1

Teoria de Semelhança e Modelos Reduzidos

Análise Dimensional

G. Silva - DEC/FCT/UNL

2

. Revisão de conceitos da Física

. Grandezas caracterizadoras de fenómenos físicos

(velocidade, aceleração, pressão, força, atrito)

. Caracterização dimensional

La Mb Tc

. Validade de leis físicas versus sistemas de unidades

h= Nº. Alunos x 0.085

(h em metros)

i.e. valor numérico de grandezas depende de escala de medida de sistema de unidades

Relações funcionais que representem leis físicas têm que ser dimensionalmente homogéneas

3

Fórmulas Dimensionalmente Incorrectas

SedimentologiaFórmulas de Transporte Sólido

Dynamique Fluviale, J. C. Lebreton, Eyrolles

4

Qualquer grandeza secundária pode exprimir-se atravésde um produto de potências das grandezas primárias.

# Quer relacionar-se o espaço z percorrido na queda de umobjecto de massa m, com o tempo t consumido. Pode admitir-se que as quantidades envolvidas são (m, t, g, z)

• cba tmgz α=

• [ ] [ ] cba2 TMTLL −=

• 2gtz

b0ca20

a1α=∴

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+−=

=

i.e. z é proporcional a gt2 sem intervenção de m.

Passos associados à análise dimensional

1. Definir que variáveis devem integrar o modelo

para representar o fenómeno.

2. Definir as quantidades primárias.

3. Exprimir, dimensionalmente, cada uma das

restantes quantidades em termos das quantidades

primárias.

Bridgman

5

( ) ( )2p m

H Area Areah

λ = ⇒ = λ

( )( )( ) ( )

( ) ( )2

pp m

m

p m

AreaForça Força ForçaArea Area

Força Força

⎡ ⎤σ = ⇒ =⎢ ⎥⎣ ⎦

= λ

- Se a escala transversal for diferente de λ, é essa escalatransversal que deve ser considerada para converteras forças e garantir iguais tensões.

- Não.

1. Se quiser mudar as dimensões da barra, à escala h/H, o que fazer com as forças, para gerar iguais tensões?

2. E se quiser usar escala transversal diferente, ao distorcer coluna, haverá outras consequências?

Porém, se se pretendesse estudar encurvadura, a distorção interviria:

P

P

HQ

Q

h

4

transversal2Euler 2p

longitudinal

2

forças transversalp m

2p

I(P ) EEuler H

λ⎧⎧ ⎛ ⎞ λ == απ ⎜ ⎟ ⎪⎪ λ⎝ ⎠ ⇒⎨ ⎨⎪ ⎪ λ = λσ = σ⎩ ⎩

6

Teorema de Buckingham ou dos Pis

É condição necessária e suficiente para que haja

homogeneidade dimensional que a relação entre as

variáveis caracterizadoras de um fenómeno se possa

escrever sob a forma de expressão que dependa apenas

de números adimensionais.

Existindo n grandezas físicas a considerar, sendo p as

grandezas ou quantidades primárias, então pode achar-se

( ) 0...,,,F pn21 =ΠΠΠ −

ou

( )pn321 ...,,,f −ΠΠΠ=Π

Um enunciado mais dirigido a aplicações apresenta-se a seguir

Buckingham, E. On physically similar systems; illustrations of the useof dimensional equations. Phys. Rev. 4, 345-376 (1914).

Buckingham, E. The principle of similitude. Nature 96, 396-397 (1915). Buckingham, E. Model experiments and the forms of empirical equations

Trans. A.S.M.E. 37, 263-296 (1915).

7

Dh05.0T n=

hn= altura de prédio em pés;

D = dimensão paralela à direcção de aplicação de força em pés;

T período fundamental estimado, em segundos

Fórmula UBC Período fundamental de Edifício

Fórmulas Dimensionalmente Incorrectas

Fórmula de Manning (1889)

V = C R 2/3 S1/2(Velocidade, raio hidráulico, declive)

8

Enunciado 2

• Teorema dos PisSe a equação f(q1,q2,...,qn)=0 for a única

relação entre q1,q2,...,qn e se for válidaquaisquer que sejam as unidades em que sãomedidas aquelas quantidades, então existe

f(Π1, Π2,..., Πm)=0

em que Π1, Π2,...,Πn são produtos adimensionaisdos q's.

Se k for o número mínimo de quantidadesprimárias necessárias para exprimir as dimensões dos q's, então é

n-m=k

Langhaar, Dimensional Analysis and the Theory of Models, Wiley, 1951, acrescenta que o número de Π's (independentes) é igual à diferença entre o número total de variáveis e a característica da matriz dimensional.

