Angulo de Atrito
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2.Anlise do comportamento esttico
2.1. Introduo
Estruturas de conteno so projetadas para reter macios de solo ou rocha
e, eventualmente, gua (Figura 2.1). A escolha do tipo de estrutura depende das
condies de campo, sendo algumas das opes mais comuns ilustradas na Figura
1.1.
(a) (b)
(c) (d)
(e) (f)
(g) (h)
Corte
Aterro
Aterro Corte
Minrio, areia , britaPrdio
gua
Figura 2.1 - Utilizao de estruturas de conteno (modificado de Huntington,1957).
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As estruturas de conteno, como qualquer outro tipo de estrutura de
engenharia, no podem falhar. A perda de sua funcionalidade est relacionada
tanto a aspectos de resistncia quanto de deformaes. A ruptura pode ser da
prpria estrutura, ruptura do solo ou devido ocorrncia de deformaes e
deslocamentos inaceitveis. No dimensionamento de um muro ou cortina de
conteno, os seguintes aspectos devem ser cuidadosamente analisados pelo
projetista:
a) Equilbrio de momentos deve ser satisfeito (a estrutura no deve tombar,
Figura 2.2);
b) equilbrio de foras horizontais deve ser satisfeito (estrutura no deve
deslizar, Figura 2.2);
c) equilbrio de foras verticais deve ser satisfeito (capacidade de carga do
solo de fundao deve ser adequada);
d) empuxos laterais no devem provocar tenses excessivas, normais ou
cisalhantes, em nenhuma regio da estrutura;
e) a estabilidade geral do conjunto solo e estrutura deve ser garantida,
evitando-se possibilidades de rupturas de taludes (Figura 2.2) ou
instabilidade generalizada do macio.
(a) (b) (c)
Camada fraca
Figura 2.2 Mecanismos tpicos de ruptura para um muro de gravidade: (a) ruptura por
deslizamento (translacional); (b) ruptura por tombamento (rotacional); (c) ruptura porinstabilidade global. Referencia Kramer 1996.
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Alm destes fatores, a estrutura no deve sofrer deformaes excessivas
causadas por rotaes, flexes ou deslocamentos laterais da cortina. Como em
geral os clculos de deslocamento em solo contm vrias incertezas, comum no
projeto convencional de estruturas de conteno utilizar-se de fatores de
segurana relativamente altos, em geral maiores ou iguais a 1.5.
Algumas das foras que podem atuar sobre um muro ou cortina de
conteno esto representadas nos diagramas de corpo livre da Figura 2.3, elas
so:
a) Peso prprio: A resultante do peso prprio Ww passa pelo centro de
gravidade da estrutura (Figura 2.3a). Dependendo da geometria da seo
transversal da estrutura, pesos parciais so calculados (Fig.2.3b), com base
na decomposio da rea total em reas componentes mais simples, para
clculo da posio do centro de gravidade.
b) Empuxo ativo: Resultante PA das tenses atuantes na rea da interface
solo-estrutura, atuando com ngulo de inclinao em relao normal na
face posterior da cortina (Figura 2.3a).
c) Empuxo passivo: ResultantePPque aumenta a estabilidade da estrutura,
embora muitas vezes seja omitida nos clculos em virtude da incerteza
sobre seu valor. Atua formando ngulo ' em relao normal na face
anterior da cortina (Figura 2.3a).
d) Foras normal e tangencial na base: Resultantedas tenses normais e
cisalhantes atuantes na base da estrutura, esta ultima geralmente
considerada horizontal. A fora vertical V passa pelo centride da
distribuio das tenses normais (geralmente considerada como
distribuio linear - Figura 2.3a) enquanto que a resultante das tenses
cisalhante atua paralelamente base da estrutura (H).
e) Foras devidas presso d'gua: Resultante das presses d'gua sobre aface posterior da cortina ou elemento estrutural de fundao (no ltimo
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caso especificamente chamadas de subpresso). Valores de tenses
verticais efetivas so minoradas porque calculadas com base no peso
especfico do solo submerso, mas o empuxo total majorado pelo
acrscimo das presses hidrostticas sobre a estrutura de conteno
(Figura 2.3c).
