a altura do pilar). A Figura 21 apresenta os esforços para cada um destes métodos.

33

Figura 20 - Consideração da Não-linearidade Geométrica. a) Esforços com

método pilar padrão; b) Esforços com Método Geral

c) Não-linearidade física

Além de considerar a não-linearidade por meio da curvatura ou rigidez

aproximadas, o programa traça os diagramas N, M, 1/r, exibindo a linearização da

rigidez EIsec nos gráficos. A Figura 22 apresenta um exemplo deste diagrama,

juntamente com o valor da rigidez EIsec.

Figura 21 - Diagrama N, M, 1/r

34

4.2 Verificação

Como o P-Calc ainda não é um programa comercial, um caso escolhido

aleatoriamente foi analisado de forma manual para fins de verificação do programa.

O caso escolhido para ser avaliado foi o de um pilar com seção transversal

constante (100 cm de base e 25 cm de altura) com comprimento equivalente igual a

3,608 metros, com concreto C20 e cujo índice de esbeltez na direção x é igual a 50

(x = 50). A área de armadura foi arbitrada para este caso com área igual a 49,09

cm² (utilizado 10 Φ 25 mm) resultando em uma taxa de armadura igual a 1,96 %.

Primeiramente, deve-se avaliar se a análise local de segunda ordem é

obrigatória para esse pilar ou se ela poderia ser dispensada. Para isso, calculamos o

valor-limite 𝜆1:

𝜆1 = 25+12,5

𝑒1ℎ⁄

𝛼𝑏=

25+12,5 0,0225 0,25⁄

1,0= 26,12 < 50 → Devemos considerar o

efeito local de segunda ordem.

Esse foi um caso escolhido de maneira aleatória apenas para demonstrar a

proximidade dos resultados atingidos pelo programa e pelo cálculo manual.

Dessa forma, o objetivo deste item é de comparar os valores dos momentos

intermediários calculados ao longo da altura do pilar analiticamente, com os

momentos intermediários calculados pelo programa P-Calc. Isto é feito para fins de

verificação do programa e para buscar possíveis erros no mesmo. Para avaliação de

cada método, variou-se o valor do esforço normal de compressão (e por decorrência

o valor do momento mínimo correspondente) até que se encontrasse qual era o

maior esforço normal de compressão que o pilar suporta. Esse objetivo é atingido no

programa quando o fator de segurança oferecido pelo mesmo se iguala a 1,0.

Assim, os valores de força normal de compressão (e consequentemente de

momento fletor) aplicados para cada caso não serão iguais, uma vez que cada

método oferece um processo de cálculo gerando resultados diferentes.

Analisaram-se resultados relativos a todos os métodos de cálculo para

consideração do efeito de segunda ordem previstos pela Norma, sendo dois deles

considerando o efeito da fluência, o que gerou seis análises comparativas. Em cada

item, será mostrada a análise feita pelo P-Calc e em seguida, o cálculo manual.

Pilar-Padrão com curvatura aproximada

A Figura 23 mostra o momento intermediário calculado pelo aplicativo

P-Calc, utilizando o método do Pilar-Padrão com curvatura aproximada, quando

35

aplicamos o esforço normal máximo de compressão e seu momento mínimo

correspondente. O valor do esforço normal foi sendo alterado até que fosse obtido

um fator de segurança igual a 1,0. Para este caso específico, o fator de segurança

unitário foi atingido quando aplicou-se NRd = -3370 kN e seu momento mínimo

correspondente Mmín,d= NRd . (0,015+0,03.h) = 75,8 kN.m.


curvatura aproximada (λx = 50 e taxa de armadura = 1,96%)

Em seguida, a mesma análise é feita manualmente a seguir.

Para pilares biapoiados sem cargas transversais, calcula-se o coeficiente αb

de acordo com a equação (3.5.2):

𝛼𝑏 = 0,60 + 0,40 𝑀𝐵𝑀𝐴 ≥ 0,40

Como MA = MB, temos que:

𝛼𝑏 = 1,0

A força normal adimensional é dada pela expressão (3.6.2.4):

36

𝜈 = |𝑁𝑑|

𝐴𝑐 . 𝑓𝑐𝑑

Então,

𝜈 = 3370 (𝑘𝑁)

0,25 (𝑚2). 14285,7 (𝑘𝑁

𝑚2)= 0,9436

A partir disso, é possível determinar a curvatura na seção crítica pela

expressão (3.6.2.3):

1

𝑟=

0,005

ℎ (𝜈 + 0,5) ≤

0,005

ℎ

Substituindo o valor da espessura h = 0,25 m, encontra-se:

1

𝑟= 0,013854

Considerando o comprimento equivalente do pilar igual a 3,608 m, encontra-

se:

𝑀𝑑,𝑡𝑜𝑡 = 𝛼𝑏 . 𝑀1𝑑,𝐴 + 𝑁𝑑 .𝑙𝑒2

10 .1

𝑟 ≥ 𝑀1𝑑,𝐴

𝑀𝑑,𝑡𝑜𝑡 = 1,0 . 75,8 (𝑘𝑁.𝑚) + 3370 (𝑘𝑁).3,6082 (𝑚2)

10 . 0,013854 (𝑚−1)

𝑀𝑑,𝑡𝑜𝑡 = 𝟏𝟑𝟔, 𝟔 𝒌𝑵.𝒎 (𝑂𝐾)

Pilar-Padrão com rigidez aproximada


P-Calc [5], utilizando o método do Pilar-Padrão com rigidez aproximada, quando

aplicamos o esforço normal máximo de compressão resistido pelo pilar e o momento

mínimo correspondente. O valor do esforço normal foi sendo alterado até que fosse

obtido um fator de segurança igual a 1,0. Para este caso específico, o fator de

segurança unitário foi atingido quando aplicou-se NRd = -3510 kN e seu momento

mínimo correspondente Mmín,d= NRd . (0,015+0,03.h) = 79,0 kN.m.

37


rigidez aproximada (λx = 50 e taxa de armadura = 1,96%)

Em seguida, a mesma análise é feita manualmente.

Conforme explicado no item 3.6.3 deste trabalho, para se evitar o cálculo

interativo citado pela NBR 6118:2014, pode-se obter o momento total de cálculo

como a maior raiz positiva da equação do segundo grau.

𝐴 .𝑀𝑑,𝑡𝑜𝑡2 + 𝐵.𝑀𝑑,𝑡𝑜𝑡 + 𝐶 = 0

Sendo:

𝐴 = 5 ℎ = 1,25

𝐵 = ℎ² |𝑁𝑑| − |𝑁𝑑| . 𝑙𝑒

2

320− 5 ℎ 𝛼𝑏 𝑀1𝑑 = −22,16

𝐶 = − |𝑁𝑑| ℎ2 𝛼𝑏 𝑀1𝑑 = −17330,6

Resolvendo essa equação, encontramos: 𝑴𝒅,𝒕𝒐𝒕 = 𝟏𝟐𝟔, 𝟗 𝒌𝑵.𝒎 (OK)

38

Pilar-Padrão acoplado a diagramas N, M, 1/r


P-Calc [5], utilizando o método do Pilar-Padrão acoplado a diagramas N, M, 1/r, sem

considerar o efeito da fluência, quando aplicamos o esforço normal máximo de

compressão e o momento mínimo correspondente. O valor do esforço normal foi

sendo alterado até que fosse obtido um fator de segurança igual a 1,0. Para este

caso específico, o fator de segurança unitário foi atingido quando foi aplicado um

esforço normal de cálculo NRd = -3680 kN e seu momento mínimo correspondente

Mmín,d= NRd . (0,015+0,03.h) = 82,8 kN.m.

