UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAPÁ

COLEGIADO DE MATEMÁTICA

CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

A IMPORTÂNCIA DOS SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO COMO CONTEÚDO

MATEMÁTICO NO ENSINO MÉDIO REGULAR NO CONTEXTO DE UMA

EDUCAÇÃO FINANCEIRA

ANTONIO CARLOS DE OLIVEIRA COSTA

FRANCINEI ALMEIDA DA COSTA

JONAS LOPES BORGES

UNIFAP MACAPÁ-2015

ANTONIO CARLOS DE OLIVEIRA COSTA

FRANCINEI ALMEIDA DA COSTA

JONAS LOPES BORGES

A IMPORTÂNCIA DOS SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO COMO CONTEÚDO

MATEMÁTICO NO ENSINO MÉDIO REGULAR NO CONTEXTO DE UMA

EDUCAÇÃO FINANCEIRA

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao colegiado de Matemática, com requisito de obtenção de Título de Licenciatura Plena em Matemática sob a orientação do Prof. Ms. Sérgio Barbosa de Miranda.

UNIFAP MACAPÁ-2015

ANTONIO CARLOS DE OLIVEIRA COSTA

FRANCINEI ALMEIDA DA COSTA

JONAS LOPES BORGES

A IMPORTÂNCIA DOS SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO COMO CONTEÚDO

MATEMÁTICO NO ENSINO MÉDIO REGULAR NO CONTEXTO DE UMA

EDUCAÇÃO FINANCEIRA

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao colegiado de Matemática, com requisito de obtenção de Título de Licenciatura Plena em Matemática sob a orientação do Prof. Ms. Sérgio Barbosa de Miranda.

Avaliado por:

____________________________________

Prof. Ms. Sérgio Barbosa de Miranda

Nota:________

Data: ___/___/___

UNIFAP MACAPÁ-2015

ANTONIO CARLOS DE OLIVEIRA COSTA

FRANCINEI ALMEIDA DA COSTA

JONAS LOPES BORGES

A IMPORTÂNCIA DOS SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO COMO CONTEÚDO

MATEMÁTICO NO ENSINO MÉDIO REGULAR NO CONTEXTO DE UMA

EDUCAÇÃO FINANCEIRA

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado como requisito parcial para obtenção

do Título de Licenciatura Plena em Matemática, pela Universidade Federal do Amapá,

Campus Marco Zero, aprovado pela Comissão de professores:

___________________________________________________________

Prof. Ms Sérgio Barbosa de Miranda (Orientador)

Colegiado de Matemática, UNIFAP

___________________________________________________________

Professora Drª. Simone de Almeida Delphim (Convidada)

Colegiado de Matemática, UNIFAP

___________________________________________________________

Professor Steve Wanderson Calheiros de Araújo (Convidado)

Colegiado de Matemática, UNIFAP

Nota: _______

Data: ___/___/__

UNIFAP MACAPÁ-2015

Dedicamos a Deus, fonte de toda criação,

sustentação e domínio. Aos nossos pais e amigos,

cujo doce espírito habita estas páginas e inspira e

linguagem dos nossos corações.

Agradecimentos

Ao nosso Deus, pelas bênçãos concedidas;

Ao Professor Ms. Sergio Barbosa de Miranda, pela orientação, pela amizade,

boa vontade, atenção, paciência e disponibilidade cedida ao longo deste trabalho;

Aos professores da Universidade Federal do Amapá do Colegiado de

Matemática pelos conhecimentos repartidos, em especial ao professor Steve

Wanderson Calheiros de Araújo;

A coordenadora do curso de Matemática Dr.ª. Simone de Almeida Delphim;

Aos ilustres membros da Banca Examinadora;

As nossas famílias, pela confiança e constante incentivo na nossa vida

acadêmica em especial Silmara Miranda dos Santos, Maria Arcelina Costa e

Avangelina de Sousa de Oliveira;

Aos colegas das turmas de Graduação da Turma de Licenciatura Plena em

Matemática em especial aos acadêmicos Paulo Monte Verde Moura e Ana Maria

Saraiva;

A Gestão e todos os profissionais da Escola de Estadual Professor Antônio

Ferreira Lima Neto pelas informações e contribuições sobre a temática pesquisada.

A todos que, direta ou indiretamente, contribuíram para que este trabalho

pudesse ter começo, meio e fim. Que fique registrado o nosso profundo

agradecimento.

Lista de Figuras

Figura 1-Calculadora HP-12C ........................................................................ 28

Figura 2-Juros Simples .................................................................................. 35

Figura 3-Juros Compostos ............................................................................. 36

Figura 4-Juros Compostos II .......................................................................... 38

Figura 5-Juros Simples e Juros Compostos ................................................... 39

Figura 6-Fluxo de Caixa ................................................................................. 40

Figura 7-Fluxo de Caixa II.............................................................................. 40

Figura 8-Pagamento Único ............................................................................ 41

Figura 9-Primeira Parcela após um Período .................................................. 41

Figura 10-Primeira Parcela no Ato ................................................................. 41

Figura 11-Série Variável ................................................................................. 42

Figura 12-Pagamentos Equivalentes ............................................................. 47

Figura 13-Série Uniforme .............................................................................. 48

Figura 14-O Valor da Série na época zero .................................................... 49

Lista de Gráficos

Gráfico 1- O que é Educação Financeira .......................................................... 68

Gráfico 2- O que é Inflação? ............................................................................ 69

Gráfico 3- Você acha importante a Educação Financeira em sua formação

cidadã? ............................................................................................................

70

Gráfico 4- Quais os conteúdos que você gosta da Matemática Financeira? .... 70

Gráfico 5- Você utiliza a Matemática Financeira no seu dia-a-dia? ................. 71

Gráfico 6- Que tipo de recurso o professor utiliza para você aprender a

Matemática Financeira? ..................................................................................

72

Gráfico 7- Você já ouviu falar em Sistema de Amortização? ........................... 72

Lista de Tabelas

Tabela 1-Solução pela calculadora HP-12C .................................................... 28

Tabela 2-Despesas e Receitas durante x período de uma pessoa consome .. 31

Tabela 3-Regime de Capitalização Simples (Juros Simples) ........................... 36

Tabela 4-Regime de Capitalização Compostos (Juros Compostos) ................. 37

Tabela 5-SAC sem Carência ........................................................................... 51

Tabela 6-SAC com Carência (2 anos) e Pagamentos de Juros ....................... 55

Tabela 7- SPC sem carência (2 anos) e Pagamentos de Juros ...................... 58

Tabela 8- SPC com Carência (2 anos) e Pagamentos de Juros ...................... 61

Tabela 9-Sistema SAF com apenas os períodos .......................................... 70

Tabela 10-Sistema SAF .................................................................................. 71

Lista de Abreviaturas e Siglas

AMORT Amortização

CDB Certificado de Depósito Bancário

CNE Conselho Nacional de Educação

DCN Diretrizes Curriculares Nacionais

FV Valor Futuro

INSS Instituto Nacional de Seguridade Social

LDBN Leis de Diretrizes e Bases da Educação Nacional

OCDE Organização de Cooperação de Desenvolvimento Econômico

PA Progressão Aritmética

PCN Parâmetros Curriculares Nacionais

PCNEM Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio

PG Progressão Geométrica

PIB Produto Interno Bruto

RPN Notação Polonesa Reversa

SAC Sistema de Amortização Constante

SAF Sistema de Amortização Francês

SAM Sistema de Amortização Misto

SD Saldo Devedor

SPC Sistema de Prestação Constante

Lista de Símbolos

FV - Valor Futuro

FV1 - Valor do Montante do Primeiro Período

FVn - Valor do Montante do Enésimo Período

J − Valor dos Juros.

FV - Montante (Principal + Juros).

P - Principal ou Capital Inicial.

i - Taxa de Juros na Forma Decimal.

n - Prazo ou número de períodos

FC – Fluxo de Caixa

C - Capital

D - Valor Monetário do Desconto,

S - Valor Futuro (Valor assumido pelo título na data do seu movimento)

P - Creditado ou pago ao seu Titular.

d - Taxa de Desconto

im - Taxa Mensal

ip - Taxa referente ao período

C0 - Principal

Cn - Montante

A - Valor Atual

ak - Parcela de Amortização,

Jk - Parcela de Juros,

Pk - Prestação

Dk - Estado da Dívida (Isto é, o valor da dívida após o pagamento da prestação)

k – Época

Resumo

A presente pesquisa buscou analisar a importância dos Sistemas de Amortização como conteúdo matemático no Ensino Médio Regular no contexto de uma Educação Financeira, numa turma da 3ª série do Ensino Médio e que teve como local pesquisado, a Escola Estadual Professor Antônio Ferreira Lima Neto. Devido a relevância do tema para educação, optou-se por uma pesquisa qualitativa e descritiva, por meio da pesquisa bibliográfica e de campo. O instrumento de pesquisa foi o questionário e uma sequência didática, pelo qual os resultados foram apresentados em gráficos de setor e na análise da atividade, com o suporte de diversos autores da área de Matemática.

Palavras-chaves: Sistemas de Amortização. Ensino Médio. Matemática Financeira e a Educação Financeira.

Abstract

This research seeks to analyze the importance of amortization as mathematical content systems in the Middle Regular Education in the context of Financial Education, a group of 3rd year of high school and had the place searched, the State School Professor Antônio Ferreira Lima Neto. Due to the relevance of the topic to education, we opted for a qualitative and descriptive research, through literature and field research. The research instrument was a questionnaire and a didactic sequence, for which the results were presented in industry charts and analysis of the activity, with the support of several authors of the area of Mathematics.

Keywords: Amortization systems. High school. Financial Mathematics and Financial

Education.

Sumário

Introdução ............................................................................................................ 16

1 A História e os Conceitos da Matemática Financeira ................................... 19

1.1 A Matemática no Contexto Histórico ........................................................... 19

1.1.1 A Matemática Financeira na Idade Antiga e Média ......................... 20

1.1.2 A Matemática Financeira na Idade Moderna .................................. 21

1.1.3 A Matemática Financeira na Idade Contemporânea ....................... 22

1.2 A Matemática Financeira no Ensino Médio ................................................ 22

1.2.1 O Ensino da Matemática de Acordo com os PCN’s ......................... 23

1.2.2 O Ensino da Matemática e o PCNEM .............................................. 24

1.2.3 As Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Médio .............. 25

1.3 A Matemática Financeira e o uso da Tecnologia ....................................... 26

1.3.1 Os Conceitos de Matemática Financeira ......................................... 26

1.3.2 O Sistema Financeiro Nacional ....................................................... 27

1.3.3 A Calculadora HP-12c ...................................................................... 28

1.4 A Educação Financeira ............................................................................. 30

1.4.1 A Educação Financeira na Escola ................................................. 30

1.4.2 A Educação Financeira e o Desiquilíbrio Financeiro ..................... 30

1.4.3 A Educação Financeira e Rendimentos ........................................ 31

1.4.4 A Educação Financeira e o Consumo ........................................... 32

2 Os Principais Conteúdos da Matemática Financeira no Ensino Médio ......... 34

2.1 Conceitos de Juros ........................................................................................ 34

2.1.1 Taxa de Juros .................................................................................. 34

2.1.2 Regime de Capitalização Simples (Juros Simples) ....................... 35

2.1.3 Regime de Capitalização Compostos (Juros Compostos) ............ 36

2.1.4 A Diferença entre Juros Simples e Compostos............................... 37

2.2 Desconto ................................................................................................... 42

2.2.1 Conceito de Desconto...................................................................... 43

2.2.2 Desconto Simples (Bancário ou Comercial) .................................. 43

2.2.3 Desconto Composto ....................................................................... 45

2.3 A Matemática Financeira e a Progressão Geométrica ............................... 45

2.3.1 Juros Composto de Taxa i ................................................................. 46

2.3.2 Série Uniforme de n Pagamentos iguais p ....................................... 48

2.3.3 Números de Pagamentos n e i Taxa de Juros ................................. 50

2.3.4 Sistema Francês de Amortização, sendo n o Número de

Pagamentos e i a Taxa de Juros ..............................................................

51

3 Sistema de Amortização ................................................................................... 52

3.1 Sistema de Amortização Constante (SAC) ................................................. 52

3.1.1Taxa Equivalente ............................................................................... 53

3.1.2 Expressão do Cálculo do SAC........................................................... 54

3.1.3 SAC com Carência ............................................................................ 56

3.2 Sistema de Prestação Constante (SPC)........................................................ 58

3.2.1 Os Juros do Sistema de Prestação Constante .................................. 58

3.2.2 SPC sem Carência ............................................................................. 59

3.2.3 Expressões de Cálculo do SPC ........................................................ 60

3.2.4 SPC com Carência ............................................................................ 62

3.3 Sistema de Amortização Misto (SAM) .......................................................... 64

3.3.1Comparação entre SAC, SPC e SAM ................................................ 64

3.3.2 Ponto de Igualdade das Prestações .................................................. 65

4 Metodologia ........................................................................................................ 66

4.1 Área de Estudo ............................................................................................. 66

4.2 Participantes da Pesquisa ............................................................................ 66

5 Análise e Discussão dos Resultados ............................................................ 68

Considerações Finais ........................................................................................ 76

Referências ......................................................................................................... 79

Apêndice ............................................................................................................... 81

Anexos ................................................................................................................. 83

16

Introdução

As transformações curriculares proposta pela educação atual relatam que as

teorias estudadas estão longe da realidade enfrentada por um profissional de

matemática no cotidiano escolar. Na perspectiva de uma educação com mais

exigências e práticas pedagógicas, pelo o qual, o perfil do profissional de matemática

está relacionado ao domínio de instrumentos de culturas letradas ou não letradas,

com o acompanhamento do desenvolvimento tecnológico. Os desafios dos

profissionais vai além das dificuldades dos alunos, as alterações curriculares fazem

parte de novas estratégias e conteúdos relacionados a realidade do aluno.

A partir desse contexto, diversas situações influenciam os conteúdos a serem

exposto em sala de aula. Muitas vezes, os objetivos do plano de aula não são

atingidos devido as situações problemas não estarem relacionada com a aplicação do

dia-a-dia. Exemplo disso, são exercícios e as respostas de um determinado livro, que

apenas pede para calcular o desconto de um determinado objeto ou o juros de uma

parcela. Esse tipo de exercício ou questão é essencial, porém, não possui uma

proposta para o professor demonstrar o Ensino da Matemática Financeira.

Diante disso se argumenta: Os Sistemas de Amortização são importantes

como conteúdo da Matemática Financeira no contexto atual do Ensino Médio

Regular? A Matemática Financeira contribui para a formação cidadã, propiciando-lhes

oportunidades educativas que lhes permitam desenvolver habilidades e adquirir

competências?

Assim, a temática escolhida surgiu nas observações, de apresentações

científicas, oficinas e projetos matemáticos durante o período de Estágios

Supervisionados da Universidade Federal do Amapá-UNIFAP, nas escolas públicas

de Macapá, que possibilitou investigar e discutir as dificuldades e as barreiras

encontradas no decorrer de um conteúdo trabalhado em sala de aula.

Convém lembrar que a escolha se justifica pela relevância com que o tema

possui na realidade atual. Diversas questões atuais envolve a Matemática Financeira,

tais como: ao fazer uma economia, compra à vista, investimentos, compra a prazo,

dívidas do cartão de crédito, juros de um cheque especial, empréstimo ou pagamentos

de dívidas são instrumentos fundamentais para o professor utilizar em situações

problemas do mundo em que os homens vivem.

17

Resumindo, o tema proporcionou a analisar outros aspectos no que se refere

às práticas pedagógicas do professor em relação ao Sistemas de Amortização como

temática contextualizada em sala de aula. Para facilitar a organização da pesquisa foi

traçado os principais objetivos, que foi investigar a Matemática Financeira no Ensino

Médio, seus desafios e as contribuições para Educação Financeira no contexto social

e econômico, descrevendo os aspectos históricos e conceitos básicos da Matemática

Financeira, analisando o ensino da Matemática Financeira de acordo com os PCN’s,

PCNEM e as DCN e analisando a Matemática Financeira, suas aplicações e as

relações com outros conteúdos.

Dessa forma, foram levantadas as seguintes hipóteses: A proposta

pedagógica escolar está voltado apenas para o uso do livro didático no Ensino da

Matemática Financeira no Ensino Médio; os Sistemas de Amortização são utilizados

no contexto escolar e social do aluno, os Sistemas de Amortização permite a leitura e

análise de tabelas, gráficos relacionados a Educação Financeira e os alunos

apresentam avanços durante as aplicações, conceitos de atividades relacionados aos

Sistemas de Amortização.

O presente trabalho foi estruturado da seguinte forma: Introdução, 05 cinco

Capítulos e as Considerações Finais. Na introdução, foi apresentado o problema da

pesquisa, justificativa, objetivo geral, objetivos específicos e as hipóteses.

No capítulo 1 foi discutido a História e os Conceitos da Matemática Financeira,

no período da história na relação comercial e econômica. Outros tópicos importantes

foram analisados como: a contribuição dos PCN, PCNEM e as DCN para o Ensino

da Matemática; Os conceitos e o uso da Tecnologia nesse conteúdo; O Sistema

Financeiro e o conceito de Educação Financeira, Rendimentos, Crises Financeiras e

o Consumismo humano baseado no contexto matemático.

No capítulo 2 foram apresentados os principais conteúdo da Matemática

Financeira no Ensino Médio, e teve suporte de vários autores, exemplificando as

situações problemas, conceitos e regime de capitalização juros simples e compostos,

aplicações de juros, taxas, descontos e progressão geométrica.