f) Foras dinmicas: Quando causadas por vibraes do trfego
(movimento de trens e caminhes) ou mquinas, geralmente so
consideradas pouco significativas e desconsideradas no projeto da
estrutura. No caso de sismos, os empuxos so incrementados durante a
excitao e sua influncia deve ser levada em conta no dimensionamento.
g) Variaes no empuxo com o teor de umidade: Solos argilosos podem
sofrer expanso quando o teor de umidade aumenta, incrementando em
conseqncia os valores do empuxo. As flutuaes de umidade so
maiores nas proximidades da superfcie do terreno e geralmente no se
estendem a profundidades superiores a 1,5m. Seu efeito relativo maior
em estruturas de pequena altura, portanto, podem ser minimizadas com a
instalao de sistemas de drenagem eficientes.
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Superfcie do terreno
Nvel degua
Sub-presso
Superfcie do terreno e nvel de gua
Normal
Normal
W1
W2
W3
U
WP
P
H
V
'
(a) (b)
(c)
W
P
A
Figura 2.3 Foras atuantes sobre estrutura de conteno (modificado de
Huntington,1957).
2.2. Coeficientes de empuxo
Os empuxos laterais (ativo, passivo e no repouso) do solo sobre uma
estrutura de conteno (de face vertical e considerando um aterro de superfcie
horizontal) so normalmente calculados por intermdio do coeficiente de empuxo,
que multiplicado pelo valor da tenso vertical efetiva no ponto considerado
fornece o resultado desejado (tenso horizontal atuante).
O valor do coeficiente depende do mecanismo de interao solo/estrutura,
ou seja, dos movimentos relativos entre a estrutura e o solo vizinho. No caso do
solo no apresentar deslocamentos laterais o coeficiente de empuxo denominado
coeficiente de empuxo no repouso (Ko), que pode ser estimado atravs das
seguintes formulaes:
a) Considerando o solo como material linearmente elstico e isotrpico,
pode-se provar teoricamente que:
= 1oK (2.1)
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onde representa o coeficiente de Poisson do esqueleto slido.
b) Para areias, Jaky (1944) desenvolveu teoricamente a expresso
( ) '1'1
'32
1'10
sen
sen
sen
senK +
+= (2.2)
onde o ngulo de atrito do solo, em termos de tenses efetivas.
c) Outras formulaes empricas apresentadas na literatura:
Brooker & Ireland (1965) para argilas normalmente adensadas (NA):'95,0 senKo = (2.3)
Mayne & Kulhawy (1982) para argilas pre-adensadas:
'')1( seno OCRsenK = (2.4)
onde OCR a razo de pr-adensamento do material.
De modo geral, para solos pr-adensados valores de Ko> 1 tendem a crescer
com a razo de pr-adensamento (Equao 2.4) e solos no-saturados tendem a
exibir valores de Kodecrescentes com a suco. A Tabela 2.1 lista alguns valores
tpicos do coeficiente de empuxo no repouso para solos.PUC-Rio-CertificaoD
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Tipo de solo LL LP IP Atividade Ko
Areia Densa (e=0,60) - - - - 0.49
Areia Mdia (e=0,70) - - - - 0.52
Areia Fofa (e=0,88) - - - - 0.64
Areia Fofa Saturada - - - - 0.46
Areia Densa Saturada - - - - 0.36Argila Residual de mdia
plasticidade
Argila Residual de alta
plasticidade
Argila Mole, Orgnica,
no deformada
Argila Marinha
no deformada
Argila Sensvel 34 24 10 0.18 0.52
Argilas - - - - 0,60 a 0,80
Areias no compactadas
(fofas ou densas)Areias compactadas por
camadas
- - 31 1.55 0.66
- - 9.3 0.44 0.42
37 21 16 0.21 0.48
74 28 45 1.2 0.57
- - - - 0.8
- - - - 0,40 a 0,50
Tabela 2.1 - Valores de Ko(Lemos Machado S, 1997).
