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Caro(a) Leitor(a)

Apresento a voc uma verso preliminar da Coleo Cadernos de Ensino e Pesquisa em Educao

Matemtica. Nela, voc encontrar livretos com proposta de ensino e de formao de professores e

sugestes para compreender seu aluno, motiv-lo, avali-lo.

Cada Caderno representa o esforo de um(a) professor(a) de Matemtica em buscar alternativas para

a melhoria do ensino dessa disciplina. Todos eles cursaram o Mestrado Profissional em Educao

Matemtica da Universidade Federal de Ouro Preto e suas pesquisas tiveram como foco a sala de aula, a

formao de professores e/ou processos que envolvem professores, alunos e a Matemtica. Dessa forma, ao

final, cada professor defendeu uma pesquisa e construiu um produto educacional escrito e organizado para

compartilhar com voc essa experincia.

Essa primeira verso, preliminar, pretende apresentar a voc a Coleo e, em breve, teremos a verso

definitiva disponvel para aquisio (impressa) e na pgina do Programa (www.ppgedmat.ufop.br).

Espero que gostem!

Ana Cristina Ferreira

Coordenadora do Mestrado Profissional em Educao Matemtica

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SUMRIO

I. INTRODUO ..................................................................................................................... 4

II. PROJETOS ENVOLVENDO MATEMTICA E MSICA .......................................... 5

1. ESTUDO DE PROPORES: O MONOCRDIO E A MARIMBA DE GARRAFAS. ........................ 5 1.1. Interao .............................................................................................................................. 5

1.2. Matematizao ................................................................................................................... 10

1.2.1. A escala de Zarlino ......................................................................................................... 11

1.3. O MODELO MATEMTICO .................................................................................................. 11

2. PROGRESSES GEOMTRICAS: CONSTRUO DE INSTRUMENTOS

ENVOLVENDO A RAZO DO TEMPERAMENTO MUSICAL. .................................. 15

2.1. INTERAO ........................................................................................................................ 15

2.2. MATEMATIZAO: IMPLEMENTANDO AS ATIVIDADES .................................................... 16

2.3. MODELO MATEMTICO. ................................................................................................... 21 2.3.1. Um exemplo de como montar o instrumento Marimba de Metal ............................... 29 2.4. VALIDAO E EXPOSIO DO PROJETO. .......................................................................... 32

3. REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS ............................................................................. 33

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I. INTRODUO

Este manual fruto de uma dissertao1 do Mestrado Profissional em Educao

Matemtica da Universidade Federal de Ouro Preto (UFOP MG). Para desenvolver o

contedo dessa obra, foram feitas pesquisas relacionando Matemtica Msica e Projetos

envolvendo Modelagem Matemtica, alm da experincia do autor mediante a realizao de

oficinas e aulas sobre o tema.

O primeiro projeto envolve um estudo de propores: O Monocrdio e a Marimba de

Garrafas, foi baseada em mini-cursos desenvolvidos por Camargos (2003), Ferreira e

Carvalho (2007) e em uma monografia de Especializao, Camargos (2008).

O segundo projeto apresenta atividades relacionando progresses geomtricas e

construo de instrumentos, envolvendo a razo do Temperamento Musical. Esse projeto foi

desenvolvido por pesquisas realizadas entre 2008 e 2010, tendo como base a Dissertao

referida anteriormente. Sugerimos ao leitor que, caso encontre dificuldades ou tenha dvidas

em implantar algum dos projetos, recorra dissertao na ntegra, nela o leitor encontrar

uma descrio minuciosa sobre a experincia da aplicao da atividade envolvendo

progresses geomtricas e notas musicais, bem como alguns questionamentos e dvidas mais

comuns, que podem surgir, no decorrer da implementao desse tipo de projeto.

Este manual expe sugestes embasadas, principalmente, em perspectivas de

Modelagem Matemtica na Educao Matemtica propostas por Biembengut e Hein (2003) e

Barbosa (2001, 2004, 2007).

Conforme Barbosa (2004), a aplicao de um modelo matemtico varia de acordo com

o grau de conhecimento do professor e alunos que iro desenvolv-lo. No caso de um modelo

relacionado Msica, interessante que o professor tenha noes de teoria musical (ou

proponha uma parceria com um professor de msica), pois tal projeto sempre desperta nos

alunos o interesse em maiores informaes sobre msica e, conforme observamos em oficinas

relacionando Matemtica e Msica, a parte prtica, isto , a execuo musical de alguma obra

de interesse dos estudantes ou de notas ou escalas, facilita bastante a compreenso dos alunos.

No final deste manual, apresentamos algumas referncias bibliogrficas que se

enquadram como sugestes de leitura ao professor que pretenda aplicar algum desses projetos.

1 CAMARGOS, C. B. R. Msica e Matemtica: A harmonia dos nmeros revelada em uma estratgia de

Modelagem. 2010. Dissertao de Mestrado. Universidade Federal de Ouro Preto, Ouro Preto MG.

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II. PROJETOS ENVOLVENDO MATEMTICA E MSICA

1. Estudo de propores: O Monocrdio e a Marimba de Garrafas.

Em todos os projetos que realizamos, em sala de aula, percebemos que a utilizao de

um tema como a Msica consegue despertar facilmente o interesse da maioria dos estudantes,

o que de suma importncia no desenvolvimento de projetos de Modelagem Matemtica.

O primeiro projeto que apresentamos fruto de pesquisas realizadas pelo autor,

inicialmente, em 2003. As atividades a seguir so propcias para alunos do 9 ano do Ensino

Fundamental, para o estudo de proporcionalidade.