No capítulo 3 a proposta foi descrever os conceitos e as aplicações do

Sistema de Amortização, pelo qual, foram apresentadas as principais definições

relativas especificamente ao Sistema de Amortização Constante(SAC) e Sistema de

Amortização Francês (SAF) e a comparação entre SAC, SPC e SAM.

18

No capítulo 4 destinou-se a Metodologia da pesquisa com os principais pontos

analisados, tais como o tipo de pesquisa, área de estudo e os participantes. O

instrumento da pesquisa foi o questionário para coletar os resultados.

No capítulo 5 finalizou-se com a análise e discussão dos resultados. Os dados

coletados foram apresentados em gráficos de setor utilizando a porcentagem para

estabelecer as ideias dos participantes. Por fim, foi apresentado uma atividade

experimental do Sistema de Prestação Constante estabelecendo conexões com os

conteúdo da Matemática Financeira.

As Considerações Finais estabeleceu uma análise no Ensino da Matemática

atual e da importância do Sistema de Amortização como proposta para ser utilizada

na Matemática Financeira do Ensino Médio e na contribuição para Educação

Financeira.

19

Capítulo 1

A História e os Conceitos da Matemática Financeira

A Matemática Financeira faz parte do conteúdo na grade curricular do Ensino

Médio. Temas como juros, descontos, montantes são aplicados e utilizados na

solução de problemas que envolvem cálculos financeiros no contexto atual. Cabe

ressaltar, que a história da humanidade, os homens utilizavam variados métodos

financeiros em diversos ramos de atividades comerciais e bancárias.

Quando se faz uma pergunta a uma pessoa quanto ela ganha, quase sempre

a resposta não condiz com a realidade. Por exemplo, imagina-se alguém cujo salário

bruto mensal seja um mil reais. Ao responder quanto ganha por mês, essa pessoa

dirá imediatamente: “Eu ganho mil reais”. Se for um profissional com carteira assinada,

a resposta estará errada, pois desse valor ele precisaria deduzir os descontos oficiais,

como os do INSS, vale-transporte, vale-alimentação, assistência médica, entre outros.

Sendo assim, o valor real do seu ganho mensal seria de aproximadamente 850 reais.

1.1 A Matemática Financeira no Contexto Histórico

A História da humanidade mostra que no período paleolítico os homens viviam

em comunidades restritas, tirando da natureza todos os produtos de que tinham

necessidade, sem dúvida devia existir muito pouca comunicação entre as diversas

sociedades. No entanto, o homem evoluiu, assim como utilizou ferramentas ou

inventou objetos para solucionar os problemas e para manter relações sociais e

comerciais com outros humanos. Com desenvolvimento do artesanato e da cultura e

em razão da desigual repartição dos diversos produtos naturais, a troca comercial

mostrou-se necessária (IFHAR, 2000).

Ideias relativas aos números, como trocas de produtos à percepção das

formas e suas representações, tornaram-se possíveis graças as pistas oferecidas pela

natureza. Observando os fenômenos que se repetem regularmente é possível dizer

que, olhando para o céu e a sua volta, o homem desenvolveu ideias que levaram à

criação da Matemática e de outros conhecimentos. O primeiro tipo de troca comercial

foi o escambo, fórmula segundo a qual se trocam diretamente (e, portanto sem

intervenção de uma “moeda” no sentido moderno da palavra) (ASSAF NETO, 2012).

20

Ressalta-se, que a troca comercial do escambo muitas vezes era feito de

maneira desigual que possibilitava sempre a existência de um grande desequilíbrio

nas operações das trocas. Principalmente quando um comerciante ou artesão

dominava alguns métodos matemáticos para assegurar uma troca extremamente

desigual, explorando obviamente o grande desejo ou interesse de seu interveniente.

1.1.1 A Matemática Financeira na Idade Antiga e Média

Há cerca de 10 mil anos, nossos antepassados descobriram que podiam

alimentar-se através da troca de produtos e, assim, aos poucos foi se estabelecendo

nos vales às margens de grandes rios, como o Nilo, no Egito, e o Tigre e o Eufrates,

na Mesopotâmia, entre outros. A partir daí, teve início um novo modo de vida, com

terra cultivada, aldeias e a necessidade cada vez maior de organização: o

planejamento (ainda que muito rudimentar) da produção das terras, dos rebanhos; a

divisão das áreas cultiváveis, das colheitas; a quantificação para o comércio

(TOLEDO, 2012).

Assim, as primeiras necessidades de contagem até o conceito de finanças,

transcorreram várias gerações deixando a contribuição no crescimento comercial na

Idade Antiga. Diga-se de passagem que o surgimento dos números foram

fundamentais para a venda e compra de um produto, bem como, na troca de uma

mercadoria com outra.

A primeira unidade de escambo admitida na Grécia pré-helênica foi o boi. No século VIII a.C, na Ilíada de Homero (XXIII, 705, 749-751 e VI, 236), uma mulher hábil para mil trabalhos é assim avaliada em 4 bois, a armadura em bronze de Glauco em 9 bois e a de Diomedes (que era de ouro) em 100 bois; ademais numa lista de recompensas, veem-se suceder-se, na ordem de valores decrescentes, uma copa de prata cinzelada, um boi e um meio talento de ouro (IFHAR, p.144, 2000).

E não é por acaso que a palavra latina pecúnia – de onde derivam nossos

termos pecúlio e pecuniário. Segundo Assaf Neto (2012), quer dizer “fortuna, moeda,

dinheiro”: provém, com efeito, de pecus, que significa “gado, rebanho”; além disso, o

sentido próprio da palavra pecunia corresponde ao “ter em bois”. A palavra sânscrita

rupa (de onde vem “rúpia”), como os termos germânicos feo e vieh (dos quais é

aparentada a palavra inglesa fee, “salários”), constituem igualmente uma lembrança

21

do tempo em que as propriedades, os honorários, as oferendas e até mesmo os

sacrifícios rituais eram avaliados em cabeças de gado. É, aliás, em bois que se faz

ainda a avaliação do dote das moças em certas regiões da África Oriental.

Eis a razão pelo qual, no decorrer da Idade Média, a relação comercial se

transformou em financeira. A troca, venda ou compra caracterizou o sistema financeiro

de uma sociedade para o desenvolvimento econômico. Daí surgiu, termos como lucro,

prejuízo, capital, e falência. Logo, todos esses termos são aplicados situações de

matemática financeira, porém, com estratégias e métodos diferentes e utilizados pelos

estudiosos da área (TOLEDO, 2012).

Enfim, o intercâmbio comercial ou financeiro favoreceu as aplicações nas

resoluções de problemas, possibilidades e respostas para o uso do cálculo em

determinadas situações. Dessa forma, a economia precedeu igualmente o uso da

“moeda” nas situações financeiras. Dessa forma, a troca de gêneros a partir de

matérias primas ou objetos de grande necessidade foi fundamental para o Sistema

Financeiro nesses períodos. Logo, os conceitos da matemática financeira foram

surgindo devido as situações encontradas em diversas sociedades e culturas. Mas,

nos dias atuais os conceitos estão relacionados aos investimentos ou financiamentos.

1.1.2 A Matemática Financeira na Idade Moderna

A partir do século XV, países, como Holanda, Espanha, Portugal e,

posteriormente (século XVII), a Inglaterra, fortaleceram-se, assumindo a liderança do

comércio. Intensificaram o transporte marítimo para suas mercadorias, por oferecer

maior segurança do que por terra firme, onde frequentemente os mercadores eram

saqueados. Esses países, então, atingiram uma nova posição no mundo pela

navegação, o que aumentou seu poder marítimo. Essa transformação deu-se em

razão do grande achado geográfico constituído pela descoberta do caminho marítimo

para a Índia e, sobretudo, pela descoberta do “Novo Mundo”, a América (GRANDO,

2010).

Na realidade a América tornou-se uma nova estratégia para o fortalecimento

do Mercantilismo. Contudo, o advento do mercado e o surgimento de vários portos

comerciais, as vendas e as compras impulsionaram a circulação de dinheiro e metais

preciosos como o ouro nas colônias americanas.

22

1.1.3 A Matemática Financeira na Idade Contemporânea

Na área do domínio do dinheiro, o século XIX gravita em torno de um dogma:

o padrão ouro. Um meio circulante são conversível em ouro, vicioso se calcado sobre

a moeda fiduciária. O papel, segundo a sagrada palavra de Adam Smith, seria mero

substitutivo de um instrumento dispendioso e pesado por outro mais barato e mais

cômodo. A emissão, seja para a corrente pluralista ou para a corrente unitária, teria

sempre, garantindo seu funcionamento, a base metálica, leito seguro das operações

internacionais, com o automático equilíbrio das trocas. Uma boa circulação seria,

desta sorte, a que pudesse a todo o momento, internacionalizar-se, servindo o meio

interno em meio exterior de compra e venda (FAORO, 2010).

Um ponto a ser destacado na ideia do autor é apontar que as finanças

aumentaram com surgimento das relações internacionais que permitiu as nações

fazerem acordos comerciais e financeiros com a tendência ao crescimento

econômico. Especificamente no Brasil existe um Sistema Financeiro Nacional que

possibilita uma ligação entre pessoas e empresas que dispõem de dinheiro para

emprestar e pessoas e empresas que necessitam de dinheiro para movimento.

1.2 A Matemática Financeira no Ensino Médio

O Ensino da Matemática parece utilizar-se de discursos, por vezes, falaciosos

em afirmar que a matemática escolar deve ser sempre aplicada, ou que o bom ensino

dessa disciplina é aquela que se fundamenta no alicerce sólido de suas bases

teóricas. A matemática que deve ser apresentada em sala de aula, seja ela teórica ou

aplicada é aquela baseada no contexto do aluno (DOMINGOS, 2012).

Assim, entende-se que a valorização do contexto do aluno é prioridade para

as propriedades de operações matemática e soluções de problemas. E o cotidiano

está repleto de situações matemáticas.

Essa valorização pode ser encontrada em uma série de normas e

regulamentos que estão baseadas no Ensino Médio atual do Brasil através de normas

e diretrizes que apontadas pelos Parâmetros Curriculares Nacionais-PCN’s,

Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio-PCNEM e das Diretrizes

Curriculares Nacionais-PCN.

23

1.2.1 O Ensino da Matemática de Acordo com os PCN’s

Com o surgimento da LDB, dos PCN’s e dos Projetos Políticos Pedagógicos-

PPP’s das Escolas, novos espaços e novas discussões se abriram para educadores

em geral. Constantemente eles são convidados a tentar novas experiências, novos

caminhos. Dessa forma, o docente não pode continuar a ministrar conteúdos tão

desconexos da realidade de nossos alunos, e até mesmo da nossa vida, só porque

alguém, em algum momento, os selecionou, priorizou ou hierarquizou. Não se pode

contentar em responder evasivamente, que tudo o que ensinamos os alunos ainda

precisarão “algum dia” ou que “vai cair na prova”, quando questionados sobre a

validade ou intenção do que é ensinado (PRAXEMEDES, 2010).

Nesse aspecto a Matemática Financeira, tão presente desde cedo na vida de

todas as pessoas, pode desempenhar um importante papel para prática docente.

Percebe-se que as discussões sobre as normas e regularização para o ensino

matemática está voltado para o cotidiano e na formação cidadã do aluno.

No ensino da Matemática, destacam-se dois aspectos básicos: um consiste

em relacionar observações do mundo real com representações (esquemas, tabelas,

figuras); outro consiste em relacionar essas representações com princípios e

conceitos matemáticos. Nesse processo, a comunicação tem grande importância e

deve ser estimulada, levando-se o aluno a “falar” e a “escrever” sobre Matemática, a

trabalhar com representações gráficas, desenhos, construções, a aprender como

organizar e tratar dados (BRASIL, 1997).

A aprendizagem em Matemática está ligada à compreensão, isto é, à

apreensão do significado; apreender o significado de um objeto ou acontecimento

pressupõe vê-lo em suas relações com outros objetos e acontecimentos. Assim, o

tratamento dos conteúdos em compartimentos estanques e numa rígida sucessão

linear deve dar lugar a uma abordagem em que as conexões sejam favorecidas e

destacadas. O significado da Matemática para o aluno resulta das conexões que ele

estabelece entre ela e as demais disciplinas, entre ela e seu cotidiano e das conexões

que ele estabelece entre os diferentes temas matemáticos (BRASIL, 1997).

O Parâmetro Curricular Nacional de Matemática permite relatar que os

aspectos básicos são fundamentais para o uso da linguagem no dia-a-dia. É

importante ressaltar que a importância da compreensão dos fenômenos matemáticos

24

pelos alunos em diferentes situações. Os conteúdos devem permitir ao aluno

investigar e argumentar sobre uma fórmula ou até mesmo aplicar as equações através

de uma figura ou objeto.

1.2.2 O Ensino da Matemática e o PCNEM

A LDB/96, ao considerar o Ensino Médio como última e complementar etapa

da Educação Básica, e a Resolução CNE/98, ao instituir as Diretrizes Curriculares

Nacionais para o Ensino Médio, que organizam as áreas de conhecimento e orientam

a educação à promoção de valores como a sensibilidade e a solidariedade, atributos

da cidadania, apontam de que forma o aprendizado de Ciências e de Matemática, já

iniciado no Ensino Fundamental, deve encontrar complementação e aprofundamento

no Ensino Médio. Nessa nova etapa, em que já se pode contar com uma maior

maturidade do aluno, os objetivos educacionais podem passar a ter maior ambição

formativa, tanto em termos da natureza das informações tratadas, dos procedimentos

e atitudes envolvidas, como em termos das habilidades, competências e dos valores

desenvolvidos (BRASIL, 2000).

Convém lembrar que as discursões relativas ao Ensino Médio, ao longo de

sua tumultuada história, têm sido a da sua especificidade, até hoje não claramente

equacionada. Diga-se de passagem, que essa etapa está vinculada na perspectiva da

preparação do aluno para o Ensino Superior, e que são abordados diversos conteúdos

em sala de aula. Um ponto de partida fundamental é que os conteúdos estejam voltado

para o contexto do aluno, e em se tratando da Matemática Financeira, o professor

nessa etapa se depara por diversas situações relacionados ao desenvolvimento

pedagógico, as estratégias de conteúdos e da formação e do exercício profissional do

professor como um dos meios indispensáveis à melhoria do ensino público (BRASIL,

2000).

Assim, como ocorre com outros conteúdos, o trabalho com a Matemática

Financeiro diretamente ligado, aos conceitos, definições, fórmulas, aplicações que

podem ser apresentados com atividades, pesquisas, exposições ou até mesmo

palestras, e com ou sem interferência do docente, e que as competências e a

habilidades sejam voltada para as condições de uso no contexto social. Nesse

sentido, juros simples, compostos, taxa de juros, lucro estão associados a

25

investigação e compreensão de um fato ou problema matemático que os PCNEM

recomendam para a articulação didática em sala de aula.

Conceitos, definições, aplicações, têm semelhanças e diferenças na forma com que são tratados pelas distintas ciências. Uma discussão geral de certos métodos, procedimentos e investigações, que são instrumental comum das várias ciências, pode ser ilustrada com a variedade de formas pelas quais desenvolvem os conceitos de igualdade e variação, de conservação e transformação ou, analogamente, de unidade e diversidade, de identidade e evolução, revelando elementos comuns ou distintos, sob codificações aparentemente idênticas (VEIGA, p.114, 2003).

Com base nessas informações a Matemática Financeira pode ser

compreendida de maneira diferente pelas áreas no uso do dia-a-dia, porém os

registros de conceitos, fórmulas e situações problemas embasados na investigação.

Para Ribeiro (2012), a Matemática Financeira visa estudar o valor do dinheiro

no tempo, nas aplicações e nos pagamentos de empréstimos. Tal definição é bem

geral, que o professor terá oportunidade de aplicar situações problemas no contexto

social. Parte dos contextos tem sentido e alcance praticamente universais, podendo

assim ser evocados em qualquer circunstância e escola. Contudo, os conceitos

relacionados da Matemática Financeira visa representar o princípio para aplicação da

Educação Financeira.

1.2.3 As Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Médio

Com a promulgação da Lei nº 9.394/96 (LDB), o Ensino Médio passou a ser

configurado com uma identidade própria, como etapa final de um mesmo nível da

educação, que é a Educação Básica, e teve assegurada a possibilidade de se

articular, até de forma integrada em um mesmo curso, com a profissionalização, pois

o artigo 36-A prevê que “o Ensino Médio, atendida a formação geral do educando,

poderá prepará-lo para o exercício de profissões técnicas” (BRASIL,2011).

Essa formação do educando permite incentivo as pesquisas que poderão

surgir durante ao Ensino Médio. Outro fator importante que nessa etapa incentiva as

investigações sobre os conceitos matemáticos, ensaiarem possíveis organizações

para novas descobertas na área de matemática.

26

Nessa definição de propósitos, percebe-se que a escola de hoje não pode

mais ficar restrita ao ensino disciplinar de natureza enciclopédica. De acordo com as

Diretrizes Curriculares para o Ensino Médio, deve-se considerar um amplo espectro

de competências e habilidades a serem desenvolvidas no conjunto das disciplinas. O

trabalho disciplinar pode e deve contribuir para esse desenvolvimento. Conforme

destacam os PCNEM (2002) e os PCN(2002), o ensino da Matemática pode contribuir

para que os alunos desenvolvam habilidades relacionadas à representação,

compreensão, comunicação, investigação e, também, à contextualização

sociocultural (BRASIL, 2011).

