AL_CAP_04

INTRODUO AO ESTUDO DA LGEBRA LINERAR Luiz Francisco da Cruz Departamento de Matemtica Unesp/Bauru

CAPTULO 4

BASE E DIMENSO

1 Introduo

Em muitas aplicaes, no interessante trabalhar com um espao vetorial inteiro, mas com

uma parte deste espao, ou seja, um subespao, que seja constitudo pelas combinaes

lineares de um dado conjunto de vetores. Ser, ento, conveniente, escrever os elementos

desse subespao como combinaes lineares de um conjunto que contenha o menor nmero

possvel de vetores e que estes sejam escritos de forma simplificada. Este captulo tratar

desse assunto.

2 Base

Definio: Uma base de um espao vetorial V sobre um corpo K um subconjunto finito

VB , satisfazendo as condies:

a) B gera V, ou seja, o subespao gerado por B igual a V.

b) B LI.

Exemplos:

1) Verificar se o conjunto ( ) ( ) ( ){ }211210321 ,,,,,,,,B = uma base do espao vetorial real 3 . preciso mostrar que so satisfeitas as duas condies da definio.

(a) Seja ( )z,y,xv = um vetor genrico do 3 . Mostrar-se- que esse vetor se escreve como

combinao linear dos vetores de B. Para isso, escreve-se a combinao linear:

( ) ( ) ( ) ( )211210321 ,,c,,b,,az,y,xv ++==

e mostra-se que possvel encontrar os escalares a, b e c que tornam a equao verdadeira.

Tem-se:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )cba,cba,cac,c,cb,b,a,a,az,y,x 223222032 ++++=++= .

Da igualdade de vetores, vem:

=++

=+

=+

zcba

ycba

xca

2232 ;

Resolve-se esse sistema, com o objetivo de se determinar os escalares a, b e c, obtendo-se:


+=

+=

+=

52

537

524

zyxc

zyxb

zyxa

.

Observa-se, assim, que o sistema tem soluo, isto , para cada vetor ( )z,y,x do 3 , tem-se

um valor para a, b e c, ou seja, todo vetor do 3 pode ser escrito como combinao linear dos

vetores do B. Logo, B gera o 3 .

(b) Mostrar-se- que os vetores de B so LI. Para isso, escreve-se a equao:

( ) ( ) ( ) ( )000211210321 ,,,,c,,b,,a =++ , de onde vem que:

( ) ( )0002232 ,,cba,cba,ca =++++ . Portanto:

=++

=+

=+

022302

0

cba

cba

ca

.

A resoluo desse sistema, por qualquer mtodo, leva soluo trivial: 0=== cba ,

mostrando que os vetores so LI.

De (a) e (b), conclui-se que o conjunto B uma base do 3 .

Observe-se que esses vetores no so coplanares (isto , no pertencem a um mesmo plano),

pois, resolvendo-se o determinante de 3 ordem, cujas linhas so constitudas pelas

coordenadas dos trs vetores, tem-se:

( ) ( ) 5023042211210321

=+++=

.

Sendo o determinante diferente de zero, conclui-se, por resultado da Geometria Analtica, que

os vetores no so coplanares. Verificou-se, assim, que os vetores de B so LI e no so

coplanares.

Esse resultado pode ser generalizado: trs vetores no coplanares do 3 so LI.

2) Verificar se o conjunto { }222 tt,ttB ++= uma base do espao vetorial real ( )2P , com as operaes usuais de adio de polinmios e multiplicao por escalar.

Verificar-se-, neste exemplo, que, embora os vetores (que, aqui, so polinmios de grau

menor ou igual a 2, com coeficientes reais) sejam LI, eles no geram o espao ( )2P .

De fato, escrevendo-se a equao:

( ) ( ) 222 0002 ttttbtta ++=+++ , vem:

( ) ( ) 22 0002 tttbatbaa ++=++++ .


Da igualdade de polinmios, obtm-se o sistema:

=+

=+

=

00

02

ba

ba

a

,

que admite apenas a soluo trivial 0== ba , Logo, o conjunto B LI.

Para verificar se o conjunto B gera o espao ( )2P , preciso verificar se todo elemento desse

espao combinao linear dos elementos de B. Toma-se, assim, um elemento genrico

2210 tataa ++ de ( )2P e escreve-se a equao:

( ) ( )222210 2 tttttataa +++=++ ; O objetivo verificar se possvel encontrar os escalares e que tornem essa equao

verdadeira. Tem-se:

( ) ( ) 22210 2 tttataa ++++=++ ,

de onde segue-se que:

( ) ( ) 22210 2 tttataa ++++=++

e, portanto,

+=

+=

=

2

1

0 2

a

a

a

.

Da 1 equao, segue-se que 021

a= . Substituindo-se esse valor na 2 equao, obtm-se:

01 21

aa = . Esses valores de e substitudos na 3 equao levam ao resultado:

100102 21

21

aaaaaa +=+= .

