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1

Mecânica de Fluidos – FCUL – DEGGE – Prof. Carlos Pires

11 ‐ Análise Dimensional e Semelhança Dinâmica

11.1 Análise Dimensional

A Análise Dimensional é um método de redução do número e da complexidade das variáveis

físicas envolvidas num determinado fenómeno físico. O princípio da Análise Dimensional é o

Princípio da Homogeneidade Dimensional (PHD) que tem o seguinte enunciado:

Todos os termos aditivos de uma equação física devem ter as mesmas dimensões físicas.

A dimensão física de uma grandeza física A representa‐se por [A] ou seja ‘A’ entre parêntesis

retos. As dimensões fundamentais usadas em termohidrodinâmica (conjunção da

termodinâmica e da mecânica de fluidos) são: Massa (M), Comprimento (L), Tempo (T), e

temperatura absoluta () ou seja: MLT, a que correspondem respectivamente as unidades m

(metro), s (segundo), kg (kilograma) e K (kelvin) no Sistema Internacional de Unidades (SI). Por

exemplo a dimensão física de pressão p é:

[p] =[Força/área]=[massa][aceleração]/[área]=MLT‐2/L2=ML‐1T‐2.

Em alternativa à massa pode usar‐se como grandeza fundamental a força (F=MLT‐2 , M=FL‐1T2),

usada no sistema Anglo‐saxónico (English System) e que utiliza as dimensões fundamentais

FLT. As unidades fundamentais do sistema Inglês são: libra‐força ( 1 lbf= 4.44822162 N) para

força, pé (foot, 1 ft=0.3048 m) para comprimento, segundo (s) para tempo e graus Rankine (R,

1R=2/9 K) para temperatura absoluta. O equivalente para massa é:

1slug=1lbf/(ft s‐2)= 14.5939 kg. A aceleração da gravidade no English System vale

g=32.174 ft/s2 enquanto que no SI vale g=9.81 ms‐2.

Para uma grandeza A sem dimensões (adimensional), as dimensões representam‐se na forma

[A]=1.

Todas as grandezas devem ser expressas num sistema coerente de unidades ou seja devem

corresponder a produtos de monómios (potências) das unidades fundamentais (ex ms‐2,

J/(KgK) etc.)

Tem‐se então o seguinte quadro com as dimensões e unidades do Sistema Internacional (SI)

Grandeza Dimensões

(MLT) Dimensões

(FLT) Unidades (SI)

Comprimento L L m (metro)

Tempo T T s (segundo)

Massa M FL‐1T2 kg (kilograma)

Área L2 L2 m2

Volume L3 L3 m3

Velocidade LT‐1 LT‐1 ms‐1

Aceleração LT‐2 LT‐2 ms‐2

Taxa de deformação T‐1 T‐1 (ms‐1)m‐1=s‐1

Ângulo 1 (adim) 1 (adim) rad (radianos)

Velocidade angular T‐1 T‐1 s‐1=Hz (Hertz)

Aceleração angular T‐2 T‐2 s‐2=Hz2

2


Força MLT‐2 F N=kgms‐2

Momento de Força ML2 T‐2 FL Nm

Momento Linear MLT‐1 FT kgms‐1=Ns

Momento angular ML2T‐1 FLT Kgm2 s‐1 =Nms

Momento de inércia ML2 FL T2 kgm2

Pressão, Tensão ML‐1T‐2 FL‐2 Pa=Nm‐2=kg m‐1s‐2

Viscosidade dinâmica ML‐1T‐1 FL‐2T Pas=Nm‐2s= kg m‐1s‐1

Viscosidade cinemática L2T‐1 L2T‐1 m2s‐1

Tensão superficial MT‐2 FL‐1 Nm‐1=kgs‐2

Energia,Trabalho, entalpia, energia livre

ML2 T‐2 FL Nm= kgm2 s‐2=J

Potência, Fluxo de energia e de calor

ML2T‐3 FLT‐1 Js‐1= kgm2 s‐3=Nms‐1=W

Densidade e massa volúmica

ML‐3 FL‐4T2 kgm‐3

Caudal de massa MT‐1 FL‐1T kgs‐1

Caudal de volume L3T‐1 L3T‐1 m3s‐1

Temperatura K (Kelvin)