Figura 24- Análise gerada pelo P-Calc para o Método do Pilar-Padrão acoplado

a diagramas N, M, 1/r (λx = 50 e taxa de armadura = 1,96%)

Em seguida, a mesma análise é feita manualmente.

A rigidez secante é dada pelo programa P-Calc, apresentada na Figura 26.

39

Figura 25 - Rigidez secante calculada pelo P-Calc (caso sem fluência)

Conforme o item 3.6.3 deste trabalho, a rigidez adimensional pode ser

calculada alternativamente pela expressão (3.6.3.4):


𝐴𝑐 . ℎ² . 𝑓𝑐𝑑

Substituindo os valores da geometria da seção, da resistência do concreto e

da rigidez secante, temos:

𝜅 = 16934 (𝑘𝑁.𝑚2)

0,25 (𝑚2). 0,25²(𝑚2). 14285,7 (𝑘𝑁𝑚2)= 75,86

A força normal admensional é dada por:

𝜈 = 3680 (𝑘𝑁)

0,25 (𝑚2). 14285,7 (𝑘𝑁𝑚2)= 1,0304

O momento total máximo é calculado através da equação (3.6.3.2):


1 − 𝜆2

120 . 𝜅 𝜈⁄

= 1 . 82,8 (𝑘𝑁.𝑚)

1 −502

120. 75,86 1,0304⁄

= 115,5 𝑘𝑁.𝑚

Concluindo, temos:

𝑴𝑺𝒅,𝒕𝒐𝒕 = 𝟏𝟏𝟓, 𝟓 𝒌𝑵.𝒎 (OK)

40

Pilar-Padrão acoplado a diagramas N, M, 1/r com fluência


P-Calc [5], utilizando o método do Pilar-Padrão acoplado a diagramas N, M, 1/r,

considerando o efeito da fluência, quando aplicamos o esforço normal máximo de

compressão e o momento mínimo correspondente. O valor do esforço normal foi

sendo alterado até que fosse obtido um fator de segurança igual a 1,0. Para este

caso específico, o fator de segurança unitário foi atingido quando foi aplicado um

esforço normal de cálculo NRd = -3295 kN e seu momento mínimo correspondente

Mmín,d= NRd . (0,015+0,03.h) = 74,1 kN.m.

Figura 26 - Análise gerada pelo P-Calc para o Método do Pilar-Padrão acoplado

a diagramas N, M, 1/r com efeito da fluência (λx = 50 e taxa de armadura =

1,96%)

Este caso é avaliado de maneira análoga ao anterior, porém, considera-se

na análise o coeficiente de fluência (adotado neste exemplo como φ = 2,00). Isso é

feito, acionando-se o botão para considerar a fluência no P-Calc (Figura 28).

41

Figura 27 - Consideração do efeito da fluência no programa P-Calc

O efeito da fluência altera o gráfico momento-curvatura, que por sua vez

fornece um novo valor de rigidez secante. Esse novo valor é calculado

automaticamente pelo programa e está apresentado na Figura 29.

42

Figura 28 - Rigidez secante calculada pelo P-Calc (caso com fluência)

De maneira análoga ao caso anterior, pode-se calcular a rigidez

adimensional como:


𝐴𝑐 . ℎ² . 𝑓𝑐𝑑

Substituindo-se os valores da geometria da seção, da resistência do concreto

e da rigidez secante, temos:

𝜅 = 9022 (𝑘𝑁.𝑚2)

0,25 (𝑚2). 0,25²(𝑚2). 14285,7 (𝑘𝑁𝑚2)= 40,42

A força normal adimensional é dada por:

𝜈 = 3295 (𝑘𝑁)

0,25 (𝑚2). 14285,7 (𝑘𝑁𝑚2)= 0,9226

O momento total máximo é calculado como:


1 − 𝜆2

120 . 𝜅 𝜈⁄

= 1 . 74,1 (𝑘𝑁.𝑚)

1 −502

120. 40,42 0,9226⁄

= 141,3 𝑘𝑁.𝑚

Substituindo-se os valores numéricos, temos:

𝑴𝑺𝒅,𝒕𝒐𝒕 = 𝟏𝟒𝟏, 𝟑 𝒌𝑵.𝒎 (OK)

43

Método Geral

A Figura 30 mostra o momento intermediário calculado pelo P-Calc [5],

utilizando o Método Geral sem considerar o efeito da fluência, quando aplicamos o

esforço normal máximo de compressão e o momento mínimo correspondente. O

valor do esforço normal foi sendo alterado até que fosse obtido um fator de

segurança igual a 1,0. Para este caso específico, o fator de segurança unitário foi

atingido quando foi aplicado um esforço normal de cálculo NRd = -3650 kN e seu

momento mínimo correspondente Mmín,d= NRd . (0,015+0,03.h) = 82,1 kN.m.

Figura 29 - Análise gerada pelo P-Calc para o Método Geral (λx = 50 e taxa de

armadura = 1,96%)

No Capítulo 3, o Método Geral foi abordado de maneira muito sucinta. Neste

tópico, este método terá seu procedimento de cálculo melhor detalhado.

De acordo com a NBR 6118:2014, o método geral consiste em uma análise

não-linear de segunda ordem efetuada com uma discretização adequada da barra,

considerando a relação momento-curvatura real e a não-linearidade geométrica de

44

forma numérica. Nos pilares muito esbeltos é obrigatória a verificação por este

método com a consideração da fluência.

Conforme já foi explicitado no Capítulo 3 deste trabalho, será aqui

considerada numericamente a não-linearidade geométrica, aproximando-se a curva

deformada da estrutura em trechos de parábolas do segundo grau, e em seguida

encontrando-se uma expressão para as curvaturas em função desta deformada.

Considere-se a parábola do segundo grau apresentada na Figura 31,

definida pela equação: 𝑦 = 𝐴𝑥2 + 𝐵𝑥 + 𝐶.

Figura 30 – Aproximação da deformada por uma parábola do segundo

grau

A partir da Figura 31, têm-se os seguintes pontos conhecidos:

{

𝑥 = 0 ; 𝑦1 = 𝐶

𝑥 = Δ𝐿 ; 𝑦2 = 𝐴Δ𝐿2 + 𝐵Δ𝐿 + 𝐶

𝑥 = −Δ𝐿 ; 𝑦0 = 𝐴Δ𝐿2 − 𝐵Δ𝐿 + 𝐶

Somando 𝑦0 + 𝑦2 obtêm-se:

𝑦0 + 𝑦2 = 2𝐴Δ𝐿2 + 2𝐶

Substituindo 𝑦1 = 𝐶:

𝑦0+𝑦2

2= 𝐴Δ𝐿2 + 𝑦1 (4.2.1)

Pela Figura 30 também é possível deduzir que:

𝑦1 = 𝑓 +𝑦0+𝑦2

2 (4.2.2)

ΔL ΔL

45

Substituindo (4.2.2) em (4.2.1):

𝑦0 + 𝑦22

= 𝐴Δ𝐿2 + 𝑓 +𝑦0 + 𝑦22

É possível se concluir que:

𝐴 = −𝑓

Δ𝐿2 (4.2.3)

Derivando-se a equação da parábola 𝑦 = 𝐴𝑥2 + 𝐵𝑥 + 𝐶 duas vezes, resulta:

𝑦′ = 2𝐴𝑥 + 𝐵

𝑦′′ = 2𝐴 (4.2.4)

A expressão da curvatura corresponde à segunda derivada da equação da

parábola, assim substituindo (4.2.3) em (4.2.4):

𝑦′′ = 2(−𝑓

Δ𝐿2) (4.2.5)

Como a curvatura é sempre considerada como positiva, tem-se:

1

𝑟= 2

𝑓

Δ𝐿2 (4.2.6)

Com a equação da curvatura definida para qualquer ponto da deformada,

aproximada por uma parábola do segundo grau, podemos considerar a deformada

do pilar como uma curva dividida em vários segmentos e assim, definir a incógnita 𝑓

correspondente (em função dos deslocamentos) para cada ponto do trecho

considerado (Figuras 32 e 33).