Isso mostra que os elementos de B geram apenas os polinmios de ( )2P que satisfazem a

relao 102 aaa += , isto , o subespao vetorial gerado por B :

[ ] ( ){ }10222210 aaa/PtataaB +=++= , que est contido em ( )2P , ou seja, B gera apenas uma parte de ( )2P .

Por exemplo, o polinmio [ ]Btt ++ 2451 , pois 514 += , isto , est satisfeita, para os coeficientes desse polinmio, a relao 102 aaa += . Logo, esse polinmio pode ser escrito

como combinao linear dos polinmios de B:

( ) ( )22229

221

451 tttttt +++=++ .

Por outro lado, o polinmio 2751 tt ++ um elemento de ( )2P , mas no pertence a [ ]B , pois

seus coeficientes no satisfazem a relao 102 aaa += . Pode-se ver que esse polinmio no

uma combinao linear dos elementos de B, pois, escrevendo-se a equao

( ) ( )222 2751 tttttt +++=++ ,


obtm-se:

( ) ( ) 22 2751 tttt ++++=++ , da qual se segue:

+=

+=

=

75

21.

Da 1 equao, tem-se que 21

= ; substituindo-se esse valor na 2 equao, obtm-se

29

= ; entretanto, substituindo-se na 3 equao, obtm-se 215

= , ou seja, o sistema

incompatvel, mostrando que no possvel encontrar escalares e que tornem verdadeira

a equao

( ) ( )222 2751 tttttt +++=++ . Se nem todos os elementos de ( )2P podem ser escritos como combinao linear dos

elementos de B, conclui-se que esse conjunto no uma base desse espao vetorial.

Observaes:

1) Conforme se viu no Captulo 2, o vetor nulo LD. Assim, considerando-se o espao vetorial

nulo, isto , o espao vetorial que contm apenas o vetor nulo, este no possui base.

2) Todos os demais espaos vetoriais possuem infinitas bases. De todas estas infinitas bases,

uma delas considerada a mais simples e chamada de base cannica.

As bases cannicas dos principais espaos vetoriais so:

{ }1:

( ) ( ){ }1001:2 ,,,

( ) ( ) ( ){ }100010001:3 ,,,,,,,,

M

( ) ( ) ( )

44444444 344444444 21LLLL

scoordenadancomvetoresn

n ,,,,,,,,,,,, 100010001:

( )

1000

0100

0010

0001

:2 ,,,M

( ) { }nn t,,t,t,P L21:

Processo prtico para obter uma base de um subespao do n

A base ser encontrada a partir do conjunto de geradores [ ] nru,,u,uS = L21 , a partir

das seguintes propriedades:


(1) permutando-se dois dos vetores do conjunto, no se altera o espao gerado;

(2) multiplicando-se um dos vetores do conjunto por um escalar no nulo , no se altera o

subespao gerado, isto :

[ ] [ ]riri u,,u,,u,uu,,u,,u,u LLLL 2121 = ;

(3) somando-se um dos vetores do conjunto com um outro vetor do conjunto multiplicado por

um escalar no nulo , no se altera o subespao gerado, isto :

[ ] [ ]rijiri u,,uu,u,,u,uu,,u,,u,u LLLL += 2121 ( )ri 1 ; ( )rj 1 ;

(4) se ru,,u,u L21 se apresenta na forma escalonada, ou seja, se o nmero de zeros iniciais

de 2u maior do que o de 1u se, assim, sucessivamente, ento os vetores ru,,u,u L21 so

LI.

Dessa forma, o processo consiste em dispor os vetores de um sistema de geradores do espao

vetorial como linhas de uma matriz e escalon-la. As linhas no nulas da matriz resultante do

escalonamento sero vetores LI, os quais formaro a base procurada.

Exemplo: Seja W um subespao do 4 que possui o seguinte sistema de geradores:

( ) ( ) ( ) ( )[ ]6303411021010112 ,,,,,,,,,,,,,,, . Determinar uma base para W.

Constri-se uma matriz com os vetores do conjunto de geradores, considerados em uma

ordem qualquer. Aqui, colocou-se o vetor ( )2101 ,,, na primeira linha, para facilitar o escalonamento da matriz que se far a seguir:

6303411001122101

.

Escalonando-se a matriz por linhas, vem:

++

+

0000000041102101

0000411041102101

6303411001122101

324121

32

LLLLLL

Retirando-se as linhas nulas, restam os vetores ( )2101 ,,, e ( )4110 ,,, . Logo, de acordo com o processo acima, esses vetores formam uma base para W, isto , o conjunto

( ) ( ){ }41102101 = ,,,,,,,W uma base de W. De fato, os vetores so LI, pois, da equao

( ) ( ) ( )000041102101 ,,,,,,b,,,a =+ , vem:

( ) ( ) ( )00004020 ,,,b,b,b,a,a,,a =+ ,


ou seja,

( ) ( )000042 ,,,ba,ba,b,a =+ , de onde se segue que 0== ba e, portanto, os vetores so LI.