Com relao aos coeficientes de empuxo ativo (KA) e passivo (KP),
considere um macio de solo seco, isotrpico, homogneo no qual foi inserida
uma parede de grande extenso, delgada o suficiente para no introduzir
mudanas no estado inicial de tenses (Figura 2.4). Admita-se que a parede sejamovimentada da esquerda para a direita, com deslocamentos uniformes em toda a
sua extenso. A Figura 2.5 ilustra a variao das tenses em dois pontos do solo
situados esquerda (ponto A) e direita (ponto B) da referida cortina. O
acrscimo no valor da tenso horizontal efetiva no ocorre indefinidamente, mas
atinge um valor limite associado ao coeficiente de empuxo passivo KP; da mesma
forma, a tenso horizontal esquerda da cortina tende para um valor mnimo
associado ao coeficiente de empuxo ativo KA. Notar da figura que osdeslocamentos necessrios para se atingir a condio de empuxo ativo so
menores do que para a condio de empuxo passivo.
A Figura 2.6 ilustra a variao do estado de tenso nos pontos A e B atravs
do crculo de Mohr at atingir os estados de ruptura ativa ou passiva. Na prtica
da engenharia evidente que condies de ruptura devem ser evitadas. De acordo
com Lemos Machado (1997) o valor do empuxo ativo (PA) deve ser majorado
adotando-se um fator de segurana entre 1,3 a 1,5 enquanto que o empuxo passivo
deve ser minorado considerando-se um fator de segurana compreendido no
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intervalo de 1,4 a 1,5. Em termos mecnicos, os valores de projeto estariam
situados dentro da fase de regime elstico do solo.
Ponto de solo BPonto de solo A
Cortina
Extenso Compressox
Figura 2.4 Esquema ilustrativo utilizado na definio dos coeficientes de empuxo ativo
e passivo (modificado de Perloff & Baron - 1976).
Tenso horizontal no ponto A
Deslocamento da cortina
'x
'xp
'xo
'xa
Tenso horizontal no ponto B
Figura 2.5 Tenses horizontais nos pontos A e B do solo - (modificado de Perloff &
Baron - 1976)
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Empuxo Ativo
(elemento A)
Empuxo Passivo(elemento B)
KPv KovKav
c'
'
v'' ' ''
Figura 2.6 Crculos de Mohr correspondentes aos estados de tenso inicial e final para
os pontos de solo A (ruptura ativa) e B (ruptura passiva), modificado de Lemos, 1997.
2.3. Mtodos de equilbrio limite
Normalmente mtodos de equilbrio limite ou de anlise limite (Chen, 1975)
so empregados para clculo dos empuxos laterais em estruturas de conteno. A
habilidade de ambas as classes de mtodos em satisfazer as equaes de equilbrio
e de compatibilidade das deformaes est indicada na Tabela 2.2.
Em projetos de engenharia, os mtodos de equilbrio limite so bastante
aplicados, em parte devido sua simplicidade matemtica, em parte pela longa
experincia de anos de ampla e contnua utilizao. Dentre estes, destacam-se o
mtodo de Rankine (1857) e o mtodo de Coulomb (1776).
Equilbrio Comportamento
limite constitutivo Fora Deslocamento
Rgido com um
Satisfei to No sat isfeito cri terio de ruptura Satisfeito No sat isfeito
Limite
Superior Plasticidade ideal
Limite com lei de fluxo No
Inferior associada SatisfeitoSatisfeito
SatisfeitoNo satisfeito
Satisfeito
Compatibilidade Condies de contorno
CARACTERSTICAS DA SOLUO
Anlise
Limite
MTODO DE ANLISE
Satisfeito
No Satisfeito
Equilbrio
No satisfeito
Tabela 2.2 Mtodos aproximados de anlise de estruturas de conteno.