No intuito de facilitar a organizao do projeto, sistematizaremos suas etapas em trs,

conforme Biembengut e Hein (2003): Interao, Matematizao e Modelo Matemtico,

lembrando que um projeto de Modelagem Matemtica nem sempre se mantm em moldes

pr-determinados, esses servem apenas para dar uma orientao inicial.

1.1. Interao

Compreendemos essa fase como:

Sugesto do tema a ser pesquisado;

Motivao dos alunos a aceitarem o convite ao desenvolvimento da pesquisa;

Diviso dos alunos em grupos (para projetos como esse, sugerimos de trs a cinco

alunos por grupo);

Elaborao de questionamentos para pesquisa;

Elaborao da questo de investigao;

Pesquisas bibliogrficas sobre o tema;

Discusses sobre o material pesquisado entre professor e alunos.

Nessa fase do projeto, sugerimos que o professor pea aos alunos que pesquisem sobre

o tema Matemtica e Msica, Pitgoras, o Monocrdio e o instrumento marimba. Em seguida,

discuta com os alunos sobre o material pesquisado, tentando chegar a uma questo de

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investigao. Caso os alunos no consigam chegar a alguma questo que permita desenvolver

o projeto, sugerimos ao professor propor alguma questo, exemplo: Existem relaes entre

Matemtica e Msica? Podemos construir instrumentos musicais utilizando

Matemtica?.

Aps as discusses sobre o material pesquisado (pelos alunos), necessrio que os

alunos compreendam a experincia feita por Pitgoras utilizando o Monocrdio. Para isso,

sugerimos a anlise do DVD Arte e Matemtica (TV Cultura, 2005). Apresentamos abaixo

uma descrio resumida de tal experincia.

Pitgoras teria inventado um aparelho cientfico capaz de verificar a relao existente

entre a harmonia musical e os nmeros. Esse aparelho foi denominado monocrdio (Fig.1).

Figura 1: Modelo de monocrdio

Fonte: prpria

Ele teria esticado uma corda musical que produzia um determinado som, que tomou

como fundamental, o tom. Fez marcas na corda que a dividiam em doze sees iguais.

Observe:

7

Figura 2: Marcaes feitas por Pitgoras no Monocrdio

Fonte: Camargos (2003)

Tocou a corda na 6 marca e observou que se produzia a oitava. Tocou depois na 9

marca e resultava a quarta. Ao tocar a 8 marca, obtinha-se a quinta. As fraes 1/2, 3/4, 2/3

correspondiam oitava, quarta e quinta.

A tnica, quarta, quinta e oitava so baseadas na sequncia das sete notas mais

comuns, que chamamos de escala diatnica:

D / R / Mi / F / Sol / L / Si / D

1 8

Os intervalos pitagricos: tomando como ponto inicial uma corda de comprimento

igual a 1, percorrendo a escala por quintas ascendentes e transpondo as notas obtidas oitava

relativa, obter-se-o as seguintes fraes, representando as notas musicais em relao ao

tamanho da corda:

D (C)= 1

R (D) = 8/9

Mi (E) = 64/81

F (F) = 3/4

Sol (G) = 2/3

L (A) = 16/27

Si (B) = 128/243

D (C) = 1/2

8

Essas fraes correspondentes s notas podero ser passadas aos alunos, observando

que cada nota representa uma proporo ao tamanho da corda.

Caso professor e alunos achem interessante construir um monocrdio para

compreender melhor o assunto, podero construir uma maquete do aparelho. Inicialmente o

professor poder indicar aos alunos os materiais a serem utilizados. Uma maquete pode ser

feita de papelo, isopor, madeira etc. Nesse caso, de acordo com Carvalho e Dias (2006),

sugerimos os seguintes materiais:

Pedaos retangulares de madeira de aproximadamente 3 cm 10 cm 50 cm, por

exemplo tbuas de caixas de madeiras utilizadas para transportas verduras e legumes.

Uma corda de violo ou fio de nylon;

Martelo;

Pregos;

Rgua, caneta, lpis e borracha.

Para montar o monocrdio o professor dever pedir aos alunos que fixem os pregos

nas extremidades da tbua e estiquem a corda o mximo possvel, fixando-a nos pregos.

Observe o modelo a seguir:

Figura 3: Esquema para confeco de um monocrdio

Fonte: Mtzenberg (2004)

9

Observe que, nesse modelo, utilizam-se materiais como transferidor, ponteiro e cutelo;

esses materiais no sero necessrios para esse tipo de atividade que queremos desenvolver.

Para facilitar, basta pedir aos alunos que coloquem um prego no lugar do cutelo, como nos

mostra a figura anterior. Essa figura um modelo de Monocrdio utilizado por Mtzenberg

(2004) em experimentos de Fsica. Consiste numa caixa de madeira de 75 cm 15 cm 10

cm, onde foram utilizadas tbuas de madeira macia com 1,5 cm de espessura. Nas

extremidades da caixa foram colocados blocos de madeira, para melhorar a fixao dos eixos

em que seriam enrolados os fios.

Ao terminarem de prender a corda, o professor pedir aos alunos que meam o

tamanho da corda e, em seguida, procurem e faam as marcaes na tbua, correspondentes a

1/2, 2/3 e 3/4 da corda, verificando e discutindo se elas realmente produzem sons em

harmonia (agradveis ao ouvido).

Caso o professor no queira montar os monocrdios em sala, poder utilizar um violo

para explicar a experincia de Pitgoras. Por exemplo, pode-se utilizar a corda Mi (mais

grave), que solta possui 65 cm, que podemos fazer corresponder tnica representada pelo

nmero 1.