A dedução será feita para o caso da aplicação do momento mínimo, que é

geralmente o caso crítico para pilares [7]. Neste caso, em particular, pode-se

trabalhar com metade do comprimento efetivo do pilar, devido à simetria da sua

deformada.

46

Figura 31 – Deformada do pilar dividida em trechos

Figura 32 – Detalhe na deformada do pilar

Considera-se então a metade do pilar dividida em dez segmentos, sendo os

valores de 𝑓 definidos por:

𝑓0 = 0

𝑓1 = 𝑦1 −0 + 𝑦22

→2𝑓1∆𝐿2

=2𝑦1 − 𝑦2∆𝐿2

= (1

𝑟)1

𝑓2 = 𝑦2 −𝑦1 + 𝑦32

→2𝑓2∆𝐿2

=2𝑦2∆𝐿2

− (𝑦1 + 𝑦3∆𝐿2

) = (1

𝑟)2

𝑓3 = 𝑦3 −𝑦2 + 𝑦42

→2𝑓3∆𝐿2

=2𝑦3∆𝐿2

− (𝑦2 + 𝑦4∆𝐿2

) = (1

𝑟)3

𝑓4 = 𝑦4 −𝑦3 + 𝑦52

→2𝑓4∆𝐿2

=2𝑦4∆𝐿2

− (𝑦3 + 𝑦5∆𝐿2

) = (1

𝑟)4

𝑓5 = 𝑦5 −𝑦4 + 𝑦62

→2𝑓5∆𝐿2

=2𝑦5∆𝐿2

− (𝑦4 + 𝑦6∆𝐿2

) = (1

𝑟)5

47

𝑓6 = 𝑦6 −𝑦5 + 𝑦72

→2𝑓6∆𝐿2

=2𝑦6∆𝐿2

− (𝑦5 + 𝑦7∆𝐿2

) = (1

𝑟)6

𝑓7 = 𝑦7 −𝑦6 + 𝑦82

→2𝑓7∆𝐿2

=2𝑦7∆𝐿2

− (𝑦6 + 𝑦8∆𝐿2

) = (1

𝑟)7

𝑓8 = 𝑦8 −𝑦7 + 𝑦92

→2𝑓8∆𝐿2

=2𝑦8∆𝐿2

− (𝑦7 + 𝑦9∆𝐿2

) = (1

𝑟)8

𝑓9 = 𝑦9 −𝑦8 + 𝑦102

→2𝑓9∆𝐿2

=2𝑦9∆𝐿2

− (𝑦8 + 𝑦10∆𝐿2

) = (1

𝑟)9

𝑓10 = 𝑦10 − 𝑦9 →2𝑓10∆𝐿2

= 2(𝑦10 − 𝑦9∆𝐿2

) = (1

𝑟)10

Transformando as equações das curvaturas deduzidas em um produto

vetorial ∆ 𝑥 𝑦 =1

𝑟, formamos as seguintes matrizes:

∆=

(

2

∆𝐿2−1

∆𝐿20 0 0 0 0 0 0 0

−1

∆𝐿22

∆𝐿2−1

∆𝐿20 0 0 0 0 0 0

0 −1

∆𝐿22

∆𝐿2−1

∆𝐿20 0 0 0 0 0

0 0 −1

∆𝐿22

∆𝐿2−1

∆𝐿20 0 0 0 0

0 0 0 −1

∆𝐿22

∆𝐿2−1

∆𝐿20 0 0 0

0 0 0 0 −1

∆𝐿22

∆𝐿2−1

∆𝐿20 0 0

0 0 0 0 0 −1

∆𝐿22

∆𝐿2−1

∆𝐿20 0

0 0 0 0 0 0 −1

∆𝐿22

∆𝐿2−1

∆𝐿20

0 0 0 0 0 0 0 −1

∆𝐿22

∆𝐿2−1

∆𝐿2

0 0 0 0 0 0 0 0 −1

∆𝐿22

∆𝐿2 )

48

1

𝑟=

(

(1

𝑟)0

(1

𝑟)1

(1

𝑟)2

(1

𝑟)3

(1

𝑟)4

(1

𝑟)5

(1

𝑟)6

(1

𝑟)7

(1

𝑟)8

(1

𝑟)9

(1

𝑟)10)

,𝑉𝑒𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑎𝑠 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑠

𝑦 =

(

𝑦0𝑦1𝑦2𝑦3𝑦4𝑦5𝑦6𝑦7𝑦8𝑦9𝑦10)

, 𝑉𝑒𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑠𝑙𝑜𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠

A equação matricial Δ−1 𝑥 1

𝑟= 𝑦 será usada em um processo interativo que

busca compatibilizar deformações, curvaturas e momentos totais. Esta

transformação da equação utilizando a matriz inversa conduz a bons resultados em

termos de convergência, tanto para os momentos quanto para as curvaturas.

Uma vez que as equações estão adequadamente definidas, a sequência de

cálculo utilizando o Método Geral é descrita a seguir.

Inicialmente define-se uma linha deformada senoidal para a primeira

iteração, a partir da força normal de compressão no pilar 𝑁𝑑 , das dimensões da

seção e da resistência à compressão do concreto; pode-se definir o valor de 𝑦𝑚𝑎𝑥

através do Método do Pilar-Padrão com curvatura aproximada.

49

Conhecendo-se um ponto da linha deformada 𝑦𝑚á𝑥 e sabendo-se que nas

extremidades do pilar este ponto é igual a zero, aproximam-se os demais pontos

através de uma senóide, conforme a equação (4.2.7):

𝑦(𝑥) = 𝑦𝑚á𝑥 . 𝑠𝑒𝑛 (𝜋𝑥

𝑙𝑒) (4.2.7)

Conhecendo a linha deformada da primeira iteração, é possível definir os

momentos fletores em cada ponto através da equação (4.2.8), no caso da aplicação

de momento mínimo.

𝑀𝑑𝑖 = 𝑁𝑑 . 𝑒 + 𝑁𝑑 . 𝑦(𝑥) (4.2.8)

Em que:

𝑒 = 0,015 + 0,03ℎ (4.2.9)

Neste caso, a parcela 𝑁𝑑 . 𝑒 é constante em todas as iterações.

Calculados os momentos para a primeira iteração, a próxima etapa é obter

as respectivas curvaturas. Para este fim, será utilizado o programa M-K-UFRJ,

desenvolvido por CASTRO [8], em seu Projeto de Graduação.