2.3.1. Mtodo de Rankine (1857)
O mtodo de Rankine fundamentado nas seguintes hipteses:
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a) O macio homogneo, de extenso semi-infinita;
b) o solo no interior da cunha de ruptura encontra-se totalmente plastificado;
c) o modo de insero da cortina no macio no interfere nos resultados
obtidos;
d) a resistncia ao cisalhamento do solo obedece ao critrio de Mohr-
Coulomb;
e) quando presente, nvel d'gua subterrnea horizontal;
f) sobrecargas uniformemente distribudas podem ser aplicadas na superfcie
do terreno (para outras formas de distribuio os clculos so mais
complicados porm possveis de serem verificadas pelo traado do crculo
de Mohr).
O plano de ruptura forma ngulos de 45 + /2 ou 45 - /2 com o plano
principal maior, para as condies ativa e passiva, respectivamente, conforme
Figura 2.7. medida que as condies de campo se afastam das hipteses
mencionadas, os valores calculados se distanciam dos reais. Caso o atrito
desenvolvido na interface solo-cortina fosse includo nos clculos, haveria uma
reduo nos valores previstos do empuxo ativo e aumento do empuxo passivo, e
um encurvamento das superfcies de ruptura, conforme ilustra a Figura 2.8.
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Caso Ativo Caso Passivo
Caso Ativo Caso Passivo
Empuxo ativo comcarregamento nasuperfcie
Empuxo passivocom carregamento
na superfcie
ForaExterna
45 /245+ /2
ForaExterna
Figura 2.7 Aplicao do mtodo de Rankine para a obteno de cunhas de ruptura no
solo e clculo dos valores de empuxo sobre estruturas de conteno (modificado de
Perloff & Baron, 1976).
B
A A C
DD
C
a) Estado Ativo b) Estado Passivo
45 /245+ /2
PP
PA
Figura 2.8 Formato das superfcies de ruptura obtidas pelo mtodo de Rankine quando
se considera o atrito na interface solo - muro (modificado de Perloff & Baron, 1976).
Para as condies de estado ativo, a tenso horizontal sobre um ponto da
face posterior da estrutura dada por
' 2A A v Ap K c K= (2.6)
onde c a coeso do solo. No caso de muro de face vertical e aterro
horizontal, sem sobrecarga, considerando zv
=' , a profundidade z0 de zonas
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tracionadas em solos coesivos pode ser estimada igualando-se a expresso (2.6) a
zero. Os valores assim obtidos esto listados na Figura 2.9.
Quando as tenses efetivas principais so verticais e horizontais (como no
caso de parede lisa vertical e superfcie do terrapleno horizontal) o coeficiente de
empuxo ativo expresso como
21 tan 451 2A
senK
sen
= =
+ (2.7)
No caso de um solo granular (c = 0) cuja superfcie forma um ngulo
com a horizontal, Terzaghi (1943) utiliza solues de taludes infinitos para obter
2 2
2 2
cos cos coscos
cos cos cosA
K
=
+ (2.8)
Solos coesivos so geralmente indesejados como materiais de aterro, sendo
sua utilizao evitada sempre que possvel. Para solos granulares, a expresso
(2.6) prev uma distribuio de tenses horizontais triangular (para um muro de
face vertical e aterro com superfcie horizontal) na interface solo-estrutura, com a
resultante PA(empuxo ativo) localizado em seu centride, na posio H/3 a partir
da base da estrutura, sendo H a altura da mesma.
21
2A AP K H= (2.9)
Na condio do estado passivo, as tenses horizontais seguem a distribuio
descrita por
' 2P p v p
p K c K= +
(2.10)
onde o coeficiente de empuxo passivo KP definido como
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21 tan 451 2P
senK
sen
+ = = +
(2.11)
Da mesma forma, para macios com superfcie inclinada de um ngulo
com a horizontal,
2 2
2 2
cos cos coscos
cos cos cosPK
+ =
(2.12)
Distribuies de tenses horizontais na condio do estado passivo so
mostradas na Figura 2.10.
A presena de gua no aterro influencia as tenses efetivas e, portanto,reduz os valores das presses laterais devido ao solo. Todavia, no projeto da
estrutura, o empuxo lateral total deve ser majorado porque as presses
hidrostticas sobre a estrutura devem ser tambm consideradas. Empuxos em
solos saturados so consideravelmente maiores do que no caso de solos secos, e
cuidados com a drenagem do macio , portanto parte importante do projeto de
estruturas de conteno.
