Análise dimensional e semelhança nova versão

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AN AN Á Á LISE DIMENSIONAL LISE DIMENSIONAL E SEMELHAN E SEMELHAN Ç Ç A A (Fox, Bennett e (Fox, Bennett e Munson Munson) )

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ANANÁÁLISE DIMENSIONALLISE DIMENSIONALE SEMELHANE SEMELHANÇÇAA

(Fox, Bennett e(Fox, Bennett e MunsonMunson))

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Análise dimensional é uma forma de simplificar um problema físicousando a homogeneidade dimensional, visando diminuir o número de

variáveis envolvidas.

A análise dimensional é utilizada para:

- Avaliação de dados experimentais,- Resolução de problemas cuja solução analítica é complexa,

- Avaliação da importância de um dado fenômeno em relação aosoutros presentes; etc.

Análise dimensional

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Semelhança

Vários problemas de Engenharia → poucas resoluções exclusivamente por

análise teórica ⇒ muito comum os estudos experimentais.

Métodos analíticos: limitações associadas às simplificações necessárias pararesolução das equações diferenciais,

- Detalhamento: alta complexidade, custo elevado.

→ experimentos envolvendo o próprio equipamento ou réplicas perfeitas

→ na maioria das vezes usam-se modelos em escala

→ necessidade de planejamento (controlar tempo, ser objetivo, reduzir custos

dos experimentos)

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→Artigo no Scientific American (1991): analisou a velocidade de dinossauros a partir

dos dados: comprimento médio das pernas (l  

) e comprimento médio dos passos (s)dos dinossauros (como?!?)

→ Comparação de dados de l   e s de quadrúpedes (cavalos, cachorros, gatos...) ebípedes (humanos, aves, etc.) → nenhuma conclusão.

→ Análises posteriores: gráfico de s / l  em função de v2

 /g l  (onde v é a velocidade doanimal) → para a maioria dos animais os dados caiam aproximadamente sobre umamesma curva!

→ Assim, usando a razão s / l   dos dinossauros e entrando no gráfico citado, obteve-seum valor para v2 /g l   que permitiu a estimativa da velocidade dos dinosssauros.

ANÁLISE DIMENSIONAL

→ Surgem as questões:

• Será que dá para usar esse artifício também em outras áreas?

• Se sim, como são obtidos esses grupamentos adimensionais “mágicos” que

permitem esse tipo de correlação?• Grupamentos como número de Reynolds e outros grupos importantes namecânica dos fluidos podem ser envolvidos em estudos semelhantes e trazem emsi algum significado físico?

• O estudo de um dado fenômeno em um protótipo pode ser ampliado para umaescala maior fazendo uma mera regra de três?

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→ A maioria dos fenômenos em mecânica dos fluidos apresenta dependênciacomplexa de parâmetros geométricos e do escoamento ⇒ análise dimensional:importante ferramenta.

ANÁLISE DIMENSIONAL

QUEDA DE PRESSÃO EM TUBULAÇÃO (POR COMPRIMENTO DE TUBO)

→ Escoamento em regime permanente, incompressível, de um fluido newtoniano emtubo longo, horizontal e parede lisa: uso de dados experimentais

→ No projeto da tubulação: queda de pressão no escoamento por comprimento detubo → apesar de simples, não pode ser resolvido sem o uso de dados experimentais.

Planejamento experimental: identificar parâmetros que contribuam, de formasignificativa, com a queda de pressão:

Tomar cuidado com a possibilidade de não se incluir parâmetros que interfiram naqueda de pressão numa tubulação (como a rugosidade do tubo, por ex.). A equaçãoobtida vai funcionar bem para, por exemplo, tubos lisos.

)v,,,D(f P µρ=∆

Quais e quantos experimentos devem ser realizados para determinar a queda depressão no tubo?

Entenda-se ∆P como sendo quedade pressão por comprimento detubulação.