9

PROPRIEDADE

Montando a matriz dimensional, o teorema implica que o

número de Π’s independentes é igual à diferença entre

o número total de variáveis e a característica dessa

matriz.

Exemplo #1O escoamento de certos fluidos a partir de um reservatório depende de p= pressão, v= velocidade, l= característica geométrica longitudinal do contentor, λ= característica geométrica transversal, η= característica geométrica das irregularidades da parede, ρ = massa volúmica do fluido, μ= viscosidade dinâmica,σ= coeficiente de tensão superficial, e= coeficiente de compressibilidade volumétrica

10 grandezas : três da dinâmica do escoamento:p, v, g;três da geometria: l, λ e η; e quatro do fluido:ρ, μ, σ, ε

3 quantidades primárias; portanto, 7 grandezas adimensionais e independentes

10

221000021211110000010113111111

−−−−−−

−−−−

TML

lgvp σεμρλη

Matriz Dimensional

pC1 vC2 lC 3λC 4 ηC5 ρC6 μC 7 σC8 εC9 gC10 = cons tan te

pC1 vC2 gC3 iC4 ηC5 λC6 ρC 7 μC8 εC9 σC10 = constan te

L−C1 + C2 + C3 + C4 + C5 + C6 − 3C7 − C8 −C 9 . MC1 +C7 +C8 + C9 +C10 .

. T−2C1 −C 2 − 2C3 −C 8 −2C 9 −2C10 = L0M0T0

−1 1 1 1 1 1 −3 −1 −1 01 0 0 0 0 0 1 1 1 1−2 −1 −2 0 0 0 0 −1 −2 −2

C1

C2

C3

C4

C5

C6

C7

C8

C9

C10

=000

11

Escolhendo por exemplo C2, C3 e C8como independentes, com menor ≠0

1 1 −10 0 1−1 −2 −1

C2

C3

C8

= −

−C1 + C4 + C5 + C6 − 3C7 − C9C1 + C7 + C9 + C10−2C1 − 2C9 − 2C10

Π1 = pρv2 , Π2 = λ

l, Π3 = η

l, Π4 = μ

ρvl

Π5 = σρvl2 , Π6 = ε

ρv2 , Π7 = glv2

f(p

ρv2 ,λl

,ηl

,μ

ρvl,

σρvl2 ,

ερv2 ,

glv2 ) = 0

i.e.

ou

pρv2 = Φ(

λl

,ηl

μρvl

,σ

ρvl2 ,ε

ρv2 ,glv2 )

12

F=ghv

ρvlm

= R

σρvl2 ⇒

σρvh2 =W

Froude

Reynolds

Weber

corresponde ao quociente das forças de inércia

pelas de gravidade

[ρ dx dy dz (dv/dt)] : [ρ g dx dy dz], com dz/dt=v.

Por isso, se o número de Froude for alto é um índice

revela maior importância relativa das forças de inércia

F =

vgl

13

Se se usar no modelo o mesmo material, como o volume diminui proporcionalmente a λ3 , as forças volúmicas também assim diminuem.

Resulta que as tensões associadas a essas forças, porque as áreas apenas são divididas pelo quadrado de λ, são diminuidas no modelo àescala geométrica.

lm

t m lm

=lp

t p lp

lm

l p

=tm

tp

λgeom[ ]1 / 2= λtempo[ ]

F =

vgl

λ geom

Semelhança de Froude e resistência mecânica

Em modelo construido para satisfazer a semelhança de Froude, e.g. em casos de estudo de estabilidadede quebramares, a preservação de

implica

14

ρmvmlm

μm

=ρpvplp

μp

vm

gmhm

=vp

gphp

⎧

⎨ ⎪ ⎪

⎩ ⎪ ⎪

vm

vp

=lp

lm

vm

hm

=vp

hp

⎧

⎨ ⎪ ⎪

⎩ ⎪ ⎪

vm

vp

=lp

lm

vm

vp

= hm

hp

⎧

⎨ ⎪ ⎪

⎩ ⎪ ⎪

λv[ ]=1/λgeom

λv[ ]= λgeom

⎧ ⎨ ⎩

Satisfação simultânea de semelhança de Froude e de Reynolds?

Impossível !

Para escoamentos turbulentos, no modelo e no protótipo,

se os números de Reynolds estiverem acima da zona de

transição de escoamento laminar para turbulento,

ainda que diferentes, a semelhança é satisfatória (Teoria da Semelhança", V. F. Mota, ed. URGS).

15

Considerandos sobre Froude e Reynolds

16

17

Reading – Ocean Engineering- MIT Free Ware

18

19

Ver página da cadeira!

20