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H
z
PA
Resultante
45+/2
,
c=0
pA
Superficie de Ruptura
2tan 452A
K
=
A A
p K z=
2
2A
A
K HP
=
(a)
z
45
PA
pA
,c=0
Altura da zonade trao
Superficie de Ruptura
o
2c
2o
c
z =
2A
p z c= 2 22
22A
H cP cH
= +
(b)
45+/2
PA
,c,
pA
Superficie de Ruptura
zo
2c.tan(45-/2)
2
tan 45 2oc
z
= +
2tan 45 2 tan 452 2A
p z c
=
2 22 2tan 45 2 tan 45
2 2 2AH c
P cH
= +
(c)
Figura 2.9 Distribuio de tenses horizontais na interface solo-estrutura para diversas
combinaes de solo no estado ativo: a) 0, c = 0; b) = 0, c 0; c) 0, c 0
(NAVFAC ,1982).
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H
z
Pp
45-/2
pp
Superficie de Ruptura
,c=0
2tan 452p
K
= +
p pp K z=
2
2p
p
K HP
=
(a)
Pp
45
pp
2c
Superficie de Ruptura,c=0
2p
p z c= +
2
22p
HP cH
= +
(b)
Pp
pp
45-/2
2c.tan(45+/2)
Superficie de Ruptura
,c,
2tan 45 2 tan 452 2p
p z c
= + + +
22tan 45 2 tan 45
2 2 2pH
P cH
= + + +
(c)
Figura 2.10 Distribuio de tenses horizontais na interface solo-estrutura para
diversas combinaes de solo no estado passivo: a) 0, c = 0; b) = 0, c 0; c) 0,
c 0 (NAVFAC ,1982).
Finalmente, algumas consideraes sobre o mtodo clssico de Rankine
devem ser mencionadas neste ponto, dentre elas:
A condio de paramento liso no real, sempre existindo odesenvolvimento de tenses cisalhantes na interface solo - estrutura;
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os estados ativos e passivos correspondem a nveis de deformao
horizontal diferentes (Figura 2.5) no atingidos simultaneamente.
Admitir mobilizao completamente do estado passivo no sempre
conveniente ou seguro;
no projeto, utilizam-se geralmente propriedades geotcnicas de solos
saturados, tambm por questes de segurana.
2.3.2. Mtodo de Coulomb (1776)
O mtodo de Coulomb (1776) foi o primeiro a estudar o equilbrio de
cunhas de solo nos problemas de estruturas de conteno. fundamentado nas
seguintes hipteses:
a) Estado plano de deformao ao longo do muro, podendo o problema ser
matematicamente tratado como bidimensional;
b) ao longo da superfcie crtica de deslizamento, o critrio de resistncia de
Mohr-Coulomb vlido;
c) ocorrem deslizamentos relativos na interface solo - estrutura, com
desenvolvimento de tenses cisalhantes devido rugosidade da estrutura;
d) a superfcie de ruptura geralmente assumida como plana;
e) a superfcie do terreno pode ser horizontal ou inclinada;
f) a face posterior da estrutura pode ser vertical ou inclinada.
Na mobilizao do empuxo ativo, a deformao da estrutura faz com que o
solo mobilize sua resistncia ao cisalhamento at a iminncia da ruptura. O valor
do empuxo sobre a estrutura de conteno diminui gradualmente at atingir um
valor mnimo quando todos os pontos da potencial superfcie de deslizamento
atingem os valores limites estabelecidos pelo critrio de Mohr-Coulomb. A
anlise repetida para vrias cunhas hipotticas de solo, devendo-se tomar como
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empuxo ativo final o maior dentre os valores assim calculados. No caso do
empuxo passivo, considera-se o menor dos valores determinados neste processo
de clculo.