O programa aplica os diagramas tensão-deformação do concreto e do aço

definidos na NBR 6118:2014 [2], utiliza as resistências de cálculo destes materiais e

as armaduras e as dimensões de uma seção transversal pré-definida, para

determinar a relação momento-curvatura para a seção submetida a um determinado

valor de força normal.

Então, com o programa MK-UFRJ traça-se a relação momento-curvatura

para a seção em estudo e, assim, é possível conseguir as curvaturas

correspondentes aos momentos da primeira iteração.

Determinadas as curvaturas, pode-se utilizar a equação matricial Δ−1 𝑥 1

𝑟= 𝑦

e assim definir novos deslocamentos e, com estes, podem-se obter os momentos

para a segunda iteração através da equação (4.2.8).

Com os momentos da segunda iteração definidos, entra-se novamente na

curva momento-curvatura calculada no programa MK-UFRJ e obtêm-se novas

curvaturas e, consequentemente novos deslocamentos. O procedimento continua

até que haja convergência tanto nos momentos quanto nas curvaturas.

Uma planilha de cálculo foi desenvolvida por ROCHA [9], utilizando o

programa MATHCAD [10], automatizando a sequência de cálculos para o Método

Geral, considerando o caso de momentos mínimos e o de momentos aplicados nas

extremidades do pilar.

50

Os dados de entrada para a planilha são os pontos da curva momento-

curvatura que foram obtidos através do programa MK-UFRJ, que por sua vez foram

salvos em um arquivo do tipo txt.

Através do comando import, o MATHCAD [10] faz a leitura do arquivo txt e

salva em dois vetores os valores de momento e de curvatura. Em seguida, interpola-

se em uma curva polinomial do terceiro grau, para obter-se os valores de momentos

e curvaturas em cada iteração.

A planilha foi inicialmente desenvolvida para fazer seis iterações, o que

geralmente é suficiente para garantir a convergência. Entretanto, pode-se aumentar

o número de iterações caso haja necessidade.

Abaixo (Figura 34) está apresentada a análise gerada pelo programa MK-

UFRJ para este caso, que serviu como dado de entrada na planilha Mathcad.

Figura 33 - Gráfico momento-curvatura gerado pelo MK-UFRJ – sem

fluência

Em seguida, é mostrado todo desenvolvimento dos cálculos para este caso.

56

Para obter os valores de momento final, devemos multiplicar os momentos

resultantes da última iteração pelo coeficiente 𝛾𝑓3 = 1,1.

57

Verificação final: 117 kN.m ≈ 116,6 kN.m (OK)

Método Geral com fluência

Este caso é avaliado de maneira análoga ao anterior, porém, considera-se o

coeficiente de fluência (φ = 2,0) na análise do programa gerando outro resultado

(Figura 35). O valor do esforço normal foi sendo alterado até que fosse obtido um

fator de segurança igual a 1,0. Para este caso específico, o fator de segurança

unitário foi atingido quando foi aplicado um esforço normal de cálculo NRd = -3310 kN

e seu momento mínimo correspondente Mmín,d= NRd . (0,015+0,03.h) = 74,5 kN.m.

Figura 34 - Análise gerada pelo P-Calc para o Método Geral com efeito

da fluência (λx = 50 e taxa de armadura = 1,96%)

58

No cálculo manual, o procedimento é feito de forma idêntica ao anterior,

sendo a única diferença a consideração do coeficiente de fluência (φ = 2,0) no

programa MK-UFRJ, conforme mostrado na Figura 36 a seguir.

Figura 35 - Gráfico momento-curvatura gerado pelo MK-UFRJ – com

fluência

Em seguida, foi utilizada a mesma planilha Mathcad citada anteriormente,

com o desenvolvimento mostrado a seguir.

64

Para obter os valores de momento final, devemos multiplicar os momentos

resultantes da última iteração pelo coeficiente 𝛾𝑓3 = 1,1.

65

Verificação: 140,4 kN.m ≈ 133,2 kN.m (OK)

(Observar que neste caso a convergência foi mais lenta e que talvez com um

maior número de interações, se chegasse a um resultado mais preciso).

4.3 Comparações com outros programas computacionais

A comparação foi feita utilizando o programa OBLÍQUA [11] para o mesmo

pilar avaliado anteriormente, aplicando-se o maior esforço normal de cálculo e seu

momento total correspondente, dentre os encontrados anteriormente (conforme

Tabela 2).

Tabela 2 - Esforços normais máximos de cálculo para cada método no pilar

avaliado

Como é possível observar, o maior esforço normal encontrado foi aquele

obtido pelo Método do Pilar-Padrão acoplado a diagramas N, M, 1/r,

correspondendo a uma força de compressão igual a -3680 kN, cujo momento

máximo correspondente no meio do pilar é 115,5 kN.m. Esses esforços foram

inseridos no programa OBLÍQUA e a curva de interação gerada é praticamente

idêntica à do P-Calc, verificando os diagramas de interação utilizados neste

programa (ver Figura 37).

Método

Pilar-Padrão

(curvatura

aprox.)

Pilar-Padrão

(rigidez aprox.)

Pilar-Padrão

(N,M,1/r)

Pilar-Padrão

(N,M,1/r) com

fluência

Método

Geral

Método Geral

com fluência

λx = 50 -3370 -3510 -3680 -3295 -3650 -3310

66

Figura 36 - Análise no programa OBLÍQUA 1.0

Nota: o resultado utilizando o programa OBLÍQUA foi obtido de forma visual.

67

5 Análises

Conforme explicado no Capítulo 1, este trabalho foi desenvolvido com o

objetivo de definir se os métodos aproximados de consideração do efeito de

segunda ordem em pilares da NBR 6118:2014 garantem a segurança dos mesmos.

Para isso, foram feitas 330 análises de um pilar de concreto armado, usando

o aplicativo P-Calc, variando-se a taxa de armadura e o índice de esbeltez. Os itens

abaixo visam descrever as considerações utilizadas nestas análises.

5.1 Dados do pilar

5.1.1 Seção geométrica

O pilar possui 100 centímetros de base e 25 centímetros de altura,

resultando em uma seção transversal com área igual a 2500 cm².

A Figura 38 mostra algumas das propriedades geométricas geradas pelo

programa P-Calc.

Figura 37 - Geometria da seção do pilar

68

5.1.2 Materiais

A classe do concreto utilizado para o pilar em questão foi concreto C20, que

corresponde à menor classe aplicada ao concreto com armadura passiva. Suas

características estão apresentadas na Tabela 3.

Tabela 3 - Características do concreto C20

A categoria do aço utilizado na armadura passiva deste pilar é a categoria

CA-50. Suas propriedades mecânicas estão explicitadas na Tabela 4.

Tabela 4 - Propriedades mecânicas do aço CA-50

Na Figura 39 estão apresentados os dados de entrada dos materiais no

programa P-Calc [5].

