MinicursoMinicursoSoftware Estatístico MinitabSoftware Estatístico Minitab

Daniela Carine Ramires de Oliveira2011

Login: minicursominitab@gmail.comSenha: alunos2011

- Coluna

- Linha

- Célula

1. Introdução

Segundo a página http://www.minitab.com/pt-BR/ dentro do link Academic, temos a informação de que há mais de 35 anos, o software estatístico Minitab é uma ferramenta bastante adotada na educação e na qualificação de profissionais, sendo apontado como a melhor solução para análises estatísticas. Atualmente, milhares de instituições de ensino públicas e privadas em todo o mundo usam o Minitab

em seu ambiente de trabalho. Dentre elas, mais de 4.000 universidades em mais de 100 países. Além de sua poderosa funcionalidade e fácil interface, o Minitab foi especialmente desenvolvido para se integrar em aulas de estatística, combinando tópicos, metodologias e termologias dos principais livros textos dos estudantes. Assim, quem aprende com o Minitab , adquire experiência com as mais referentes ferramentas profissionais disponíveis, habilitando-se para a sua futura área de atuação. No mercado de trabalho, com o aumento do uso de estatística nos negócios e na indústria, o Minitab tornou-se o software estatístico mais utilizado pelas empresas. Em todo o mundo, o Minitab é considerado o software referência em estatística.A idéia deste minicurso é apresentar o software estatístico Minitab , como também, despertar o interesse dos mesmos para a Área Aplicada da Estatística.

2. Conhecendo o Minitab

Antes de começar sua análise, inicie o Minitab e examine o layout das janelas:

Com o Minitab aberto, observamos duas janelas principais.• A Session exibe os resultados de sua análise em formato de texto. • A Data (Worksheet) contém uma planilha aberta, que é semelhante a uma planilha eletrônica.

OBS: O Minitab aceita três tipos de dados: número, texto e data/tempo. Os dados são organizados somente em colunas sendo chamados de variáveis. O nome e o número da coluna estão sobre cada

Minitab

Janela Session

Janela Data

- Coluna

- Linha

- Célula

Barra de Ferramentas

coluna. Cada linha da planilha representa uma observação do banco de dados.Vamos considerar um banco de dados referente a pedidos de livros. As variáveis estudadas nesse banco de Dados são:

Variáveis Descrição Center Nome do centro de expediçãoOrder Data do pedido Arrival Data de entregaDays Quantidade de dias para entregarStatus Status de entrega (“On time” indica que o livro foi recebido dentro do prazo; “Back

order” indica que não há o livro no estoque; “Late” indica que o livro foi recebido seis dias ou mais após o pedido)

Distance Distância entre o centro de expedição e o local de entrega

Abrindo uma Planilha de dados

1 Selecione File ⇒ Open Worksheet2 Na pasta data, clique duas vezes em Meet MINITAB3 Selecione Shippingdata ⇒ clique em Open

3. Variáveis

Qualquer característica associada a uma população é chamada de variável.

Minitab

Coluna com dados Coluna com Coluna comde data/tempo dados numéricos dados de texto

Nome da Coluna

Número Da linha

Exemplos: Idade: pode variar de 0, 1 , 2, ... anos; Sexo: pode ser masculino ou feminino; Estado Civil: pode ser solteiro, casado, divorciado, etc.3.1. Mudando nomes das Variáveis

Para mudar o nome das variáveis, dê um duplo clique no nome da variável. Agora é só digitar o novo nome da variável.

Exemplo: Trocando o nome das variáveis

Troque Center por Centro; Order por Pedido; Arrival por Entrega; Days por Dias e Distance por Distância.

3.2. Codificando Variáveis

Exemplo 1: Podemos codificar variáveis dentro do Minitab. Considere um primeiro exemplo. Chame a coluna C7 de Situação.

Exemplo 2: Chame a coluna C8 de Classes de Dias. A partir da variável Dias (variável numérica), vamos codificar uma nova variável em classes de 2 dias (variável texto).

1 Selecione Data ⇒ Code ⇒ Numeric to Text2 Em Code data from columns, digite Dias 3 Em Into Columns, digite “Classe de Dias”4 Em Original Values, digite 0:2. Em New digite Entrega Muito Rápida5 Em Original Values, digite 2:4. Em New digite Entrega Rápida6 Em Original Values, digite 4:6. Em New digite Entrega Lenta7 Em Original Values, digite 6:8. Em New digite Entrega Muito Lenta8 Em Original Values, digite *. Em New digite Não há o livro

3.3.Criando Variáveis a partir de outras Variáveis

Podemos criar variáveis de interesse a partir de algumas variáveis coletadas na pesquisa. Por exemplo, a variável Dias, foi construída a partir das variáveis Entrega e Pedido da seguinte forma:

1 Selecione Calc ⇒ Calculator2 Em Store Result in Variable ⇒ digite C93 Em Expression, digite a seguinte fórmula ⇒ “Entrega”-“Pedido” ⇒ Selecione OK

Minitab

1 Selecione Data ⇒ Code ⇒ Text to Text2 Em Code data from columns, digite Status3 Em Into Columns, digite Situação4 Em Original Values, digite “On time”. Em New digite Dentro do Prazo 5 Em Original Values, digite “Back order”. Em New digite Não há o Livro6 Em Original Values, digite Late. Em New digite Fora do Prazo

Note que apareceram na coluna C9 os valores da coluna C4 (Dias).