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→ Considerando a relação acima, poderíamos definir experimentos variando cadaparâmetro individualmente, ou seja, faríamos experimentos variando apenas D, depoisρ, em seguida µ e finalmente, v. Dessa forma, o número de experimentos é colossal.Se fizéssemos um estudo envolvendo 10 diâmetros diferentes, 10 fluidos com ρdiferentes, mais 10 com µ e mais 10 com vazões diferentes, chegaríamos num total de104 experimentos. Estimando que cada experimento dure 30 min, levar-se-ia 2 anos emeio (trabalhando 40 h por semana) para finalizá-los. Em seguida, viria a etapa detratamento dos dados, que também seria complexa: como traçaríamos gráficos de ∆Pem função de v tendo D, ρ e µ como parâmetros?

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→ Felizmente não é necessário todo esse esforço. Será mostrado que é possível obteruma relação simples entre ∆P e os parâmetros citados, agrupando as variáveis em doisgrupos adimensionais:

→ Portanto, pode-se trabalhar com dois grupos adimensionais ao invés de

analisarmos os 5 parâmetros. A figura a seguir mostra como é possível relacionar osresultados usando uma única curva. Note que essa curva é válida para qualquercombinação de tubo (parede lisa) e fluido (incompressível e newtoniano). Todos osexperimentos podem, por exemplo, ser realizados usando um único tubo de diâmetroD, um único fluido e variando apenas a vazão, o que minimiza os custos. Dessaforma, o tempo gasto seria mínimo.

 2v

PD

ρ

∆  

µρVD

 

  

 

µ

ρ=

ρ

∆ Dvf 

v

PD2

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QUEDA DE PRESSÃO SOBRE UMA PLACA TRANSVERSAL

→ Queda de pressão sobre uma placa transversal dentro de uma tubulação.

→ Identificação dos parâmetros que interferem no cálculo da queda de pressão:

Grupos adimensionais que se mostraram representantes do fenômeno:

Nesse caso, os experimentos podem envolver uma única esfera e um único fluido,variando-se apenas a vazão.

→ Forma gráfica: os resultados experimentais podem incluir experimentos de

vários pesquisadores, envolvendo fluidos e tubulações diferentes.

Placadeslizante

)h,d,,,V(fp µρ=∆

 

  

 

µ

ρ=

ρ

d

h,

dVf

V

p2

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FORÇA DE ARRASTE SOBRE UMA ESFERA

→ Considere a força de arraste sobre uma esfera lisa, estacionária, imersa em umacorrente uniforme.

→ Identificação dos parâmetros que interferem no cálculo da força de arraste:

Grupos adimensionais representantes do fenômeno:

Nesse caso, os experimentos podem envolver uma única esfera e um único fluido,variando-se apenas a vazão.

Forma gráfica: os resultados experimentais podem incluir experimentos de vários

pesquisadores, envolvendo fluidos e esferas diferentes.

 

 

 

 

µ

ρ=

ρ

Dvf 

Dv

F22

)v,,,D(f F µρ=

v vv

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→ Esse gráfico pode ser usado para calcular o arraste sobre um balão de arquente em uma corrente de vento ou para estimar o arraste sobre uma hemácia(considerando que se aproxima de uma esfera) movendo-se através da aorta.

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Teorema ππππ de Buckingham

→ Dado um problema físico onde o parâmetro dependente q1 (seria o ∆P ou o F dosproblemas anteriores) é uma função de n-1 parâmetros denominados q2, q3, q4....qn

(como D, ρ, µ, v, etc.) pode-se escrever que:

q1 = f(q2, q3, q4....qn), ou ainda:

g(q1, q2, q3, q4....qn) = 0

onde g é uma função diferente de f, ou seja, no caso do arraste na esfera:

F = f (D, ρ, µ, v), ou poderíamos escrever

g (F, D, ρ, µ, v) = 0

→ Segundo o teorema π de Buckingham, dada uma relação entre n parâmetros, daforma g (q1, q2, q3, q4....qn) = 0, os n parâmetros podem ser agrupados em n-m razões

adimensionais independentes, ou parâmetros π expressos na forma:G(π1, π2, .... πn-m) = 0 ou

π1 = G’(π2, π3, .... πn-m)

mas, quem é m?

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→ O número m é, em geral (mas não sempre) igual ao número mínimo de dimensõesindependentes necessárias para especificar as dimensões de todos os parâmetros q1,

q2, q3, q4....qn.→ Conjunto de dimensões fundamentais (primárias): sistemas MLT ou FLT

MLT (massa, comprimento, tempo): força é dimensão secundária

FLT (força, comprimento, tempo): massa é dimensão secundária

→ A relação funcional entre os parâmetros adimensionais independentes π, deve serobtida experimentalmente.