1.3 A Matemática Financeira e o uso da Tecnologia

A Matemática Financeira é utilizada em muitas situações de nosso cotidiano,

e um de seus principais conceitos é o juro, uma relação entre o dinheiro e o tempo. A

pessoa que conhece os fundamentos da matemática financeira pode adotar uma

postura consciente em seu papel de consumidor, evitando o endividamento e o

pagamento de juros altos. Entre as inúmeras aplicações da matemática está a auxiliar

na resolução de problemas de ordem financeira, como cálculo do valor de prestações,

pagamento de impostos, rendimento de poupança e outros (MATEMÁTICAGUBA,

2015).

1.3.1 Os conceitos de Matemática Financeira

A Matemática Financeira está cada vez mais presente no cotidiano social.

Exemplo disso são as poupanças, juros, impostos, porcentagem, desconto, aumento,

entre outros, são conhecidos no Ensino Médio.

O autor Sobrinho (2008) apresenta alguns conceitos e aplicações da

Matemática Financeiro utilizado para a dimensão de investigação no desenvolvimento

de competências e habilidades que são essencialmente formadoras, à medida que

instrumentalizam o uso dos cálculos financeiros.

A Matemática Financeira trata, em essência, do estudo do valor do dinheiro

ao longo do tempo. O seu objetivo básico é efetuar análise e comparações dos vários

27

fluxos de entrada e saída de dinheiro de caixa verificados em diferentes momentos.

Receber uma quantia hoje ou no futuro não são evidentemente a mesma coisa.

Em princípio, uma unidade monetária hoje é preferível à mesma unidade

disponível amanhã. Postergar uma entrada de caixa (recebimento) por certo tempo

envolve um sacrifício, o qual deve ser pago mediante uma recompensa, definida pelos

juros. Desta forma, são os juros que efetivamente induzem o adiamento do consumo,

permitindo a formação de poupanças e de novos investimentos na economia (TOSI,

2009).

Para Onaga (2004), a Matemática Financeira é uma ferramenta utilizada na

análise de algumas alternativas de investimentos ou financiamentos de bens de

consumo. A ideia básica é simplificar a operação financeira a um Fluxo de Caixa e

empregar alguns procedimentos matemáticos como a aplicação de capital.

Assim, as noções e as aplicabilidades da Matemática Financeira estão

relacionadas a uma série de fatores ligados às unidades monetárias, o sucesso ou

insucesso de uma situação econômica, de uma atividade produtiva, de remunerações

salariais e outras situações que permitem a maioria dos cidadãos precisa utilizar para

entender muitos aspectos relacionados ao uso da porcentagem em situações de

leitura, informações de gráficos e tabelas voltadas para as operações financeiras.

1.3.2 O Sistema Financeiro Nacional

O advento das Leis nº 4.595/64 e 4.728/ 65 marca o início da estruturação

orgânica do Sistema Financeiro Nacional, muito embora grande parte de suas

instituições já se fizessem presentes no mercado interno, seja de longa tradição, seja

de recente inovação. Até então, a prevalecente linguagem do juro limita-se a

especulações sobre os conceitos de “desconto por dentro” e “desconto de fora” nas

operações cotidianas realizadas pelos estabelecimentos bancários, e os efeitos

derivados dessa distinção dicotômica sobre “taxa nominal” e “taxa efetiva” (ASSAF

NETO, 2012).

Assim, com o surto inflacionário que ganhou novo ímpeto a partir do fim da

década de 50 e grande impulso nos anos 60, dois eventos suscitaram particular ênfase

a outros aspectos da problemática da taxa do juro: a componente do efeito

inflacionário nos rendimentos de aplicações financeiras, e a propensão para as

28

inversões de curtíssimo prazo motivando a adoção das fórmulas exponenciais

baseadas na capitalização diária do juro incidente nas operações de crédito, ativas e

passivas. Assim, ao de “taxa nominal” e “taxa efetiva” acresceu a importância da

determinação da “taxa real” dos rendimentos adequada aos infratores (SOBRINHO,

2008).

No Brasil, o conjunto de instituições que possibilitam a ligação entre pessoas

e empresas que dispõem de dinheiro para empréstimo. As pessoas e empresas que

necessitam de dinheiro e se oferece para tomá-lo emprestado é denominado Sistema

Financeiro Nacional. Fazem parte desse sistema os bancos comerciais, a Caixa

Econômica Federal, as cooperativas de crédito e as instituições similares. Esse

sistema, que movimenta vultosos recursos diariamente, é regulamentado por lei e

permeia todo o território nacional, influenciando a vida de todos os brasileiros (DANTE,

2013).

1.3.3 A Calculadora HP-12C

Segundo Tosi (2009), o estudo da Matemática Financeira exige o uso das

ferramentas tecnológicas, como por exemplo a calculadora. Muitos matemáticos para

suas aplicações práticas e financeiras ou na aplicação em sala de aula utilizam a

calculadora HP-12C como mostra a figura.

O autor afirma ainda que a HP-12C possui um bom tempo de existência (mais

de 27 anos), contudo, ainda é a mais utilizada no Brasil pelos profissionais e

estudantes da área financeira, devido, entre outras razões, à facilidade de operação

e portabilidade. Hoje existem à venda no mercado basicamente três modelos de

calculadoras HP-12C, o modelo Gold (tradicional), o modelo Platinum e o modelo

Figura 1: Calculadora HP-12C Fonte: Tosi (2009, p.10)

29

Prestige. No caso dos últimos dois modelos às vantagens são: flexibilidade para

operar tanto no modo algébrico como RPN, a velocidade ampliada do processador, a

capacidade expandida de memória e suas mais de 130 funções inclusas.

A HP-12C tradicional opera com o sistema de entrada de dados RPN (Notação

Polonesa Reversa), onde são primeiro introduzidos os dados, separados pela tecla

ENTER, e depois as operações. Tal sistema possibilita a solução de cálculos extensos

como muito mais rapidez e simplicidade.

Exemplo 1: Uma prestação de $ 1.000,00 foi paga com atraso de 23 dias. Sabendo

que a multa cobrada por dia de atraso foi de 0,3% (linear), pergunta-se:

Qual o valor da multa?

Qual o valor total da prestação (já incluída a parcela da multa pelo atraso)?

Solução pela HP-12C:

Tabela 1: Solução pela HP-12C.

PRESSIONE VISOR SIGNIFICADO

1000 ENTER 0,3 % 3,00 Valor da multa por dia.

23 x 69,00 Valor total da multa.

+ 1.069,00 Valor total da prestação a ser paga.

Matematicamente, tal cálculo seria realizado da seguinte forma:

Valor total da prestação= 1000 × (1 +0,3

100× 23).

Valor total da prestação = $ 1.069,00

Nesse sentido, Aragão (2012) afirma que a calculadora deve estar presente

no cotidiano das escolas, principalmente das mais carentes, pois isso permitirá que

os menos favorecidos socioeconomicamente tenham acesso às ferramentas

disponíveis no mercado de trabalho que, num futuro próximo, farão parte de todas as

profissões. Além disso, não podemos privar os alunos do conhecimento e

Tabela 1: Solução pela HP-12C. Fonte: Tosi (2012).

30

manipulação de instrumentos tecnológicos certamente muito úteis na sua vida

profissional.

1.4 A Educação Financeira

É desejável que cada indivíduo cuide da própria vida financeira de modo

adequado para que suas obrigações não atinjam outras pessoas, ou seja, é

necessário ficar circunscrito ao espaço individual. Da mesma forma, um país não

deveria causar danos ambientais e apresentar a conta ao restante do planeta.

1.4.1 A Educação Financeira na Escola

A Educação Financeira nas escolas apoia-se em sete objetivos intimamente

ligados às dimensões descritas. Os objetivos que se voltam para a dimensão espacial

procuram apontar para dois movimentos distintos, a saber, circunscrição e mobilidade.

De um lado, há o fato de que em certas circunstâncias é preciso ater-se a determinado

espaço (BRASIL, 2000).

Assim, a escola através da Matemática Financeira pode introduzir a Educação

Financeira nas situações problemas em sala de aula. O estudo de juros ou até de

economia é utilizado para mostrar um desequilíbrio financeiro adotado por uma

pessoa durante uma compra ou financiamento bancário torna-se temas de discussão

e investigação durante uma aula de Educação Financeira.

É importante afirmar que o currículo da Matemática em muitas instituições

escolares, é elaborado com apoio nos livros didáticos existentes no mercado, sendo

que alguns são distribuídos nos programas de livros didáticos para o Ensino Médio.

1.4.2 A Educação Financeira e o Desequilíbrio Financeiro

O desequilíbrio financeiro é como uma doença que pode apresentar vários

sintomas, cada um vai exigir um tratamento. Alguns podem sofrer apenas de uma leve

“labirintite financeira”. São aquelas pessoas que, vez ou outra, ficam meio

desequilibradas, gastam além da medida, mas logo se recompõem, estabilizam a

situação e seguem adiante. Há também aqueles cujos membros inferiores são

31

afetados a ponto de ficarem prejudicados e não saírem mais do lugar (DOMINGOS,

2012).

Nota-se, que para dizer que alguém está em dificuldade financeira, ás vezes

usa-se a frase: “Fulano está mal das pernas”? Quem não conhece alguém mais ou

menos próximo que está com dificuldades de sair do lugar? O que ganha é o que

gasta. O que gasta é o que ganha. Como as forças das próprias pernas estivessem

comprometidas, atrofiadas.

O mesmo autor afirma que em casos mais graves, o “estar mal das pernas”,

que pode ser entendido como não encontrar meios para se livrar da dívida do cheque

especial ou do cartão de crédito, por exemplo, pode evoluir para o “estar quebrado” –

isto é, falido, sem condições de arcar com as dívidas acumuladas, com restrições de

crédito e correndo o risco de perder o que conquistou em sua vida.

Todas essas são formas simbólicas de falar que há uma doença em curso,

corroendo a saúde da pessoa em questão. O problema se agrava quando a situação

sai do controle, ou seja, o desequilíbrio financeiro aumenta rapidamente, invadindo a

vida profissional, empresarial e familiar do indivíduo, sem que se tenha tempo de

controla-lo antes do estrago maior. Assim, qualquer que seja a natureza do seu

problema, se sua saúde financeira está abalada, você precisa de um diagnóstico

financeiro imediato. Quando antes souber a dimensão do problema, mais rápido

encontrará o caminho para se livrar dele.

1.4.3 A Educação Financeira e Rendimentos

Segundo Domingos (2012), quem deseja obter equilíbrio financeiro precisa ter

plena consciência de seus rendimentos, saber exatamente o valor disponível para

fazer frente às suas despesas, compromissos e investimentos. O mesmo se aplica a

profissionais liberais, autônomos e empresários. É preciso computar de forma precisa

os valores recebidos ao longo do mês e, se possível, do ano, para descobrir quais são

suas reais margens de manobra.

Logo, as pessoas com rendimento variáveis podem, igualmente, cair em

armadilhas, armazenando na memória apenas o rendimento bruto, sem descontar

impostos e despesas comuns a quem trabalha como autônomo – além de, em certos

períodos, poderem ter ganhado bem acima da média, enquanto que, em outros, não

32

ter rendimento nenhum. Nesses casos, conhecer com precisão os movimentos de

entrada de dinheiro é ainda mais importante.

1.4.4 A Educação Financeira e o Consumismo

A descoberta do seu “eu” financeiro, é fundamental nova etapa de sua vida e

precisa ocorrer em vários níveis para uma educação financeira. O primeiro passo é

anotar tudo e chegar aos números: quanto você gasta em cada um dos itens de

despesas e qual o impacto que cada atitude de compra tem em seu orçamento

mensal; em outras palavras, saber quais são os gastos que desequilibram sua balança

(TOSI, 2009).

Pode-se dizer que a sociedade brasileira é totalmente consumista, em que a

maioria dos hábitos de consumo se baseia em padrões sociais. A todo o momento, a

humanidade é bombardeada com o aumento de juros e crise financeira que afeta as

empresas e as pessoas físicas (DOMINGOS, 2012).

O autor destaca na tabela abaixo com as despesas e receitas durante um x

período que uma pessoa consome.

Tabela 2: Despesas e Receitas durante um x período de uma pessoa consome.

DESPESAS E RECEITAS VALOR (R$)

Água 60,00

Energia elétrica 70,00

Curso de idiomas 190,00

Roupas e calçados 270,00

Telefone 115,00

Mercado 330,00

Transporte 170,00

Faculdade 450,00

Total das despesas 1.655,00

Total de receitas 1.800,00

(-) Total de despesas 1.655,00

Resultado positivo 145,00

Tabela 2: Despesas e Receitas durante um x período de uma pessoa consome. Fonte: Domingos (2012, p.36).

33

Assim, a tabela mostra a relação entre a receita e despesa vem mostrando o

resultado positivo ou negativo. Logo, o problema é que saber o valor do aluguel ou da

prestação de casa própria, calcular os gastos com o ônibus, metrô, táxi ou

combustível, saber por cima a conta do supermercado, bem como computar o valor

da mensalidade escolar; nada disso produz uma radiografia completa de uma

situação.

Segundo Assaf Neto (2012), somente os números não bastam. É necessário

averiguar os padrões de comportamento que estão por trás dos números – e o

Apontamento de Despesas lhe permitirá saber, por exemplo, com o que você gosta e

em que quais momentos, ou em que dias da semana ou do mês você gasta mais ou

menos. Daí a importância da Educação Financeira.

34

Capítulo 2

Os Principais Conteúdos da Matemática Financeira no Ensino Médio

A Matemática Financeira está diretamente ligada às novas abordagens

elaborada pelo mundo globalizado. Assim, os conteúdos que fazem parte do mundo

globalizado e das novas mudanças das propostas pedagógicas e dos avanços

tecnológicos. Portanto, os avanços tecnológicos, a relação comercial, os empréstimos

bancários, a concorrência das nações capitalistas exigem que a sociedade mundial

se adapte as mudanças do contexto socioeconômico e cultural (RIBEIRO, 2012).

Abaixo estão alguns exemplos de Matemática Financeira encontrados nos

livros didáticos de Ensino Médio:

Marcelo vai pagar R$ 300,00 de imposto de renda;

O aluguel do apartamento de Augusto vai subir 8%;

Cláudia vai comprar um computador e ganhar 5% de desconto;

O Produto Interno Bruto (PIB) cresceu 4,13% no trimestre.

2.1 Conceitos de Juros

Juros é a remuneração do capital emprestado, podendo ser entendido, de

forma simplificada, como sendo o aluguel pago pelo uso do dinheiro. Capital: Entende-

se por capital, do ponto de vista da matemática financeira, qualquer valor expresso

em moeda e disponível em determinada época. Por outro lado, a taxa de juros é a

razão entre os juros recebido (ou pagos) no final de um certo período de tempo e o

capital inicial aplicado (ou emprestado) (SOBRINHO, 2008).

2.1.1 Taxa de Juros

Matematicamente essa razão é especificada como segue: 𝑖 =𝐽

𝑃. Em que 𝑖 é

a taxa de juros que é dada em porcentagem, 𝐽 é o valor dos juros e 𝑃 é o capital inicial

(também chamado de principal, valor atual ou valor presente).

35

Exemplo 2: Qual a taxa de juros cobrado num empréstimo de R$ 1.000,00 a ser

resgatado por R$ 1.400,00?

Dados: Capital inicial= 𝑃 = 1.000,00

𝑗 = 𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 − 𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙

Juros= 𝐽 = 1.400,00 − 1.000,00 = 400,00

Taxa de juros= 𝑖 =?

Solução: 𝑖 =400

1.000= 0,40 𝑜𝑢 40%

A taxa de juros também pode ser obtida de outra maneira. Como 𝐽 = 𝑆 − 𝑃 e

𝐼 =𝑆−𝑃

𝑃=

𝑆

𝑃−

𝑃

𝑃=

𝑆

𝑃− 1

Substituindo os dados do nosso exemplo nesta última relação, tem-se:

𝑖 =1.400

1.000− 1 = 0,40 𝑜𝑢 40%

A taxa de juros de 40% refere-se ao período da operação, não especificado

no exemplo. Se o preço dessa operação for de 1 ano, a taxa é de 40% ao ano; se for

de 8 meses, a taxa é de 40% para o período de 8 meses. Normalmente, a taxa de

juros é definida para certa unidade de tempo (dia, mês, trimestre, semestre, ano etc.).

Por outro lado, capitalização simples é aquela que a taxa de juros incide somente

sobre o capital inicial; não incide, pois, sobre os juros acumulados (TOSI, 2009).

2.1.2 Regime de Capitalização Simples (Juros Simples)

Segundo Tosi (2012), no regime de capitalização simples o valor dos juros é

calculado aplicando-se a taxa de juros sempre sobre o valor do capital inicial. A taxa,

portanto, é chamada de proporcional, uma vez que sua aplicação sobre o valor do

capital inicial produz juros que variam linearmente (de forma constante) ao longo do

tempo.

Figura 2: Juros Simples

Fonte: Tosi (2012)

36

Exemplo 3: 1% ao dia é igual a 30% ao mês, que por sua vez é igual a 360% ao ano

e assim por diante. Outro exemplo prático para ficar mais fácil o entendimento está

logo abaixo:

Exemplo 4: Se o Sr. José emprestar a quantia de $ 1.000,00, pelo prazo de três

meses, a uma taxa de 10% ao mês, ele terá que pagar ao banco, no final do terceiro

mês, a quantia de $ 300,00 a título de juros simples (1.000 x 10% = $ 100, ou seja,

durante três meses serão acumulados mensalmente $ 100,00 de juros).