4. Amostragem

4.1. Amostragem Aleatória Simples (AAS) Procedimento para o uso deste método:

1) Numerar todos os elementos da população (N elementos);2) Efetuar sucessivos sorteios até completar o tamanho da amostra (n).Para realizar este sorteio, utilizaremos o Minitab.

4.2. Amostragem Sistemática (AS) Procedimento para o uso deste método:

1) Seja N o tamanho da população e n o tamanho amostral. Calcula-se o intervalo da amostragem i = N/n (considera-se apenas a parte inteira do número).2) Sorteia-se, utilizando a tabela de números aleatórios, um número x entre 1 e i formando a amostra: x, (x + i), (x + 2*i), ... , (x + (n-1)*i).O sorteio do número X será através do Minitab. Além disso, a amostra resultante também!

4.3. Gerando Números Aleatórios

Exemplo: Foram enumerados N = 400 postos de gasolina em São Paulo e dentre eles serão selecionados n = 40 postos aleatoriamente para fazer um estudo da qualidade da mesma. Para selecionar uma Amostra Aleatória Simples (AAS) de 40 postos, necessitamos sortear números aleatórios. Usando o Minitab

temos:

1 Selecione Calc ⇒ Random Data ⇒ Integer2 Em Generate, digite 403 Em Store in Columns, digite C10 (coluna onde estará o resultado dos números gerados)4 Em Minimum value, digite 15 Em Maximum value, digite 400 ⇒ Selecione OK

Se formos usar a Amostragem Sistemática (AS), devemos gerar 1 número aleatório x que esteja dentro do intervalo [1, i], onde i = parte inteira(N/n), com N sendo o número de elementos da população e n o número de elementos da amostra, depois montar a amostra: x, x + i, ..., x + (n-1)i. Para esse exemplo, i = parte inteira(N/n) = 400/40 = 10, então o número x sorteado utilizando o Minitab é:

1 selecione Calc ⇒ Random Data ⇒ Integer 2 Em Generate, digite 13 Em Store Columns, digite C114 Em Minimum value, digite 15 Em Maximum value, digite 10 ⇒ Selecione OK

Coloque na célula seguinte ao número gerado (na mesma coluna C11), o número que representa o número gerado mais 10. Em seguida selecione as duas primeiras células da coluna C11 e posicione o mouse no canto inferior direito, até que apareça uma cruz. Clique e arraste até a linha 40. Os números que apareceram na coluna C11 são os que devem ser utilizados para a seleção na pesquisa.

Minitab

5. Tabulação de Variáveis

A MB Indústria Comércio, desejando melhorar o nível de seus funcionários em cargos de chefia, montou um curso experimental e indicou 23 funcionários para a primeira turma. Os dados na tabela a seguir são: seção a que pertencem, notas e graus obtidos nas disciplinas do curso. Como havia dúvidas quanto à adoção de um único critério de avaliação, cada instrutor adotou seu próprio sistema de aferição.

Tabela 5.1: Conjuntos de dados da empresa MB Indústria e ComércioFunc. Seção* Admin. Direito Redação Estat. Inglês Metodologia Política Economia

1 P 8,0 9,0 8,6 9,0 B A 9,0 8,52 P 8,0 9,0 7,0 9,0 B C 6,5 8,03 P 8,0 9,0 8,0 8,0 D B 9,0 8,54 P 6,0 9,0 8,6 8,0 D C 6,0 8,55 P 8,0 9,0 8,0 9,0 A A 6,5 9,06 P 8,0 9,0 8,5 10,0 B A 6,5 9,57 P 8,0 9,0 8,2 8,0 D C 9,0 7,08 T 10,0 9,0 7,5 8,0 B C 6,0 8,59 T 8,0 9,0 9,4 9,0 B B 10,0 8,010 T 10,0 9,0 7,9 8,0 B C 9,0 7,511 T 8,0 9,0 8,6 10,0 C B 10,0 8,512 T 8,0 9,0 8,3 7,0 D B 6,5 8,013 T 6,0 9,0 7,0 7,0 B C 6,0 8,514 T 10,0 9,0 8,6 9,0 A B 10,0 7,515 V 8,0 9,0 8,6 9,0 C B 10,0 7,016 V 8,0 9,0 9,5 7,0 A A 9,0 7,517 V 8,0 9,0 6,3 8,0 D C 10,0 7,518 V 6,0 9,0 7,6 9,0 C C 6,0 8,519 V 6,0 9,0 6,8 4,0 D C 6,0 9,520 V 6,0 9,0 7,5 7,0 C B 6,0 8,521 V 8,0 9,0 7,7 7,0 D B 6,5 8,022 V 6,0 9,0 8,7 8,0 C A 6,0 9,023 V 8,0 9,0 7,3 10,0 C C 9,0 7,0

(*) P = Departamento Pessoal; T = Seção Técnica e V = Seção de Vendas.Fonte: Dados adaptados de Bussab e Morettin (2007).