Se quisermos encontrar a oitava, devemos calcular metade do comprimento da corda.

Assim: 8 nota = 1/2 65 cm = 32,5 cm, que ser correspondente a pressionar a dcima

segunda casa do violo.

Para encontrar a quarta nota, que corresponde a 3/4 do tamanho da corda, basta utilizar

a proporcionalidade: 4 nota = 3/4 65 cm = 48,5 cm (ser correspondente quinta casa do

violo). Para encontrar a 5 nota, faremos: 2/3 65 cm = 43,3 cm (ser correspondente

stima casa).

Figura 4: Fraes pitagricas no violo

Fonte: prpria

10

Compreenderamos, ainda, essa fase descrita como uma interao com o tema da

oficina em questo, cujo objetivo consiste em utilizar fraes e proporcionalidade para

construir o instrumento Marimba de Garrafas. De acordo com Camargos (2008), marimba

um instrumento de percusso, confeccionado com lamelas de madeira, normalmente de pau-

santo ou pau-rosa, que ao serem percutidas com baquetas, geralmente produzem sons doces e

melodiosos; no entanto, os instrumentos que construmos utilizaram, no lugar da madeira,

garrafas de vidro, nas quais foi colocada gua, numa proporo relacionada s fraes de

Zarlino (veja 1.2.1). Esse projeto tambm foi aplicado em sala de aula pelo autor deste

manual e baseado em uma oficina desenvolvida no V CNMEM, pelos autores Ferreira e

Carvalho (2007).

1.2. Matematizao

Segundo Biembengut e Hein (2003), a Matematizao constitui-se no processo de

formulao do problema, criao de possveis hipteses que possam estar relacionadas a ele e

sua resoluo usando o modelo criado; contudo, inicia-se a anlise de possveis teorias

matemticas que possam ser abordadas em sala de aula e aplicadas com o desenvolvimento do

Modelo Matemtico que buscamos.

Para que se possa prosseguir com o desenvolvimento do Modelo Matemtico,

devemos analisar primeiramente a relao entre as cordas e suas frequncias. Em Camargos

(2003), observa-se que Galileu Galilei e Marin Mersenne (1588-1648) no incio, do sc. XVII,

estabeleceram o que hoje denominamos Lei Fundamental das Cordas Vibrantes: A

Frequncia de um som fundamental inversamente proporcional ao comprimento da corda

vibrante, isto :

L

Kf

Sendo f, a frequncia do som fundamental, L, o comprimento da corda e K, uma

constante que depende da tenso a que est sujeita a corda e da sua massa por unidade de

comprimento (K a velocidade de propagao da deformao imprimida corda). Por

exemplo, para uma corda com K = 130,5 m/s, o comprimento L = 50 cm produz um som

fundamental de f = 261 Hz, o que corresponde nota D, usada principalmente na Frana.

11

Nesse momento, o professor pode abordar o tema da proporcionalidade inversa, um

dos objetivos desse projeto, podendo dar mais exemplos de relaes que envolvem tais

propores.

1.2.1. A escala de Zarlino

De acordo com Rodrigues (1999), o sistema de Zarlino acrescentou o nmero 5 nas

relaes de frequncias pitagricas. Como essas fraes so mais simples que as pitagricas,

poderemos utiliz-las na construo das marimbas. Supondo-se que a primeira nota, d, tenha

frequncia um, obter-se-o, para as outras notas, as seguintes frequncias:

D / R / Mi / F / Sol / L / Si / D

1 8

9

4

5

3

4

2

3

3

5

8

15 2

No entanto, para construir o instrumento, devemos utilizar as fraes inversas, para

calcular a quantidade de gua que devemos colocar nas garrafas.

1.3. O Modelo Matemtico

Observamos em Barbosa (2007), que um modelo matemtico pode ser considerado

como qualquer representao matemtica de uma situao em estudo, o que pode ser

estendido: a qualquer situao analisada que possamos modelar matematicamente. Nosso

modelo seria representado, portanto, por fraes inversamente proporcionais s fraes de

Zarlino.

Daremos um exemplo de como ocorreu a construo dos instrumentos numa turma de

quinze alunos do 9 ano do Ensino Fundamental. Esse trabalho foi fruto de pesquisas

realizadas pelo autor em 2007 e 2008, num Curso de Especializao em Educao

Matemtica.

Ao iniciarmos as pesquisas e as discusses sobre o tema, no intuito de desenvolvermos

este projeto, dividimos a sala em trs grupos, cada um composto preferencialmente por cinco

alunos, para a construo dos instrumentos.

Quando os grupos demonstraram estar a par dessas relaes matemtico-musicais e o

interesse em seguir adiante no projeto, passamos a analisar hipteses de como criaramos um

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instrumento musical (marimba) utilizando as razes descobertas por Pitgoras e Zarlino.

Surgiram novas idias de montagem de instrumentos, utilizando tubos de pvc, placas de

madeira, dentre outras, porm o professor / pesquisador sugeriu utilizar garrafas de vidro

idnticas (mesma espessura e material), de maneira a ench-las de gua em proporo s

fraes citadas anteriormente, j que a matria a ser trabalhada era proporcionalidade.

Ento, surgiu a hiptese de que, se colocssemos uma garrafa cheia de gua e

denominssemos como a tnica, as outras seriam obtidas, a partir das razes de Zarlino,

relacionadas garrafa cheia, ou melhor, se uma garrafa cheia produz um som, que seria a

tnica, ento esta mesma garrafa com gua pela metade produziria a oitava. No entanto,

partiramos agora para obteno e validao do modelo.