2.1.3 Regime de Capitalização Compostos (Juros Compostos)

O Regime de capitalização composta o valor dos juros para o período atual

de cálculo é obtido pela aplicação da taxa de juros sobre o montante acumulado até

o início desse período. Ao aplicar determinada quantia a juros composto, o investidor

verá seu capital crescer de forma exponencial, ou seja, o montante acumulado até o

período anterior de capitalização servirá como base de cálculo para os juros desse

novo período. No Brasil, a maioria das operações do mercado financeiro é calculada

a juros compostos; por exemplo: Certificados de Depósitos Bancários, fundos de

Investimentos, Caderneta de Poupança, Crediários, Leasing etc (TOSI, 2009).

A seguir será apresentado um exemplo para ficar mais claro o conceito de

juros compostos.

Exemplo 5: O Sr. Abonado aplicou a quantia de $ 1.000,00 no Banco Caridade de

São Paulo, à taxa de juros compostos de 10% ao mês pelo prazo de três meses.

Verifica-se a evolução do dinheiro do Sr. Abonado ao longo dos três meses.

Após o primeiro mês de aplicação o Sr. Abonado terá acumulado a quantia de

$ 1.100,00 (10% a mais sobre $ 1.000,00). Para o segundo mês a base de cálculo do

valor dos juros será de $ 1.100,00, gerando um montante de $ 1.210,00 ($ 1.100,00

mais 10% sobre esse valor). Para o terceiro e último mês o valor dos juros será

calculado sobre $ 1.210,00, produzindo um montante de $ 1.331,00 ($ 1.210,00 mais

10% sobre esse valor).

Figura 3: Juros Compostos Fonte: Tosi (2009, p.68)

37

Segundo Assaf Neto (2012), no Brasil, os juros compostos são conhecidos

popularmente como “juros sobre juros”. Por meio da análise do caso anterior pode-se

observar que a juros compostos a taxa varia exponencialmente em função do tempo

(no exemplo, a taxa de 10% ao mês equivale a 33,10% ao trimestre), ou seja, para

encontrar taxas equivalentes a juros compostos. Logo, não pode simplesmente

multiplicar ou dividir as taxas pelos períodos de composição, como é realizado no

regime de capitalização simples, uma vez que os juros são exponenciais e não

lineares.

2.1.4 A Diferença entre Juros Simples e Compostos

Tosi (2009) mostra a diferença entre juros simples e compostos por meio de

um exemplo basicamente fácil: suponha que o Sr. Alex pediu emprestado ao Sr.

Mauro à quantia de $ 100.000,00 pelo prazo de três meses, sendo-lhe cobrada uma

taxa de juros de 10% ao mês. No final do terceiro mês, o Sr. Alex deverá devolver ao

Sr. Mauro o capital emprestado ($ 100.000,00) mais o valor total dos juros desse

período, ou seja, o montante ou valor futuro, que será representado na HP-12C pela

tecla FV (do inglês Future Value, ou seja, Valor Futuro).

Veja a seguir qual será a quantia a ser paga no final do terceiro mês no regime

de capitalização simples e no regime de capitalização composta:

a) Regime de Capitalização Simples (Juros Simples)

Prazo 𝒏 Juros simples (JS) Montante (FV)

1º mês 𝑅$ 100.000 × 0,10 = 𝑅$ 10.000 𝑅$ 100.000 + 𝑅$ 10.000 = 𝑅$ 110.000.

2º mês 𝑅$ 100.000 × 0,10 = 𝑅$ 10.000 𝑅$ 110.000 + 𝑅$ 10.000 = 𝑅$ 120.000.

3º mês 𝑅$ 100.000 × 0,10 = 𝑅$ 10.000 𝑅$ 120.000 + 𝑅$ 10.000 = 𝑅$ 130.000.

Total 𝑅$ 30.000 𝑅$ 130.000

Por meio dessa tabela, observa-se que, em cada período, o valor dos juros é

calculado sobre o capital inicial (𝑅$ 100.000,00), característica básica do regime de

capitalização simples. Por outro lado, o valor dos juros é igual em todos os períodos

de cálculo, o que nos possibilita dizer que o mesmo é linear em relação ao prazo.

Como já foi citado no regime de capitalização simples, para converter determinada

Tabela 3: Regime de capitalização simples (juros simples) Fonte: Domingos (2012)

38

taxa de juros basta multiplicá-la ou dividi-la pela quantidade de períodos de conversão

desejados (SOBRINHO, 2008).

Exemplo 6: 1% ao dia é igual a 30% ao mês (30 x 1%); 120% ao ano é igual a 10%

ao mês (120% ÷ 12), e assim por diante.

A seguir encontra-se a tabela representativa do valor dos juros compostos,

referente à aplicação de um capital de $ 100.000, à taxa de juros simples de 10% ao

mês, pelo prazo de 3 meses.

b) Regime de Capitalização Composta (Juros Compostos)

Prazo 𝒏 Juros compostos (JC) Montante (FV)

1º mês $ 100.000 × 0,10 = $ 10.000 $ 100.000 + $ 10.000 = $ 110.000.

2º mês $ 110.000 × 0,10 = $ 11.000 $ 110.000 + $ 11.000 = $ 121.000.

3º mês $ 121.000 × 0,10 = $ 12.100 $ 121.000 + $ 12.100 = $ 133.100.

Total $ 33.100 $ 133.100

Segundo (Domingos, 2012), a capitalização composta ocorre quando os juros

de cada período são incorporados ao capital, de forma que o resultado renda juros no

próximo período. Pela análise da tabela apresentada observamos o valor dos juros de

cada período é obtido pela aplicação da taxa sobre o montante (principal + juros)

acumulado até o início de período de cálculo. Nesse caso, na linguagem popular, diz-

se que houve “juros sobre juros”. Nesse regime de capitalização, o valor dos juros

cresce exponencialmente em relação ao tempo. Observe o gráfico representativo da

aplicação de um capital de $ 100,00, a juros compostos de 10% ao mês, pelo prazo

de 12 meses.

Tabela 4: Regime de capitalização compostas (juros compostos) Fonte: Domingos (2012)

Figura 4: Juros Compostos II Fonte: Domingos (2012)

39

Analisando a tabela do item b, podemos deduzir uma fórmula geral para o

cálculo do montante a juros compostos. Observe:

FV = P + J

FV = P + P × i

FV = P × (1 + i)

FV1 = P × (1 + i) → Valor do montante do primeiro período.

FV2 = FV1 × (1 + i); onde: FV1 = P × (1 + i)

FV2 = P × (1 + i) × (1 + i) → Valor do montante do segundo período.

FV3 = FV2 × (1 + i); onde: FV2 = P × (1 + i) × (1 + i)

FV3 = P × (1 + i) × (1 + i) × (1 + i) → Valor do montante do terceiro período.

𝐹𝑉𝑛 = 𝑃 × (1 + 𝑖) × (1 + 𝑖) … (1 + 𝑖) → Valor do montante do enésimo período.

Onde:

𝐽 = Valor dos juros.

𝐹𝑉 = Montante (principal + juros).

𝑃 = Principal ou capital inicial.

𝑖 = Taxa de juros na forma decimal.

𝑛 =Prazo ou número de períodos, expresso na mesma unidade de tempo da taxa de

juros.

Dessa forma, é deduzido uma fórmula geral para o cálculo do valor do montante

a juros compostos:

.

c) Diferença entre Regime de Capitalização Simples e Compostos

Observe um gráfico comparativo entre o valor dos juros simples e dos juros

compostos:

𝐹𝑉 = 𝑃 × (1 + 𝑖)𝑛

Figura 5: Juros Simples e Juros Compostos Fonte: Domingos (2012)

40

Pela análise do gráfico e fórmulas, pode-se concluir que:

Os juros crescem linearmente ao longo do tempo no regime de capitalização

simples, sendo seu valor constante durante os períodos; os juros crescem

exponencialmente ao longo do tempo no regime de capitalização composta, sendo

que o montante calculado até o período anterior seve como base de cálculo para os

juros do próximo período; o valor dos juros simples e dos juros compostos é igual no

primeiro período de capitalização; em nosso exemplo, a taxa de juros é de 10% ao

mês, portanto, se o empréstimo fosse realizado por um mês, o valor dos juros simples

seria igual ao valor dos juros compostos (TOSI, 2009).

d) Fluxo de Caixa

Qualquer problema de Matemática Financeira pode ser facilmente

demonstrado por meio de um diagrama de Fluxo de Caixa, que consiste na

representação gráfica das entradas e saídas de dinheiro ao longo do tempo. Observe

sua representação básica:

Onde:

A linha horizontal representa a linha do tempo, em que são destacadas as

entradas e saídas de dinheiro;

Uma entrada de caixa é representada por uma seta para cima e seu sinal, para

efeitos de convenção, é positivo;

Toda saída de caixa é representada por uma seta para baixo e seu sinal será

negativo.

Veja um exemplo:

Figura 6: Fluxo de Caixa Fonte: Domingos (2012)

Figura 7: Fluxo Caixa II Fonte: Domingos (2012)

41

Neste exemplo verifica-se o seguinte: Houve uma saída de dinheiro na data

focal zero de $ 100; após três meses, o dinheiro foi devolvido com juros de $ 33,10,

totalizando um montante de $ 133,10. Se a matemática financeira for analisada com

bastante simplicidade e objetividade, e que ela é composta de três tipos básicos de

problemas financeiros, quais sejam:

Tipo 1 – Pagamento único (“Tomada lá dá cá”):

Trata-se de um sistema em que o principal inicial aplicado ou emprestado será

pago ou recebido numa data futura por meio de um único pagamento, contendo o

valor do principal e juros.

Este tipo de problema corresponde a uma boa parte dos problemas do

mercado financeiro, sendo que o mesmo pode ser realizado, dependendo do

contratado, tanto no Regime de Capitalização Simples como Composta.

Alguns exemplos típicos de produtos do mercado financeiro brasileiro que

utilizam tal sistemática de fluxo de caixa são as operações de Hot Money

(empréstimos de curtíssimo prazo), Desconto de Duplicatas e Notas Promissórias,

Empréstimos para Capital de Giro com pagamento final, Certificado de Depósito

Bancário (CDB) etc (ASSAF NETO, 2012).

Tipo 2 – Séries uniformes ou parceladas (“Crediário”):

a) Primeira parcela após um período b) Primeira parcela no ato.

Figura 9: Primeira Parcela após um período Fonte: Domingos (2012)

Figura 8: Pagamento Único Fonte: Domingos (2012)

Figura 10: Primeira Parcela no Ato Fonte: Domingos (2012)

42

PMT: É o valor das prestações de uma série uniforme, ou pagamentos, como

é utilizado nas funções financeiras da HP-12C.

Nesse sistema, o principal inicial será pago ou recebido por meio de

prestações iguais e com periodicidade constante, podendo a primeira ocorrer no ato

da contratação ou um período após.

Trata-se de um problema típico de juros compostos, podendo ser aplicado na

solução das seguintes operações do mercado financeiro brasileiro: Leasing, Crédito

Direto ao Consumidor, Capital de Giro Parcelado e outras.

Tipo 3 – Série variável (“Fluxo de caixa”)

Nesse sistema, há um conjunto de entradas e saídas de dinheiro ao longo do

tempo, aplicadas a uma determinada taxa de juros, seguindo, normalmente, o regime

de capitalização composta. No exemplo, o principal inicial aplicado terá retorno por

meio da entrada de quatro fluxos de caixa com valores de recebimento diferenciados.

Esse sistema é bastante utilizado na solução de renegociações de dívidas em bancos

e para análise da rentabilidade de uma carteira variada de investimentos

(DOMINGOS, 2012).

2.2 Desconto

A chamada operação de desconto normalmente é realizada quando se

conhece o valor futuro de um título (valor nominal, valor de face ou valor de resgate)

e se quer determinar o seu valor atual.

Figura 11: Série Variável Fonte: Domingos (2012)

43

2.2.1 Conceito de Desconto

O desconto deve ser entendido como a diferença entre o valor de resgate de

um título e o seu valor presente na data de operação, ou seja: 𝐷 = 𝑆 − 𝑃, em que 𝐷

representa o valor monetário do desconto, 𝑆 o seu valor futuro (valor assumido pelo

título na data do seu movimento) e 𝑃 o valor creditado ou pago ao seu titular. Assim

como no caso dos juros, o valor do desconto também está associado a uma taxa e a

determinado período de tempo (LIMA et al, 2006).

Embora seja frequente a confusão entre juros e descontos, trata-se de dois

critérios distintos, claramente caracterizados. Assim, enquanto no cálculo dos juros a

taxa referente ao período da operação incide sobre o capital inicial ou valor futuro.

De maneira análoga aos juros, os descontos são também classificados em

simples e compostos, envolvendo cálculos lineares no caso do desconto simples e

exponenciais no caso do desconto composto.

2.2.2 Desconto Simples (Bancário ou Comercial)

Desconto simples é aquele em que a taxa de desconto incide sempre sobre o

montante ou valor futuro. É utilizado no Brasil de maneira ampla e generalizada,

principalmente nas chamadas operações de “desconto de duplicatas” realizadas pelos

bancos, sendo, por essa razão, também conhecido por desconto bancário ou

comercial (DANTE, 2013).

É obtido multiplicando-se o valor do resgate do título pela taxa de desconto e

pelo prazo a decorrer até o seu vencimento, ou seja: 𝐷 = 𝑆 × 𝑑 × 𝑛 em que 𝑑

representa a taxa de desconto e 𝑛 o prazo. E para se obter o valor presente, também

chamado de valor descontado, basta subtrair o valor do desconto do valor futuro do

título, como segue: 𝑃 = 𝑆 × 𝐷.

Exemplo 7: O desconto de uma duplicata gerou um crédito de $ 70.190,00 na conta

de uma empresa. Sabendo-se que esse título tem um prazo a decorrer de 30 dias até

o seu vencimento e que o Banco cobra uma taxa de desconto de 5,2% ao mês nessa

operação, calcular o valor da duplicata.

44

Dados:

𝑃 = 70.190,00

𝑑 = 5,2% 𝑎𝑜 𝑚ê𝑠

𝑛 = 37 𝑑𝑖𝑎𝑠

𝑆 =?

Solução: 𝐷 = 𝑆 × 𝑑 × 𝑛

Como nessa equação não têm os valores definidos para duas variáveis, 𝐷 e

𝑆, é impossível obter-se a solução desse problema somente através dela. Entretanto,

como sabemos que 𝐷 = 𝑆 − 𝑃, a substituição desta naquela equação nos permite

obter o valor da duplicata, com segue:

𝑆 − 𝑃 = 𝑆 × 𝑑 × 𝑛 ⇒ 𝑆 − 𝑆 × 𝑑 × 𝑛 = 𝑃

𝑆(1 − 𝑑 × 𝑛) = 𝑃 ⇒ 𝑆 =𝑃

(1 − 𝑑 × 𝑛)

Assim, ficará:

𝑆 =70.190,00

1 −0,052

30 × 37=

70.190,00

0,93587= 75.000,00

No caso do exemplo anterior, calcular a taxa mensal de juros correspondente

àquela operação, de acordo com o critério de juros compostos.

Dados:

𝑃 = 70.190,00

𝑆 = 75.000,00

𝑛 = 37 𝑑𝑖𝑎𝑠

𝑖𝑚 =?

Solução:

A maneira mais fácil para solucionar este problema é calcular a taxa referente

ao período da operação (de 37 dias), e em seguida, através do conceito de

equivalência de taxas, determinar a taxa mensal, como segue:

Taxa do período = 𝑖𝑝

𝑖𝑝 =𝑆

𝑃− 1 =

75.000,00

70.190,00− 1

𝑖𝑝 = 0,06853 𝑜𝑢 6,853 % para cada 37 dias.

45

2.2.3 Desconto Composto

Desconto composto é aquele em que a taxa de desconto incide sobre o

montante ou valor futuro, deduzido dos descontos acumulados até o período

imediatamente anterior. É obtido em função de cálculos exponenciais e praticamente

não é utilizado em nenhum país do mundo (TOSI, 2012).

Raramente se toma conhecimento de um caso em que esse critério tenha sido

aplicado. Tem importância meramente teórica. No caso do desconto simples, a taxa

do desconto incide somente sobre o valor futuro dos títulos, tantas vezes forem os

períodos unitários, ou seja, 𝐷 = 𝑆 × 𝑑 × 𝑛. Como 𝑃 = 𝑆 − 𝐷, deduz-se que 𝑃 =

𝑆(1 − 𝑑 × 𝑛) (LIMA et al, 2006).

Já no caso do desconto composto, para 𝑛 períodos unitários, a taxa de

desconto incide, no primeiro período, sobre o valor futuro do título; no segundo

período, sobre o valor futuro do título menos o valor do desconto correspondentes ao

primeiro período, no terceiro período, sobre o valor futuro do título menos os valores

dos descontos referentes ao primeiro e ao segundo período, e assim sucessivamente

até o enésimo período, de forma que:

𝑃1 = 𝑆 − 𝑑 × 𝑆 = 𝑆(1 − 𝑑)

𝑃2 = 𝑆(1 − 𝑑) − 𝑑 × 𝑆(1 − 𝑑) = 𝑆(1 − 𝑑)(1 − 𝑑) = 𝑆(1 − 𝑑)2

𝑃3 = 𝑆(1 − 𝑑)2 − 𝑑 × 𝑆(1 − 𝑑)2 = 𝑆(1 − 𝑑)2(1 − 𝑑) = 𝑆(1 − 𝑑)3

: :

𝑃𝑛 = 𝑆(1 − 𝑑)𝑛−1 − 𝑑 × 𝑆(1 − 𝑑)𝑛−1 = 𝑆(1 − 𝑑)𝑛−1(1 − 𝑑) = 𝑆(1 − 𝑑)𝑛

Assim, o valor líquido de um título, de prazo igual a 𝑛 períodos unitários,

calculado com base no desconto composto, é dado pela expressão:

2.3 A Matemática Financeira e a Progressão Geométrica

Uma das importantes aplicações de progressões geométricas é a Matemática

Financeira. A operação básica da matemática financeira é a operação de empréstimo.