Energia específica, entalpia específica, energia livre específica

L2T‐2 L2T‐2 Jkg‐1

Energia, entalpia e energia livre por unidade de volume

ML‐1T‐2 FL‐2 Jm‐3

Calor específico L2T‐2‐1 L2T‐2‐1 m2 s‐2K‐1=Jkg‐1K‐1

Entropia ML2 T‐2‐1 FL‐1 JK‐1

Entropia específica L2 T‐2‐1 L2T‐2‐1 Jkg‐1 K‐1

Densidade de fluxo de energia e calor

MT‐3 FL‐1 T‐1 Wm‐2

Condutividade térmica MLT‐3‐1 FT‐1‐1 WK‐1m‐1

Difusibilidade térmica=Condutividade térmica/(entalpia por unidade de volume)

L2T‐1 L2T‐1 m2s‐1

As grandezas intervenientes em física podem ser:

Constantes universais: São valores que são constantes em qualquer fenómeno ou sistema

físico. Exemplos: Constante da Gravitação Universal, velocidade da luz no vácuo, carga do

electrão.

Parâmetros: valores que são tomados fixos num certo conjunto de experiências ou num certo

âmbito.

Variáveis: Grandezas que variam no tempo, no espaço ou em função de outras. As variáveis

podem ser independentes ou dependentes. Se A depende de B então escreve‐se A=A(B) sendo

‘B’ a variável independente e ‘A’ a variável dependente. Conforme o âmbito considerado, o

que pode ser considerado como parâmetro, pode num âmbito mais geral ser considerado

como variável.

3


O Princípio da Homogeneidade Dimensional exige que numa equação física, os termos de uma

equação tenham dimensões bem definidas. Por exemplo a expressão do deslocamento s de

um corpo em movimento uniformemente acelerado com a=aceleração, v=velocidade inicial,

t=tempo vem:

s=so+vt+at2/2,

as dimensões de todos os termos são: [s]=[so]=[vot]=[at2/2]=L (em m=metro). A expressão

anterior é válida em física uma vez que todos os termos da soma têm as mesmas dimensões e

a expressão final tem igualmente as dimensões de cada termo (L).

Uma expressão que não satisfaz ao PHD é por exemplo:

st+cos(vt2/a)+exp(t3)sin(at)+t2.5

Na verdade há termos que não têm dimensões bem definidas como st, exp(t3), sin(at). Assim

numa expressão, todos os termos têm de ter dimensões físicas bem definidas ou seja, têm de

ser dadas por um produto de potências das dimensões fundamentais: MaLbTcd onde a,b,c,d são números inteiros positivos ou negativos (ou zero: M0=L0=T0=0=[1] ).

Vemos assim algumas regras tais como:

Os argumentos de funções trigonométricas, de exponencial, logaritmo e os expoentes de

grandezas, além de outros, têm todos de ser adimensionais, ou seja não têm dimensões físicas.

Se A é adimensional então representa‐se [A]=1.

Se A,B forem grandezas dimensionais, então só podem ser somáveis se tiverem as mesmas

dimensões e [A+B]=[A]=[B]. Há no entanto grandezas com as mesmas dimensões físicas mas

cuja soma não tem significado matemático útil (ex. soma das componentes de um vector).

Existe apenas um conjunto limitado de funções e operações entre grandezas dimensionais A, B

que são consistentes com o PHD. Assim as funções e operações possíveis, assim como as

correspondentes dimensões físicas são:

Potências inteiras: An (n inteiro), [An ]=[A]n

Produtos: AB, [AB]=[A][B]

Quocientes: A/B, [A/B]=[A]/[B]

Integral: AdB, [AdB]=[A][B]

Derivada: dnA /dBn (derivada, n inteiro 1), [dnA /dBn] =[A]/[B]n

Mediante certas operações e funções, pode‐se obter grandezas adimensionais. Por exemplo

tem‐se a seguinte grandeza adimensional:

22

1 11

BdBA dB A B

B dA AB

4


Uma função arbitrária de p variáveis adimensionais 1, 2,…,p é adimensional, é fisicamente

válida e satisfaz ao PHD. Às variáveis adimensionais é costume chamar números pi, uma vez

que a sua dimensão é a mesma das constantes matemáticas como o (pi).