Por outro lado, considerando-se um vetor genrico ( )w,z,y,x de 4W e escrevendo-se:

( ) ( ) ( )41102101 ,,,,,,w,z,y,x += ,

vem:

( ) ( ) ( ) 4020 ,,,,,,w,z,y,x += ,

isto ,

( ) ( ) 42 += ,,,w,z,y,x .

Ento:

+=

=

=

=

42wz

y

x

.

Portanto, um vetor genrico de W tem suas coordenadas escritas em funo de e .

Atribuindo-se, aleatoriamente, valores aos escalares e , obtm-se vetores de W. Por

exemplo, se 1= e 2= , obtm-se o vetor ( )10121 ,,, , que uma combinao linear dos

vetores da base:

( ) ( ) ( )411022101110121 ,,,,,,,,, += .

Se 0= e 0= , obtm-se o vetor nulo ( )0000 ,,, ; se 2= e 21

= , obtm-se o vetor

2

25

21

2 ,,, e assim por diante. Logo, os vetores ( )2101 ,,, e ( )4110 ,,, geram W e,

portanto, o conjunto ( ) ( ){ }41102101 = ,,,,,,,W uma base de W.

Definio: Seja V um espao vetorial sobre um corpo K. Um conjunto de vetores

{ } Vv,,v,v n L21 dito LI-maximal se:

a) { }nv,,v,v L21 LI

b) { }w,v,,v,v nL21 LD, Vw

Proposio: Um conjunto de vetores { }nv,,v,v L21 base de um espao vetorial V se for LI-

maximal.

Demonstrao:

Hiptese: o conjunto { }nv,,v,v L21 LI-maximal

Tese: o conjunto { }nv,,v,v L21 base de V

Se, por hiptese, o conjunto de vetores o conjunto { }nv,,v,v L21 LI-maximal, ento, por

definio, o conjunto LI. Para mostrar que o conjunto { }nv,,v,v L21 base de V, resta


mostrar que o conjunto gera V.

De fato, tomando-se um vetor genrico Vu , tem-se que o conjunto { }u,v,,v,v nL21 LD,

pois { }nv,,v,v L21 LI-maximal. Portanto, um dos vetores uma combinao linear dos

demais vetores do conjunto. Ora, o nico vetor que pode ser escrito como combinao linear

dos demais u, j que nv,,v,v L21 so LI. Conclui-se, assim, que { }nv,,v,v L21 gera V e,

portanto, uma base de V.

3 Dimenso

Definio: Seja V um espao vetorial finitamente gerado. Denomina-se dimenso do espao

V, o nmero de vetores de qualquer uma de suas bases.

Notao: ( )Vdim

Observaes:

1) Se o nmero de vetores de uma base de um espao vetorial finito, diz-se que o espao

de dimenso finita. Neste texto, no sero estudados os espaos de dimenso infinita.

2) As dimenses dos principais espaos vetoriais so:

{ }( ) 00 =dim (aqui, { }0 representa o espao que contm apenas o vetor nulo) ( ) 1=dim

( ) 22 =dim ( ) 33 =dim M

( ) ndim n = ( )( ) nmMdim nm =

( )( ) 2nnnMdim n ==

( )( ) 1+= nPdim n

Exemplos:

1) Seja ( ){ }024 =+= tyx/t,z,y,xW . Determinar a dimenso de W. Para determinar a dimenso de W, necessrio determinar uma de suas bases. Os elementos

( )t,z,y,x de W so tais que 02 =+ tyx , isto , tyx = 2 . Logo, todo vetor de W pode ser

escrito na forma: ( )t,z,y,ty 2 , sendo y, z e t nmeros reais. Determina-se, agora, um

sistema de geradores para W; para isso, observe-se que se pode escrever:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )00010100001200022 ,,,t,,,z,,,y,,,tt,z,y,yt,z,y,ty ++=+=

Assim, o conjunto ( ) ( ) ( ){ }000101000012 ,,,,,,,,,,,S = um sistema de geradores para W. Para


determinar uma base para W, utiliza-se o processo prtico para obteno de base. Assim,

constri-se uma matriz com os vetores do conjunto de geradores:

000101000012

, ou, equivalentemente,

010000121001

.

A ordem em que os vetores so colocados nas linhas da matriz no interfere, obviamente, no

resultado.

Escalonando-se a matriz por linhas, vem:

+

010020101001

010000121001

212 LL .

Observe-se que a matriz est escalonada e no apresenta nenhuma linha nula. Logo, os

vetores so LI e constituem uma base de W, ou seja, S base de W. Portanto, ( ) 3=Wdim .

Observao: Um erro muito comum que se comete confundir a quantidade de coordenadas

de um vetor, com a quantidade de vetores de uma base. No exemplo anterior, a base de W

constituda de 3 vetores quadri-dimensionais, isto , com 4 coordenadas, mas ( ) 3=Wdim , que o nmero de vetores LI que constituem a base.