Alguém que dispõe de um capital C (chamado de principal), empresta-o a outrem por

um certo período de tempo e, após esse período, recebe o seu capital C de volta,

𝑃 = 𝑆(1 − 𝑑)𝑛

46

acrescido de uma remuneração J pelo empréstimo. Essa remuneração é chamada de

juros.

A soma C+J é chamada de montante e será representada por M. A razão i =

J

C que é a taxa de crescimento do capital, será sempre referida ao período da operação

e chamada de taxa de juros.

Exemplo 8: Lúcia tomou um empréstimo de R$100,00. Dois meses após, pagou

R$140,00. Os juros pagos por Lúcia são de R$40,00 e a taxa de juros é de 40

100=

0,40 = 40% ao bimestre. O principal, que é a dívida inicial de Lúcia, é igual a

R$100,00; o montante, que é a dívida época do pagamento, é de R$140,00.

Exemplo 9: Manuel tomou um empréstimo de 100 reais, a juros de taxa 10% ao mês.

Após um mês, a dívida de Manuel será acrescida 0,10 X 100 reais de juros (pois J =

i.C), passando a 110 reais.

Solução: Se Manuel e seu credor concordarem em adiar a liquidação da dívida

por mais um mês, mantida a mesma taxa de juros, o empréstimo será quitado, dois

meses depois de contraído, por 121 reais, pois os juros relativos ao segundo mês

serão de 0,10 X 110 reais = 11 reais. Esses juros, assim calculados, são chamados

de juros compostos. Mais precisamente, no regime de juros compostos, os juros em

cada período são calculados, conforme é natural, sobre a dívida do início desse

período.

2.3.1 Juros Composto de Taxa i

Teorema 1-No regime de juros compostos de taxa i, um principal 𝐶0 transforma-se,

depois de n períodos de tempo, em um montante 𝐶𝑛 = 𝐶0(1 + 𝑖)𝑛 .

Prova: Basta observar que os valores do capital crescem a uma taxa constante i, e

portanto, formam uma progressão geométrica de razão 1 + 𝑖. Logo, quando aumenta

o número de tempo o valor do montante aumenta.

Exemplo 10: Pedro investe 150 reais a juros de 12% ao mês. Qual será o montante

de em três meses depois? Solução 𝐶3 = 𝐶0(1 + 𝑖)3 = 150(1 + 0,12)3 = 210,74 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠.

47

É importante perceber que o valor de uma quantia depende da época à qual

ela está referida. Se eu consigo fazer com que meu dinheiro renda 10% ao mês. É

mais vantajoso pagar R$105,00 daqui a um mês do que pagar R$100,00 agora. É

mais vantajoso pagar R$100,00 agora do que pagar R$120,00 daqui a um mês. No

fundo, só há um único problema de Matemática Financeira: deslocar quantias no

tempo.

Outro modo de ler o Teorema 1, 𝐶𝑛 − 𝐶0(1 + 𝑖)𝑛 , é que uma quantia, hoje igual

a 𝐶0, transforma-se-á, depois de n períodos de tempo, em uma quantia igual a 𝐶0(1 +

𝑖)𝑛 . Isto é, uma quantia, cujo valor atual é A, equivalerá no futuro, depois de n períodos

de tempo, a 𝐴(1 + 𝑖)𝑛. Essa é a fórmula fundamental da equivalência de capitais: Para

obter o valor futuro, basta multiplicar o atual por (1 + 𝑖)𝑛 . Para obter o valor atual,

basta dividir o futuro por (1 + 𝑖)𝑛 (LIMA et al, 2006).

O exemplo a seguir, resume-se de todos os problemas de Matemática

Financeira.

Exemplo 11: Pedro tomou um empréstimo de 300 reais, a juros de 15% ao mês. Dois

meses após, Pedro pagou 150 reais e, um mês após esse pagamento, Pedro liquidou

seu débito. Qual o valor desse último pagamento?

Os esquemas de pagamento abaixo são equivalentes. Logo, 300 reais, na

data 0, têm o mesmo valor de 150 reais dois meses após, mais um pagamento igual

a P, na data 3.

Igualando os valores, na mesma época (0, por exemplo), dos pagamentos nos

dois esquemas, obtém:

300 =150

(1 + 0,15)²=

𝑃

(1 + 0,15)³

Daí, P=283,76. O último pagamento foi de R$ 283,76.

Figura 12: Pagamentos Equivalentes Fonte: Domingos (2012)

48

Fórmula das taxas equivalentes. Se a taxa de juros relativamente a um

determinado período de tempo é igual a 𝑖, a taxa de juros. Relativamente a 𝑛 períodos

de tempo é 𝐼 tal que 1 + 𝐼 = (1 + 𝑖)𝑛 .

2.3.2 Série Uniforme de n Pagamentos iguais p

Teorema 2-O valor de uma série uniforme de 𝑛 pagamentos iguais a 𝑃, um tempo

antes do primeiro pagamento, é, sendo 𝑖 e taxa de juros, igual a 𝐴 = 𝑃1−(1+𝑖)−𝑛

𝑖

Prova: O valor da série na época 0 é

Prova: O valor da série na época 0 é 𝐴 =𝑃

1+𝑖+

𝑃

(1+𝑖)2 +𝑃

(1+𝑖)3 + ⋯ +𝑃

(1+𝑖)𝑛, que é a soma

de 𝑛 termos de uma progressão geométrica. Logo, será obtido 𝐴 =𝑝

1+𝑖

1−(1

1+𝑖)

𝑛

1−1

1+𝑖

=

𝑃1−(1+𝑖)−𝑛

𝑖

O corolário seguinte trata do valor de uma renda perpétua. Rendas perpétuas

aparecem em locações. Com efeito, quando se aluga um bem, cede-se a posse do

mesmo em troca de um aluguel, por exemplo mensal. Então, o conjunto dos aluguéis

constitui uma renda perpétua ou perpetuidade.

Corolário. O valor de uma perpetuidade de termos iguais a 𝑃, um tempo antes do

primeiro pagamento, e, sendo 𝑖 a taxa de juros, igual a 𝑃

𝑖.

Prova. Basta fazer 𝑛 tender para o infinito no teorema.

Exemplo 12: Um bem, cujo preço é R$120,00, é vendido em 8 prestações mensais

iguais, a primeira sendo paga um mês após a compra. Se os juros são de 8% ao mês,

determine o valor das prestações.

Figura 13: Série Uniforme Fonte: Domingos (2012)

49

Solução. Um pequeno comentário: essas prestações são ditas postecipadas, pois a

primeira prestação só é paga um tempo depois da compra.

Igualando os valores na época 0 (essa é a escolha natural da data de

comparação: um tempo antes do primeiro termo da série), obtém:

120 = 𝑃1 − (1 + 0,08)−8

0,08

𝑃 = 1200,08

1 − 0,08−8= 20,88

As prestações são de R$ 20,88.

Exemplo 13: Pedro tomou um empréstimo de 100, a juros mensais de taxa de 10%.

Quitou-o em três meses, pagando a cada mês de juros devidos e amortizando 30%

da dívida ao primeiro mês e 30% e 40% nos dois meses seguintes.

Na planilha abaixo, 𝑎𝑘 , 𝐽𝑘 , 𝑃𝑘 𝑒 𝐷𝑘 são, respectivamente, a parcela de

amortização, a parcela de juros, a prestação e o estado da dívida (isto é, o valor da

dívida após o pagamento da prestação) na época 𝑘.

𝑘 𝑃𝑘 𝐴𝑘 𝐽𝑘 𝐷𝑘

0 − − − 1001 40 30 10 702 37 30 7 403 44 40 4 −

Para facilitar a compreensão, olhe cada linha na ordem 𝐴𝑘, 𝐷𝑘, 𝐽𝑘 𝑒 𝑃𝑘. Os

sistemas anuais de amortização são o sistema de amortização constante (SAC) e o

sistema francês de amortização, também chamado de Tabela Price (Richard Price foi

um economista inglês). O sistema francês é caracterizado por prestações constantes.

Figura 14: O Valor da Série da época zero Fonte: Domingos (2012)

50

Exemplo 14: Uma dívida de 100 é paga, com juros de 15% ao mês, em 5 meses,

pelo SAC. Faça a planilha de amortização.

Solução: Como as amortizações são iguais, cada amortização será de 1

5 da dívida

inicial. A planilha é, portanto:

𝑘 𝑃𝑘 𝐴𝑘 𝐽𝑘 𝐷𝑘

0 − − − 1001 35 20 15 80

2 32 20 12 603 29 20 9 404 26 20 6 205 23 20 3 −

Para facilitar a compreensão, olhe cada linha na ordem 𝐴𝑘,𝐷𝑘,𝐽𝑘,𝑒 𝑃𝑘.

2.3.3 Números de Pagamentos n e i Taxa de Juros

Teorema 3. No SAC, sendo 𝑛 o número de pagamentos e 𝑖 a taxa de juros, temos.

𝐴𝑘 =𝐷0

𝑛, 𝐷𝑘 =

𝑛 − 𝑘

𝑛𝐷0, 𝐽𝑘 = 𝑖𝐷𝑘−1, 𝑃𝑘 = 𝐴𝑘 + 𝐽𝑘.

Prova. Se a dívida 𝐷0 é amortizada em 𝑛 quotas iguais, cada quota é igual a:

𝐴𝑘 =𝐷0

𝑛.

O estado da dívida, após 𝑘 amortizações, e: 𝐷𝑘 = 𝐷0 − 𝑘𝐷0

𝑛=

𝑛−𝑘

𝑛𝐷0. As duas

últimas fórmulas são óbvias.

Exemplo 15: Uma dívida de 150 é paga, em 4 meses, pelo sistema francês, com juros

de 8% ao mês. Faça a planilha de amortização. No sistema francês, as prestações

são constantes. Pelo teorema 2, cada prestação vale:

𝑃 = 𝐷0

𝑖

1 − (1 + 𝑛)−𝑛= 150

0,08

1 − 1,08−4= 45,29

𝑘 𝑃𝑘 𝐴𝑘 𝐽𝑘 𝐷𝑘

0 − − − 150,00 1 45,29 33,29 12,00 116,71 2 45,29 35,95 9,34 80,76 3 45,29 38,83 6,46 41,93

4 45,29 41,93 3,35 −

Para mais fácil compreensão, olhe cada linha na ordem 𝑃𝑘, 𝐽𝑘 , 𝐴𝑘 𝑒 𝐷𝑘 .

51

2.3.4 Sistema Francês de Amortização, sendo 𝑛 o Número de Pagamentos e 𝑖 a Taxa

de Juros

Teorema 4. No sistema francês de amortização, sendo 𝑛 o número de pagamentos e

𝑖 a taxa de juros, temos:

𝑃𝑘 = 𝐷0

𝑖

1 − (1 + 𝑖)−𝑛,

𝐷𝑘 = 𝐷0 =1 − (1 + 𝑖)−(𝑛−𝑘)

1 − (1 + 𝑖)−𝑛,

𝐽𝑘 = 𝑖𝐷𝑘−1, 𝐴 = 𝑃𝑘 − 𝐽𝑘 .

Prova: A primeira fórmula é, simplesmente, o teorema 2 e as duas últimas fórmulas

são óbvias. Quanto à segunda fórmula, observe que 𝐷𝑘 é a dívida que será liquidada,

postecipadamente, por 𝑛 − 𝑘 pagamentos sucessivos a 𝑃𝑘. Portanto, novamente o

teorema 2, terá:

𝐷𝑘 = 𝑃𝑘

1 − (1 + 𝑖)−(𝑛−𝑘)

𝑖.

Substituindo o valor de 𝑃𝑘, será obtido a segunda fórmula.

Exemplo 16: Em um mês cuja inflação foi de 7%, Paulo Jorge investiu seu capital a

juros de 30% ao mês. Evidentemente, isso não significa que Paulo Jorge tenha

aumentado seu poder de compra em 30%, pois, embora a quantidade de reais de

Paulo Jorge tenha crescido 30%, o valor do real sofreu uma redução. Dizemos nesse

caso que 30% ao mês é a taxa nominal de juros mensais de Paulo Jorge.

Suponha que, no início do referido mês, o capital 𝐶 de Paulo Jorge pudesse

comprar 𝑥 artigo de preço unitário igual a 𝑝. No fim do mês, o capital passou a ser

1,25𝑝. Logo, Paulo Jorge poderá agora comprar: 1,3𝐶

1,07𝑝= 1,21 𝑥 𝑎𝑟𝑡𝑖𝑔𝑜𝑠.

O poder de compra de Paulo Jorge aumentou em 21% nesse mês. Essa taxa

de 21% ao mês, a qual cresceu o poder de compra de Paulo Jorge, é chamada de

taxa real de juros.

52

Capítulo 3

Sistema de Amortização

A seguir, foram apresentadas as principais definições relativas

especificamente ao Sistema de Amortização Constante(SAC) e Sistema de

Amortização Francês (SAF) e suas aplicações.

3.1 Sistema de Amortização Constante (SAC)

O Sistema de Amortização Constante (SAC), como o próprio nome indica, tem

como característica básica serem as amortizações do principal sempre igual (ou

constantes) em todo o prazo da operação. O valor da amortização é facilmente obtido

mediante a divisão do capital emprestado pelo número de prestações (ASSAF NETO,

2012).

Os juros, por incidirem sobre o saldo devedor, cujo montante decresce após

o pagamento de cada amortização, assumem valores decrescentes nos períodos. Em

consequência do comportamento da amortização e dos juros, as prestações

periódicas e sucessivas do SAC são decrescentes em progressão aritmética (TOSI,

2009). Admita que o empréstimo de R$100.000,00 descrito no exemplo geral deva ser

pago, dentro de um prazo de 5 anos, com 30% ao ano e em 10 prestações semestrais.

Tabela 5: SAC sem carência

Períodos Semestres

Saldo Devedor (R$)

Amortização (R$)

Juros (R$)

Prestação (R$)

0 100.000,00 - - -

1 90.000,00 10.000,00 14.017,50 24.017,50

2 80.000,00 10.000,00 12.615,80 22.615,80

3 70.000,00 10.000,00 11.214,00 21.214,00

4 60.000,00 10.000,00 9.812,30 19.812,30

5 50.000,00 10.000,00 8.410,50 18.410,50

6 40.000,00 10.000,00 7.008,80 17.008,80

7 30.000,00 10.000,00 5.607,00 15.607,00

8 20.000,00 10.000,00 4.205,30 14.205,30

9 10.000,00 10.000,00 2.803,50 12.803,50

10 - 10.000,00 1.401,80 11.401,80

Total - 100.000,00 77.096,50 177.096,50

Tabela 5: SAC sem carência Fonte: Assaf Neto (2012)

53

Conforme foi comentado, o SAC determina que a restituição do principal

(capital emprestado) seja efetuada em parcelas iguais. Assim, o valor de cada

amortização constante devida semestralmente é calculado pela simples divisão entre

o principal (R$100.000,00) e o número fixado de prestações (10 semestres) ou seja:

𝐴mortização =Valor do Empréstimo

Nº de Prestações=

R$100.000

10= R$10.000,00/ semestre

Os pagamentos desses valores determinam, como é natural, decréscimos

iguais e constantes no saldo devedor em cada um dos períodos, ocasionando ainda

reduções nos valores semestrais dos juros e das prestações.

Para o cálculo dos juros trabalhou-se, como é mais comum nessas operações

de crédito de médio e longo prazo, com a taxa equivalente composta. Assim, para

uma taxa nominal de 30% ao ano, conforme considerada no exemplo ilustrativo geral,

a taxa equivalente semestral atinge:

Semestral de 30% a. a. = √1,30 − 1 = 14,0175% a. s

3.1.1Taxa Equivalente

Os juros, por incidirem sobre o saldo devedor imediatamente anterior,

apresentam valores aritmeticamente decrescentes. Para o final do primeiro semestre,

os encargos financeiros somam: 14,0175% x 100.000,00 = R$14.017,50; para final do

segundo semestre: 14,0175% x 90.000,00 = R$12.615,80; para o final do terceiro

semestre: 14,0175% x 80.000,00 = R$11.214,00; e assim por diante.

Somando-se, para cada período, o valor da amortização do principal com os

respectivos encargos financeiros, tem-se o valor da prestação semestral do

financiamento. Assim, para o primeiro semestre a prestação atinge: R$10.000,00 +

R$14.017,50 = R$24.017,50; para o segundo semestre: R$10.000,00 + R$12.615,80

= R$22.615,80; e assim sucessivamente.

Pode ser observado, uma vez, que a diminuição de R$1.401,70 no valor dos

juros em cada período é explicada pelo fato de as amortizações (fixas) reduzirem o

saldo devedor da dívida (base de cálculo dos juros) semestralmente em R$10.000,00.

54

Esta diminuição provoca, em consequência, uma redução nos juros equivalente:

14,017% x R$10.000,00 = R$1.401,70.