→ Os n-m parâmetros π obtidos segundo esse procedimento são independentes. Um

parâmetro π não é independente se ele puder ser formado por um produto ouquociente dos outros parâmetros do problema.

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DETERMINAÇÃO DOS GRUPOS ππππ

Segundo FOX

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Sobre a escolha das variáveis (MUNSON):

Obs.: a escolha das variáveis repetentes deve, de preferência, tambémcontemplar os seguintes aspectos:

• variáveis mensuráveis,• que sejam bons parâmetros de projeto• quando combinadas contêm todas as dimensões M, L e T.

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(Munson)GRUPOS ADIMENSIONAIS USUAIS NA MECÂNICA DOS FLUIDOS

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Número de Reynolds (Re): Reynolds (1842-1912) demonstrou pela primeira vezque a combinação de variáveis poderia ser usada como um critério para a distinçãoentre escoamento laminar e turbulento.

→ Re será importante quando as forças envolvidas (inerciais e viscosas) foremrelevantes no escoamento em estudo. Se Re <<1 (creeping flow) as forças viscosas são

dominantes e é possível desprezar os efeitos de inércia. Nesses casos, a massaespecífica do fluido não será uma variável importante. Se Re for muito alto, efeitosviscosos pequenos em relação aos efeitos de inércia (pode-se desprezar os efeitos daviscosidade: escoamento invíscido).

Número de Froude (Fr): único grupo da tabela que envolve a aceleração dagravidade.

onde L é o comprimento característico. Fr é importante na maioria dos escoamentosque apresentam superfície livre. É usado para determinar a resistência de um objetoparcialmente submerso movendo-se através da água e permite a comparação de objetosde diferentes tamanhos. O escoamento de água ao redor de um navio (com a ação dasondas resultantes do movimento do navio) e os que ocorrem nos rios e canais abertossão bons exemplos.

viscosasforçasinérciadeforçasDvRe =

µ

ρ=

nais)gravitacio(forçasfluidodopeso

corpodoinérciadeforças

gL

gL

vFrou

gL

vFr

222 =

ρ

ρ===

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Número de Euler (Eu): dados de pressão na forma adimensional.

Também chamado de coeficiente de pressão, Cp.

No estudo dos fenômenos de cavitação a diferença de pressão, ∆p, é tomada como ∆p = p –pv, onde p é a pressão na corrente livre (pressão de referência) e pv é a pressão de vapor do

fluido na temperatura do escoamento:

- quanto menor o número de cavitação (Ca), maior a probabilidade de ocorrer cavitação.Esse fenômeno é (normalmente) indesejável.

Número de Cauchy e Mach: quando a compressibilidade do fluido é significativa.

c = velocidade do som e E ν = módulo de elasticidade

Quando Ma < 0,3 as forças de inércia presentes no escoamento não são suficientementegrandes para causar uma variação significativa na massa específica do fluido e nesses casosos efeitos de compressibilidade podem ser desprezados. O número de Mach é mais usado

do que o de Cauchy na análise de escoamentos compressíveis (particularmente, nadinâmica dos gases e na aerodinâmica).

inérciadeforças

pressãodeforças 

v

pEuou

v

pEu

22=

ρ

∆=

ρ

=

 vppCa2

v

ρ

−=

c

v Ma e 

ilidadecompressibdeforças

inerciaisforças

E

vCa

2

==ρ

= ν

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Número de Strouhal: é um parâmetro adimensional importante nos problemastransitórios (aceleração local) que apresentam oscilações com freqüência w.

(aceleração local/aceleração convectiva)

Escoamento tipo transitório pode ser desenvolvido quando um fluido escoa em tornode um corpo colocado em um escoamento. O número de Strouhal mede a freqüênciade formação dos vórtices de Von Karmann na esteira do corpo.

Ex.: um escoamento transitório se forma na região traseira de um cilindro colocadonum escoamento uniforme. Esse escoamento oscilatório apresenta uma freqüência ω.

Nesse caso, o número de Strouhal pode ser bem correlacionado com o Re.