2) Determinar a dimenso de [ ]323232 621221 ttt,tt,ttt,tU +++= . Observe-se que U um subconjunto de ( )3P , que o conjunto dos polinmios de grau menor

ou igual a 3, com coeficientes reais; U gerado pelos polinmios t21 , 322 ttt + ,

321 tt + e 3262 ttt + , que so chamados, simplesmente, de vetores. Esses vetores

podem ser escritos na forma:

32 002121 tttt ++= ;

3232 202 tttttt ++=+ ;

3232 011 ttttt ++=+ ;

3262 ttt + .

Assim, os coeficientes dos polinmios podem ser associados, respectivamente, aos vetores:

( )0021 ,,, , ( )1120 ,,, , ( )1101 ,,, e ( )1162 ,,, . Para determinar uma base de U, constri-se uma matriz com os coeficientes dos polinmios

que o geram, ou seja, com os vetores associados aos polinmios:

1162110111200021

.

A seguir, escalona-se a matriz por linha:


++

++

0000000011200021

1120112011200021

1162110111200021

4232

4131

2 LLLL

LLLL

.

Observa-se, assim, que restaram apenas duas linhas no nulas na matriz escalonada e,

portanto, h apenas dois vetores LI no conjunto de geradores, os quais constituem uma base

para U: ( )0021 ,,, , ( )1120 ,,, . Logo, os polinmios associados a eles t21 e 322 ttt + so os elementos da base de U, isto ,

{ }32221 tt,tB += base de U e, portanto, ( ) 2=Udim .

3) Determinar uma base e a dimenso para o espao das solues do sistema linear

( )

=

=++

=

0020

tz

tyx

tzyx

:L

Sendo o sistema homogneo, ele admite pelo menos a soluo trivial, isto , tem-se a soluo

( )0000 ,,, . Para determinar se essa a nica soluo ou se h mais de uma soluo (neste caso, sero infinitas), resolve-se o sistema. Utilizar-se-, para tal finalidade, o mtodo de

Gauss, ou seja, o mtodo do escalonamento, trabalhando apenas com a matriz dos

coeficientes; sendo o sistema homogneo, no necessrio acrescentar a coluna dos termos

independentes. Tem-se:

+

110032301111

110010121111

212 LL .

Observe-se que a matriz j est escalonada e, assim, o sistema obtido, equivalente ao sistema

dado, :

( )

=

=++

=

003230

tz

tzy

tzyx

:L .

Da 3 equao, segue-se que tz = ; substituindo na 2 equao, obtm-se:

ty35

= .

Substituindo-se esses valores de z e y na 1 equao, vem:

txtttx31

035

==+ .

Assim, as solues do sistema podem ser colocadas na forma:

( )

==== t,tz,ty,tx/t,z,y,xS35

31

,

ou, equivalentemente,

( ){ }==== x,xt,xz,xy/t,z,y,xS 335 .


Observe-se que o conjunto S das solues do sistema ( )L um subconjunto do espao vetorial

real 4 , que pode ser escrito, ainda, na forma:

( ){ }= x,x,x,x,xS 335 ;

Assim, um elemento genrico de S da forma ( )x,x,x,x 335 , ou seja: ( ) ( )3351335 ,,,xx,x,x,x = , o que indica que S gerado pelo vetor ( )3351 ,,, . Logo, conjunto ( ){ }3351 ,,,B = uma base de S e, portanto, ( ) 1=Sdim .

Teorema da Invarincia: Seja V um espao vetorial de dimenso finita. Ento, todas as

bases de V tm o mesmo nmero de vetores.

Demonstrao:

Hiptese: V um espao vetorial de dimenso finita

Tese: duas bases quaisquer de V tm o mesmo nmero (finito) de elementos

Sejam { }nv,,v,vB L21= e { }mu,,u,uB L21= bases do espao vetorial V, o qual, por

hiptese, tem dimenso finita.

Sendo B uma base, segue-se que B gera V; como B LI, conclui-se, pela proposio anterior,

que nm .

Por outro lado, B base e, portanto, gera V; uma vez que B LI, conclui-se, pela mesma

proposio, que mn .

Logo, nm = , ou seja, as bases de V tm o mesmo nmero de vetores.

Lema: Sejam V um espao vetorial de dimenso finita e S um subconjunto LI de V. Se v um

vetor de V que no est no subespao gerado por S, ento o conjunto obtido acrescentando-se

v a S LI.

Demonstrao:

Hipteses: V um espao vetorial de dimenso finita; S um subconjunto LI de V; Vv no

pertence ao subespao gerado por S

Tese: o conjunto obtido acrescentando-se v a S LI

Sejam nv,,v,v L21 vetores distintos de S; se 02211 =++++ bvva...vava nn , deve-se ter,

necessariamente 0=b , pois, caso contrrio, escrever-se-ia:

nn vb

a...v

b

av

b

av

++

+

= 2

21

1 ;

e concluir-se-ia que v pertenceria ao subespao gerado por S, contrariando a hiptese. Sendo

0=b , tem-se:

02211 =+++ nnva...vava

e, como S LI, segue-se que 021 ==== naaa L , isto , o conjunto { }v,v,,v,v nL21 LI.