5.1. Caso Unidimensional

Exemplo: Baseado na Tabela 5.1., construa a distribuição de freqüências da variável Metodologia, com as freqüências absolutas e as porcentagens.

1 No Minitab Selecione Stat ⇒ Tables ⇒ Tally Individual Variables ...

Minitab

⇒ ⇒

Resultado

5.2. Caso Bidimensional

Exemplo: Construa uma tabela de dupla entrada para as variáveis “seção” e conceito tirado em “Inglês” da Tabela 5.1.

1 No Minitab Selecione Stat ⇒ Tables ⇒ Cross Tabulation and Chi-square...

Minitab

⇒ ⇒Resultado

6. Medidas de Posição

6.1. Mínimo e Máximo: O mínimo é a menor observação do conjunto de dados, enquanto que o máximo é a maior observação.

6.2. Média: É obtida pela soma das n observações dividido por n, ou seja,

n

x

x

n

1ii∑

==.

6.3. Mediana: É o valor que divide os dados, isto é, metade dos dados será maior ou igual que a mediana e metade será menor ou igual.

Exemplo: Considerando os dados da Tabela 5.1, calcule as 4 medidas de posição para a variável notas em redação.

1 No Minitab Selecione Stat ⇒ Basic Statistics ⇒ Display Descriptive Statistics...2 Selecione a coluna que está as notas em Redação⇒ clique em Statistics... ⇒ marque as operações desejadas (minimum, maximum, mean e median ) ⇒ clique em OK

Minitab

⇒

Resultado

⇒

7. Medidas de Dispersão

7.1. Amplitude: tamanho do intervalo entre o máximo e o mínimo de um conjunto de dados: Amplitude = Máximo − Mínimo

7.2. Variância: mede a dispersão dos dados em torno de sua média:

1n

)xx(

s

n

1i

2i

2

−

−=

∑=

7.3. Desvio Padrão: é a raiz quadrada positiva da variância: 2ss =7.4. Intervalo Interquartil: é a diferença entre o terceiro quartil (Q3) e o primeiro quartil (Q1): IQ = Q3 – Q1.

Exemplo: Um artigo em Computers and Industrial Engineering (2001, p.51) descreve os dados de tempos de falha (em horas) para motores de jatos. Alguns desses dados estão a seguir.

Tabela 7.1: Dados Brutos (em horas)Máquina # Tempo de Falha Máquina # Tempo de Falha Máquina # Tempo de Falha

1 150 6 65 11 1872 291 7 183 12 1973 93 8 144 13 2134 53 9 223 14 1715 2 10 197 15 197

Minitab

Obtenha a amplitude, variância, desvio padrão e o intervalo interquartil dos tempos de falhas das máquinas.1 No Minitab Selecione Stat ⇒ Basic Statistics ⇒ Display Descriptive Statistics...2 Selecione a coluna do Tempo ⇒ clique em Statistics ⇒ marque as operações desejadas (Range,Variance, Standard deviation, Interquartile range) ⇒ clique em OK

⇒ Resultado

⇒

8. Estatística Gráfica

8.1. Gráficos para as Variáveis Qualitativas

A representação gráfica da distribuição de uma variável tem a vantagem de, rápida e concisamente, informar sobre sua variabilidade.

Existem vários tipos de gráficos para as variáveis Qualitativas. Aqui serão ilustrados três deles: Gráficos em Barras, o de Composição em Setores (“Pizza”) e o Gráfico de Pareto.

8.1.1. Gráfico em Barras

Exemplo: Os dados a seguir mostram a freqüência com que vários tipos de defeitos ocorrem em peças de metal usadas em um componente estrutural da moldura de uma porta de automóvel.

Tabela 8.1: Tabela dos defeitos em elementos estruturais de uma porta.Defeitos Frequência (ni) Porcentagem (100 x fi)

Fora do contorno 30 37,0Partes mal aparadas 21 25,9

Falta de furos/ranhuras 06 7,4Minitab

Fora de seqüência 06 7,4Partes não lubrificadas 05 6,2

Partes salientes 05 6,2Entalhes/fendas/goivas 04 4,9

Outros 04 4,9Total n = 81 100

No Minitab, temos:

1 Selecione Graph ⇒ Bar Chart...

Após selecionar o tipo de gráfico desejado abrirá sempre uma janela para que você possa escolher o tipo de gráfico mais adequado de acordo com suas necessidades.