3.1.2 Expressão do Cálculo do SAC

São desenvolvidas a seguir expressões genéricas de cálculo de cada parcela

da planilha do sistema de amortização constante. Amortização (AMORT): Os valores

são sempre iguais e obtidos por:

𝐴𝑚𝑜𝑟𝑡 =𝑃𝑉

𝑛

Onde: PV = principal (valor do financiamento) e N = números de prestações.

Logo:

𝑃𝑉

𝑛= 𝐴𝑚𝑜𝑟𝑡1 = 𝐴𝑚𝑜𝑟𝑡2 = 𝐴𝑚𝑜𝑟𝑡3 = ⋯ = 𝐴𝑚𝑜𝑟𝑡𝑛

𝑃𝑉 = 𝐴𝑚𝑜𝑟𝑡1 + 𝐴𝑚𝑜𝑟𝑡2 + 𝐴𝑚𝑜𝑟𝑡3 + ⋯ + 𝐴𝑚𝑜𝑟𝑡𝑛

Saldo Devedor (SD): é decrescente em 𝑃. 𝐴 (Progressão Aritmética) pelo valor

constante da amortização. Logo, a redução periódica do 𝑆𝐷 é: 𝑃𝑉

𝑛.

Juros (J): pela redução constante do saldo devedor, os juros diminuem

linearmente ao longo do tempo, comportando-se como uma 𝑃. 𝐴 decrescente.

O valor periódico da redução é: (𝑃

𝑛) × 𝑖, sendo 𝑖 a taxa de juros.

As expressões de cálculo dos juros para cada período são:

J1 = PV × i

J2 = (PV −PV

n) × i

J2 = (PV x n − PV

n) × i

J2 =PV(n − 1)

n× i

J3 = (PV −PV

n−

PV

n) × i

J3 = (PV −2PV

n) × i

J3 =PV × n − 2PV

n× i

55

J3 =PV(n − 2)

n× i

J3 =PV

n× (n − 2) × i

E assim por diante. Para um período qualquer t, tem-se:

Jt = (PV −PV

n−

PV

n− ⋯ −

PV

n) × i

Jt = (PV −(t − 1) × PV

n) × i

Jt = (PV × n − (t − 1) × PV

n) × i

Jt = (PV[n − (t − 1)]

n) × i

𝐉𝐭 =𝐏𝐕

𝐧× (𝐧 − 𝐭 + 𝟏) × 𝐢

Por exemplo, na ilustração geral calcular o valor dos juros para o período 𝑡 =

7:

J7 =100.000,00

10× (10 − 7 + 1) × 0,140175

J7 = 10.000,00 × 4 × 0,140175

J7 = R$5.607,00

Prestação (PMT): é a soma da amortização com os juros, isto é:

PMT = Amort + J

PMT =PV

n+ [

PV

n× (n − t + 1) × i]

𝐏𝐌𝐓 =𝐏𝐕

𝐧× [𝟏 + (𝐧 − 𝐭 + 𝟏) × 𝐢]

Por exemplo, calcular no exemplo ilustrativo geral o valor da prestação no 5º

semestre.

PMT5 =100.000,00

10× [1 + (10 − 5 + 1) × 0,140175]

PMT5 = 10.000,00 × (1 + 6 × 0,140175)

PMT5 = 10.000,00 × 1,84105 = R$18.410,5

56

3.1.3 SAC com Carência

Ao se supor uma carência de 2 anos (contada a partir do final do primeiro

semestre), por exemplo, três situações podem ocorrer: Os juros são pagos durante a

carência; os juros são capitalizados e pagos totalmente quando do vencimento da

primeira amortização; os juros são capitalizados e acrescidos ao saldo devedor

gerando um fluxo de amortização de maior valor (TOSI, 2009).

O quadro mostra uma situação em que os juros são pagos durante a carência

estipulada. Assim, ao final dos quatro primeiros semestres, a prestação, constituída

unicamente dos encargos financeiros, atinge R$14.017,50, ou seja: 14,0175% X

R$100.000,00. A partir do quinto semestre, tendo sido encerrada a carência de 2 anos

(4 semanas), inicia-se a amortização (devolução) do principal emprestado, sendo o

fluxo de prestações, deste momento em diante, idêntico ao desenvolvido

anteriormente.

Tabela 6: SAC com carência (2 anos) e pagamento de juros

Períodos

Semestres

Saldo

Devedor R$ Amortização R$

Juros

R$

Prestação

R$

0 100.000,00 - - -

1 100.000,00 - 14.017,50 14.017,50

2 100.000,00 - 14.017,50 14.017,50

3 100.000,00 - 14.017,50 14.017,50

4 100.000,00 - 14.017,50 14.017,50

5 90.000,00 10.000,00 14.017,50 24.017,50

6 80.000,00 10.000,00 12.615,80 22.615,80

7 70.000,00 10.000,00 11.214,00 21.214,00

8 60.000,00 10.000,00 9.812,30 19.812,30

9 50.000,00 10.000,00 8.410,50 18.410,50

10 40.000,00 10.000,00 7.008,80 17.008,80

11 30.000,00 10.000,00 5.607,00 15.607,00

12 20.000,00 10.000,00 4.205,30 14.205,30

13 10.000,00 10.000,00 2.803,50 12.803,50

14 - 10.000,00 1.401,80 11.401,80

Total - 100.000,00 133.166,50 233.166,50

Tabela 6: SAC com carência (2 anos) e pagamento de juros Fonte: Assaf Neto (2012)

57

O plano de amortização da dívida na hipótese de juros não serem pagos

durante a carência. Neste caso, os encargos são capitalizados, segundo o critério de

juros compostos, e devidos integralmente quando do vencimento da primeira parcela

de amortização (ASSAF NETO, 2012).

O autor relata que ao final do primeiro semestre, o saldo devedor acrescido

dos juros de 14,0175% atinge R$114.017,50, isto é R$100.000,00 x 1,140175. Ao final

do segundo semestre, de forma idêntica, são calculados os juros de 14,0175% sobre

o saldo devedor anterior de R$114.017,50 e acrescidos ao mesmo, gerando um novo

saldo devedor atualizado de R$129.999,90 (R$114.017,50 x 1,140175)

Seguindo o mesmo raciocínio, no terceiro semestre o saldo devedor atinge

R$148.222,60 (R$129.999,90 x 1,140175), e no quarto período R$169.000,00

(R$148.222,60 x 1,140175).

No quinto semestre, o saldo devedor é novamente corrigido por 14,0175%,

atingindo o montante de R$192.689,20. No entanto, de acordo com as condições

estabelecidas para o financiamento, neste semestre inicia-se o pagamento das

amortizações periódicas (R$10.000,00/ semestre), sendo liquidado também o

montante capitalizado dos juros, o qual atinge R$92.689,20, ou seja:

A partir desse semestre, o esquema de cálculos da planilha financeira é

idêntico ao apresentado anteriormente. Por outro lado, prevê uma situação em que os

juros não pagos durante a carência são capitalizados e distribuídos uniformemente no

fluxo de amortização do financiamento a partir do quinto semestre.

De maneira contrária à situação descrita anteriormente, os encargos

financeiros totais de carência (juros semestrais capitalizados durante a carência) não

são pagos quando do vencimento da primeira parcela da amortização. Estes valores

são capitalizados e acrescidos ao principal, produzindo novas parcelas semestrais de

amortização.

Dessa forma, no quinto semestre (quando do término da carência), o saldo

devedor, somado ao montante capitalizado de juros, atinge, conforme está

demonstrado acima, R$169.000,00. As parcelas semestrais de amortização totalizam,

portanto, R$16.900,00 (R$169.000,00/10).

Os valores dos juros e das prestações referentes aos demais semestres são

apurados seguindo a metodologia de cálculo apresentada para o SAC. É interessante

notar, ainda, que nas três hipóteses de carência consideradas o valor total dos

58

pagamentos semestrais (prestações) difere bastante. Na ilustração contida no quadro,

o total das prestações atinge R$233.166,50; no outro quadro, atinge R$255.768,30; e

no outro quadro o total atinge R$299.292,70.

Na realidade, essas diferenças não estão efetivamente significando elevações

no custo relativo da dívida. O que ocorre é um maior prazo na restituição do capital

emprestado, o que determina maiores valores absolutos de juros (TOSI, 2009).

Ao se calcular a taxa interna de acordo (que mede, com maior rigor, o custo

efetivo do empréstimo) para as três ilustrações sugeridas, chega-se evidentemente a

14,0175% a. s. (ou: 30% a. a.), o que indica que o custo da prestação não é alterado,

apesar de os encargos financeiros assumirem valores monetários diferentes ao longo

do tempo.

3.2 Sistema de Prestação Constante (SPC)

O Sistema de Prestação Francês (SAF) ou Prestação Constante (SPC)

amplamente adotado no mercado financeiro do Brasil, estipula, ao contrário do SAC,

que as prestações devem ser iguais, periódicas e sucessivas. Equivalem, em outras

palavras, ao modelo-padrão de fluxos de caixa, conforme estudado anteriormente.

Nesse sistema, os valores dos juros diminuem. Por outro lado, os valores de

amortização aumentam até último mês.

3.2.1 Os Juros do Sistema de Prestação Constante

Os juros, por incidirem sobre o saldo devedor, são decrescentes, e as parcelas

de amortização assumem valores crescentes. Em outras palavras, no SPC, os juros

decrescem e as amortizações crescem ao longo do tempo. A soma dessas duas

parcelas permanecem sempre igual ao valor da prestação (RIBEIRO, 2012).

Com o intuito de melhor desenvolver a compreensão do sistema de prestação

constante, considere o exemplo ilustrativo geral proposto anteriormente. A seguir,

identifica a planilha financeira deste sistema, a qual é mais bem elaborada partindo-

se da última coluna para a primeira. Calculam-se inicialmente as prestações e,

posteriormente, para cada período, os juros e, por diferença, as parcelas de

amortização e o respectivo saldo devedor.

59

3.2.2 SPC sem Carência

Tabela 7: SPC sem carência (2 anos) e pagamento de juros

Períodos

Semestres

Saldo

Devedor R$ Amortização R$

Juros

R$

Prestação

R$

0 100.000,00 - - -

1 94.833,10 5.166,90 14.017,50 19.184,40

2 88.941,80 5.891,20 13.293,20 19.184,40

3 82.224,80 6.717,00 12.467,40 19.184,40

4 74.566,20 7.658,60 11.525,90 19.184,40

5 65.834,10 8.732,10 10.452,30 19.184,40

6 55.877,90 9.956,20 9.228,30 19.184,40

7 44.526,20 11.351,80 7.832,70 19.184,40

8 31.583,20 12.943,00 6.241,50 19.184,40

9 16.825,90 14.757,30 4.427,20 19.184,40

10 - 16.825,90 2.358,60 19.184,40

TOTAL - 100.000,00 91.844,00 191.844,00

As prestações semestrais são determinadas pela aplicação da fórmula de

valor presente do modelo-padrão.

𝑃𝑉 = 𝑃𝑀𝑇 × 𝐹𝑃𝑉(𝑖, 𝑛)

Onde: PV = valor presente

PMT = valor da prestação periódica, igual e sucessiva

FPV = fator de valor presente, sendo:

𝐹𝑃𝑉 =1 − (1 + 𝑖)−𝑛

𝑖

Substituindo os valores do exemplo ilustrativo na equação, tem-se:

100.000,00 = 𝑃𝑀𝑇 ×1 − (1,140175)−10

0,140175

100.000,00 = 𝑃𝑀𝑇 × 5,212555

𝑃𝑀𝑇 =100.000,00

5,212,555= 𝑅$19.184,40/ 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒

Tabela 7: SPC sem carência (2 anos) e pagamento de juros Fonte: Assaf Neto (2012)

60

Segundo Tosi (2009), os demais valores da planilha são mensurados de forma

sequencial em cada um dos períodos. Assim, para o primeiro semestre, tem-se:

Juros (calculados sobre o saldo devedor imediatamente anterior):

14,0175% × 𝑅$100.000,00 = 𝑅$14.017,50

Amortização (obtida pela diferença entre o valor da prestação e dos juros

acumulados para o período):

𝑅$19.184,40 − 𝑅$14.017,50 = 𝑅$5.166,90

Saldo devedor (saldo anterior no momento zero – parcela de amortização do

semestre)

𝑅$100.000,00 − 𝑅$5.166,90 = 𝑅$94.833,10

Para o segundo semestre, os cálculos são os seguintes:

Juros:

14.0175% × 𝑅$94.833,70 = 𝑅$13.293,20

Amortização:

𝑅$19.184,40 − 𝑅$13.293,20 = 5.891,20

Saldo devedor:

𝑅$94.833,10 − 𝑅$5.891,20 = 𝑅$88.941,90

E assim por diante.

3.2.3 Expressões de Cálculo do SPC

Conforme foi apresentado, no sistema de prestação constante as prestações

são constantes, os juros são decrescentes e as amortizações são exponencialmente

crescentes ao longo do tempo. As expressões básicas de cálculo destes valores são

desenvolvidas a seguir.

AMORTIZAÇÃO (AMORT): é obtida pela diferença entre o valor da prestação

(PMT) e o dos juros (J), ou seja:

𝐴𝑚𝑜𝑟𝑡 = 𝑃𝑀𝑇 − 𝐽

Amortização do primeiro período expressa-se:

𝐴𝑚𝑜𝑟𝑡1 = 𝑃𝑀𝑇 − 𝐽1, o que equivale a:

𝐴𝑚𝑜𝑟𝑡1 = 𝑃𝑀𝑇 − (𝑃𝑉 × 𝑖)

61

Como o seu crescimento é exponencial no tempo, o valor da amortização num

momento 𝑡 qualquer é calculado:

𝑨𝒎𝒐𝒓𝒕𝒕 = 𝑨𝒎𝒐𝒓𝒕𝟏 × (𝟏 + 𝒊)𝒕−𝟏

Por exemplo, na ilustração geral desenvolvida, o valor da amortização no

quarto semestre (𝑡 = 4) atinge:

𝐴𝑚𝑜𝑟𝑡4 = 5.166,90 × (1 + 0,140175)4−1

𝐴𝑚𝑜𝑟𝑡4 = 5.166,90 × (1 + 0,140175)3 = 7.658,60

Conforme demonstrado na planilha financeira.

Prestação (PMT): conforme foi demonstrado, o valor da prestação é calculado

mediante a aplicação da fórmula do valor presente desenvolvida para o

modelo-padrão de fluxos de caixa, isto é:

𝑃𝑀𝑇 = 𝑃𝑉 ×1

𝐹𝑃𝑉(𝑖, 𝑛)

Onde: 𝐹𝑃𝑉(𝑖, 𝑛) =1−(1+𝑖)−𝑛

𝑖

Saldo devedor (SD): calculado, para cada período, pela diferença entre o valor

devido ao início do intervalo de tempo e a amortização do período. Logo, para

uma data taxa de juros, o saldo devedor de qualquer período 𝑡 é apurado da

forma seguinte:

𝑆𝐷𝑡 = 𝑃𝑀𝑇 × 𝐹𝑃𝑉(𝑖, 𝑛 − 𝑡)

Por exemplo, na ilustração geral desenvolvida no capítulo, o saldo devedor no

financiamento atinge:

𝑆𝐷6 = 19.184,40 × 𝐹𝑃𝑉(14,0175%, 10 − 6)

𝑆𝐷6 = 19.184,40 × 𝐹𝑃𝑉(14,0175%, 4)

𝑆𝐷6 = 19.184,40 × 2,912667 = 𝑅$55.877,90

Resultado que coincide com o demonstrado na planilha financeira.

Juros (J): incide sobre o saldo devedor apurado no período no início de cada

período (ou ao final de cada período imediatamente anterior). A expressão de

cálculo de juros pode ser ilustrada da maneira seguinte:

𝐽1 = 𝑆𝐷0 × 𝑖 = 𝑃𝑉 × 𝑖

𝐽2 = 𝑆𝐷1 × 𝑖 = (𝑃𝑉 − 𝐴𝑚𝑜𝑟𝑡1) × 𝑖

𝐽3 = 𝑆𝐷2 × 𝑖 = (𝑃𝑉 − 𝐴𝑚𝑜𝑟𝑡1 − 𝐴𝑚𝑜𝑟𝑡2) × 𝑖

62

𝐽4 = 𝑆𝐷3 × 𝑖 = (𝑃𝑉 − 𝐴𝑚𝑜𝑟𝑡1 − 𝐴𝑚𝑜𝑟𝑡2 − 𝐴𝑚𝑜𝑟𝑡3) × 𝑖

E assim sucessivamente. Para um momento 𝑡 qualquer: 𝐽𝑡 = 𝑆𝐷𝑡−1 × 𝑖. Por

exemplo, determinar os juros devidos no terceiro semestre do exemplo ilustrativo

geral, conforme desenvolvido na planilha financeira.

𝑆𝐷𝑡−1 = 𝑃𝑀𝑇 × 𝐹𝑃𝑉(𝑖, 𝑛 − 𝑡)

𝑆𝐷3−1 = 19.184,40 × 𝐹𝑃𝑉(14,0175%, 10 − 2)

𝑆𝐷2 = 𝑅$88.941,80

𝐽3 = 𝑆𝐷3 × 𝑖 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝐽3 = 88.941,80 × 0,140175

𝐽3 = 𝑅$12.467,40

3.2.4 SPC com Carência

Identicamente aos demais sistemas, no SPC podem verificar-se períodos de

carência, nos quais, ainda, os encargos financeiros podem ser pagos ou capitalizados.