As fraes que utilizamos para relacionar a proporo de gua que deveramos colocar

na garrafa foram:

Garrafa cheia, primeira ou tnica: 1

Segunda: 8/9

Tera: 4/5

Quarta: 3/4

Quinta: 2/3

Sexta: 3/5

Stima: 8/15

Oitava: 1/2

Um exemplo:

Se voc tem uma garrafa com 300 mL de gua e considerar essa como a tnica, a

segunda garrafa dever ter 300 mL 8/9 que corresponde a aproximadamente 266,7 mL. A

terceira garrafa dever ter 300 mL 4/5 que corresponde a 240 mL e assim por diante.

De um modo geral, poderamos considerar a garrafa cheia ou tnica como a nota d e

as fraes seguintes correspondentes s notas da escala diatnica, por exemplo: 8/9

corresponderia ao r, 4/5 corresponderia ao mi, e assim sucessivamente.

D / R / Mi / F / Sol / L / Si / D

1 2 3 4 5 6 7 8

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Para construo dos instrumentos utilizamos os seguintes materiais:

Oito garrafas de vidro idnticas;

Fita crepe;

Barbante e um cabo de vassoura para prender as garrafas;

Calculadora;

Medidores de volumes (como mamadeiras, seringas e medidores de xaropes).

necessrio deixar as garrafas penduradas por um barbante, fixo ao cabo de vassoura,

e com aproximadamente 5 cm de distncia da superfcie lateral uma da outra, para que elas

no fiquem em atrito quando os alunos tocarem o instrumento.

O professor dever pedir aos grupos que providenciem o material e dever marcar uma

aula para um primeiro teste dos instrumentos.

Feito o teste, novas discusses e anlises sobre o modelo devero ser feitas e, se

possvel, os grupos podero fazer uma exposio de seus trabalhos e apresent-los escola e

comunidade.

No trabalho que realizamos, aps a construo dos instrumentos, foram feitos alguns

testes de afinao e cada grupo falou um pouco sobre alguma dificuldade que encontraram ou

fizeram algumas observaes. Uma das observaes que mais chamaram a ateno foi o

questionamento de uma aluna sobre a proximidade dos volumes entre a ltima garrafa e a

penltima, o que recorre a outra histria, relacionando teorias musicais e matemtica, quando

os povos orientais (japoneses e chineses), ao fazer suas divises, no conseguiram determinar

a stima nota da escala por se aproximar muito da oitava; mas isso j delinearia outros

caminhos para pesquisa.

No dia vinte e seis de maro de 2008 fizemos trs marimbas e contamos com a

presena dos alunos do ensino mdio e demais professores da escola para avaliar o nosso

trabalho. Cada grupo ficou responsvel por explicar como foi feito o trabalho e quais as

relaes matemticas presentes nos instrumentos.

Algumas fotos dos instrumentos:

14

Figura 5: Marimba de Garrafas 1

Figura 6: Marimba de Garrafas 2

15

2. Progresses Geomtricas: Construo de instrumentos envolvendo a razo do

Temperamento Musical.

O segundo projeto que apresentaremos fruto de pesquisas realizadas no Mestrado

Profissional em Educao Matemtica (UFOP), pelo autor, entre 2008 a 2010. As atividades

a seguir so recomendadas para alunos do 2 ano do Ensino Mdio, no estudo de Progresses

Geomtricas.

Como relatamos anteriormente, para facilitar a organizao desse projeto,

sistematizaremos novamente suas etapas em trs: Interao, Matematizao e Modelo

Matemtico, relatando um pouco da experincia, no decorrer da implementao deste em sala

de aula.

2.1. Interao

O incio do projeto dever se apresentar como um convite ao cenrio de investigao

pretendido. O professor deve tentar aguar a curiosidade dos alunos sobre os temas

Matemtica e Msica. Em nosso caso, como o professor pesquisador possui certa experincia

como msico, isso foi relevante na motivao dos alunos.

Trabalhamos com uma turma de 19 alunos do 2 ano do E. M. e as discusses sobre o

tema proporcionaram o surgimento de dilogos entre professor e alunos, com

questionamentos do tipo: Existem relaes entre Matemtica e msica?, Se existem,

podemos aprender algo relacionado Matemtica a partir da Msica?

Em casos em que o professor queira envolver os alunos com a ideia de um trabalho de

Modelagem Matemtica, sugerimos que fale um pouco sobre o que seria a Modelagem

Matemtica, porm, no se apegando s definies, simplesmente ao processo ou ideia de

obteno de um modelo, dando exemplos, como observa-se em Biembengut e Hein (2003, p.

52-69) e em REIS, F. S. et al. (2005), sobre construes de maquetes, pois definies tericas

podem apresentar-se cansativas aos alunos.

Para uma interao maior com o tema, sugerimos ao professor pedir aos alunos que

realizem pesquisas sobre definies de: Msica, Matemtica, ritmos, compasso, sons, notas

musicais e oitavas, sendo necessria a discusso dos assuntos pesquisados, pelos alunos e

professor, pois dessa forma podero surgir questionamentos que impulsionem o projeto.

16

Durante a nossa pesquisa, o professor colocou os seguintes questionamentos, em meio

s discusses dos temas pesquisados: Pelas suas definies de Matemtica e de Msica,

vocs acham que existe alguma relao de uma com a outra?

Isso foi necessrio para que pudssemos definir nossa primeira questo de

investigao: Existem relaes entre Matemtica e Msica?

Em seguida, achamos necessrio que o professor proponha uma diviso da sala em

grupos de trs a quatro alunos, antes da implementao das atividades do Projeto de

Matemtica e Msica.