Teorema do Completamento: Seja V um espao vetorial de dimenso finita n. Se

{ } Vu,,u,u r L21 um conjunto LI com r vetores, sendo nr < , ento, existem ( )rn


vetores nrr u,,u,u L21 ++ em V tais que { }nrrr u,,u,u,u,,u,u LL 2121 ++ uma base de V.

Este teorema pode ser enunciado, de forma equivalente, da seguinte maneira:

Teorema do Completamento: Qualquer conjunto de vetores LI de um espao vetorial V de

dimenso finita pode ser completado de modo a formar uma base de V.

Demonstrao:

Hipteses: V um espao vetorial de dimenso finita n; { } Vu,,u,u r L21 um conjunto LI

com r vetores, sendo nr <

Tese: existem nrr u,,u,u L21 ++ em V tais que { }nrrr u,,u,u,u,,u,u LL 2121 ++ uma base

de V

Se a dimenso de V n, ento toda base B de V tem n vetores LI, ou seja, B LI-maximal, e

qualquer conjunto com 1+n vetores LD. Seja { }ru,,u,uS L210 = um subconjunto LI de V,

com nr < . Pelo lema anterior, existem, no mximo, rn vetores nrr u,,u,u L21 ++ tais que

o conjunto { }nrrr u,,u,u,u,,u,uS LL 2121 ++= LI e SS 0 . Logo, S um conjunto LI-

maximal e, portanto, S base de V, a qual foi completada a partir de 0S .

Tm-se, ainda, os resultados seguintes:

Teorema: Seja V um espao vetorial tal que ( ) nVdim = . Ento: (a) qualquer conjunto com 1+n ou mais vetores LD;

(b) qualquer conjunto LI com n vetores base de V.

Demonstrao:

(a) Hipteses: ( ) nVdim =

Tese: qualquer conjunto com 1+n ou mais vetores LD

Seja { }nv,,v,vB L21= uma base de V. Suponha-se que o conjunto { }u,v,,v,v'B nL21= seja

LI. Mostrar-se- que B' gera V, isto , que todo elemento Vv combinao linear dos

vetores de B'. De fato, como B uma base de V, ento o vetor v uma combinao linear dos

elementos da base, isto , existem escalares na,,a,a L21 tais que

nnvavavav +++= L2211 .

Pode-se escrever:

uvavavav nn ++++= 02211 L ,

ou seja, v combinao linear dos vetores de B', de onde se conclui que B' gera V. Por outro

lado, se B' LI e gera V, ento B' base de V e, portanto, pode-se concluir que ( ) 1+= nVdim , o que contraria a hiptese. Portanto, B' no pode ser LI, isto , B' LD.


(b) Hipteses: ( ) nVdim =

Tese: qualquer conjunto LI com n vetores base de V

Seja { }nu,u,u'B L21= um conjunto LI do espao vetorial V e Suponha-se que B' no gera V.

Ento Vv tal que v no combinao linear dos elementos de B'. Considere-se, agora,

{ }v,u,,u,uB nL21= . Pelo lema demonstrado anteriormente, segue-se que B LI, o que

contraria o item (a). Logo, B' gera V e, portanto, base de V.

Proposio: Seja VW um subespao de V. Se ( ) ( )VdimWdim = ento VW = . Demonstrao:

Hipteses: VW um subespao de V; ( ) ( )VdimWdim =

Tese: VW =

Suponha-se que ( ) ( ) nVdimWdim == e que { }nv,,v,vB L21= seja uma base de W. Como

VW , ento B tambm base de V. Logo, [ ] VWB == e, portanto, VW = .

Proposio: Seja { }nv,,v,vB L21= uma das bases de um espao vetorial V. Ento, todo

elemento de V se escreve de maneira nica como combinao linear dos vetores da base B.

Demonstrao:

Hipteses: { }nv,,v,vB L21= base de V

Tese: todo elemento de V se escreve de maneira nica como combinao linear dos vetores de

B

Seja Vv ; ento, v se escreve como combinao linear dos vetores da base B, ou seja,

existem escalares na,,a,a L21 tais que nnvavavav +++= L2211 .

Suponha-se que v possa ser escrito como outra combinao linear dos vetores de B, isto ,

suponha-se que existam escalares nb,,b,b L21 tais que nnvbvbvbv +++= L2211 .

Ento, tem-se:

nnnn vbvbvbvavava +++=+++ LL 22112211 ,

isto ,

022112211 =+++ nnnn vbvbvbvavava LL ,

ou, ainda,

( ) ( ) ( ) 0222111 =+++ nnn vbavbavba L

Como { }nv,,v,vB L21= LI, conclui-se que:

( )niba ii = 10 ,

isto ,

( )niba ii = 1


Portanto, a combinao linear nica.

Exemplo: Considere-se a seguinte base do 2 : ( ) ( ){ }1132 21 ,v,,vB === ; ento, todo vetor

do 2 gerado pelos vetores de B, isto , todo vetor do 2 uma combinao linear dos

vetores de B.