Por exemplo, situações em que os juros são pagos durante a carência e capitalizados

para resgate posterior (justamente com as prestações).

Tabela 8: SPC com carência (2 anos) e pagamento de juros

Períodos

Semestres

Saldo

Devedor R$ Amortização R$

Juros

R$

Prestação

R$

0 100.000,00 - - -

1 100.000,00 - 14.017,50 14.017,50

2 100.000,00 - 14.017,50 14.017,50

3 100.000,00 - 14.017,50 14.017,50

4 100.000,00 - 14.017,50 14.017,50

5 94.833,10 5.166,90 14.017,50 19.184,40

6 88.941,80 5.891,20 13.293,20 19.184,40

7 82.224,80 6.717,00 12.467,40 19.184,40

8 74.566,20 7.658,60 11.525,90 19.184,40

9 65.834,10 8.732,10 10.452,30 19.184,40

10 55.877,90 9.956,20 9.228,30 19.184,40

11 44.526,20 11.351,80 7.832,70 19.184,40

12 31.583,20 12.943,00 6.241,50 19.184,40

13 16.825,90 14.757,30 4.427,20 19.184,40

14 - 16.825,90 2.358,60 19.184,40

Total - 100.000,00 91.844,00 191.844,00

Tabela 8: SPC com carência (2 anos) e pagamento de juros Fonte: Assaf Neto (2012)

63

O Sistema Francês (Prestação Constante), com carência e pagamento dos

juros no período, conforme ilustrado, segue basicamente o mesmo esquema anterior

(SPC sem carência), diferenciando-se unicamente nas prestações dos quatro

primeiros semestres (carência).

Nestes períodos estão previstos somente pagamentos de R$14.017,50

referentes aos juros do principal não amortizado (14,0175% x R$100.000,00). Para os

demais semestres, o raciocínio é idêntico ao formulado anteriormente, apurando-se

prestações com valores constantes, juros decrescentes e amortizações crescentes.

No quadro acima está prevista a capitalização dos juros durante o período de

carência de quatro semestres. Somando-se este montante ao saldo devedor tem-se

um novo valor ao final do quarto semestre de R$169.000,00, o qual serve de base

para o cálculo das prestações com vencimento a partir do quinto semestre, ou seja:

Saldo devedor (4º semestre) que serve de base para o cálculo das prestações

após o período de carência (5º semestre):

𝑅$100.000,00 × (1,140175)4 = 𝑅$169.000,00

Prestação (PMT) semestral a ser paga a partir do 5º semestre:

𝑃𝑉 = 𝑃𝑀𝑇 ×1 − (1 + 𝑖)−𝑛

𝑖

169.000,00 = 𝑃𝑀𝑇 ×1 − (1,140175)−10

0,140175

169.000,00 = 𝑃𝑀𝑇 × 5,212555

Taxa de Juros Contratada = 30% a. a.

Taxa Linear Semestral = 30%/2 = 15% a. s.

Taxa Efetiva Anual de Juros = (1,15)²-1 = 32,25% a. a.

Deve ficar claro que o SPC com taxa nominal é próprio sistema francês de

amortização, introduzidas as observações comentadas. As alterações nos valores do

plano de amortização são devidas, fundamentalmente, ao uso da taxa de juros

proporcional simples em substituição à taxa equivalente composta.

Fica evidente, ainda, que se o período de amortização coincidir com a taxa

(prestações anuais e taxa de juros definidas também para ano, por exemplo), a taxa

nominal de juros será a própria taxa efetiva da operação, e os valores do plano de

amortização para o SPC com taxa nominal coincidirão com aqueles apurados pelo

SPC com taxa efetiva.

64

3.3 Sistema de Amortização Misto

O Sistema de Amortização Misto (SAM) foi desenvolvido originalmente para

as operações de financiamento do Sistema Financeiro de Habitação. Representa

basicamente a média aritmética entre o sistema francês (SAF) ou Sistema de

Prestação Constante (SPC) e o sistema de amortização constante (SAC), daí

explicando-se a sua denominação. Para cada um dos valores de seu plano de

pagamentos, devem-se somar aqueles obtidos pelo SPC com os si SAC e dividir o

resultado por dois (LIMA et al, 2006)

Os valores apresentados anteriormente ilustram o plano de amortização do

exemplo ilustrativo geral por meio do SAC e do SPC, respectivamente. Ao se adotar

o sistema misto de amortização para o empréstimo contraído tem-se, para o primeiro

período (semestre), os seguintes valores:

𝑃𝑀𝑇𝑆𝐴𝑀 =24.017,50 + 19.184,40

2= 𝑅$21.600,95

𝐽𝑢𝑟𝑜𝑠𝑆𝐴𝑀 =14.017,50 + 14.017,50

2

𝐴𝑚𝑜𝑟𝑡𝑆𝐴𝑀 =10.000,00 + 5.166,90

2= 𝑅$7.583,45

𝑆𝐷𝑆𝐴𝑀 =90.000,00 + 94.833,10

2= 𝑅$92.416,55

3.3.1 Comparação entre SAC, SPC e SAM

Uma avaliação comparativa dos três sistemas de amortização estudados

(SAC, SPC e SAM) é desenvolvida a partir do exemplo ilustrativo geral. Os valores

correspondentes a cada um dos planos de pagamento estão transcritos, conforme

foram calculados anteriormente (ASSAF NETO, 2012).

A partir das planilhas financeiras expostas, foi observado que as prestações

do SAC decrescem linearmente à razão de R$1.401,70 por semestre. Este valor

constante representa, conforme discutido, os juros de R$14,0175% aplicados sobre o

valor da amortização semestral (R$10.000,00). No SAF, as prestações são sempre

iguais, atingindo a R$19.184,40 em cada período.

65

Optando-se pelo SAC, o mutuário começa a pagar valores (prestações)

maiores que no SPC. Este comportamento se mantém até o momento em que as duas

retas descritas, indicando o momento da reversão.

3.3.2 Ponto de Igualdade das Prestações

𝑃𝑀𝑇𝑆𝑃𝐶 = 𝑅$19.184,40 (𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒)

𝑃𝑀𝑇𝑆𝐴𝐶 =𝑃𝑉

𝑛× [1 + (𝑛 − 𝑡 + 1) × 𝑖]

𝑃𝑀𝑇𝑆𝐴𝐶 =100.000,00

10× [1 + (10 − 𝑡 + 1) × 0,140175]

Igualando-se:

𝑃𝑀𝑇𝑆𝑃𝐶 = 𝑃𝑀𝑇𝑆𝐴𝐶

Tem-se:

100.000,00

10× [1 + (10 − 𝑡 + 1) × 0,140175] = 19.184,40

10.000,00 × [1 + 1,40175 − 0,140175 × 𝑡 + 0,140175] = 19.184,40

10.000,00 + 14.017,50 − 1.401,75 × 𝑡 + 1.401,75 = 19.184,40

1.401,75 𝑡 = 6.234,85 = 𝑡6.234,85

1.401,75= 4,45

Esse resultado pode ser confirmado nas prestações calculadas. No 4ª

semestre, a prestação (𝑃𝑀𝑇) pelo SAC de R$19.812,30 é superior ao valor constante

de R$19.184,40 determinado pelo SPC, situando-se ligeiramente abaixo do 5ª

semestre. Logo, a intersecção se verifica entre estes dois períodos, verificando-se

uma igualdade das prestações exatamente no semestre 𝑡 = 4,45.

66

Capítulo 4

Metodologia

A referente pesquisa será dividida em duas etapas: A pesquisa bibliográfica e

a de campo. Dessa forma, iniciou através da construção de um vasto levantamento

bibliográfico elaborado a partir de materiais disponíveis e publicados por meio da

internet. Utilizou-se também o auxílio de livros em busca de subsídios que abordam o

tema apresentado.

De acordo com Marconi (2007), a pesquisa bibliográfica é aquela que se

realiza a partir do registro disponível, decorrentes de pesquisas anteriores, em

documentos impressos, como livros, artigos, teses etc. Utiliza-se dados ou de

categorias teóricas já trabalhados por outros pesquisadores e devidamente

registrados.

O estudo teve uma abordagem qualitativa descritiva, tendo como finalidade

analisar e discutir os resultados do questionário e da sequência didática. Para Barros

(2000, p.84), “pode-se realizar o estudo de campo tipificando um indivíduo, uma

comunidade, uma organização, uma empresa, um bairro comercial, uma cultura etc.

4.1 Área de Estudo

A Escola Estadual Professor Antônio Ferreira de Lima Neto localiza-se na

Zona Norte de Macapá, no bairro Parque dos Buritis possui uma clientela de 2080

alunos de acordo com o senso de 2015. A escola possui três modalidades de Ensino:

Ensino fundamenta II, Ensino Médio e Educação de Jovens e Adultos-EJA. Possui 86

docentes, sendo 9 da disciplina de Matemática, sendo que dois professores atuam no

Ensino Médio no período noturno.

4.2 Participantes da Pesquisa

A pesquisa de campo desenvolveu-se no período de 03 a 10 de agosto de

2015, na turma 323 do Ensino Médio Regular no período noturno. Em 2015 foram

matriculados 40 alunos nessa turma. No percentual de 62,5% do sexo feminino e

67

37,5% do sexo masculino. Assim, a coleta de dados permitiu analisar a participação

dos alunos. Para analisar e discutir os resultados da pesquisa, segue-se as diretrizes

das pesquisas qualitativa, por ser apropriada para compreender a importância dos

sistemas de amortização como conteúdo matemático no ensino médio regular no

contexto de uma educação financeira.

Em geral as investigações que se voltam para uma análise quantitativa têm

como objeto situações complexas ou estritamente particulares. Os estudos que

empregam uma metodologia qualitativa podem descrever a complexidade de

determinado problema, analisar a interação de certas variáveis, compreender e

classificar processos dinâmicos vividos por grupos sociais, contribuir no processo de

mudança de determinado grupo e possibilitar, em maior nível de profundidade, o

entendimento de particularidades do comportamento dos indivíduos (BARROS, 2000,

p.80).

Foram escolhidos 28 alunos da turma 323 EM-R dividida em três encontros.

No primeiro encontro foi feito a observação da turma, pelo qual, os alunos no decorrer

da pesquisa foram denominados 𝐴1, 𝐴2, 𝐴3, … , 𝐴𝑛.

No segundo encontro foi apresentado um questionário com 7 perguntas

fechadas aos alunos (Apêndice 1), sendo que os resultados foram apresentados em

gráficos e no terceiro momento foi apresentado uma atividade de sequência didática

que consistiu na aplicação e construção da tabela SAF (Apêndice 2).

A sequência didática foi apresentada e exposta no dia 07 de agosto de 2015.

A metodologia utilizada para aplicação foi de dividir a turma em 07 grupos de 04

alunos, sendo que cada grupo possuía uma calculadora (segue anexo).

Para cada encontro foram necessárias 02 aulas (45 min), com a sequência de

apresentação de conceitos de sistema de amortização de empréstimo e

financiamento.

68

Capítulo 5

Análise e Discussão dos Resultados

Inicialmente foi feito a socialização a respeito do tema pesquisado. Os dados

coletados foram obtidos a partir da construção de questionário fechado com 07

perguntas voltada da temática. Com a pesquisa é de caráter de campo, os resultados

foram apresentados em gráfico de setor (pizza), com o uso de regras de três simples

para o cálculo do porcentagem dos valores apresentado em tabulação.

Esse tipo de tabulação é muito utilizado por fontes para apurar os resultados

da pesquisa. Um bom pesquisador é aquele que sabe ouvir, mas ouvir de forma ativa,

demonstrando ao entrevistado que está interessado em sua fala, em suas emoções,

realizando novos questionamentos, confirmando com gestos, ouve atentamente e

quer compreender suas palavras, mas sem influenciar seu discurso. Ele aprofunda o

relato do participante e mostra atenção sobre detalhes importantes. Nesse caso, as

amostra são informações importantes na pesquisa. Exemplo disso, são os gráficos de

setor.

Segundo Marconi (2007), “os gráficos de setor são úteis para mostrar as

alterações de dados em um período de tempo ou para ilustrar comparações entre

itens. São geralmente organizadas ao longo do eixo horizontal, e os valores ao longo

do eixo vertical”.

As questões foram estruturadas da seguinte forma: 03 voltadas para a

Educação Financeira e as outras 04 questões destinou-se as temáticas da Matemática

Financeira. Participaram da pesquisa 28 alunos da 3ª série do Ensino Médio Regular

da E.E Professor Antônio Ferreira Lima Neto.

Gráfico 1-O que é Educação Financeira?

64%

29%

7%É a compreensão dos conceitos de finanças eprodutos financeiros pelas pessoas.

É o preparo para vida através do Ensino daMatemática.

É um sistema de compra e vendas.

Fonte: Pesquisa de Campo

69

De acordo com os dados apurados no gráfico 1, dos 28 alunos entrevistados

64% afirmaram que a Educação Financeira é a compreensão dos conceitos de

finanças e produtos e 7% dos alunos disseram que é um sistema de compra e venda.

Por outro lado, 29% disseram que é o preparo para o ensino da matemática.

Segundo Organização de Cooperação e de Desenvolvimento Econômico

OCDE (2005), a educação financeira é “o processo mediante o qual os indivíduos e

as sociedades melhoram a sua compreensão em relação aos conceitos e produtos

financeiros, de maneira que, com informação, formação e orientação, possam

desenvolver os valores e as competências necessários para se tornarem

mais conscientes”.

Gráfico 2- O que é Inflação?

No gráfico 2 constatou-se que a maioria dos alunos relacionaram a inflação

com o aumento generalizado dos valores dos produtos. Segundo Kiyosaki (2011), na

era da informação, a educação e o aprendizado contínuo são mais importantes do que

nunca. Infelizmente, as escolas não se preocupam em explicar alguns conceitos como

crise financeira e a inflação.

Assim, a Educação Financeira não preparará financeiramente a pessoa para

um mundo que se expande e evolui rapidamente. Resumindo, as escolas mudam

muito lentamente e o mundo está mudando em alta velocidade.

No gráfico 3 abaixo, ficou constatado que a maioria dos alunos afirmaram que

a Educação Financeira é muito importante na formação crítica e cidadã e apenas 4%

afirmaram que esse conteúdo não contribui para essa formação.

4%

14%

82%

São dívidas.

São gastos durante um período.

É o aumento generalizado dos valoresdos produtos.

Fonte: Pesquisa de Campo

70

Gráfico 3- Você acha importante a Educação Financeira em sua formação cidadã?

A Matemática Financeira está presente no dia-a-dia do homem desde a

antiguidade, e seus princípios, de forma aprimorada, permanecem e com grande força

até os dias atuais. A matemática foi gradualmente, sendo utilizada para o comércio e

para as finanças em decorrência da necessidade de melhor entendimento entre as

atividades de troca. “a ideia de juro apareceu naturalmente a partir do momento em

que o homem constatou a relação entre tempo e capital” (TOSI, 2009).

Sabe-se que ao nosso redor é constatado diversas situações da matemática

financeira, seja numa loja ou numa indústria existem um planejamento financeiro

elaborado para atingir os resultados. Na escola, não é diferente, os recursos

financeiros são fundamentais para o andamento das atividades durante um exercício.

Gráfico 4- Quais os conteúdos que você gosta da Matemática Financeira?

96%

4%

Sim. Não.

61%

7%

0%

29%

3%Juros.

Descontos.

Sistema de Amortização.

Porcentagem.

Nenhum

Fonte: Pesquisa de Campo

Fonte: Pesquisa de Campo

71

Percebeu-se no gráfico 4 que a maioria dos entrevistados gosta dos

conteúdos de juros e porcentagem. Segundo Assaf Neto (2012), a maioria dos livros

da 3ª série Ensino Médio resume-se em porcentagem, descontos e juros. É raro nos

livros situações problemas envolvendo situações econômicas.

Diga-se de passagem, que os conteúdos abordados não apresentam

embasamentos teóricos que servem para fundamentar a real importância que a

matemática representa nos dias atuais, uma vez que prepara o aluno para a vida

econômica.

Gráfico 5- Você utiliza a Matemática Financeira no seu dia-a-dia?

Percebeu-se no gráfico 5, que 86% dos alunos relacionam Matemática

Financeira com situações do dia-a-dia. Outro ponto, a ser destacado que, para a

maioria deles a matemática financeira é o mesmo que educação financeira.

Para Sobrinho (2008), Na Era de informação, precisa-se de três tipos

seguintes de educação: Acadêmica, profissional e financeira Se uma pessoa tem uma

Educação Financeira sólida, ela não se agarrará à segurança do trabalho, a um salário

fixo e a uma aposentadoria. Se uma pessoa conhece as leis tributárias, não pagará

impostos desnecessariamente. Se ela compreende o sistema bancário, não colocará

seu dinheiro na poupança. Em vez de dizer que sua casa é um ativo, saberá que se

trata, na verdade, de um passivo.

No gráfico 6 abaixo, foi constatado que o recurso mais utilizado pelo professor

nas aulas de matemática segundo os alunos são os livros. Para o autor Toledo (2009),

o processo de construção de conhecimento em sala de aula depende do uso dos livros

e da disponibilidade de tempo, espaço e material didático para o aluno aprender.

86%

14%

Sim. Não.

Fonte: Pesquisa de Campo

72

Gráfico 6- Que tipo de recurso o professor utiliza para você aprender a Matemática

Financeira?

De modo geral, pode-se considerar que o uso do livro didático permite ao

aluno a pesquisar e investigar sobre uma determinada temática. É importante

ressaltar, no que se refere a Matemática Financeira muitos livros apresentam tema

resumidos através de fórmulas e problemas sem contextualização.