Bar Chart Options...: para escolher a disposição que você quer que as barras apareçam (em ordem crescente, decrescente ou ordem alfabética das categorias (Default)).Labels...: para colocar título no seu gráfico, mas em geral, isso não é utilizado, porque o Minitab coloca o título acima do gráfico e pelas normas da ABNT, o título deve vir abaixo do gráfico.Data Options...: para colocar a freqüência absoluta de cada valor da categoria da variável.

Minitab

⇒ ⇒Resultado

⇒ ⇒

8.1.2. Gráfico de Composição em Setores (“Pizza”)

Exemplo: Considere os dados da Tabela 8.1.

1 Selecione Graph ⇒ Pie Chart... Resultado

⇒ ⇒

Se você quiser acrescentar as porcentagens no seu Gráfico de “Pizza” é só dar dois cliques com o botão direito do mouse em cima do desenho, clicar em “Slice Labels”, clicar em “Percent” e OK.

Minitab

⇒

8.1.3. Gráfico de Pareto

Exemplo: Considere os dados da Tabela 8.1.

1 Selecione Stat ⇒ Quality Tools ⇒ Pareto Chart...

⇒

Resultado

Minitab

99,99%

⇒

8.2. Gráficos para as Variáveis Quantitativas

8.2.1. Gráfico em Barras

Exemplo: Tabela 8.2: Freqüências e Porcentagens dos empregados da seção de orçamentos da Companhia MB, segundo o número de filhos.

Números de Filhos (xi) Frequência (ni) Porcentagem (100 x fi)0 4 201 5 252 7 353 3 154 0 05 1 5

Total n = 20 100Fonte: Dados adaptados de Bussab e Morettin (2007)

Minitab

1 Selecione Graph ⇒ Bar Chart...

Resultado

⇒ ⇒Números de Filhos (xi)

Co

un

t

543210

7

6

5

4

3

2

1

0

8.2.2. Gráfico de Pontos ou Gráfico de Dispersão Unidimensional (ou Dot-Plot)

Exemplo: Considere a variável tempo, em segundos, entre carros que passam por um cruzamento, viajando na mesma direção: 6, 3, 5, 6, 4, 3, 5, 4, 6, 3, 4, 5, 2, 10.

1 Selecione Graph ⇒ Dotplot...

Minitab

Entre com os dados da tabela no Worksheet.

⇒ ⇒

Tempos108642

Resultado

⇒ ⇒

Tempo109876543210

8.2.3. Histograma

Exemplo: Tabela 8.3: Informações sobre salário (expresso como fração do salário mínimo) de 36 empregados da seção de orçamentos da Companhia MB.

Funcionários 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12Salário (x sal. mín.) 4,00 4,56 5,25 5,73 6,26 6,66 6,86 7,39 7,59 7,44 8,12 8,46Funcionários 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24Salário (x sal. mín.) 8,74 8,95 9,13 9,35 9,77 9,80 10,5

310,76

11,06 11,59 12,00

12,79

Funcionários 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36Salário (x sal. mín.) 13,2

313,60

13,85

14,69

14,71

15,99 16,22

16,61

17,26

18,75 19,40

23,30

Fonte: Dados adaptados de Bussab e Morettin (2007)

Tabela 8.3.1: Freqüências e Porcentagens dos 36 empregados da seção de orçamentos daCompanhia MB, por faixas de salário

Classe deSalário

Freqüência(ni)

Proporção(fi)

Porcentagem(100 x fi)

Densidade de Freqüência(di = fi/ai)

04 |-- 08 10 0,2778 27,78 0,069508 |-- 12 12 0,3333 33,33 0,083312 |-- 16 8 0,2222 22,22 0,0556

Minitab

Para formatar o eixo do seu gráfico, basta dar clique duplo na escala de X e digitar com um espaçamento os números dentro da opção Scale/Position of ticks.

16 |-- 20 5 0,1389 13,89 0,034720 |-- 24 1 0,0278 2,78 0,0070

Total n = 36 1,0000 100,00

1 Selecione Graph ⇒ Histogram...

Entrar com os dados da Tabela 8.3 em uma coluna. Selecione: Scale/Y-Scale Type/Density

⇒ ⇒

⇒ ⇒

Resultado

Minitab

Depois que gerar o gráfico dê um duplo clique na escala de X e selecione:- Scale e digite com um espaçamento os números que são os limitantes dos intervalos da Tabela 8.3 dentro da opção Position of Ticks e copie esses números.- Digite o Minimum e Maximum.- Clique em Binning, em Interval Type, clique em Cutpoint. Em Interval Definition, clique em Midpoint/Cutpoint Positions e cole os pontos dentro da caixa branca.

⇒

8.2.4. Gráfico em Linhas (ou Gráfico Temporal)

Exemplo: Tabela 8.4: Dívida Externa do Brasil de 1950 a 2010, em bilhões de dólares.