As relações entre números adimensionais ou números pi podem ser de vários tipos tais como

equações algébricas, equações diferenciais, equações integro‐diferenciais (juntando derivadas

e integrais) etc. Para o ilustrar consideremos 3 números pi na forma:

1 2 3

1; ;

lno o o

dv at s

v d t v s

,

em que s,so são deslocamentos, v,vo são velocidades, a=aceleração, t=tempo.

Uma função ou uma equação envolvendo esses p=3 números pi é perfeitamente admissível

em física e satisfaz ao PHD.

Uma relação algébrica entre números pi envolve apenas funções algébricas (potências,

polinómios, funções trigonométricas etc.), como no seguinte exemplo:

1 11 2 3 1 2 3 1 2 3sinh exp sin , , sinh exp sin 0ou f

Uma equação diferencial envolve derivadas como no exemplo:

1 11 12 3 1 2 3 2 3

3 3

exp sin , , exp sin 0d d

ou fd d

Uma equação integro‐diferencial envolve integrais e derivadas como no exemplo:

1 1

2 21 13 3 1 2 3 3 3

3 31 1

( ) , , ( ) 0d d

u du tgh ou f u du tghd d

Qualquer relação f(q1,q2,…,qn)=0 entre n grandezas físicas q1,q2,…,qn (constantes, parâmetros,

variáveis dependentes ou independentes) com determinadas dimensões físicas cada uma,

pode exprimir‐se como uma relação g(1,2,…,p)=0 entre p<n números adimensionais

1,2,…,p. Estas grandezas adimensionais são obtidas a partir das n grandezas dimensionais

através de funções e operações consistentes com o PHD (produtos, potências, quocientes,

derivada e integrais). Este resultado será formalizado e enunciado no Teorema de

Buckingham da Análise Dimensional.

Antes vamos ilustrar alguns problemas de análise dimensional. Os problemas consistem em: 1)

Determinar quantos números pi (valor de p); 2) Quais os números pi e como obtê‐los. Por

vezes não há uma forma única de obter os números pi e 3) Qual a relação g entre os números

pi. Existem situações em que a função f entre as grandezas dimensionais é conhecida e outras

em que é desconhecida. Se f é conhecida, então o processo de obtenção de g chama‐se

5


adimensionalização. Não conhecendo a relação f, então a análise dimensional permite pelo

menos simplificar o problema afirmando que existe uma relação g (desconhecida) entre um

menor número p<n de variáveis e que caracteriza o fenómeno ou o problema. Essa relação g

deverá ser obtida recorrendo aos princípios fundamentais da física ou então de forma

experimental ou empírica. Uma relação entre números pi do tipo: g(1,2,…,p)=0, contêm em

si uma grande generalidade e está na base da Semelhança Dinâmica ou de um modo mais

geral a Semelhança Física.

Dois fenómenos físicos (problemas, escoamentos de fluidos, situações) são fisicamente

semelhantes se possuírem iguais valores dos números pi. Esses dois fenómenos são

caracterizados por grandezas dimensionais tais que a sua combinação fornece os mesmos

valores dos números pi. Assim, qualquer conclusão sobre um dos fenómenos, expressa por

uma relação do tipo g(1,2,…,p)=0, é imediatamente generalizada ao fenómeno fisicamente

semelhante. Este princípio é o Principio da Semelhança Física e está na base da construção de

protótipos em laboratório que podem fornecer conclusões sobre um modelo. Em geral os

protótipos são muito mais pequenos, controláveis e económicos que o modelo (Ex. protótipo

laboratorial do estuário de um rio; protótipo de um petroleiro). A construção de protótipos

dinamicamente semelhantes aos modelos é muito útil em mecânica de fluidos.

A simplificação do problema por via da Análise Dimensional permite poupar tempo e custos.

Para proceder á análise dimensional é necesário construir a Matriz Dimensional D que

permite obter os números pi.