Gráfico 7- Você já ouviu falar em Sistema de Amortização?

No gráfico 7 foi constatado que a maioria dos alunos nunca ouviram falar em

Sistema de Amortização. Acredita-se que um dos motivos para os profissionais não

trabalharem o Sistema de Amortização é devido a carga horária que

consequentemente o aluno não chega a conhecer os Sistema SAC e SAF. Segundo

Sobrinho (2008), amortização é tema muitas das vezes abordados apenas em alguns

82%

4%0%

14%

Livro didático.

Uso de material concreto.

Uso da calculadora.

Quadro branco.

43%

57%

Sim. Não.

Fonte: Pesquisa de Campo

Fonte: Pesquisa de Campo

73

cursos técnicos como administração e contabilidade não fazendo parte do currículo

do Ensino Médio regular.

Sequência de Didática de uma atividade para os alunos da 3ª série do Ensino

Médio Regular da Escola Estadual Professor Antônio Ferreira Lima Neto sobre

Sistemas de Amortização.

Como afirma Kiyosaki (2011), que o Sistema de Amortização representa o

capital e os encargos que são restituídos ao credor de capital. Para Tosi (2009),

amortização refere-se ao pagamento do capital emprestado que pode ser mensal,

bimestral, trimestral etc. Assim, o saldo devedor representa o valor da dívida, por

outro lado a prestação é o valor da amortização somando-se aos encargos financeiro

devido um período de tempo.

Logo, prestação = encargos + encargos financeiros.

Primeiramente foi apresentada no quadro branco a tabela com um exemplo

do sistema PRICE. Seguindo a sequência, a tabela 10 foi preenchida pelos grupos

divididos em sala de aula.

Atividade: Lima Neto comprou um terreno para construir uma escola por R$ 5.000,00

para ser quitado em 5 meses, sem entrada, a taxa de 10% am. Construa uma planilha

de acordo com o sistema SAF.

Tabela 9: Sistema SAF com apenas os períodos

Período Juros Prestação Amortização Saldo Devedor

0

1

2

3

4

5

Total

Tabela 9: Sistema SAF com apenas os períodos Fonte: Acadêmicos

74

Sabe-se que o sistema de Amortização Francês, as prestações são constantes

e calculado de acordo que foi exposto pelos autores no item (3.2) da pesquisa. Logo,

será obtido:

Presente Valor = 5.000,00

P: Prestação = ?

u: U de parcelas = 5

t: Taxa de juros = i = 10% =10

100= 0,1. Logo, o valor será:

𝑃 = 𝑃𝑉 ×(1 + 𝑖)𝑢 × 𝑖

(1 + 𝑖)𝑢 − 1

𝑃 = 5000 ×(1 + 0,1)5 × 0,1

(1 + 0,1)5 − 1

𝑃 = 5000 ×(1,1)5 × 0,1

(1,1)5 − 1

𝑃 = 5000 ×(1,61051 × 0,1)

(1,61051 − 1)

𝑃 =5000 × 0,161051

0,61051=

805,255

0,01051→ 𝑃 = 1.319,00

Percebe-se que no sistema PRICE, de acordo com os valores resolvidos, as

prestações não variam. Logo, o valor do primeiro mês que era de R$ 1.319,00 se

repetia até o quinto mês. Contudo, que os juros, prestação e a amortização não

acontecem no período zero. Dessa forma, na tabela 10 o período zero é apresentado

apenas o saldo devedor.

Tabela 10: Sistema SAF

Período Juros Prestação Amortização (𝑨 = 𝑷 − 𝒅)

Saldo Devedor

0 − − − 5.000,00

1 5.000 × 10%= 500,00

1.319,00 1.319 − 500= 819,00

4.181,00

2 4.181 × 10%= 480,00

1.319,00 1.319 − 418= 900,90

3.280,10

3 3.280,10 × 10%= 328,01

1.319,00 1.319 − 328,10= 990,99

2.289,11

4 2.289,11 × 10%= 228,91

1.319,00 1.319 − 228,91= 1.090,09

1.199,02

5 1.199,02 × 10%= 119,90

1.319,00 1.319 − 119,90= 1.199,10

−

Total 𝟏. 𝟓𝟗𝟒, 𝟗𝟐 𝟔. 𝟓𝟗𝟓, 𝟎𝟎 ≅ 𝟓. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 −

Tabela 10: Sistema SAF Fonte: Acadêmicos

75

Na Atividade 1 constatou-se que apenas 03 grupos tiveram dificuldade de

seguir passo a passo os cálculos do sistema PRICE. Por outro lado, a maioria

compreendeu a sequência de resolução do problema aplicado em sala de aula pelos

pesquisadores. Vale ressaltar, que na tabela PRICE apresentada na sequência

didática no quadro branco mostrou o valor da prestação de R$ 1.319,00. Por outro

lado, os juros são valores decrescentes, isto é, a cada mês os juros diminuem. Dessa

forma, o sistema de amortização é uma progressão geométrica que foi estudada no

1º Bimestre de matemática, pelos alunos.

Seja 𝑎1 = 819,00 e 𝑎2 = 900,90.

Fazendo a razão que se dá 𝑞 =𝑎2

𝑎1.

Logo, 𝑞 =𝑎2

𝑎1=

900,90

819,00= 1,1.

Dessa forma, fazendo o produto de 𝑎2 ∙𝑎3

𝑞

Obs.: 𝑎2 =𝑎3

𝑞, pois o resultado abaixo mostra 𝑎2 ∙ 𝑞 = 𝑎3 ⇒ 900,00 ∙ 1,1 =

990,99.

Logo, 𝑎3 = 990,99 mostra o terceiro valor amortizado. Assim, mostrou-se que

a maioria dos alunos compreenderam o significado e o uso da matemática financeira

através do sistema de amortização no dia a dia, como por exemplo, em uma dívida ou

empréstimo financeiro.

É importante ressaltar que a sequência didática permitiu mostrar a relação do

Sistema de Amortização Francês com a Progressão Geométrica. Assim, a sequência

de didática de uma atividade para os alunos da 3ª série do Ensino Médio Regular da

Escola Estadual Professor Antônio Ferreira Lima Neto sobre Sistemas de

Amortização, normalmente apresentada nos cursos de Contabilidade pode ser

trabalhada em sala de aula na 3ª série do Ensino Médio e com aplicações de

progressões aritméticas e geométricas. Ressalta-se ainda, a importância do uso da

calculadora como recurso, na socialização de atividades financeiras e econômicas

dentro da sala de aula.

76

Considerações Finais

Percebe-se que é possível trabalhar o Sistema de Amortização no Ensino

Médio. Na realidade a amortização deveria ser incluída na grade curricular no Ensino

da Matemática Financeira, que por sua vez deve priorizar uma abordagem voltada

para as aplicações e situações problemas do dia-a-dia, pelo qual, todos os alunos

participem e utilizado o uso das tecnologias com planilhas, computadores e

calculadora financeira.

Os Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio de matemática

aborda indicativos para Educação Financeira. Esses conteúdos podem serem

trabalhados em ações ou até mesmo projetos sintetizado como conhecimentos sobre

hábitos de economizar, consumir, poupar ou até mesmo investir. Em meio a evolução

tecnológica, o professor pode utilizar a calculadora, o livro didático ou até mesmo o

quadro para socializar uma temática abordada.

A temática sobre a importância dos Sistemas de Amortização como conteúdo

matemático no ensino médio regular no contexto de uma educação financeira mostrou

que é preciso conceituar termos e definições que vise o aluno compreender as

aplicações financeiras no dia-a-dia.

No contexto histórico da Idade Antiga e Medieval, as ideias relacionada as

finanças baseava-se trocas de produtos em diversas formas de comercialização. O

homem desenvolveu ideias que levaram à criação da Matemática e de outros

conhecimentos voltado para o atual ensino escolar, que muitas vezes essa formação

é voltada para busca de um emprego.

O problema com a educação tradicional é que ela é um processo para

transformar a pessoa em um emprego. É por isso que a maioria das pessoas diz: “Vá

para a escola para conseguir um bom emprego”. A maioria das pessoas que questiona

a ideia de ir para a escola para conseguir um bom emprego. Uma pessoa inteligente

perguntaria: “E se eu não quiser ser um empregado?”.

Segundo Kiyosaki (2011), há quatro escolhas em educação: E – significa

empregado; A – significa autônomos e proprietários de pequenas empresas; D –

significa danos de grandes negócios; e I – significa investidor. As escolas tradicionais

preparam os estudantes para os Quadrantes E e A. Exemplos de A são as faculdades

de Direito, de medicina e Odontologia. Uma pessoa financeiramente inteligente iria

77

querer saber o que deve aprender para operar a partir dos Quadrantes D e I. Os

Quadrante D e I criam as pessoas mais ricas do mundo, aquelas que mais ganham e

menos impostos pagam.

Educação Financeira neste caso, não é poupar, é sim investir em operações

de Sistema de Amortização. Constatou-se que os sistemas de amortização são

importantes como conteúdo da Matemática Financeira no contexto atual do Ensino

Médio Regular. Da mesma forma, que a Matemática Financeira contribui para um

ensino em que o aluno possa compreender a importância da economia, da crise

econômica, da inflação e do crescimento comercial como cidadão.

Percebeu-se que os conteúdos de Matemática Financeira não é apenas um

trabalho de disseminar conhecimento; envolve também um olhar profundo para a

pessoa humana, uma vez que o comportamento está implicado no processo. Trata-

se, assim, de ajudar a pessoa a conhecer o seu “eu” financeiro para ser desenvolvidos

em atividades apresentadas no contexto atual ou até na análise de um conteúdo

abordado do livro didático ou de um informe de um dado estatístico.

Assim, a presente pesquisa mostrou através dos resultados coletados e

discutidos, que a proposta pedagógica da escola campo está voltado para o uso do

livro didático para o ensino da Matemática Financeira no Ensino Médio.

Outro ponto, a ser destacado, que a maioria dos alunos entrevistados

afirmaram que o conceito de Educação Financeira é o preparo para a vida através do

Ensino da Matemática, bem como, o conceito de inflação está relacionada aos gastos.

Apesar das duas questões estarem relacionada com o tema, as respectivas respostas

são a compreensão dos conceitos de finanças e produtos financeiros pelas pessoas

e o aumento generalizado dos valores dos produtos.

No que se refere aos conteúdos, a maioria dos alunos afirmaram que gostam

de juros e descontos. Os mesmos não conheciam os Sistemas de Amortização.

Porém, com a sequência didática utilizada em sala de aula na pesquisa de campo, os

mesmos compreenderam a utilização desse sistema no contexto escolar e social.

Logo, é necessário encontrar um jeito de fazer essa metodologia chegar não

apenas a pessoas isoladas, mas atingir as pessoas que possui dificuldades de

compreender a Matemática Financeira, copilando as práticas cotidianas e adotando

desde a infância, os conceitos desenvolvidos, os temas que mais preocupavam as

pessoas.

78

Após, o questionário e a sequência didática, os alunos compreenderam o

Sistema de Amortização Francês-SAF, e que permitiu a leitura, análise de tabelas, e

gráficos relacionados a prática cotidiana do controle financeiro da própria vida

pessoal, nos negócios, nas empresas ou até mesmo na escola que leva a criação de

uma metodologia para lidar com as finanças pessoais de uma forma saudável,

considerando os aspectos comportamentais da relação que as pessoas mantêm com

o dinheiro.

Dessa maneira, o professor de Educação Matemática precisa de uma maior

grade curricular que seja inserido o Sistema de Amortização do Ensino Médio Regular.

Ficou claro que a pesquisa trouxe muitos desafios para o professor de matemática

como o uso de conceito e definições para aplicação de situações problemas.

Recomenda-se que os professores de matemática necessitam de cursos de

capacitações relacionados a Matemática Financeira principalmente no Sistema de

Amortização que está relacionado com outros conteúdos matemáticos. Neste caso,

as progressões aritméticas e geométricas. Contudo, as escolas podem abordar essa

temática, numa elaboração de projetos ou de uma atividade contextualizada numa

feira de ciências exatas.

79

Referências

ARAGÃO, Heliete Meira. Materiais manipulativos para o ensino de sistema de numeração decimal. São Paulo: Edições Mathema (coleção mathemoteca/ organizadoras Kátia Stocco Smole, e Maria Iignez Diniz, 2012. ASSAF NETO, Alexandre. A Matemática Financeira e suas aplicações. 12ª Edição-

São Paulo: Atlas, 2012. BARROS, Aidil de Jesus Paes de. Projeto de Pesquisa: propostas metodológicas. Petrópolis. RJ: Vozes, 2000. BRASIL, Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional (LDBN). Lei nº 9394, 20 de

dezembro. Ensino Médio. Artigo 35º. 1997. ______, Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio (PCNEM), As competências da matemática. 2011. ______, Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio. Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias, 2000. DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto e aplicações. 2. Ed. – São Paulo: Ática, 2013. DOMINGOS, Reinaldo. Terapia financeira: realiza seus sonhos com educação

financeira. São Paulo: DSOP Educação Financeira, 2012. FAORO, Raymundo. Os Donos do Poder: Formação do patronato político brasileiro-

16ª Ed. São Paulo, Globo, 2010. GRANDO, Neiva. Matemática Financeira: alguns elementos históricos e contemporâneos. Tese de Mestrado. UNICAMP, 2010. IFHAR, Georges. História Universal dos algarismos: A inteligência dos homens

contada pelos números e pelo cálculo. Tomo 1. Editora Nova Fronteira. Rio de Janeiro, 2000. KIYOSAKI, Robert T., 1947-Pai rico e o poder da educação financeira: lições sobre

dinheiro que não se aprendem na escola. Tradutora Eliana Bussinger. – Rio de Janeiro: Elsevier, 2011. il. LIMA, Elon Lages. CARVALHO, Paulo Cezar Pinto. WAGNER, Eduardo. MORGADO, Augusto Cézar. A matemática do Ensino Médio – volume 2– 6. Ed. – Rio de Janeiro: SBM 2006. MARCONI, Marina de Andrade. Metodologia científica. São Paulo: Atlas, 2007.

80

ONAGA, Dulce Satiko. Matemática e fatos do cotidiano, volume 1: Livro do

professor. São Paulo. Global: Ação Educativa Assessoria, Pesquisa e informação, 2004. ORGANIZAÇÃO DE COOPERAÇÃO E DE DESENVOLVIMENTO ECONÔMICO- OCDE, A Educação Financeira, 2005 PRAXEMEDES, Walter. Sociologia da Educação: Do positivismo aos estudos culturais. São Paulo. Ática, 2010. RIBEIRO, Dionísio Tadeu. A matemática Financeira: Editora: Artmed. Porto Alegre.

2012. SOBRINHO, José Dutra Vieira. Matemática Financeira. Edição Compacta. 3ª Edição. São Paulo: Atlas, 2008. TOLEDO, Marília Barros de Almeida. Teoria e prática: Como dois e dois. Volume

único: Livro do professor/ São Paulo: FTD, 2009. TOSI, Armando José. Matemática Financeira: com ênfase em produtos bancários. 3ª Edição. São Paulo: Atlas, 2009. VEIGA, Ilma P. A. (Org.). Projeto político-pedagógico da escola. 16. ed. Campinas:

Papirus, 2003. Sites

http://matematicaguba.blogspot.com.br/2015/04/a-matematica-financeira-e-utilizada-em.htm. Acesso em: 28 jul.2015.

81

Apêndice

I-Questionário destinado aos alunos da 3ª série do Ensino Médio regular (323) da Escola Estadual Professor Antonio Ferreira Lima Neto referente à importância dos Sistemas de Amortização como conteúdo matemático no Ensino Médio regular no contexto de uma Educação Financeira. Parte I

1-O que é Educação Financeira?

A( ) É a compreensão dos conceitos de finanças e produtos financeiros pelas

pessoas.

B ( ) É o preparo para vida através do Ensino da Matemática.

C( ) É um sistema de compra e vendas.

2-O que é inflação?

A ( ) São dívidas. B ( ) São gastos durante um período. C ( ) É o aumento generalizado dos valores dos produtos. 3-Você acha importante a Educação Financeira em sua formação cidadã?

A ( ) Sim. B ( ) Não. 4-Quais os conteúdos que você gosta da Matemática Financeira?

A ( ) Juros.

B ( ) Descontos.

C ( ) Sistema de Amortização.

D ( ) Porcentagem.

5-Você utiliza a Matemática Financeira no seu dia-a-dia?

A ( ) Sim.

B ( ) Não.

6-Que tipo de recurso o professor utiliza para você aprender a Matemática

Financeira?

A ( ) Livro didático.

B ( ) Uso de material concreto.

C ( ) Uso da calculadora.

D ( ) Quadro branco.

7-Você já ouviu falar em Sistema de Amortização?

A ( ) Sim.

B ( ) Não.

82

I-Questionário destinado aos alunos da 3ª série do Ensino Médio regular (323) da Escola Estadual Professor Antonio Ferreira Lima Neto referente à importância dos Sistemas de Amortização como conteúdo matemático no Ensino Médio regular no contexto de uma Educação Financeira. Parte II

Atividade sobre Sistemas de Amortização.

1- Lima Neto comprou um terreno para construir uma escola por R$ 5.000,00

para ser quitado em 5 meses, sem entrada, a taxa de 10% am. Construa uma

planilha de acordo com o sistema SAF.

Período Juros Prestação Amortização Saldo Devedor

0

1

2

3

4

5

Total

RESOLUÇÃO:

83

Anexos

84

85

86

87

88