2.2. Matematizao: implementando as atividades

Poderamos denominar essas aulas iniciais como aulas musicais, no entanto, como o

leitor perceber, o contedo matemtico estar implcito nas atividades.

Para essa fase do projeto, o professor precisar de:

Folhas contendo pautas musicais (ou caderno de escrita musical);

Metrnomo analgico ou digital (Instrumento utilizado para marcar as batidas ou

tempos de um compasso).

Um instrumento musical (em nosso caso, utilizamos um violo).

necessrio, nessa fase, o auxlio de algum professor de Msica, caso o professor de

Matemtica no tenha noes bsicas de escrita musical.

Iniciando a aula de msica, o professor distribuir folhas contendo pautas musicais aos

grupos j divididos e desenhar no quadro uma pauta para explicar sobre a escrita musical e,

em especial, para falar sobre tempos e compassos.

Utilizando o metrnomo, podemos explicar sobre tipos de compassos 4/4, 3/4 e 2/4,

concentrando-se principalmente no compasso 4/4, que provavelmente ser o nico utilizado

no decorrer do projeto.

Ao terminar a explicao sobre compassos, o professor dever desenhar algumas

figuras de representao das notas musicais no quadro e explicar aos alunos que cada figura

corresponde a um determinado tempo do compasso.

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Poderamos considerar essa aula de implementao do projeto como o incio da fase

de Matematizao, pois inicia-se uma interpretao dos valores das figuras musicais, de

acordo com as batidas do aparelho metrnomo.

1 atividade: PG crescente

Na realizao do nosso projeto, o professor explicou sobre as figuras que representam

notas musicais e, utilizando um metrnomo analgico e um violo, iniciou-se a tentativa de

obteno de um modelo para o termo geral da PG, a partir da figura abaixo:

Figura 7: Figuras do Som e seus valores

Fonte: http://9a.athoscompanny.com.br/Apostila_Iniciacao_Musical.pdf.

Sugerimos que o professor desenhe essas figuras no quadro sem os nmeros abaixo,

pois precisaremos que os alunos interpretem as relaes de tempo das notas com os nmeros

que percebero.

Procedimento:

Sugerimos regular o metrnomo num tempo entre 80 a 100 batidas por minuto;

Pedir aos alunos (divididos em grupos) que observem as notas no quadro e quantas

sero necessrias para preencher um compasso 4/4, sempre fazendo anotaes em suas

folhas;

Sugerimos que o professor inicie tocando uma semibreve no violo, questionando:

Quanto tempo ela durou? ou Quantas batidas durou essa nota?

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Lembrando que as respostas devem partir dos alunos. O professor dever repetir o

procedimento at os alunos compreenderem que a semibreve dura quatro tempos, e

que precisamos de uma para preencher um compasso 4/4.

Em seguida, o professor dever seguir o mesmo procedimento para as figuras

musicais: mnima, semnima e colcheia. Nos dois ltimos casos, sugerimos que o

professor faa notas mais agudas e sucessivas, para que os alunos possam

compreender quantas notas estariam utilizando para completar o compasso. Por

exemplo, precisamos de oito colcheias para completar o compasso 4/4, logo sugerimos

que o professor faa as oito notas no compasso, para os alunos observarem que cada

uma equivale a meio tempo, o que auxiliar na prxima atividade.

Realizada a atividade anterior, podemos pedir aos alunos que faam algumas

observaes relacionadas sequncia de nmeros encontrada. Em nosso trabalho, aps

discusses entre alunos e professor, os alunos levantaram as seguintes hipteses, que foram

transcritas no quadro pelo professor:

uma proporo.

O primeiro termo um.

Os termos so obtidos multiplicando-se o anterior por dois.

O nmero de termos n vale sete (isso se deve ao fato de que foram desenhadas sete

figuras musicais, da semibreve semifusa).

Ao invs de somar, multiplica (essa hiptese surgiu do comentrio de um aluno:

uma PA, s que ao invs de somar, multiplica!).

Observe a representao das notas e seus respectivos valores na figura a seguir:

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Figura 8: Notas musicais e a PG Crescente

Fonte: http://osnildo.files.wordpress.com/2008/10/modulo-2.pdf.

Ao terminar essa atividade, sugerimos ao professor que faa alguns questionamentos,

caso necessrio, para os alunos refletirem sobre elementos essenciais de uma PG, como por

exemplo: Existe alguma razo nessa sequncia? Qual seria? Por qu? Essa sequncia

crescente ou decrescente? Porm sem nenhuma formalizao sobre o tipo de sequncia.

No entanto, consideramos importante que os alunos j possuam algum conhecimento sobre

Progresso Aritmtica, matria que geralmente apresentada anteriormente s Progresses

Geomtricas.

2 atividade: PG decrescente.

Continuando o projeto, daremos um exemplo de atividade que envolve uma sequncia

desta vez decrescente.

Novamente ser necessrio que o professor desenhe as figuras de tempo no quadro e,

desta vez, analise com os alunos a quantidade de batidas (marcaes no metrnomo) a que

as figuras correspondem.

Para isso ser refeita a experincia anterior, utilizando violo e metrnomo, porm,

dessa vez devemos observar a quantas batidas do metrnomo corresponde cada figura

musical. Observe a figura a seguir:

20

Figura 9: Notas musicais e a PG decrescente.

Fonte: http://9a.athoscompanny.com.br/Apostila_Iniciacao_Musical.pdf

Procedimento:

Comeando pela semibreve, o professor dever tocar a nota no violo respeitando o

tempo marcado no metrnomo e questionar: Quantas batidas do metrnomo essa

nota durou?