Classe Grupo

Massa

específica

(kg/m³)

Coef. de

dilatação

térmica

(/˚C)

Resistência

característica

(MPa)

Resistência

à tração, inf

(MPa)

Resistência à

tração, sup

(MPa)

Módulo de

elasticidade

(GPa)

Módulo de

elasticidade

secante

(GPa)

C20 I 2500 10-5 20 1,55 2,87 25 21

Categoria

Massa

específica

(kg/m³)

Coef. de

dilatação

térmica

(/˚C)

Tensão de

escoamento

(MPa)

Limite de

resistência

(MPa)

Módulo de

elasticidade

(GPa)

CA-50 7850 10-5 500 550 210

69

Figura 38 - Materiais utilizados

5.1.3 Critérios utilizados

Em relação aos coeficientes de segurança, foram adotados:

- Coeficiente de ponderação das ações f = 1,0, pois assim todos os

resultados serão analisados em termos de valores de cálculo (Nd e Md), já que a

entrada do programa é dada em valores característicos (Nk e Mk). Ou seja, não seria

preciso majorar os resultados finais por 1,4 (usual definido pela Norma) quando de

seu dimensionamento;

- Parcela do coeficiente de majoração f que considera os desvios gerados

nas construções e as aproximações de projeto do ponto de vista das solicitações γf3

= 1,1 , conforme prescrito na NBR 6118:2014 nos casos de análise com não-

linearidade geométrica;

70

- Coeficiente de minoração da resistência do concreto c = 1,4 e do aço

s = 1,15 conforme o item 12.4.1 da NBR 6118:2014.

Na Figura 40 estão apresentados os critérios para os coeficientes de

segurança inseridos no programa P-Calc.

Figura 39 - Coeficientes de segurança utilizados

Para fins de resultados conclusivos neste trabalho, foram analisadas

somente situações de momentos mínimos. Essa consideração foi feita, pois a

aplicação dos momentos mínimos com mesmo sentido (tracionando as fibras de

mesmo lado) no topo e na base do pilar é geralmente o caso crítico para os efeitos

de segunda ordem. Podemos observar este fato se analisarmos dois pilares

biapoiados na Figura 41.

71

Figura 40 - Pilares biapoaidos com momentos unitários aplicados no

topo e na base. a) Pilar 1 com momentos com mesmo sentido; b) Pilar 2 com

momentos com sentidos opostos.

Na Figura 42, é possível perceber que no primeiro caso (pilar com momentos

aplicados em suas extremidades com o mesmo sentido) o diagrama de momentos

fletores permanece constante, com valor não nulo no ponto intermediário da barra.

Já no segundo caso (pilar com momentos aplicados com sentidos opostos em suas

extremidades) o diagrama de momentos fletores é zerado em seu ponto médio.

Figura 41 - Diagramas de momentos fletores nos Pilares 1 e 2

72

A Figura 43 mostra as deformadas dos pilares 1 e 2, explicitando ainda mais

o caso crítico de aplicação dos momentos fletores tracionando as fibras de mesmo

lado. Observa-se que no Pilar 2, como a deformada horizontal provocada pelos

momentos é nula, não há teoricamente efeitos de segunda ordem no centro do pilar,

sendo então o momento nesse ponto igual a zero. Já no Pilar 1, o ponto mais crítico

é o ponto central.

Figura 42 - Deformadas dos pilares 1 e 2

Desta forma, o programa P-Calc [5] tem a opção de verificação de momento

mínimo para cada caso analisado, para que se assegure que as situações mais

críticas foram cobertas. A Figura 44 mostra a janela do programa com a opção de

verificação do momento mínimo.

73

Figura 43 - Consideração da envoltória de momentos mínimos nas

análises

Em termos de precisão, foram utilizados 100 pontos nos diagramas de

interação, 30 pontos nos gráficos momento-curvatura e 400 elementos para

discretizar a seção transversal. Para determinação da Linha Neutra, a tolerância foi

de 0,1% no somatório de esforço normal, bem como na variação da posição da

Linha Neutra. Esses critérios de precisão são mostrados na Figura 45.

74

Figura 44 - Critérios de precisão utilizados

5.2 Métodos de cálculo

Foram utilizados os quatro métodos de cálculo prescritos pela NBR

6118:2014 para a realização das análises. Em dois deles foi considerado o efeito da

fluência, pois os outros dois presumidamente já têm essa consideração embutida de

maneira aproximada. São eles:



Pilar-Padrão acoplado a diagramas N, M e 1/r (com e sem fluência)

Método Geral (com e sem fluência)

75

As opções de cálculo oferecidas pelo programa P-Calc [5] encontram-se na

Figura 46.

Figura 45 - Opções de consideração do efeito de segunda ordem local

pelo P-Calc

5.3 Intervalos do índice de esbeltez e taxa de armadura

Os valores de comprimento do pilar foram escolhidos de modo a resultar em

uma variação conveniente dos índices de esbeltez (30 ≤ x ≤ 150). A Tabela 5

mostra esses valores.

76

Tabela 5 - Comprimentos de flambagem e índices de esbeltez correspondentes

utilizados nas análises

As taxas de armadura do pilar foram escolhidas de forma que seu intervalo

variasse entre as taxas mínima e máxima permitidas pela Norma. Assim, foram

utilizadas cinco valores de taxa de armadura entre um intervalo de 0,4% e 4%. A

Tabela 6 mostra os valores usados.

Tabela 6 - Taxas de armadura utilizadas nas análises deste projeto

Comprimentos de

flambagem (m)2,165 2,887 3,608 4,330 5,052 5,774 6,495 7,578 8,660 9,743 10,825

λx 30 40 50 60 70 80 90 105 120 135 150

Taxas de

armadura 0,40% 1% 2% 3% 4%

77

6 Resultados Obtidos

Como resultados deste trabalho, foram geradas duas tabelas e dois gráficos

para cada taxa de armadura considerada.

A primeira tabela apresenta os valores de esforço normal máximo suportado

pelo pilar de acordo com o índice de esbeltez e o método de cálculo analisado. A

segunda tabela mostra o coeficiente de segurança obtido em cada método, com

relação ao Método Geral com fluência (considerado como referência).

O primeiro gráfico mostra a curva Força Normal versus Índice de Esbeltez

para cada método. O segundo gráfico apresenta as curvas geradas com dados da

segunda tabela, explicitando os coeficientes de segurança obtidos com cada um dos

métodos de cálculo utilizados.

Para fins conclusivos, foram tomadas algumas hipóteses na avaliação dos

resultados gerados. São elas:

1) O Método Geral com a consideração do efeito da fluência foi tomado

como referência, uma vez que considera a não linearidade física e

geométrica de maneira exata dentro das aproximações de um processo

numérico;

2) O coeficiente de segurança calculado para comparar um determinado

método com o método de referência (Método Geral considerando fluência)

foi obtido através da relação entre o esforço normal máximo suportado

pelo pilar quando calculado pelo Método Geral com fluência e o esforço

normal máximo suportado pelo pilar quando calculado pelo outro método

que estamos querendo avaliar. Ou seja:

𝐶𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑆𝑒𝑔𝑢𝑟𝑎𝑛ç𝑎 (𝐶𝑆) = 𝑁𝑚á𝑥 𝑢𝑠𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑜 𝑀é𝑡𝑜𝑑𝑜 𝐺𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑐𝑜𝑚 𝑓𝑙𝑢ê𝑛𝑐𝑖𝑎

𝑁𝑚á𝑥 𝑑𝑜 𝑜𝑢𝑡𝑟𝑜 𝑀é𝑡𝑜𝑑𝑜

3) caso o coeficiente de segurança (obtido pela relação anterior) for maior

que 1,10, então este método é considerado conservador para as

condições consideradas;

4) caso o coeficiente de segurança (obtido pela relação anterior) for menor

que 0,90, então este método é considerado não seguro para as

condições consideradas;

5) caso o coeficiente de segurança (obtido pela relação anterior) estiver no

intervalo entre 0,90 e 1,10, então este método é considerado aceitável

para as condições consideradas.