Matriz dimensional D

Consideremos um conjunto de n variáveis dimensionais q1,q2,…,qn (podem também ser

adimensionais), envolvidas num fenómeno físico. Cada variável tem dimensões bem definidas

por potências das unidades fundamentais ou seja:

, , , , inteiros , i=1,...,ni i i ii i i i iq M L T

11.1

A matriz dimensional é a matriz rectangular (n linhas x 4 colunas) com as potências das

unidades fundamentais:

6


1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

....

n n n n n

M L T

q

D q

q

11.2

Na primeira linha escreveram‐se as grandezas fundamentais (MLT) servindo apenas de

auxiliar para o preenchimento. A primeira coluna é apenas auxiliar onde se escreveu a

sequência das grandezas. Se alguma coluna (dos ,, ou ) for nula ou seja se existir alguma

grandeza fundamental não interveniente no conjunto das grandezas, então pode eliminar‐se

essa coluna da matriz dimensional. Por exemplo se todas as n grandezas forem meramente

cinemáticas, não intervêm nem a massa (M) nem a temperatura () na análise dimensional e

teremos apenas as grandezas funda,mentais L,T.

Teorema de Buckingham da Análise Dimensional

Uma relação f(q1,q2,…,qn)=0 entre n grandezas físicas q1,q2,…,qn (constantes, parâmetros,

variáveis dependentes ou independentes), pode exprimir‐se como uma relação g(1,2,…,p)=0

de p=n‐m grandezas adimensionais onde m é característica da matriz dimensional =

rank(D)=mn. A característica é o número de linhas ou colunas linearmente independentes e

coincide com o número de grandezas fundamentais intervenientes: 1,2,3 ou 4. A análise

dimensional só pode aplicar‐se quando p>0 ou seja o número de variáveis n é extritamente

superior ao número de grandezas fundamentais (ex. n=4>m=3, logo p=4‐3=1).

Método do Produto de Potências da Análise Dimensional

No caso em que as n grandezas q1,q2,…,qn são dimensionais (não são adimensionais), então os

números pi são da forma de monómios das n grandezas. Há então que determinar os

expoentes racionais a que são elevadas as grandezas fundamentais de forma a obter

grandezas adimensionais. Assim constrói‐se um número adimensional na forma:

7


1 2

1 1 1 1

1 21

1 1 1

0 0 0 0

... ( )

1, 1,...,

j j nj ij

ijijij i i i i

n n n na a a ai ij i ij i ij i ij

i i i i

na a a a

j n ii

n n n aaa

j i ii i i

q q q q produtório ou pietório das grandezas q

q q M L T

M L T M L T j p

11.4

As potências inteiras aij satisfazem a equações da forma:

1 1

1 1

0 ; 0

0 ; 0

n n

i ij i iji i

n n

i ij i iji i

a Para M a Para L

a Para T a Para

11.5

As potências aij (incógnitas a determinar) podem ser não inteiras, isto é serem números

fraccionários. Em geral podem formar‐se vários conjuntos independentes de números pi, uma

vez que o número m de equações é inferior ao número (p x m) de incógnitas e o problema fica

indeterminado. Para levantar esta indeterminação recorre‐se ao método do produto de

potências e que consiste no seguinte:

1 – Seleccionar m=rank(D) das n grandezas com dimensões diferentes e que contenham, no

seu conjunto as m dimensões internvenientes. Estas são as chamadas variáveis repetidas e

devem ser escolhidas como bem relevantes para o problema. Sejam essas as primeiras m

variáveis: q1, q2,…,qm. Caso não sejam rearranja‐se a matriz dimensional de modo a colocar as

dimensões dessas grandezas nas primeiras m linhas da matriz dimensional D.