SEMELHANÇA DE ESCOAMENTOS E ESTUDOS DE MODELOS

• Modelos: muito usados na mecânica dos fluidos→ maior parte dos projetos de engenharia envolvem estruturas, aviões, navios,portos, barragens, emissões em ar e água, etc. frequentemente utilizam modelos.

→ vamos nos restringir a modelos físicos → parecem com o protótipo (sistema

real) mas apresentam tamanho diferente, podem estar envolvidos por fluidosdiferentes e sempre operam sob condições diferentes: pressão, velocidade, etc.

 escoam.noptoaptoevelocidaddevariaçãoàdevidasinérciadeforças

escoamentodoiedadetransitoràdevidasinérciadeforças vlSt =ω=

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A solução do escoamento de fluidos em torno de corpos rombudos é muitoimportante para a engenharia devido às suas aplicações em situações reais comorisers de plataformas de petróleo e pilares de pontes. O escoamento que apresente

número de Reynolds superior a 45 induz o aparecimento de vórtices logo após ocorpo bojudo, formando a esteira de vórtices de von Karmann. O corpo fica entãosujeito a forças dinâmicas fazendo com que o mesmo vibre com freqüênciasassociadas às freqüências com que se desprendem os vórtices. Outro exemplo é oconjunto de redemoinhos que objetos como barcos deixam para trás, no mar.

Conforme o barco se move, ele divide a água em dois. E quando ela se reúnenovamente, cria esse padrão de vórtices.O fenômeno também atinge o projeto de prédios altos, chaminés e periscópios desubmarinos, por exemplo, que têm que lidar com o fenômeno. Conforme essaforça chega, as estruturas vibram fortemente.

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•Teste de modelo: deve resultar em dados que possam, por mudança de escala,fornecer forças, momentos, cargas dinâmicas, etc.

• Modelo: normalmente menor que o protótipo (menos custoso construir e operar).Mas, o protótipo pode tb ser muito pequeno (uso de modelo maior).

•Com o desenvolvimento de um modelo adequado é possível predizer, sob certas

condições, o comportamento do protótipo.

•Que condições devem ser atendidas para assegurar a semelhança entre osescoamentos de modelo e de protótipo?

→modelo e protótipo devem ser geometricamente semelhantes → ambos têm amesma forma e as dimensões lineares do modelo são relacionadas com ascorrespondentes dimensões do protótipo por um fator de escala constante

→ protótipo e modelo devem ser cinematicamente semelhantes: apresentam omesmo regime de escoamento. Como as fronteiras sólidas formam as linhas decorrente de contorno do sólido, escoamentos cinematicamente semelhantesdevem ser também geometricamente semelhantes.

→ protótipo e modelo devem ser dinamicamente semelhantes: ambos apresentama mesma distribuição de forças. Todas as forças devem ser relacionadas pelo

mesmo fator de escala.

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TEORIA DOS MODELOS

• pode ser desenvolvida a partir da análise dimensional: qualquer problema pode serdescrito em função de um conjunto de termos π

• formulação do problema: conhecimento da natureza geral do fenômeno físico e dasvariáveis relevantes do fenômeno

assim, - para o protótipo: π1

= f(π2, π

3, .... π

n)

- para o modelo (m): π1,m = f(π2,m, π3,m, .... πn,m)

nesse caso, a forma da função será a mesma desde que os fenômenos envolvidos noprotótipo e no modelo sejam os mesmos.

• Uma igualdade dos grupos adimensionais para protótipo e modelo define a relaçãoentre as variáveis, já que a função f é a mesma entre eles:

π1,m = π1 π2,m = π2 π3,m = π3 ......

 Exemplo: Considere o problema de arraste sobre uma esfera: F = f (D, v, ρ, µ)

Pelo teorema π de Buckingham obteve-se:

 

 

 

 =

 µ 

 ρ 

 ρ 

vD 

v

F

122f 

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protótipo

22

modelo

22 v

v

  

 =

 

  

 

D D  ρ  ρ 

22p

p

22m

m

v

v

F

p p m m  D D  ρ  ρ 

=2

m

p

2

m

p

mP

D

D

v

vFF

 

 

 

 

 

 

 

 =

 ρ 

 ρ 

 µ 

 ρ 

 µ 

 ρ  ppmmDv

 Dv

=  D

D

v

v

p

m

m

p

 µ 

 µ 

 ρ 

 ρ =

2

m

p

2

p

mmP

D

D

D

DFF

 

  

 

 

 

 

 =

 µ 

 µ 

 ρ 

 ρ 

 ρ 

 ρ 

2

mP FF  

  

 =

 µ 

 µ 

 ρ 

 ρ 

Pela teoria dos modelos:

Remodelo = Reprotótipo

Assim,

e

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SEMELHANÇA BASEADA NAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

→ Análise dimensional: requer apenas o conhecimento das variáveis que influenciamo fenômeno que se deseja analisar.