AnoDívida (bilhões

dólares) AnoDívida (bilhões

dólares) AnoDívida (bilhões

dólares)1950 0,6 1971 8,3 1992 135,91951 0,6 1972 11,5 1993 145,71952 0,6 1973 14,9 1994 148,31953 1,2 1974 20,0 1995 159,31954 1,3 1975 25,1 1996 179,91955 1,4 1976 32,1 1997 200,01956 2,7 1977 38,0 1998 241,61957 2,5 1978 52,2 1999 241,51958 2,9 1979 55,8 2000 236,21959 3,2 1980 64,3 2001 226,11960 3,7 1981 74,0 2002 227,71961 3,3 1982 85,5 2003 235,41962 3,5 1983 93,7 2004 220,21963 3,6 1984 102,1 2005 188,01964 3,3 1985 105,2 2006 199,41965 3,8 1986 111,2 2007 240,51966 3,8 1987 121,2 2008 262,91967 3,4 1988 113,5 2009 277,61968 4,1 1989 115,5 2010 350,01969 4,6 1990 123,41970 6,2 1991 123,9

Fonte: http://www.ipeadata.gov.br/ExibeSerie.aspx?serid=38367

1 Selecione Graph ⇒ Time series Plot...

Minitab

⇒ ⇒

⇒ ⇒A nos

Dív

ida

(b

ilhõ

es

dó

lare

s)

20092003199719911985197919731967196119551950

400

300

200

100

0

8.2.5. Ramo-e-Folhas

Exemplo: Tabela 8.5: Força de ruptura em libras por polegada para 100 garrafas descartáveis de 1 litro de refrigerante.

176 221 242 253 261 265 271 278 286 301187 223 243 254 262 265 272 278 287 307197 228 245 254 263 267 274 280 290 308200 231 246 257 263 267 274 280 293 317205 231 248 258 264 268 274 280 294 318208 234 248 258 264 268 274 280 296 321210 235 250 260 265 269 275 281 298 328214 235 250 260 265 269 276 281 299 334215 235 250 260 265 270 276 283 299 337220 242 251 260 265 271 277 283 300 346

Fonte: Hines et al. (2006), p. 157.

1 Selecione Graph ⇒ Stem-and-Leaf...

Minitab

Selecione Time/Scale: Time: em Time/Scale, clique em Stamp, dê duplo clique na coluna em que está os Anos e em OK.

Resultado

.⇒

8.2.6. Desenho Esquemático ou Diagrama de Caixas (Box-Plot)

Exemplo: Tabela 8.6: Medidas de viscosidade para três misturasMistura 1 Mistura 2 Mistura 3

22,02 21,49 20,3323,5 22,56 20,4923,83 22,67 21,6725,38 22,78 21,9525,49 24,18 22,2825,9 24,46 22,4526,67 24,62 27,00

1 Selecione Graph ⇒ Boxplot...

⇒ ⇒

Minitab

Resultado

⇒

9. Correlação e Regressão

Exemplo: Consumo de cerveja e temperatura. As variáveis foram observadas em nove localidades com as mesmas características demográficas e sócio-econômicas, onde Y: consumo de cerveja em um dia (em 100 litros) e X: temperatura máxima (em ºC). Os dados amostrais estão dispostos na Tabela 9.1.

Tabela 9.1.

Temperatura Consumo Temperatura Consumo16 290 36 37031 374 36 36538 393 22 32039 425 15 27037 406

(a) Inspeção visual: diagrama de dispersão

1 Selecione Graph ⇒ Scatterplot...

Minitab

Resultado

⇒ ⇒

(b) Quantificando a força dessa relação: coeficiente de correlação.

1 Selecione Stat ⇒ Basic Statistics ⇒ Correlation...

Resultado

⇒ ⇒Se P-Value <= 0,05, implica que a correlação é significativa.

(c) Explicitando a forma dessa relação: ajuste de uma reta.

1 Selecione Stat ⇒ Regression

⇒ ⇒ResultadoMinitab

⇒

10. Variável Aleatória Discreta

10.1. Distribuição Binomial

A v.a. X, correspondente ao número de sucessos num experimento binomial, tem distribuição binomial com parâmetros n e p, com função de probabilidade dada por:

n,,1,0x,)p1(px

n)xX(P xnx =−

== −

Exemplo: Suponha que 20% dos clientes de uma empresa sejam inadimplentes. Se 10 pessoas dessa população forem escolhidas ao acaso e com reposição, determine:

(a) A probabilidade de selecionar exatamente 3 pessoas inadimplentes.(b) A probabilidade de selecionar no máximo 3 inadimplentes.

1 Selecione Calc ⇒ Probability Distributions ⇒ Binomial...

(a) Probabilityn: Number of trials = 10p: Probability of success = 0,20P(X = 3): Input constant = 3 Resultado

⇒ ⇒

(b) Cumulative

Minitab

P(X ≤ 3): input constant = 3 Resultado

⇒

10.2. Distribuição Hipergeométrica

Sua função de probabilidade é dada por:

−−

==

n

N

xn

MN

x

M

)xX(P , 0 ≤ x ≤ mínimo(M, n).