Novamente, ser necessrio repetir a experincia at os alunos compreenderem que a

semibreve equivale a quatro tempos.

O professor dever anotar as respostas dos alunos no quadro para discusso.

Sugerimos que se repita a experincia at a colcheia e se tente estender discusses at

a semifusa (equivalente a 1/128).

Algumas hipteses levantadas pelos alunos em nosso trabalho foram:

A sequncia decrescente.

A nota seguinte o quociente da nota anterior por dois.

Considerando as notas no quadro, o n (nmero de elementos) seria sete.

Lembramos que essas observaes, feitas pelos alunos, so de suma importncia para

darmos sequncia ao trabalho. Caso isso no ocorra, sugerimos ao professor novamente fazer

questionamentos sobre a razo dessa nova sequncia e sobre crescimento ou decrescimento da

mesma.

21

2.3. Modelo Matemtico.

Essa fase compreende a terceira atividade do projeto e d sequncia a novas sugestes

para pesquisas e desenvolvimento de instrumentos.

3 atividade: Obteno do termo geral da PG.

Nessa atividade, devemos propiciar aos alunos caminhos para obterem o termo geral

da PG, ainda sem nenhuma formalizao sobre o tipo de sequncia que esto trabalhando,

para que possamos evitar algum tipo de consulta a algum livro didtico ou material que

possua a frmula que devemos obter.

Procedimento:

Pedir aos grupos de alunos que analisem a primeira sequncia vista (1, 2, 4, 8, 16, 32,

64...);

Propor aos alunos que tentem criar uma frmula geral (modelo matemtico) para

encontrar outros termos da sequncia, recorrendo s hipteses anotadas anteriormente;

No decorrer de nossa pesquisa, obtivemos vrias discusses a respeito do que poderia

ser o modelo matemtico procurado, algumas conjecturas feitas pelos alunos foram:

Cada termo o dobro do anterior;

a2 a1 vezes dois... a3 a2 vezes dois... a4 a3 vezes dois... (observe que os alunos

costumam recorrer nomenclatura dada aos termos de uma PA);

Ao chegarem a essas observaes, sugerimos ao professor que tente propiciar aos

alunos trabalharem com o termo geral.

Podemos fazer os seguintes questionamentos: Como faramos para chegar ao termo

geral ou an? ou Como poderamos representar o an por meio de uma frmula?

Em nosso projeto, mediante esses questionamentos, conseguimos que os alunos

chegassem a um primeiro modelo, que foi:

22

21 nn aa

Observe que esse modelo ainda no a frmula geral da PG, mas em seguida

sugerimos:

Possveis questionamentos para direcionar a obteno do modelo: possvel obter

uma frmula que chegue direto ao an caso tivssemos s o a1? Por exemplo, teria

alguma forma de calcular o a10?.

Esses questionamentos podero produzir muitas discusses em sala, entre alunos e

professor, contudo achamos vlido que o professor tente conduzir essas discusses e anotar no

quadro algumas observaes importantes que tenha percebido em relao nova frmula

procurada.

Como observamos em nossa pesquisa, alguns grupos j estavam pensando em termos

relacionados com PA, tentando trabalhar com o primeiro termo apenas e com a razo, isso foi

relevante para o desenvolvimento do projeto. Observe algumas conjecturas feitas pelos

alunos:

Devemos elevar o nmero dois (razo) a quantas vezes ele foi multiplicado;

Elevamos o nmero dois a n menos um (n se refere ao nmero de termos).

o nmero que voc quer, menos um (n 1).

Essas conjecturas foram relevantes para que os alunos, ento, pudessem desenvolver a

frmula do termo geral, pois, nesse momento, eles perceberam que precisariam somente do

primeiro termo, como j tinham a razo. Alguns grupos chegaram ao seguinte modelo:

1

1 2 nn aa

O professor dever manter a discusso para que os grupos restantes possam tentar

chegar a um modelo qualquer.

23

Para chegar ao modelo final, sugerimos que o professor tente fazer com que os alunos

entendam que a razo, nesse caso, seria o nmero dois; poder pedir aos alunos que

testem suas frmulas na segunda sequncia que foi desenvolvida: (4, 2, 1, , , 1/8,

1/16,...), tentando achar, por exemplo, o termo a10;

O professor deve auxiliar os alunos a perceberem que a razo dever ser representada

por uma incgnita. Sugerimos alguns questionamentos: Como podemos representar

um nmero, caso no saibamos seu valor? Se a razo no for conhecida, como

podemos denomin-la?

Em nosso projeto, definimos que nossa razo seria representada pela letra x; o

modelo obtido em nosso projeto, pelos prprios alunos, foi:

1

1

nn xaa

Em seguida, no intuito de permitir aos alunos que testem o modelo desenvolvido, o

professor poder pedir-lhes que calculem alguns termos das sequncias conhecidas.

4 atividade: Interpolao geomtrica

Em nosso projeto, antes de passar 4 atividade, achamos necessrio explicar aos

alunos mais elementos relacionados msica2; foram feitas aulas expositivas sobre:

A experincia de Pitgoras com o monocrdio isso facilita a interpretao da

proporo inversa entre o comprimento de uma corda ou tubo e a frequncia sonora

(nota musical) emitida;

2 Para maiores detalhes sobre as definies e como foram realizadas as aulas, sugerimos ao leitor que recorra ao

relato de experincia: Camargos, C. B. R.; Moreira, J. M.; Reis, F. S. (2009) e dissertao, base desse manual.

