ANÁLISE DIMENSIONALE

SEMELHANÇA

Prof. Carlos Ruberto Fragoso Jr.

Fenômenos de Transporte

Semelhança

Semelhança

A maior parte dos projetos de engenharia que envolve estruturas, aviões, navios, rios, portos, barragens, poluição do ar e da água frequentemente utilizam modelos;

Modelo é uma representação simplificada da realidade que pode ser utilizado para predizer o comportamento de alguma característica do sistema;

O sistema físico para o qual as predições são feitas é denominado “protótipo”;

Com o desenvolvimento de um modelo adequado é possível predizer , sob certas condições, o comportamento do protótipo.

Modelo reduzido em escala geométrica 1:30 da tomada d’água e da comporta vagão da Usina Hidrelétrica de Tucuruí (ELETRONORTE), no rio Tocantins, projetada pela Badoni A.T.B. Indústria Metalmecânica S/A, 1985.

Semelhança

Modelo reduzido em escala geométrica da tomada d’água e da comporta vagão da Usina Hidrelétrica de Paulo Afonso IV (CHESF), no rio São Francisco, projetadas pela Ishikawajima do Brasil Estaleiros S/A, 1978.

Semelhança

Semelhança

Semelhança

Modelo marítimo - Itanhaém S.P.

Semelhança

Estudo da previsão das condições do protótipo a partir de observações

de modelos

A semelhança envolve o uso de parâmetros adimensionais obtidos da análise dimensional

Teoria dos modelos

A teoria dos modelos pode ser desenvolvida a partir da análise dimensional. Mostramos que qualquer problema pode ser descrito em função de um conjunto de termos pi:

Se esta equação descreve o comportamento de um protótipo, uma relação similar pode ser escrita para o modelo deste protótipo:

),,,( 321 n

),,,( 321 nmmmm

Teoria dos modelos

Assim, se o modelo é projetado e operado nas seguintes condições:

Já que a forma de ϕ é a mesma para o modelo e o protótipo, temos:

nmn

m

m

33

22

11 m

Teoria dos modelos

O valor medido no modelo, Π1m, será igual ao valor de Π1 do protótipo desde que os outros termos pi sejam iguais;

As condições especificadas pela igualdade dos outros termos pi fornecem as condições de projeto do modelo e são conhecidas como condições de semelhança ou leis do modelo.

Escoamentos SemelhantesEstudos em Modelos

 

Para que haja similaridade entre o protótipo e o modelo devem ser atendidas as seguintes condições

Semelhança geométrica 

Semelhança cinemática Semelhança dinâmica

Semelhança     Semelhança geométrica 

Semelhança 

   Semelhança cinemática

     Semelhança dinâmica  

Semelhança 

Semelhança

.constF

F

F

F

F

F

F

F

pg

mg

p

m

pp

mp

pI

mI

F

F

F

F

pp

I

mp

I

p

I

m

I

F

F

F

F

pg

I

mg

I

F

F

F

F

Semelhança

F

F

F

F

pp

I

mp

I

p

I

m

I

F

F

F

F

pg

I

mg

I

F

F

F

F

pm EuEu pm ReRe

)F,F,F(fF gpI

pm FrFr

)Fr(Re,fEu

Problema 1

Que velocidade deveria ser selecionada em um túnel de vento no qual um modelo de automóvel em escala 9:1 deve simular uma velocidade de 12m/s? Despreze efeitos de compressibilidade.

Problema 2O escoamento em volta de uma componente estrutural debaixo d’água deve ser estudada em um túnel de vento a 200C em um modelo em escala 10:1. Que velocidade deve ser selecionada no túnel de vento para simular uma velocidade de 4m/s de água a 100C.

Semelhança

.const

ma

ma

F

F

pp

mm

pI

mI

.const/V

/V

a

a

p2p

m2m

p

m

Semelhança cinemática

Razão entre as velocidades cte.

Semelhança geométrica

Modelo tenha a mesma forma do protótipo.

Semelhança

Semelhança Completa

A semelhança geométrica seja satisfeita; A razão de massa dos elementos correspondentes do fluido seja uma constantes; Os parâmetros adimensionais apropriados sejam iguais

Semelhança

2

p2pp

2m

2mm

pI

mI

pA

mA

V

V

F

F

F

F

p

2p

2pp

m2m

2mm

ppI

mmI

p

m

VV

VV

VF

VF

W

W

Problema 3Um modelo com escala 1:7 simula a operação de uma turbina grande que deve gerar 200kW com uma vazão de 1,5m3/s. Que vazão deve ser usada no modelo e qual a potência de saída é esperada?

a)

Escoamentos Confinados

Força de Pressão; Forças Inerciais; Forças viscosas.

(Re)fEu

Escoamentos de Superfície Livre

Escoamentos de Superfície Livre

Escoamentos de Superfície Livre

Podemos ignorar: St, M, We

Escoamentos de Superfície Livre

2/1

p

m

p

m

pp

2p

mm

2m

V

V

g

V

g

V

Froude

pm gg pm

m

pm

p

pp

m

mm

Vp

VVV

Reynolds

pm 2/3pmpm /

Exemplo 4Um modelo em escala 1:20 da superfície de um barco é usado para testar a influência de um perfil proposto do barco sobre o arrasto das ondas. Um arrasto de onda de 6,2 lb é medido no modelo a uma velocidade de 8,0 ft/s. A que velocidade isso corresponde no protótipo e que arrasto de onda é esperado para o protótipo? Despreze os efeitos viscosos e suponha o uso do mesmo fluido no modelo e no protótipo.

g

Vp

g

VFrFr

pm

mpm

s/ft8,35200,8VV2/1

m

pmp

Exemplo 4

2

p2pp

2m

2mm

pA

mA

V

V

F

F

mp

lb49700208

8,352,6F 2

2

2

pA

Exemplo 5

Um modelo em escala de 1:10 de um automóvel é usado para medir o arrasto sobre o design proposto. Ele deve simular o protótipo a uma velocidade de 90km/h. Que velocidade deve ser usada no túnel de vento se os números de Reynolds são igualados? Para essa condição, qual é a razão das forças de arrasto?

m

ppm VV

h/km9001090Vm

11900

1090

F

F

V

V

F

F22

22

mA

pA

2m

2mm

2p

2pp

mA

pA