Exemplo: Uma fábrica produz peças que são embaladas em caixas com 40 unidades. Para aceitar o lote de caixas enviado por essa fábrica, o controle de qualidade de uma empresa sorteia uma caixa do lote e sorteia 10 peças, sem reposição, dessa mesma caixa. Se houver alguma peça defeituosa o lote inteiro é devolvido. Se a caixa sorteada tiver 4 peças defeituosas, qual é a probabilidade do lote não ser devolvido?N = 40, M = 4 e n = 10X: número de peças defeituosas

1 Selecione Calc ⇒ Probability Distributions ⇒ Hypergeometric...

N: Population size = 40M: Successes in population = 4N: Sample size = 10

Resultado

Minitab

3,0

10

40

010

440

0

4

)0X(P ≅

−−

==

⇒ ⇒

10.3. Distribuição Poisson

As probabilidades, calculadas agora para todos os números inteiros não negativos k = 0, 1, 2,... são dadas da seguinte forma:

!x

e)xX(P

xλ==λ−

, x = 0, 1, ...

onde “X = números de sucessos em um intervalo” é a variável de interesse, λ > 0 é o número médio de sucessos da variável X e “e” é a constante 2,7183 (base dos logaritmos naturais).

Exemplo: Um departamento de conserto de máquinas recebe uma média de cinco chamadas por hora. Supondo que a distribuição de Poisson seja adequada nessa situação, obter a probabilidade de que, em uma hora selecionada aleatoriamente, sejam recebidas exatamente três chamadas:

1 Selecione Calc ⇒ Probability Distributions ⇒ Poisson...

Resultado

⇒ ⇒

11. Variável Aleatória Contínua

Minitab

11.1 Distribuição Normal

∞<<∞−πσ

=

σµ−

−xexf

x

,2

1)(

2

2

1

2

Exemplo: O tempo gasto no exame vestibular de uma universidade tem distribuição Normal, com µ = 120 min e σ = 15 min.(a) Sorteando-se um aluno ao acaso, qual é a probabilidade dele terminar o exame antes de 100 minutos?(b) Qual deve ser o tempo de prova, de modo a permitir que 95% dos vestibulandos terminem no prazo estipulado?

1 Selecione Calc ⇒ Probability Distributions ⇒ Normal...

(a) Cumulative Probability: Resultado

⇒ ⇒

(b) Inverse Cumulative Probability: : Resultado

Minitab

⇒

12. Estimação e Testes de Hipóteses

12.1. Proporção

Estimador Pontual: n

XP̂ = , onde X denota o número de elementos na amostra que apresentam a

característica e n denota o tamanho da amostra coletada.

Estimativa Intervalar:

−+−−=γn

)p̂1(p̂zp̂;

n

)p̂1(p̂zp̂],P[IC .

Teste de Hipóteses: Exemplo: Numa amostra de 100 peças produzidas por uma máquina foram encontradas 40 defeituosas.

(a) Obtenha uma estimativa pontual da verdadeira proporção P de peças defeituosas.(b) Construa um intervalo de confiança para a verdadeira proporção P de peças defeituosas com um nível de confiança de 95%.(c) Teste com um nível de significância de 0,05, a hipótese de que a proporção de peças defeituosas é p = 0,04 ou é diferente, isto é, temos:Hipóteses: H0: p = 0,4

Ha: p ≠ 0,4

1 Selecione Stat ⇒ Basic Statistics ⇒ 1 Proportion

Minitab

⇒ ⇒ Resultado

⇒ (a) (b) (c)

(c) Conclusão do Teste de Hipóteses: Como p-valor > 0,05, não rejeitamos H0, isto é, aceita-se a hipótese de que a proporção de peças defeituosas é igual a 0,4.

12.2. Média

Estimativa Pontual: : ∑=

=+++=n

1i

in21

n

X

n

XXXX

Estimativa Intervalar: Caso 1:

σ+σ−=γµ

nzx;

nzx],[IC , onde x é a

média amostral, σ é o desvio padrão populacional e n é o tamanho amostral.

Exemplo: Não se conhece o consumo médio de combustível de automóveis da marca T. Sabe-se, no entanto, que o desvio padrão do consumo de combustível de automóveis dessa marca é 10 km/l. Na análise de 100 automóveis da marca T, obteve-se consumo médio de combustível de 8 km/l. Encontre um intervalo de confiança para o consumo médio de combustível dessa marca de carro. Adote um nível de confiança igual a 95%.X: Consumo de combustível da marca T;σ = 10 km/l 8100 =⇒= xn km/lγ = 0,95 ⇒ z=1,96IC[µ,95%]=

Minitab

[ ] [ ]96,9;04,696,18;96,18100

1096,18;

100

1096,18; =+−=

+−=

+−

nzX

nzX

σσ

Portanto, a estimativa intervalar de 95% de confiança é [ ]96,9;04,6 .