24

Oitavas e escalas para compreenderem as diferentes divises que podemos obter

entre uma tnica e sua oitava. Sugerimos, nesse momento, direcionar escala

temperada: D / D#/ R / R# / Mi / F / F# / Sol / Sol# / L / L# / Si / D

Frequncias sonoras esse tema pode ser auxiliado pelo professor de Fsica. Nessa

atividade envolveremos algumas frequncias de notas musicais;

Harmnicos so frequncias mltiplas de uma frequncia inicial, isso nos propicia

caminhos para envolver PG com frequncias baseadas em harmnicos;

A histria do Temperamento Musical o professor no dever explicar como foi feita

a diviso pelo matemtico Euler, isso ser realizado pelos prprios alunos, na

atividade;

Formalizao das sequncias vistas como uma PG e anlise do modelo obtido com

alguma frmula definida no livro didtico.

Em nosso projeto, antes de passarmos 4 atividade visitamos uma escola de Msica e

os alunos puderam fazer questionamentos ao professor de Msica sobre harmnicos,

frequncias (graves ou agudas), alm de algumas dvidas sobre os tpicos j vistos.

Gostaramos de destacar a visita escola de Msica como uma das atividades motivadoras

para o projeto, essa interao com outro ambiente (diferente da sala de aula) pareceu aguar

ainda mais a curiosidade e a motivao para o projeto, alm de um interesse musical que

pudemos observar em alguns alunos quando os professores de Matemtica e de Msica

tocaram alguns trechos musicais aos alunos.

A 4 atividade envolve algumas propriedades de PG e um problema de interpolao

geomtrica.

Procedimento:

Antes de passar ao problema de interpolao, o professor dever escrever outros

exemplos de PG no quadro, como a sequncia de valores de uma nota musical (1, 2, 4,

8, 16, 32,...), e pedir aos alunos que analisem se existe alguma propriedade (sugerimos

ao professor que pea aos alunos para fazerem analogias com as propriedades da PA).

Espera-se que os alunos consigam chegar a umas das propriedades da PG: O produto

dos extremos igual ao produto dos meios ou Sejam trs termos em PG, o termo do

meio igual mdia geomtrica dos outros dois. Caso no seja possvel, o professor

poder concluir tal afirmao, pois isso no afetar nossa atividade.

25

Em seguida, passa-se para o seguinte problema de Interpolao Geomtrica (tpico da

disciplina PG) envolvendo a teoria musical:

Temos uma nota L, de frequncia supostamente igual a 110 Hz e sua oitava, como

sabemos, ter o dobro de sua frequncia (220 Hz). Queremos dividir o espao entre esse L e

sua oitava com outras onze notas musicais. Observe a sequncia abaixo:

L, L#, Si, D, D#, R, R#, Mi, F, F#, Sol, Sol#, L

Como podemos fazer para encontrar a frequncia das outras notas?.

O professor dever esperar que os alunos se pronunciem. Em nosso caso, planejamos

30 minutos para essa atividade, mas um grupo resolveu a questo rapidamente e

tivemos que controlar a situao para que os outros alunos pudessem tentar terminar

tal atividade.

Resoluo:

Trata-se de um problema de interpolao geomtrica com a1 = 110 e a13 = 220, logo

teremos n = 13, utilizando a frmula 11. nn qaa , teremos:

1212113

113 2.110220. qqqaa , logo:

12 2q ou 12/12q

Em seguida, o professor dever pedir aos alunos que calculem as frequncias de

algumas notas, como por exemplo, as notas D, F e Sol, correspondentes,

respectivamente, aos termos a4, a9 e a11, utilizando uma calculadora, para testarem a

razo encontrada.

O projeto inicial de Modelagem terminaria nesse ponto, em seguida seria aplicado

questionrio sobre alguns temas trabalhados para verificar se houve alguma contribuio do

projeto para aprendizagem dos alunos; contudo, os alunos propuseram uma nova questo:

possvel construir um instrumento musical usando Matemtica?.

26

5 atividade: Utilizando PG na construo de instrumentos.

Um projeto de Modelagem Matemtica pode no ficar restrito ao que fora

sistematizado pelo professor. As divises feitas em meio s atividades (Interao,

Matematizao e Modelo Matemtico) serviram para nortear o desenvolvimento do projeto,

porm os questionamentos, discusses e possibilidades que surgem no decorrer podem

extrapolar procedimentos pr-fixados.

Sugerimos uma nova atividade, que envolve a construo de instrumentos utilizando a

razo encontrada pelos alunos no problema de interpolao geomtrica, feito anteriormente, a

razo do Temperamento Musical.

Procedimento:

Propor uma nova pesquisa aos alunos sobre relaes entre frequncias de notas

musicais e comprimentos de uma corda (ou de tubos) e como fazer instrumentos

musicais com materiais reciclveis ou materiais mais acessveis.

Para os alunos terem tempo de pesquisar e para o professor poder analisar as

pesquisas, sugerimos que o professor continue com a matria sobre PG, passando para

assuntos como Somas finita e infinita de PG, Produto de uma PG finita, pois esses

assuntos no vo interferir na realizao dessa atividade;

Aps analisar e discutir as pesquisas feitas pelos alunos, o professor poder sugerir a

construo de alguns instrumentos. Essa escolha dever ser discutida e analisada com

cuidado, pois existem instrumentos que, somente utilizando aparelhos profissionais,

poderiam ser confeccionados.