Tomando-se, por exemplo, o vetor ( )52,u = , este se escreve como combinao linear dos vetores da base B. Para encontrar essa combinao linear, basta que se escreva a equao:

( ) ( ) ( )113252 ,b,a, += e se determinem os valores de a e b. Tem-se:

( ) ( ) ( ) ( )ba,bab,ba,a, ++=+= 323252 , de onde se segue que:

=+

=+

5322

ba

ba.

A soluo desse sistema linear : 3=a e 4=b . Portanto, pode-se escrever:

( ) ( ) ( )113252 ,b,a, += , ou seja, 21 43 vvu = .

Supondo-se que o vetor u admita uma outra combinao linear, diferente desta, por exemplo,

21 vvu += , vem:

2121 43 vvvvu +== ,

ou seja,

043 2121 =++ vvvv ,

ou, ainda,

( ) ( ) 043 21 =++ vv .

Sendo os vetores LI, essa equao s se verifica se 03 = e 04 =+ , ou seja, se

3= e 4= , o que mostra que a combinao linear nica.

Teorema: Sejam U e W subespaos de um espao vetorial V. Ento:

( ) ( ) ( ) ( )WUdimWdimUdimWUdim +=+ . Demonstrao:

Hiptese: U e W so subespaos de um espao vetorial V

Tese: ( ) ( ) ( ) ( )WUdimWdimUdimWUdim +=+ Seja { }rWU e,,e,eB L21= uma base de WU . Sendo os vetores dessa base LI em U e em

W, ento, pelo Teorema do Completamento, existem Uu,,u,u s L21 e Ww,,w,w t L21

tais que { }srU u,,u,u,e,,e,eB LL 2121= base de U e { }trW w,,w,w,e,,e,eB LL 2121=

base de W.

Observe-se que ( ) rWUdim = , ( ) srUdim += e ( ) trWdim += . Portanto: ( ) ( ) ( ) tsrrtrsrWUdimWdimUdim ++=+++=+ (1)


Mostrar-se-, agora, que { }tsrWU w,,w,w,u,,u,u,e,,e,eB LLL 212121=+ uma base de

WU + .

claro que esse conjunto de vetores gera WU + , pois, se WUv + , ento wuv += , sendo

u escrito como combinao linear da base de U e w, como combinao linear da base de W.

Assim, [ ] WUB WU +=+ .

Os vetores de WUB + so LI.

De fato, supondo-se que existam escalares tsr c,,c,c,b,,b,b,a,,a,a LLL 212121 tais que:

0221122112211 =+++++++++++ ttssrr wcwcwcubububeaeaea LLL , (2)

pode-se escrever:

ttssrr wcwcwcubububeaeaea =+++++++ LLL 221122112211 .

Como o vetor ssrr ubububeaeaea +++++++ LL 22112211 um vetor de U e

ttwcwcwc L2211 um vetor de W, ento, pela ltima igualdade, trata-se do mesmo

vetor e, portanto, WUwcwcwc tt L2211 . Logo, existem escalares r,,, L21

tais que:

rrtt eeewcwcwc +++= LL 22112211 ,

de onde vem que

022112211 =+++++++ ttrr wcwcwceee LL .

Como { }tr w,,w,w,e,,e,e LL 2121 base de W, seus elementos so LI e, portanto, segue-se

que 02121 ======== tr ccc LL . Assim, a expresso (2) fica:

022112211 =+++++++ ssrr ubububeaeaea LL .

Lembrando que { }sr u,,u,u,e,,e,e LL 2121 base de U, o que acarreta que os vetores so

LI, segue-se que 02121 ======== sr bbbaaa LL . Conclui-se, assim, que o conjunto

{ }tsr w,,w,w,u,,u,u,e,,e,e LLL 212121 LI, o que demonstra que uma base de WU + .

Portanto,

( ) tsrWUdim ++=+ . (3) De (1) e (3), segue-se que ( ) ( ) ( ) ( )WUdimWdimUdimWUdim +=+ , o que demonstra o teorema.

Exemplos:

1) Sejam ( ){ }xy/y,xU 22 == e ( ){ }xy/y,xW == 2 , dois subespaos do 2 . Tem-se:

- os elementos de U pertencem reta xy 2= ; logo, ( ) 1=Udim ;

- os elementos de W pertencem reta xy = ; logo, ( ) 1=Wdim ;

- ( ){ }00,WU = ; logo, ( ) 0=WUdim . Ento, uma vez que ( ) ( ) ( ) ( )WUdimWdimUdimWUdim +=+ , vem:


( ) 2011 =+=+WUdim .

Por outro lado, sabe-se que ( ) 22 =dim ; assim, tem-se: ( ) 2+WU e ( ) ( ) 22 ==+ dimWUdim , de onde se conclui que 2=+WU .

2) Considerem-se os subespaos do 3 :

( ){ }023 =+= zyx/z,y,xU e ( ){ }0233 =++= zyx/z,y,xW . Determinar uma base para WU + e WU e suas respectivas dimenses. Em seguida, verificar

se WU =3 , onde indica a soma direta de U e W.