78

Em seguida, são mostrados os resultados para toda as análises realizadas.

6.1.1 Taxa de armadura = 0,4%

As Tabelas 7 e 8, juntamente com as Figuras 47 e 48, apresentam os

resultados gerados para um pilar com taxa de armadura igual a 0,4%.


de armadura de 0,4%

\ Método

Pilar-Padrão

(curvatura

aprox.)

Pilar-Padrão

(rigidez

aprox.)

Pilar-Padrão

(N,M,1/r)

Pilar-Padrão

(N,M,1/r) com

fluência

Método

Geral

Método

Geral com

fluência

30 -2530 -2630 -2670 -2560 -2665 -2540

40 -2360 -2525 -2625 -2390 -2615 -2375

50 -2130 -2380 -2555 -2150 -2535 -2150

60 -1840 -2175 -2455 -1750 -2440 -1857

70 -1575 -1900 -2340 -1225 -2320 -1535

80 -1340 -1615 -2175 -895 -2175 -1235

90 -1080 -1325 -1925 -415 -1992 -1005

105 -715 -840 -850 -266 -1642 -760

120 -475 -500 -590 -235 -1345 -595

135 -335 -325 -415,5 -165 -1115 -475

150 -250 -230 -317,5 -123 -935 -390

79

Figura 46 - Curvas de Força Normal versus Índice de Esbeltez para a

taxa de armadura de 0,4%


Geral com fluência para taxa de armadura de 0,4%

\ Método

Pilar-Padrão

(curvatura

aprox.)

Pilar-Padrão

(rigidez

aprox.)

Pilar-Padrão

(N,M,1/r)

Pilar-Padrão

(N,M,1/r) com

fluência

Método

Geral

Método

Geral com

fluência

30 1,004 0,966 0,951 0,992 0,953 1,000

40 1,006 0,941 0,905 0,994 0,908 1,000

50 1,009 0,903 0,841 1,000 0,848 1,000

60 1,009 0,854 0,756 1,061 0,761 1,000

70 0,975 0,808 0,656 1,253 0,662 1,000

80 0,922 0,765 0,568 1,380 0,568 1,000

90 0,931 0,758 0,522 2,422 0,505 1,000

105 1,063 0,905 0,894 2,857 0,463 1,000

120 1,253 1,190 1,008 2,532 0,442 1,000

135 1,418 1,462 1,143 2,879 0,426 1,000

150 1,560 1,696 1,228 3,171 0,417 1,000

80

Figura 47 - Variação dos Coeficientes de Segurança em relação ao

Método Geral com fluência para taxa de armadura de 0,4%

Na Figura 48, pôde se observar um grande número de diferenças nos

resultados. O Método do Pilar-Padrão com curvatura aproximada foi o que se

mostrou com resultados mais próximos aos Método Geral com fluência, ficando um

pouco conservador para >120, porém seu uso é recomendado pela Norma apenas

para pilares com ≤90. Os Métodos do Pilar-Padrão com rigidez aproximada e

acoplado a diagramas N, M, 1/r sem fluência apresentaram resultados contra a

segurança, admitindo valores de esforço normal até 50% maiores do que os

corretos. Por outro lado, quando consideramos a fluência no Método do Pilar-Padrão

acoplado a diagramas N, M, 1/r, os resultados são muito conservadores.

6.1.2 Taxa de armadura = 1%


resultados gerados para um pilar com taxa de armadura igual a 1%.

81


de armadura de 1%

Figura 48 - Curvas de Força Normal versus Índice de Esbeltez para taxa

de armadura de 1%

\ Método

Pilar-Padrão

(curvatura

aprox.)

Pilar-Padrão

(rigidez

aprox.)

Pilar-Padrão

(N,M,1/r)

Pilar-Padrão

(N,M,1/r) com

fluência

Método

Geral

Método

Geral com

fluência

30 -2990 -3070 -3115 -3000 -3110 -2990

40 -2815 -2960 -3055 -2820 -3040 -2805

50 -2590 -2790 -2965 -2565 -2945 -2575

60 -2315 -2570 -2845 -2200 -2820 -2282

70 -1990 -2290 -2690 -1770 -2675 -1951,5

80 -1700 -1980 -2475 -1385 -2485 -1600

90 -1480 -1680 -2100 -1118 -2243 -1322

105 -1200 -1310 -1190 -831 -1830 -999

120 -880 -930 -897,5 -803 -1497 -779

135 -660 -650 -696,5 -614,5 -1237 -623

150 -500 -470 -557 -431,3 -1034 -509

82


Geral com fluência para taxa de armadura de 1%


Método Geral com fluência para taxa de armadura de 1%

Pela Figura 50, podemos observar que muitos pontos ainda ficaram fora do

intervalo definido como aceitável, porém essas diferenças são menores que as

vistas para a taxa de armadura mínima (igual a 0,4%). O Método do Pilar-Padrão

com curvatura aproximada foi o que se mostrou com resultados mais próximos aos

do Método Geral com fluência apresentando resultados um pouco contra a

\ Método

Pilar-Padrão

(curvatura

aprox.)

Pilar-Padrão

(rigidez

aprox.)

Pilar-Padrão

(N,M,1/r)

Pilar-Padrão

(N,M,1/r) com

fluência

Método

Geral

Método

Geral com

fluência

30 1,000 0,974 0,960 0,997 0,961 1,000

40 0,996 0,948 0,918 0,995 0,923 1,000

50 0,994 0,923 0,868 1,004 0,874 1,000

60 0,986 0,888 0,802 1,037 0,809 1,000

70 0,981 0,852 0,725 1,103 0,730 1,000

80 0,941 0,808 0,646 1,155 0,644 1,000

90 0,893 0,787 0,630 1,182 0,589 1,000

105 0,833 0,763 0,839 1,202 0,546 1,000

120 0,885 0,838 0,868 0,970 0,520 1,000

135 0,944 0,958 0,894 1,014 0,504 1,000

150 1,018 1,083 0,914 1,180 0,492 1,000

83

segurança na faixa 90>>120. No entanto, a Norma limita sua utilização a pilares

com ≤90. Os Métodos do Pilar-Padrão com rigidez aproximada e acoplado a

diagramas N, M, 1/r sem fluência, apresentaram resultados contra a segurança,

admitindo valores de esforço normal até 40% maiores que os corretos calculados

pelo Método Geral com fluência. Quando consideramos a fluência no Método do

Pilar-Padrão acoplado a diagramas N, M, 1/r, os resultados ficam um pouco

conservadores.





de armadura de 2%

\ Método

Pilar-Padrão

(curvatura

aprox.)

Pilar-Padrão

(rigidez

aprox.)

Pilar-Padrão

(N,M,1/r)

Pilar-Padrão

(N,M,1/r) com

fluência

Método

Geral

Método

Geral com

fluência

30 -3775 -3840 -3890 -3775 -3880 -3760

40 -3600 -3710 -3800 -3575 -3780 -3575

50 -3370 -3510 -3680 -3295 -3650 -3310

60 -3080 -3240 -3510 -2915 -3480 -2990

70 -2760 -2910 -3290 -2475 -3275 -2625

80 -2400 -2550 -2970 -2050 -3015 -2270

90 -2060 -2210 -2490 -1695 -2686 -1905

105 -1650 -1770 -1740 -1292 -2172 -1350

120 -1380 -1420 -1272 -1250 -1760 -1130

135 -1150 -1130 -1013 -973,5 -1450 -900

150 -900 -850 -831 -771,5 -1210 -730

84


armadura de 2%



\ Método

Pilar-Padrão

(curvatura

aprox.)