Considerando a Figura 2.11, o equilbrio das foras atuante sobre uma cunha
de solo granular resulta na seguinte expresso para o empuxo ativo:
21
2A AP K H= (2.13)
com o coeficiente de empuxo ativo expresso por :
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
2
2
cos
cos cos 1cos cos
AK
sen sen
=
+ + +
+
(2.14)
sendo o ngulo de atrito da interface solo - estrutura (Tabela 2.3) e os
ngulos e mostrados na Figura 2.11. A superfcie de ruptura inclinada em
relao horizontal do ngulo:
( )11
2
tantanA
C
C
+= +
(2.15)
onde:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 tan tan cot 1 tan cotC = + + + (2.16)
( ) ( ) ( ){ }2 1 tan tan cotC = + + +
(2.17)
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F
W
PAA
W
PA
F
Figura 2.11 Cunha ativa de solo delimitada pela superfcie do aterro, parede da
conteno e superfcie de ruptura (esquerda); polgono de foras correspondente
(direita), modificado de Kramer, 1996.
onde:
F a fora resultante das foras normal e tangencial ao plano de
deslizamento provenientes do solo de apoio subjacente.
ngulo de interface ()
Rocha s 25
Grava limpa,mistura de areia e grava,areia gross a 29-31
Areia limpa fina a mediana, areia siltosa mediana a gross a
grava siltosa ou argilona
Areia fina limpa, areia siltosa ou argilosa fina a mediana 19-24Silte arenoso fino, silte no plstico 17-19
Argila medianamente rigida e rigida e argila siltosa 17-19
Grava limpa,mistura de areia e grava,brita bem gradada
com lascas
Areia limpa, mistura de grava e areia siltosa, brita dura de
um tamanho s
Areia siltosa, grava, ou areia misturados com silte ou argila 17
Silte arenoso fino, silte no plstico 14
Grava limpa,mistura de areia e grava,brita bem gradada
com lascas
Areia limpa, mistura de grava e areia siltosa, brita dura de
um tamanho s
Areia siltosa, grava ou areia mis turados com s ilte ou argila 14
Silte arenoso fino, silte no plstico 11
Estacas de ao contra
22
17
Materiais de Interface
24-29Massa de concreto contra
Concreto trabalhado contra22-26
17-22
Tabela 2.3 Valores tpicos do ngulo de atrito na interface solo - estrutura (NAVFAC,
1982)
De acordo com Kramer (1996), para terraplenos horizontais sem
carregamentos na superfcie, a distribuio das tenses horizontais sobre a cortina
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tem distribuio linear, com resultante PAaplicada atravs de um ponto localizado
distncia H/3, medida a partir da base da estrutura de altura H.
Para a condio de empuxo passivo em solo granular, o valor da resultante
PP(Figura 2.12) dado por
21
2P PP K H=
(2.18)
onde o coeficiente de empuxo passivo descrito por
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
2
2
cos
cos cos 1cos cos
PK
sen sen
+=
+ + +
(2.19)
W
P
F
PP
PP
WF
Figura 2.12 Cunha passiva de solo delimitada pela superfcie do aterro, parede da
conteno e superfcie de ruptura (esquerda); polgono de foras correspondente
(direita).
A superfcie de ruptura critica a que fornece o menor valor de Pp dentre as
cunhas analisadas (modificado de Kramer, 1996).
A superfcie de ruptura forma em relao horizontal o ngulo
( ) 31
4
tantan
P
C
C
+ += +
(2.20)
onde
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( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 tan tan cot 1 tan cotC = + + + + + + (2.21)
( ) ( ) ( ){ }4 1 tan tan cotC = + + + + (2.22)
Com relao ao mtodo de Coulomb as seguintes observaes podem ser
feitas:
a) os valores de empuxo ativo obtidos so muito prximos daqueles
calculados com mtodos numricos mais abrangentes que obedecem a todas
as condies de equilbrio e de compatibilidade do problema, incluindo
relaes constitutivas complexas para o comportamento do solo;
b) no recomendvel a utilizao do mtodo de Coulomb para clculo do
empuxo passivo que, de acordo com resultados disponveis na literatura,
fornece valores muito altos. Mtodos que adotem superfcies de ruptura
curvas so mais indicados nestas circunstncias.
PUC-Rio-CertificaoD
igitalN0812416/CA