Observe-se que os elementos de U pertencem ao plano contido em 3 , de equao

02 =+ zyx ; seus pontos (ou vetores) so da forma: ( )z,y,zy 2 e, portanto, pode-se

escrever:

( ) ( ) ( )1010122 ,,z,,yz,y,zy += .

Logo, o conjunto ( ) ( ){ }101012 ,,,,,BU = uma base de U, o que indica que ( ) 2=Udim . Por

outro lado, os elementos de W pertencem ao plano contido em 3 , de equao

023 =++ zyx ; seus pontos (ou vetores) so da forma: ( )yx,y,x 23 e, portanto, pode-se

escrever:

( ) ( ) ( )21030123 += ,,y,,xyx,y,x ;

assim, o conjunto ( ) ( ){ }210301 = ,,,,,BW uma base de W, de onde se conclui que

( ) 2=Wdim . Com o objetivo de se determinar uma base para WU + , obtm-se, primeiramente, um

sistema de geradores, fazendo a unio das bases de U e W:

( ) ( ) ( ) ( ){ }210301101012 == ,,,,,,,,,,,BBS WU .

Determinam-se, agora, atravs do processo prtico de obteno de base, quais so os vetores

LI desse sistema de geradores. Os vetores do conjunto de geradores podem ser colocados em

qualquer linha da matriz, sem que haja uma ordem obrigatria. Como o objetivo escalonar a

matriz por linha, escolhe-se, para a primeira linha, o vetor cuja primeira componente 1, por

facilidade; na segunda linha, optou-se por colocar um vetor cuja primeira coordenada j

nula. Tem-se, ento:

+++

800200210301

610200210301

012101210301

424131

2 LLLLLL

+

000200210301

434 LL .


H, portanto, trs vetores LI em S e, portanto, a base de WU + :

( ) ( ) ( ){ }200210301 =+ ,,,,,,,,B WU ;

assim, ( ) 3=+WUdim .

Uma vez que ( ) 3=+WUdim , ( ) 33 =dim e 3+WU , segue-se que 3=+WU . Isso significa que o subespao determinado pela soma de U e W coincide com o espao 3 .

Obter-se-o, agora, informaes para o espao WU . Sabe-se que:

( ) ( ) ( ) ( )WUdimWdimUdimWUdim +=+ ; ento:

( )WUdim += 223 , ou seja, ( ) 1=WUdim . Portanto, a base de WU deve conter apenas um vetor, o qual deve ser comum a U e a W.

Isso significa que um vetor ( )z,y,x de WU deve ser escrito como combinao linear dos

vetores da base de U e como combinao linear dos elementos da base de W, isto :

( ) ( ) ( )101012 ,,b,,az,y,x +=

e

( ) ( ) ( )210301 += ,,,,z,y,x .

Igualando as expresses de ( )z,y,x , vem:

( ) ( ) ( ) ( )210301101012 +=+ ,,,,,,b,,a ,

isto ,

( ) ( ) 232 = ,,b,a,ba ,

de onde se segue que:

=

=

=

23

2

b

a

ba

.

Substituindo-se a 1 e a 2 equaes na 3, obtm-se:

( ) ababab 4223 ==

Considerando-se a expresso:

( ) ( ) ( )101012 ,,b,,az,y,x +=

e substituindo-se ab 4= , obtm-se:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )412421014012 ,,aa,a,a,,a,,az,y,x ==+= ;

por outro lado, considerando-se a expresso:

( ) ( ) ( )210301 += ,,,,z,y,x

e substituindo-se aaa 242 == e a= , obtm-se:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )412422103012 ,,aa,a,a,,a,,az,y,x ==+= ,

que a mesma expresso obtida anteriormente. Conclui-se, assim que os elementos de WU

so gerados pelo vetor ( )412 ,, , isto , o conjunto ( ){ }412 ,,B WU = base de WU .

Para que o espao 3 seja soma direta de U e W, devem ser satisfeitas as condies:


(a) 3WU =+

(b) ( ){ }000 ,,WU = .

A condio (a) se verifica, pois, sendo ( ) 3=+WUdim e ( ) 33 =dim e 3+WU , segue-se que 3=+WU .

A condio (b) no satisfeita, pois, se ( ){ }000 ,,WU = , ter-se-ia ( ) 0=WUdim , pois o espao que contm apenas o vetor nulo tem dimenso zero; entretanto, conforme se mostrou

acima, ( ) 1=WUdim , o que acarreta que ( ){ }000 ,,WU . Conclui-se, assim, que espao 3 no soma direta de U e W.

Tambm se pode concluir que ( ){ }000 ,,WU lembrando que a base de WU ( ){ }412 ,,B WU = , o que significa que o subespao WU constitudo pelos pontos que

pertencem reta de interseo dos planos 02 =+ zyx e 023 =++ zyx . Sua equao, na

forma simtrica, :

412zyx

==

.

A Figura 7 mostra os planos e a reta de interseo entre eles.