2 – As p=n‐m grandezas adimensionais obtêm‐se na forma de quocientes entre as grandezas

não usadas (não repetidas) e monómios das grandezas repetidas ou seja:

1 2

1 2

, 1,...,...j j mj

m jj a a a

m

qj p n m

q q q

11.6

3 – As potências a que são elevadas as grandezas repetidas são dadas por um sistema bem

determinado de m x p equações nas potências aij:

8


1 1

1 1

;

;

m m

m j i ij m j i iji i

m m

m j i ij m j i iji i

a Para M a Para L

a Para T a Para

Ilustração da aplicação da Análise Dimensional e do Método do Produto de Potências

Exemplo 1 : Período do Pêndulo (Relação entre Parâmetros)

Consideremos um pêndulo sem atrito de massa m,

comprimento l, sujeito à aceleração gravítica g e com

oscilações máximas M. O período do pêndulo é função de l, m, g e M. Tem‐se n=5 grandezas: l, m, g, M e relacionadas entre si. As dimensões são: [m]=M, [l]=L, [g]=LT‐2, [M]=1,

[]=T. Admite‐se não conhecida à priori a relação entre os 5

parâmetros.

Escolhamos as m=3 grandezas repetidas: m, l, g. A matriz

dimensional, com característica m=3 é:

1 0 0

0 1 0

0 1 2

0 0 1

0 0 0M

M L T

m

lD

g

Os números pi, em número p=n‐m=5‐3=2 são da forma:

3 31 2 1 21 2, Ma ba a b bm l g m l g

,

Em termos de dimensões tem‐se:

1 2 3 3 2 3 31 2 1

1 2 3 3 2 3 31 2 1

0 0 1

1 ( ) 22

0 0 0

2 ( ) 22

1 ,( )

1( )

a a a a a a aa a a

M Mb b b b b b bb b b

T M L T

M L LT M L Tm l g

M L T

M L LT M L Tm l g

donde se tem 2 sistemas lineares de equações a 3 equações, um sistema para cada número pi:

9


1 1 1 1

2 3 2 3 2 2

3 33 3

0 0 0 0

0 ; 0 1/ 2 ; 0

1/ 2 01 2 0 2

a b a b

a a b b a b

a ba b

Os números pi são da forma:

1 2; M

g

l

A relação entre os 2 números pi escreve‐se nas formas equivalentes:

* *0 , M M M

g g lg g g

l l g

Onde g é uma função implícita entre 1 e 2 e g* é uma função de 2=M. Deste modo, a

Análise Dimensional mostra‐nos o facto não trivial de o período do pêndulo ser independente

da massa e directamente proporcional à raiz quadrada do comprimento l do pêndulo.

A física fundamental, neste caso a mecânica, fornece‐nos a forma da função g*. Em primeira

aproximação tem‐se:

2 2

*~ 2 1 ~ 2 116 16

M MM

lg

g

Para ângulos pequenos ou seja M<<1, tem‐se ~ 2l

g ou seja a independência do

número 2=M. Neste caso a relação entre números pi vem: g(1)=0 ou seja 1=k=constante

matemática=2.

1

g lk k

l g

A relação de semelhança corresponde à igualdade dos números pi. Neste caso, sejam

consideradas duas situações (l1,m1,g1,M1,1) e (l2,m2,g2,M2,2) dinamicamente semelhantes ou

seja com os dois números pi idênticos. Admitamos g1=g2=g. Assim:

1 1 2 2 1 21 2

; M M M

g g

l l

10


Ou seja os ângulos máximos são iguais. A inferência de 2 pode ser obtida a partir de 1 sem

conhecer a função implícita g*. Tem‐se então: 2

2 11

l

l

Tal significa que se poderá obter o período de oscilação de um pêndulo (2) conhecendo o

período de oscilação de um outro pêndulo (1) e os comprimentos de ambos os pêndulos.

Exemplo 2 : Velocidade Angular do Pêndulo (Relação entre Parâmetros e Variáveis

dependentes e independentes)

Admite‐se que a velocidade angular de um pêndulo em oscilação é função do ângulo que

o pêndulo faz com a vertical, do comprimento l do pêndulo, da massa, da aceleração gravítica

g e do ângulo máximo M. A velocidade angular =d/dt é uma variável dependente da

variável independente contínua e de certos parâmetros (l,m,g,M). Tem‐se então uma

relação implícita entre n=6 grandezas cujas dimensões físicas são: []=[M]=1 (adim), []=T‐1,

[m]=M, [l]=L, [g]=LT‐2. Vamos utilizar o Método do Produto de Potências para obter as

grandezas adimensionais. Ter‐se‐á então p=n‐m=6‐3=3 grandezas adimensionais. A matriz

dimensional é:

1 0 0

0 1 0

0 1 2

0 0 1

0 0 0

0 0 0M

M L T

m

l

D g

Escolhamos como grandezas repetidas: l, m, g. A massa m apenas intervêm numa das

grandezas pelo que não combina com nenhuma outra e portanto o problema é independente

da massa do pêndulo. Os números pi são:

1 2 3; ; M

l

g ,

donde 1 se exprime como uma função dos outros dois números pi na formas equivalentes:

, ,M M

l gf f

g l

A mecânica fornece a função explicitamente:

11


1/2, 2 cos cosM M

g gf

l l .

Exemplo 3 : Escoamento de um fluido (Relação entre Parâmetros e Variáveis

dependentes e independentes) e adimensionalização de equações

Sejam (u,v,w) as componentes da velocidade segundo (x,y,z) respectivamente. Consideremos a

equação Euleriana do momento linear vertical num referencial inercial de um fluido viscoso

incompressível de densidade uniforme 0. A taxa local de variação da velocidade vertical w

vem escrita como:

2 2 2

2 2 20 Força gravítica

Advecção=Força inercial Força do gradiente cosde pressão

1

Força vis a

w w w w p w w wu v w g

t x y z z x y z

As variáveis dependentes (u, v, w, p) dependem das variáveis independentes espaciais e

temporal (x, y, z, t). Têm‐se ainda os parâmetros: g, 0 (aceleração gravítica e densidade) e a

viscosidade cinemática =/0.

Ao contrário dos dois exemplos anteriores, aqui é conhecida uma relação entre as variáveis na

forma de uma equação diferencial parcial, a qual é válida num certo domínio espacial e é

sujeita a certas condições fronteira e condições iniciais. Pelo Teorema de Buckingham, existe

uma relação entre grandezas adimensionais.

O tamanho do domínio espacial no qual ocorre o escoamento é um parâmetro natural que

condiciona a forma do escoamento. Seja L0 o valor (em termos de ordem de grandeza) das 3

dimensões espaciais do domínio (e.g comprimento de uma turbina). Admitimos para

simplificar que a tamanho do domínio é da mesma ordem de grandeza nas 3 dimensões (x,y,z).

Chama‐se a L0 a escala espacial do escoamento. Deste modo as variáveis espaciais

adimensionalizadas são:

0 0 0

' ; ' ; 'x y z

x y zL L L

Os valores x’, y’ e z’ são variáveis que são da ordem de 1, uma vez que L0 é uma escala espacial

da mesma ordem de grandeza de x, y, e z. O valor da velocidade nas 3 componentes admite

uma escala U ou seja, as componentes adimensionalizadas da velocidade vêm:

12


' ; ' ; 'u v w

u v wU U U

As velocidades adimensionalizadas u’, v’, e w’ correspondentes a u, v e w são igualmente da

ordem de 1. Num caso concreto, as escalas das diferentes componentes da velocidade

poderão ser diferentes (ex. escoamento da atmosfera à escala planetária). Escolhendo a escala

espacial L0 e a escala de velocidade U, a escala temporal é T0=L0/U ou seja o tempo que uma

partícula leva para percorrer a escala espacial L0 do domínio à velocidade típica U (escala de

velocidade). O tempo adimensionalizado é:

0

'/

tt

L U

Para a variação de pressão escolhemos uma escala p e portanto a pressão será

adimensionalizada na forma:

'p

pp

A adimensionalização das variáveis levou à introdução dos parâmetros adicionais U, L, p.