→ Omissão de uma ou mais variáveis: pode provocar erros sérios de projeto

→ Abordagem alternativa: analisar equações que descrevem o fenômeno desde que

conhecidas (normalmente essas equações são diferenciais).→ Nesse caso: é possível desenvolver as leis de semelhança a partir das equações quedescrevem o fenômeno (mesmo sabendo que pode ser impossível obter uma soluçãoanalítica das equações).

→ Para ilustrar essa possibilidade: considere o escoamento bidimensionalincompressível de um fluido Newtoniano com viscosidade constante. As equaçõesque regem esse fenômeno são:

o Equação da continuidade: (1)

o Equações de Navier-Stokes:(2)

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→ Equações de difícil solução para a maioria dos escoamentos. A equação (1) temdimensão de (tempo)-1 e as equações (2) tem dimensões de força/volume.

→ Transformando as equações acima em equações adimensionais:

o Eq. (1): dividir todos os comprimentos por um comprimento de referência L

o Eq. (2): dividir todas as velocidades por uma velocidade de referência v∞

(normalmente adota-se a velocidade da corrente livre).o dividir a pressão por duas vezes a pressão dinâmica da corrente livre.

o denotar por asterístico as variáveis adimensionais:

o exemplos de procedimentos de adimensionalização:

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o seguindo esse procedimentos, as equações (1) e (2) ficam:

L / v∞ L / v2∞ρo dividindo a primeira equação por e as duas seguintes por

0*y

*v

*x

*u=

∂+

 

 

 

 

∂+

ρ

µ+

∂−=

∂+

∞2

2

2

2

*y

*u

*x

*u

Lv*x

*P

*y

*u*v

*x

*u*u

 

  

 

∂+

ρ

µ+

∂−−=

∂+

∞∞2

2

2

2

2 *y

*v

*x

*v

Lv*y

*P

v

gL

*y

*v*v

*x

*v*u

o analisando essas equações observa-se que aparecem coeficientes

adimensionais nas equações de N-S:→ - identificado como o inverso do nº de Reynolds → em frente ao

termo associado a forças viscosas

→ - no termo da força da gravidade (associado ao nº de Froude)

Lv 

∞ρ

µ

 

v

gL2

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o Lembrando: a forma matemática da solução das equações é muito sensível aosvalores dos coeficientes das equações (por ex., certas equações diferenciaisparciais podem ser elípticas, parabólicas ou hiperbólicas, dependendo dos

valores dos coeficientes).o Com base nas equações obtidas: a solução (configuração real do escoamento)depende de 2 coeficientes → por ex.: se Re for muito grande ( µ /(ρv∞D) muitopequeno) as diferenciais de segunda ordem podem ser desconsideradas (pelo

menos na maior parte do escoamento, pois sempre haverá uma camada limiteonde os efeitos viscosos serão importantes) e caímos nas equações de Euler.

o Obs.: muito cuidado em desconsiderar derivadas de ordem superior mesmo queseus coeficientes sejam pequenos, pois isso significa a perda de uma condição decontorno (especialmente a condição de não escorregamento)

ser grande ou pequeno permite prever se as forças da gravidade serãosignificativas ou não, respectivamente.

o A escrita das equações na forma adimensional pode auxiliar na compreensão dofenômeno físico e na identificação das forças dominantes.

o Para que dois escoamentos sejam geometricamente semelhantes, mas em escalasdiferentes (por ex., um modelo e um protótipo) as equações somente levam a ummesmo resultado matemático se os dois escoamentos tiverem os mesmos coeficientes,ou seja, apresentarem a mesma importância relativa da gravidade, viscosidade e das

forças de inércia.

 v

gL2