FIGURA 7

4 Coordenadas de um Vetor

Trabalhar-se-, no que se segue, com bases ordenadas, que so aquelas em que as posies

dos vetores esto fixadas. Assim, dada uma base qualquer { }nv,,v,vB L21= , 1v ser

sempre o primeiro vetor, 2v ser o segundo, 3v ser o terceiro e, assim por diante, nv ser o

ltimo.

Considerando-se um espao vetorial V sobre um corpo K e uma de suas bases ordenadas

{ }nv,,v,vB L21= , sabe-se que qualquer vetor Vv se escreve, de maneira nica, como

combinao linear dos vetores da base B, ou seja, existem escalares Ka,,a,a n L21 tais

que:


nnvavavav +++= L2211 . (4)

Essa combinao linear nica, conforme se mostrou anteriormente.

Definio: os escalares na,,a,a L21 so chamados de coordenadas do vetor v em relao

base B.

Notao: [ ]

=

n

B

a

a

a

vM

2

1

.

Exemplos:

1) Determinar as coordenadas do vetor ( )851 = ,,v em relao s seguintes bases:

(a) base cannica do 3

(b) ( ) ( ) ( ){ }112012011 ,,,,,,,B =

(a) A base cannica do 3 ( ) ( ) ( ){ }100010001 ,,,,,,,,C = . Para encontrar as coordenadas do vetor v em relao a essa base, deve-se escrev-lo como combinao linear dos vetores da

base, ou seja, escreve-se:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )c,b,a,,c,,b,,a,,v =++== 100010001851 , de onde se segue que 1=a , 5=b e 8=c . Assim, as coordenadas de v na base cannica

so:

[ ]

=

851

Cv

(b) Deve-se, agora, escrever v como combinao dos vetores da base B, isto :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )cb,ca,cba,,c,,b,,a,,v +++=++== 22112102011851 , de onde vem que:

=+

=

=++

85

122

cb

ca

cba

.

A resoluo desse sistema linear conduz seguinte soluo: 15=a , 18=b e 10=c e,

portanto, as coordenadas de v na base B so:

[ ]

=

101815

Bv

Observaes:

1) Observe-se que, quando se consideram bases diferentes de um espao vetorial, as

coordenadas de um mesmo vetor so diferentes (em geral).


2) O item (a) do exemplo anterior mostrou que as coordenadas do vetor ( )851 = ,,v , em

relao base cannica do 3 , so as prprias coordenadas do vetor. Esse resultado

sempre verdadeiro: considerado um espao vetorial V qualquer, as coordenadas de um vetor

qualquer de V, em relao base cannica de V, coincidem com as prprias coordenadas do

vetor. A menos que se diga algo em contrrio, considerar-se-o as coordenadas de um vetor

dado sempre em relao base cannica do espao ao qual ele pertence.

3) Considere-se o espao vetorial real ( )2P , com as operaes usuais de adio de polinmios

e multiplicao por escalar e o polinmio ( ) 242 tttp ++= deste espao. Determinar suas

coordenadas em relao base { }232112 tt,t,B += . preciso lembrar que todo elemento de um espao vetorial chamado de vetor. Assim,

deve-se escrever o vetor dado como combinao linear dos vetores da base, isto , escreve-

se:

( ) ( ) ( ) ( )22 3211242 ttctbatttp +++=++= , ou seja,

( ) ( ) ( ) 22 32242 tctcbcbatt +++++=++ . Da igualdade de polinmios, vem:

=

=+

=++

1342

22

c

cb

cba

,

de onde se segue que 27

=a , 314

=b e 31

=c , Assim, as coordenadas do vetor dado, em

relao base B, so:

( )[ ]

=

3131427

Btp .

Exerccios Propostos

1) Seja ( ){ }3213203332210 4e52 aaaaaa/PtatataaW ==+++= . Deter-minar uma base para W e sua dimenso. R: { } ( ) 2452 32 =+++= Wdim;tt,ttB

2) Determinar uma base e a dimenso para UW + e UW , onde:

( ){ }tzyx/t,z,y,xW 3e024 === e

( ){ }0224 =+= tzyx/t,z,y,xU


R: ( ) ( ) ( ) ( ){ } ( ) 41000210010102001 =+=+ UWdim;,,,,,,,,,,,,,,,B UW

( ) 11337

314

=

= UWdim;,,,B UW

3) Seja ( )

==

= cdba/M

dc

baW e22 . Determinar uma base para W e sua dimenso.

Estender a base de W para obter uma base de ( )2M .

R:

=

1100

0012

,BW ; ( )

= 10

000001

1100

0012

2,,,BM

4) Seja S o espao das solues do sistema linear ( )L . Determinar uma base para S e sua dimenso.

( )

=++

=+++

=++

=+++

07560342033022

tzy

tzyx

tzyx

tzyx

:L R: ( ) ( ){ } ( ) 260750657 == Sdim;,,,,,,,B

5) Mostre que o espao vetorial real 3 soma direta dos subespaos:

( ){ }0523 =+= zyx/z,y,xV e ( )

=

== zyx

/z,y,xW12

3 .

AL_CAP_04

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