Pilar-Padrão

(rigidez

aprox.)

Pilar-Padrão

(N,M,1/r)

Pilar-Padrão

(N,M,1/r) com

fluência

Método

Geral

Método

Geral com

fluência

30 0,996 0,979 0,967 0,996 0,969 1,000

40 0,993 0,964 0,941 1,000 0,946 1,000

50 0,982 0,943 0,899 1,005 0,907 1,000

60 0,971 0,923 0,852 1,026 0,859 1,000

70 0,951 0,902 0,798 1,061 0,802 1,000

80 0,946 0,890 0,764 1,107 0,753 1,000

90 0,925 0,862 0,765 1,124 0,709 1,000

105 0,818 0,763 0,776 1,045 0,622 1,000

120 0,819 0,796 0,888 0,904 0,642 1,000

135 0,783 0,796 0,888 0,924 0,621 1,000

150 0,811 0,859 0,878 0,946 0,603 1,000

85



Na Figura 52, é possível observar que os Métodos do Pilar-Padrão com

rigidez aproximada apresentou resultados contra a segurança a partir dos índices de

esbeltez iguais a 80. Como este método é indicado para pilares com índice de

esbeltez com valores até 90, existem pontos que apresentaram resultados não

seguros. Da mesma forma, os resultados obtidos utilizando o Método do Pilar-

Padrão acoplado a diagramas N, M, 1/r sem fluência se mostraram contra a

segurança para a partir de 50, sendo que seu uso é recomendado para pilares

com ≤ Se considerarmos o efeito da fluência no último método (Método do

Pilar-Padrão acoplado a diagramas N, M, 1/r), os resultados se tornam satisfatórios

demonstrando a importância da consideração da fluência nesse método.




86


de armadura de 3%


armadura de 3%

\ Método

Pilar-Padrão

(curvatura

aprox.)

Pilar-Padrão

(rigidez

aprox.)

Pilar-Padrão

(N,M,1/r)

Pilar-Padrão

(N,M,1/r) com

fluência

Método

Geral

Método

Geral com

fluência

30 -4715 -4760 -4800 -4700 -4790 -4685

40 -4525 -4590 -4690 -4480 -4660 -4470

50 -4280 -4350 -4520 -4160 -4490 -4185

60 -4000 -4030 -4290 -3750 -4260 -3835,5

70 -3640 -3630 -3990 -3260 -3980 -3433

80 -3270 -3220 -3570 -2770 -3640 -3000

90 -2850 -2800 -3040 -2340 -3230 -2570

105 -2280 -2260 -2264 -1830 -2607 -2014

120 -1780 -1830 -1725 -1432 -2110 -1330

135 -1520 -1500 -1355 -1159 -1730 -1255

150 -1300 -1250 -1101 -1094,5 -1445 -1030

87





O pilar com taxa de armadura igual a 3% oferece conclusões semelhantes ao

caso anterior. A Figura 54 mostra que os pontos gerados pelo uso dos Métodos do

Pilar-Padrão com curvatura aproximada e com rigidez aproximada caíram abaixo do

intervalo adotado como aceitável (resultados contra a segurança) somente nos

casos de pilar com ≥105, enquanto a Norma define o uso dos mesmos apenas

\ Método

Pilar-Padrão

(curvatura

aprox.)

Pilar-Padrão

(rigidez

aprox.)

Pilar-Padrão

(N,M,1/r)

Pilar-Padrão

(N,M,1/r) com

fluência

Método

Geral

Método

Geral com

fluência

30 0,994 0,984 0,976 0,997 0,978 1,000

40 0,988 0,974 0,953 0,998 0,959 1,000

50 0,978 0,962 0,926 1,006 0,932 1,000

60 0,959 0,952 0,894 1,023 0,900 1,000

70 0,943 0,946 0,860 1,053 0,863 1,000

80 0,917 0,932 0,840 1,083 0,824 1,000

90 0,902 0,918 0,845 1,098 0,796 1,000

105 0,883 0,891 0,890 1,101 0,773 1,000

120 0,747 0,727 0,771 0,929 0,630 1,000

135 0,826 0,837 0,926 1,083 0,725 1,000

150 0,792 0,824 0,936 0,941 0,713 1,000

88

para pilares com ≤90. Esse mesmo fato ocorre no Método Pilar-Padrão acoplado a

diagramas N, M, 1/r sem fluência a partir de =60, sendo que esse método é

recomendado para o cálculo de pilares esbeltos com ≥140. Quando o efeito da

fluência é considerado no Método do Pilar-Padrão acoplado a diagramas N, M, 1/r,

os resultados se tornam satisfatórios.


As tabelas 15 e 16, juntamente com as Figuras 55 e 56, apresentam os



de armadura de 4%

\ Método

Pilar-Padrão

(curvatura

aprox.)

Pilar-Padrão

(rigidez

aprox.)

Pilar-Padrão

(N,M,1/r)

Pilar-Padrão

(N,M,1/r) com

fluência

Método

Geral

Método

Geral com

fluência

30 -5340 -5360 -5410 -5325 -5400 -5310

40 -5150 -5175 -5275 -5085 -5250 -5075

50 -4900 -4920 -5075 -4760 -5040 -4775

60 -4600 -4550 -4815 -4315 -4775 -4405

70 -4250 -4115 -4470 -3790 -4460 -3960

80 -3850 -3650 -3985 -3265 -4065 -3475

90 -3400 -3185 -3415 -2785 -3605 -2999

105 -2775 -2575 -2600 -2172 -2900 -2370

120 -2200 -2100 -2010 -1722 -2350 -1875

135 -1749 -1720 -2072 -1660 -1930 -1500

150 -1500 -1440 -1545 -1304 -1610 -1230

89


armadura de 4%



\ Método

Pilar-Padrão

(curvatura

aprox.)

Pilar-Padrão

(rigidez

aprox.)

Pilar-Padrão

(N,M,1/r)

Pilar-Padrão

(N,M,1/r) com

fluência

Método

Geral

Método

Geral com

fluência

30 0,994 0,991 0,982 0,997 0,983 1,000

40 0,985 0,981 0,962 0,998 0,967 1,000

50 0,974 0,971 0,941 1,003 0,947 1,000

60 0,958 0,968 0,915 1,021 0,923 1,000

70 0,932 0,962 0,886 1,045 0,888 1,000

80 0,903 0,952 0,872 1,064 0,855 1,000

90 0,882 0,942 0,878 1,077 0,832 1,000

105 0,854 0,920 0,912 1,091 0,817 1,000

120 0,852 0,893 0,933 1,089 0,798 1,000

135 0,858 0,872 0,724 0,904 0,777 1,000

150 0,820 0,854 0,796 0,943 0,764 1,000

90



Por fim, podemos ver na Figura 56, que o pilar com taxa de armadura

máxima admitida pela Norma igual a 4%, mostra que os diversos métodos de

cálculo apresentam resultados mais aceitáveis. Para todos os métodos, os pontos

que caíram fora do intervalo estabelecido como aceitável, estão além dos critérios

de projeto prescritos na Norma, ou seja, os pontos que mostraram esses resultados,

não estão seguindo as recomendações dadas pela Norma. No entanto, o número de

casos que ultrapassou o limite de coeficiente de segurança assumido neste trabalho

foi baixo para todos os casos.