Têm‐se então uma relação entre os 6 parâmetros: U, L, p, g, 0 e , as 4 variáveis

independentes x,y,z,t e as 4 variáveis dependentes u,v,w e p num total de n=14 variáveis:

00 , , , , , , , , , , , , ,f x y z t u v w p U L p g

Pelo Teorema de Buckingham, a relação anterior escreve‐se em termos de n‐m=14‐3=p=11

variáveis adimensionais. Dentre essas 11 variáveis, 4 são variáveis independentes

adimensionalizadas e 4 são variáveis dependentes adimensionalizadas no total de 8:

', ', ', ', ', ', ', 'x y z t u v w p

As outras 3 grandezas adimensionais surgem naturalmente da adimensionalização da equação

ou seja á mudança de variáveis dimensionais para variáveis adimensionais. Procede‐se ás

substituições:

0 0 0 0' ; ' ; ' ; ' / ;

' ; ' ; ' ; '

x x L y y L z z L t t L U

u u U v v U w w U p p p

,

Assim tem‐se por exemplo:

13


2

0 0

' '

/ '

w Uw U w

t t L U L t

e multiplicando por L0/U2, obtem‐se a equação adimensionalizada:

-2 1

2 2 2

2 2 2 2 20

Fr ReEu

' ' ' ' ' ' ' '' ' '

' ' ' ' ' ' ' '

w w w w p p gL w w wu v w

t x y z U z U UL x y z

onde aparecem os 3 números pi que faltam na análise:

20

1/2

0

0 0

Força do gradiente de pressãoEu= Número de Euler

Força inercial

Força inercialFr Número de Froude

Força gravítica

Força inercialRe= Número de Reynolds

Força viscosa

p

U

U

gL

UL UL

A equação re‐escreve‐se na forma condensada e adimensional:

2 1 '2

~1~1

~1 ~1 ~1

' ' '' ' ' Eu Fr Re '

' ' '

w Dw pv w w

t Dt z

,

onde se usou o operador Gradiente (’) e Laplaciano (’2) adimensionalizados. Os termos em

que surgem apenas variáveis adimensionalizadas são da ordem de 1 por construção (na

equação usa‐se o símbolo ~1). A solução das equações depende crucialmente dos números

adimensionais Eu, Fr e Re e do valor relativo entre eles. Em certos casos pode‐se desprezar

termos na equação simplificando‐a.

Assim por exemplo, se a força gravítica e a força viscosa forem ambas muito inferiores à força

inercial então:

1/2

-2

-1

Força inercialFr 1; Fr 1

Força gravítica

Força inercialRe= 1; Re 1

Força viscosa

E obtem‐se uma equação apenas dependendente do número de Euler:

14


~1 ~1

' 'Eu

' '

Dw p

Dt z

.

que tem duas possibilidades: 1) Eu~1 2) Dw’/dt’~0 (se Eu<<1) . Não é possível Eu>>1

porque não haverá força para equilibrar o gradiente de pressão. Se as forças dominantes

forem a força gravítica e do gradiente de pressão, então observa‐se o equilíbrio hidrostático

2'Eu Fr 0

'

p

z

.

11.2 ‐ Semelhança Geométrica, Cinemática e Dinâmica

O Teorema Pi de Buckingham permite simplificar o estudo e a avaliação quantitativa e

qualitativa de um fenómeno físico através de: poupança de tempo e de custos; auxílio no

planeamento de uma experiência e fornecimento de relações que permitem converter

informação obtida num protótipo laboratorial em informação sobre um modelo real.

Força de arrasto sobre barco

Consideremos por exemplo a medição da força de atrito F (drag) produzida sobre um barco de

comprimento L, sujeito à gravidade g, deslocando‐se à velocidade V sobre um fluido de

densidade e viscosidade dinâmica . Tem‐se n‐m=6‐3=p=3 números pi relacionando os

parâmetros ,V,L,,F,g.

A matriz dimensional é:

1 3 0

0 1 1

0 1 0

1 1 1

1 1 2

0 1 2

M L T

V

D L

F

g

Executando a análise dimensional e escolhendo , V e L como variáveis repetidas, obtêm‐se os

números pi:

15


1 d 2 2

2

3

Força de arrasto ou de atritoC =Coeficiente de arrasto

(Pressão Dinâmica × Área de exposição)/ 2

Re Número de Reynolds

Fr Número de Froude

F

U L

UL

U

gL

Para cada escolha de 3 variáveis repetidas, assim haverá um conjunto de 6‐3=3 números pi e

portanto há várias possibilidades de números pi todas igualmente válidas. Escolheram‐se

noentanto 3 dos mais usuais (Fr, Re, Cd). A relação implícita entre os números pi pode

escrever‐se nas formas equivalentes:

2 2

2 2Re, Fr Re, Fr

2/ 2d

F U LC f F f

U L

A função f pode ser obtida experimentalmente através de protótipos em que se avalie o

coeficiente de arrasto Cd em função de vários valores do número de Reynolds (Re) e do

número de Froude (Fr).