1 Selecione Stat ⇒ Basic Statistics ⇒ 1-Sample Z

⇒ ⇒

Resultado

⇒

Teste de Hipóteses: Exemplo: Uma amostra de 36 elementos de uma variável X normalmente distribuída forneceu média x = 42. Sabendo que o desvio padrão populacional é σ = 12. Testar ao nível de significância de 5%, a hipótese de que a média é menor que 44, isto é: Hipóteses: H0: µ = 44

Ha: µ < 44

1 Selecione Stat ⇒ Basic Statistics ⇒ 1-Sample Z

Minitab

⇒ ⇒ Resultado

⇒Conclusão do Teste de Hipóteses: Como P > 0,05, então não rejeito H0, isto é, aceito a hipótese de que a média da população é igual a 44.

Caso 2:

+−=γµ

n

stx;

n

stx],[IC , onde s: desvio padrão da amostra.

Exemplo: Qual o intervalo de confiança para a média, no nível de 95%, sendo que uma amostra de tamanho 20 forneceu média 38 e desvio padrão 5?Solução: 38x = , n = 20, s = 5. No nível de 95%, obtemos o valor de t cruzando na tabela da t – Student: p = 5% e gl = n-1 = 20-1 = 19 → t = 2,093. Assim:

]34.40,66.35[20

5093,238,

20

5093,238

n

stx,

n

stx%]95,[IC =

+−=

+−=µ

1 Selecione Stat ⇒ Basic Statistics ⇒ 1-Sample t

Minitab

⇒ ⇒ Resultado

⇒

Teste de Hipóteses: Exemplo: Outra amostra de 16 cigarros forneceu média x = 42 mg de nicotina e desvio padrão s = 4 mg. Testar ao nível de significância de 5%, a hipótese de que a média é maior que 40, isto é:Hipóteses: H0: µ = 40

Ha: µ > 40

1 Selecione Stat ⇒ Basic Statistics ⇒ 1-Sample Z

⇒ ⇒ Resultado

Minitab

⇒

Conclusão do Teste de Hipóteses: Como P-Valor < 0,05, então rejeito H0, isto é, aceito a hipótese de que a média da população é maior que 40 mg.

O Instituto Brasileiro de Defesa ao Consumidor (IDEC) afirma que os carros colaboram com 70% da poluição: Um dos maiores agressores do sistema respiratório e imunológico, o ozônio se torna o principal problema nas grandes cidades.Fonte: http://www.idec.org.br/consumidorsa/arquivo/jul00/jul0008.htm

Motivados por essa pesquisa e pelo tema do I Congresso das Engenharias, 19 carros importados foram analisados e, baseados nos dados da Tabela a seguir responda as questões utilizando o sotware estatístico Minitab.

Tabela: Informações de 19 carros importados sobre o consumo de combustível na cidade e na estrada em km/litro (CID e EST), peso do carro em kg (PESO), número de cilindros (CILIN), deslocamento do êmbolo do cilindro do motor em litros (DESLOC), transmissão manual ou automática (MAN/AUTO), quantidade emitida de gases causadores do efeito estufa em toneladas/ano (GAS) e a quantidade de óxidos de nitrogênio emitida pelo escapamento em kg/ano

Minitab

(NOX).CARRO CID EST PESO CILIN DESLOC MAN/AUTO GAS NOX

Chev. Camaro 8,1 12,8 1608,0 6 3,8 M 12 15,6Chev. Cavalier 9,8 13,2 1267,8 4 2,2 A 10 11,4Dodge Neon 9,8 13,6 1179,3 4 2 A 10 11,4Ford Taurus 8,1 11,5 1594,4 6 3 A 12 11,4Honda Accord 9,8 12,8 1471,9 4 2,3 A 11 11,4Lincoln Cont. 7,2 10,2 1782,6 8 4,6 A 14 11,4Mercury Mystique 8,5 12,3 1412,9 6 2,5 A 12 15,6Mitsubishi Eclipse 9,4 14,0 1467,4 4 2 M 10 11,4Olds. Aurora 7,2 11,1 1812,1 8 4 A 13 15,6Pontiac Grand Am 9,4 12,8 1412,9 4 2,4 A 11 11,4Toyota Camry 9,8 13,6 1469,6 4 2,2 M 10 11,4Cadillac DeVille 7,2 11,1 1823,4 8 4,6 A 13 15,6Chev. Corvette 7,7 11,9 1460,6 8 5,7 M 12 15,6Chrysler Sebring 8,1 11,5 1440,2 6 2,5 A 12 11,4Ford Mustang 8,5 12,3 1564,9 6 3,8 M 12 15,6BMW 3-Series 8,1 11,5 1462,8 6 2,8 A 12 15,6Ford Crown Victoria 7,2 10,2 1807,6 8 4,6 A 14 11,4Honda Civic 13,6 15,7 1106,8 4 1,6 M 8 11,4Hyundai Accent 11,9 15,7 1038,7 4 1,5 A 9 15,6

Fonte: Triola (2005). Introdução à Estatística. Editora LTC. 9ª edição. Página 607.