91

7 Considerações finais

7.1 Conclusões

A partir dos resultados apresentados no Capítulo 6, podemos fazer alguns

comentários em relação à segurança dos métodos de cálculo prescritos pela NBR

6118:2014 [2] para consideração do efeito de segunda ordem, estudados neste

trabalho. Todas as considerações aqui colocadas serão feitas em função desses

casos específicos que foram analisados.

A Figura 57 mostra o gráfico com os coeficientes de segurança que relaciona

o Método do Pilar-Padrão com curvatura aproximada com o Método Geral com

fluência, onde cada curva representa os pontos gerados por uma taxa de armadura

definida dentro do intervalo mostrado no item 5.3 deste trabalho..

Figura 56 - Variação dos Coeficientes de Segurança para o Método do


Observando as curvas geradas, percebemos que alguns pontos ficam fora

do intervalo considerado como aceitável (destacado pelo retângulo amarelo). No

entanto, se limitássemos as análises para o índice de esbeltez igual a 90 (conforme

é definido pela Norma para este método), observamos que todos os pontos mostram

resultados satisfatórios.

92

A Figura 58 mostra o gráfico com os coeficientes de segurança que relaciona

o Método do Pilar-Padrão com rigidez aproximada com o Método Geral com

fluência.



Percebemos que um maior número de pontos fica fora do intervalo

considerado como aceitável (destacado pelo retângulo amarelo). Segundo a Norma,

este método também é recomendado para o cálculo de pilares com ≤90. Limitando

esse valor no gráfico, observamos as curvas geradas por taxas de armadura mais

baixas, apresentam resultados não seguros antes de atingir esse valor do índice de

esbeltez.

Na Figura 59 está representado o gráfico que relaciona os coeficientes de

segurança obtidos entre o Método do Pilar-Padrão acoplado a diagramas N,M,1/r e

o Método Geral com fluência.

93


Pilar-Padrão acoplado a diagramas N, M, 1/r

É possível observar que muitos pontos se encontram abaixo do intervalo

considerado como aceitável (destacado pelo retângulo amarelo), se mostrando

como resultados não seguros uma vez que este é o único método oferecido pela

Norma para pilares realização do cálculo de esbeltos com ≤.

No entanto, se observarmos a Figura 59, vemos que a consideração da

fluência nesse método se mostra muito importante.

94


Pilar-Padrão acoplado a diagramas N, M, 1/r com fluência

Este o gráfico (Figura 60) mostra os coeficientes de segurança obtidos entre

o Método do Pilar-Padrão acoplado a diagramas N,M,1/r considerando o efeito da

fluência com o Método Geral com fluência. Podemos ver que quase todos os pontos

mostram resultados satisfatórios, próximos ao do cálculo utilizando o Método Geral

com fluência. Apenas para a taxa de armadura mínima que é possível observar

resultados muito conservadores, podendo nos oferecer soluções antieconômicas se

forem utilizadas no dimensionamento.

Na Figura 61, o gráfico mostrado relaciona as duas análises feitas usando o

Método Geral com e sem a consideração do efeito da fluência.

95

Figura 60 - Variação dos Coeficientes de Segurança para o Método

Geral sem fluência

Nesse gráfico (Figura 61) é possível observar a importância de se considerar

esse efeito nos cálculos de pilar. Segundo a Norma, a consideração desse efeito é

obrigatória para pilares com ≥90. Porém, se observarmos a Figura 60, para todos

os casos de armadura, os resultados apresentaram coeficientes inferiores ao

estabelecido como aceitável antes de atingir esse valor de índice de esbeltez (igual

a 90). Dessa forma, para esses casos analisados, levando em conta as

considerações feitas nesse trabalho, se o efeito da fluência não fosse considerado

nos cálculos desses pilares, os resultados que teríamos seriam não seguros.

7.2 Sugestões para trabalhos futuros

Devido ao avanço da tecnologia, a tendência é de que os mecanismos de

cálculo para projetos se tornem cada vez mais automatizados. Dessa forma, o uso

do Método Geral em todos os casos será inevitável, uma vez que nos proporciona

resultados mais próximos do exato. A desvantagem de seu uso se dá por ser um

processo de cálculo exaustivo para ser feito manualmente. Com o aparecimento de

novos programas computacionais que realizem os cálculos de pilares utilizando

96

esses métodos, é preciso rever suas limitações como por exemplo os casos em que

não há convergência do resultado e o uso da fluência para pilares menos esbeltos.

Foi possível observar pelos gráficos e tabelas que existem alguns pontos que

fugiram do esperado durante as análises. Além disso, houve casos em que ocorreu

instabilidade da coluna quando calculada pelo Método Geral, antes de atingirmos o

fator de segurança igual a 1,0 nas análises. Ou seja, o pilar não resistiu ao esforço

normal aplicado com seu momento mínimo correspondente, antes de chegar ao

limite das curvas envoltórias de resistência (FS=1,0 no programa). Esses pontos

podem ser estudados mais detalhadamente.

Ainda pode-se deixar como sugestão, a análise de pilares com taxas de

armaduras mais baixas que neste trabalho apresentaram resultados muito diferentes

para cada tipo de Método utilizado.

97

8 Referências Bibliográficas

[1] MONTOYA, P.J. , Hormigon Armado: abacos para el cálculo de secciones

em el estado último de agotamiento. Barcelona. 1979

[2] ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (ABNT). NBR 6118:2014

– Projeto de Estruturas de Concreto – Procedimento, Rio de Janeiro, 2014.

[3] ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (ABNT). NBR 5738:

Moldagem e cura de corpos-de-prova cilíndricos ou prismáticos de concreto.

Rio de Janeiro, 1994.

[4] ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (ABNT). NBR 5739:

Concreto - Ensaios de compressão de corpos-de-prova cilíndricos - Método de

ensaio. Rio de Janeiro, 1994.

[5] SANDER, D. C. J., KIMURA, A. E., Sistema computacional para análise não

linear de pilares de concreto armado. 55ͦ Congresso Brasileiro do Concreto –

CBC2013, ISSN 2175-818, Gramado – RS, Brasil, Outubro, 2013.

[6] LONGO, H. I. Efeitos de Segunda Ordem em Estruturas de Edificações,

Apostila, Escola Politécnica da UFRJ, 2008.

[7] SOUZA, C. E. L. S., Análise do efeito de segunda ordem em pilares segundo

a NBR 6118 e métodos exatos, Projeto de Graduação, Universidade Federal do

Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, Brasil, 2011.

[8] CASTRO, F. M. O., Análise Plástica de Pórticos de Concreto Armado

Submetidos a Ações Sísmicas, Segundo Critérios de Ductilidade, Projeto de

Graduação, Universidade Federal do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, Brasil, Março,

2008.

[9] ROCHA, F. G. O., Verificação de uma edificação considerando desvios

construtivos reais, Tese de Mestrado, Programa de Projeto de Estruturas (PPE/

UFRJ), Universidade Federal do Rio de Janeiro, Brasil, 2015 (em elaboração).

98

[10] MATCHCAD, version 14.0.0.163 , Parametric Technology Corporation, 140

Kendrick Street, Needham, MA 02494 USA

[11] OBLÍQUA, versão 1.0, ZANDONÁ, C. A. W., DE OLIVEIRA, M. F. F., MARINO, ,

M. A., Universidade Federal do Paraná, Brasil, Março, 2001.

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