11.2.1 Semelhança Física

A semelhança física entre dois fenómenos: modelo real (representado por m) e protótipo

laboratorial (representado por p) significa a igualdade entre os parâmetros adimensionais do

modelo e do protótipo. Por exemplo no caso discutido em que dois parâmetros são

independentes, ter‐se‐ia:

d d d

Fr(modelo)=Fr(protótipo)=FrC (modelo) C (protótipo)=C

Re(modelo)=Re(protótipo)=Re

A semelhança física é composta de semelhança geométrica, cinemática e dinâmica. Por vezes é

difícil construir protótipos que sejam inteiramente semelhantes ao modelo real havendo por

isso semelhança incompleta.

Semelhança Geométrica

Semelhança geométrica é a semelhança física para parâmetros adimensionais envolvendo

apenas grandezas espaciais, por exemplo razões entre dimensões físicas (e.g. razão entre

comprimento e altura). A razão entre a dimensão do protótipo e a dimensão do modelo real é

o factor de escala. Pontos homólogos são pontos em posições semelhantes.

16


Semelhança Cinemática

A semelhança cinemática é a semelhança entre números pi envolvendo velocidades e tempos.

Estes números pi podem ser:

1) Quocientes entre diferentes componentes da velocidades (E.g. Vx/Vy)

2) Quocientes entre tempos característicos (E.g. quociente entre período de rotação e

período de translação).

A semelhança cinemática garante que no modelo e no protótipo, pontos homólogos se

desloquem para pontos homólogos em tempos homólogos. Ex: um automóvel real à

velocidade vm percorre o seu comprimento Lm no mesmo tempo em que um protótipo à

velocidade vp percorre o seu comprimento Lp. Deste modo o factor de escala =Lp/Lm=vp/vm.

Semelhança dinâmica

A semelhança cinemática é a semelhança entre números pi envolvendo forças. Os números pi

são quocientes entre diferentes tipos de forças (E.g. força de pressão/força inercial =Eu) ou

quocientes entre diferentes componentes do mesmo tipo de forças (E.g força de pressão

segundo x /força de pressão segundo z).

Discussão da Semelhança Física no problema da força de arrasto sobre barco

Considere‐se um protótipo com factor de escala =Lp/Lm.

A igualdade dos números de Froude conduz a:

17


1/2Fr p p pm

m mm p

U U LU

U LgL gL

A igualdade dos números de Reynolds leva a:

3/2Re p p p p pm m

m p m m m

U L U LU L

U L

A escolha de um determinado fluido viscoso para o protótipo impõe a sua viscosidade

cinemática p e portanto imporá o factor de escala. Se se escolher o factor de escala, então a

semelhança completa (igualdade dois a dois de Fr e Re) imporá a escolha de uma viscosidade

cinemática p ou seja de um fluido apropriado para protótipo, o qual pode não existir dado

que não há fluidos para qualquer viscosidade desejada. Outra possibilidade é optar por uma

semelhança incompleta, isto é exigir a semelhança para apenas um sub‐conjunto de números

pi, neste caso Re e/ou Fr.

Por exemplo para igualdade do número de Reynolds:

1

1Re p p p p p pm m

m p m m m m

U L U LU L

U L

Deste modo, se os fluidos do modelo e protótipo ferem idênticos (ex. água), então se o factor

de escala for =1/100, a velocidade no protótipo terá de ser 100 vezes superior.

A igualdade de números de Froude leva a:

1/2

1/2Fr p p pm

m mm p

U U LU

U LgL gL

A discussão de qual o número mais relevante (Fr ou Re) depende de cada situação. Este

problema pretende ilustrar situações de semelhança incompleta que exigem algum

planeamento e decisão.

18


11.3 ‐Números Adimensionais mais relevantes em mecânica de

Fluidos

Fornece‐se uma lista dos números adimensionais relevantes em mecânica de fluidos

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