Questões

1) Capítulo 5 – Seção 5.1: Quantos carros possuem 4, 6 e 8 cilindros?

2) Capítulo 5 – Seção 5.2: Construa uma tabela de dupla entrada colocando na linha o consumo de combustível na cidade e na coluna o número de cilindros e verifique se existe alguma relação entre o número de cilindros e o consumo de combustível na cidade.

3) Capítulo 6: Dentre os 19 carros apresentados na Tabela responda:(a) Quanto pesa o mais leve?(b) Qual o peso do carro mais pesado?(c) Qual é a quantidade média de óxidos de nitrogênio emitida pelo escapamento desses carros em kg/ano?(d) Qual é o intervalo da quantidade de gases causadores do efeito estufa em toneladas/ano emitido por 50% dos carros?

4) Capítulo 7: Verifique em qual dos carros possuem maior variabilidade no consumo de combustível na estrada: o manual ou o automático? Utilize amplitude, variância, desvio padrão e intervalo interquartil para tomar a sua decisão.

5) Capítulo 8 – Seção 8.1: Construa um gráfico de barras, o de composição em setores e o de pareto para representar a distribuição desses 19 carros segundo o tipo de transmissão: automático ou

Minitab

manual. 6) Capítulo 8 – Seção 8.2:(a) Faça um gráfico de barras para representar a distribuição desses 19 carros segundo o número de cilindros.(b) Faça um gráfico de pontos (ou Dopt-Plot) da variável gases.(c) Faça o histograma para a variável peso. (d) Vá para a Seção 8.2.4 (Tabela 8.4) e construa o gráfico de linhas para a dívida externa compreendida entre 2000 e 2010.(e) Faça o ramo-e-folhas para o deslocamento.(f) Faça o box-plot do consumo na cidade e na estrada.

7) Capítulo 9: Observando as variáveis consumo na cidade e peso do carro, responda:(a) Você pode esperar gastar mais com gasolina se comprar um carro mais pesado?(b) Quantifique a força da relação entre o consumo e o peso do carro, utilizando o coeficiente de correlação. O que o resultado mostrou?(c) Qual fórmula ajusta a relação entre o consumo e o peso do carro na cidade?

8) Capítulo 10 – Seção 10.1: Suponha que 20% dos carros estão poluindo acima da média permitida. Se 11 carros forem escolhidos ao acaso para averiguação e com reposição, determine:(a)A probabilidade de selecionar exatamente 5 carros fora da legislação.(b)A probabilidade de selecionar no máximo 5 inadimplentes.

9) Capítulo 10 – Seção 10.2: Suponha que 5 carros estão poluindo acima da média permitida, dentre 15 veículos. Se 7 carros forem escolhidos ao acaso para averiguação e sem reposição, determine:(a)A probabilidade de selecionar exatamente 2 carros fora da legislação.(b)A probabilidade de selecionar no máximo 3 inadimplentes.

10) Capítulo 10 – Seção 10.3: Refazer o exemplo.

11) Capítulo 11: O consumo médio dos carros na estrada é de 12,516 Km/l e o desvio padrão de 1,561 km/l.(a) Sorteando-se um carro ao acaso, qual é a probabilidade dele ter um consumo de até 10km/l?(b) Qual é o valor do consumo que 95% dos carros detêm?

Estimando a Poluição dos Carros

12) Capítulo 12: Verifique se 10% dos carros lançam menos que 10 toneladas/ano ou se essa porcentagem é maior. Use um nível de significância de 5%.

13) Capítulo 12: Construa um intervalo de confiança com um nível de confiança de 98% para a quantidade média das emissões de óxido de nitrogênio para todos os carros importados, sabendo que o desvio padrão dos valores emitidos de óxido de nitrogênio é igual a 2 kg/ano.

14) Capítulo 12: Verifique se em média os carros têm emitido 12 kg/ano de óxido de nitrogênio. Use

Minitab

um nível de significância de 5%.

Bibliografia

[1] Bussab, W. O. e Morettin, P. A. (2007). Estatística Básica. Editora Saraiva. 5ª edição, 526p.[2] Hines, W. W., Montgomery, D. C., Goldsman, D. M. e Borror, C. M. (2006). Probabilidade e Estatística na Engenharia. Editora LTC. 4ª edição, 604 p.[3] Lima, A. C. P. e Magalhães, M. N. (2007) Noções de Probabilidade e Estatística. Editora da Universidade de São Paulo, 392 p.[4] Site oficial do Sofware Estatístico Minitab. Disponível em:http://www.minitab.com/pt-BR/default.aspx[5] Triola, M. F. (2005). Introdução a Estatística. Editora LTC, 9ª edição, 682 p.

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