Obviamente, existem muitas possibilidades para se criar ou construir algum

instrumento, depender da criatividade dos alunos; sugerimos aqui cinco instrumentos que

foram confeccionados em nossa pesquisa:

Flauta de PVC feita com pedaos de tubos de PVC;

27

Figura 10: Flauta de PVC

Marimba de Metal feita com pedaos de canos de metal;

Figura 11: Marimba de Metal

Carrilho feito com pequenos cilindros (de preferncia slidos) de metal;

28

Figura 12: Carrilho

Marimba de garrafas feita com garrafas de vidro;

Figura 13: Marimba de Garrafas

Piano de PVC (marimba de PVC) feito com tubos de PVC.

29

Figura 14: Piano de PVC

Caso os grupos no tenham decidido qual instrumento construir, o professor poder

propor um sorteio, entre eles, dos instrumentos escolhidos.

Dando sequncia construo dos instrumentos, o professor dever propiciar no

mnimo uma aula para que os alunos discutam seus projetos para construrem os

instrumentos.

Os grupos devero discutir como construir os instrumentos e devero calcular o

tamanho dos tubos, quantidade de gua nas garrafas etc, utilizando a razo do

Temperamento Musical, s que, dessa vez, devero utilizar 12/12

1q , pois estaro

trabalhando com medidas de comprimento e, como os alunos devero ter visto

anteriormente, o comprimento do tubo ou a quantidade da gua na garrafa seria

inversamente proporcional frequncia da nota procurada.

Material necessrio:

Aproximadamente 4 metros de tubos de metal de 2 a 3 cm de dimetro;

2.3.1. Um exemplo de como montar o instrumento Marimba de Metal1

30

Pedaos de madeira (ou suporte de metal) para montar a base do instrumento;

Pregos e martelo;

Fita mtrica;

Calculadora;

Lpis e papel para anotaes.

Como calcular o tamanho dos tubos:

Seguiremos as dimenses e os clculos feitos pelos alunos em nosso projeto. Para esse

instrumento, os alunos decidiram que a tnica ou a1 teria comprimento igual 40 cm.

Devemos utilizar como modelo a escala temperada para definir as notas a serem

calculadas:

D / D# / R / R# / Mi / F / F# / Sol / Sol# / L / L# / Si / D

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Tamanho (comprimento) dos tubos:

Para calcular o tamanho dos tubos, utilizaremos a frmula do termo geral com a razo

do temperamento musical 12/12

1q

a1 1 nota (D) = 40cm

a2 2 nota (D#) = cmqn 75,37

2

1.40.40

1

12/1

1

a3 3 nota (R) = cmqn 64,35

2

1.40.40

2

12/1

1

a4 4 nota (R#) = cmqn 64,33

2

1.40.40

3

12/1

1

. . .

. . .

. . .

31

a13 13 nota (D) = cmqn 20

2

1.40.40

12

12/1

1

Aps calcular o tamanho dos tubos, os alunos devero fazer as marcaes do local

onde devero cort-los (sugerimos um espao para corte de 1cm) e para isso podero utilizar

uma segueta (lmina prpria); no entanto aconselhamos o professor ou os alunos que levem o

material a uma serralheria, para evitar algum tipo acidente.

Caso os alunos ou professor forem comprar o material, outra sugesto seria calcular

anteriormente o tamanho dos tubos e pedir aos funcionrios da loja de materiais de construo

que j cortem no tamanho correto.

Base do instrumento:

A base do instrumento dever ser retangular, com aproximadamente 45 cm 20 cm

(para canos de 2 cm de espessura), a espessura podendo variar de 1 a 4 cm. O material poder

ser madeira ou metal.

Caso seja madeira, os alunos devero utilizar pregos para fixar a ponta do tubo

(aproximadamente 2 cm da extremidade) em sua base.

Caso seja metal, sugerimos que levem a uma serralheria e peam para prender o

material base, com solda ou parafuso.

necessrio deixar um espao constante entre os tubos, de no mnimo 1 cm, para que

esses no fiquem em atrito, quando se tocar o instrumento.

Observaes:

Os outros instrumentos seguem o mesmo princpio:

Decidir o comprimento do tubo, corda ou quantidade de gua na garrafa que

representar a tnica ou a1.

Utilizar a frmula do termo geral, com a razo do temperamento musical 12/12

1q

para calcular o comprimento (ou quantidade de gua) que dever ter o material para as

outras notas, utilizando a escala temperada como base.

32

Caso queiram obter apenas as notas da escala diatnica, como fizemos em nosso

trabalho com a flauta de pvc, os alunos devero calcular apenas os termos

correspondentes escala: D (a1), R (a3), Mi (a5), F (a6), Sol (a8), L (a10), Si (a12),

D (a13).

Para ter uma base do total de material a ser gasto nos instrumentos que utilizam as 13

notas (a1, a2, ..., a13) sugerimos utilizar a frmula da soma de uma PG finita:

1

)1.(1

q

qaS

n

, deixando alguns centmetros a mais no material calculado, devido s

perdas no corte do material.

2.4. Validao e exposio do projeto.

Para finalizar o projeto, sugerimos que o professor faa um primeiro teste com os

instrumentos, juntamente com os alunos, para analisar a sonoridade do material e fazer

sugestes, caso necessitem de aperfeioamento. uma ideia interessante o professor convidar

algum msico para participar e dar tambm suas opinies sobre os instrumentos, o que poder

fazer parte da validao do trabalho.

Outra sugesto interessante a realizao de uma mostra do trabalho escola, ou at

mesmo comunidade, em que os alunos possam apresentar os instrumentos e explicar como

foram construdos, desde a parte matemtica (clculos, utilizao da PG) at a parte prtica

(materiais envolvidos na construo dos instrumentos, o que cada membro do grupo realizou,

etc.). Consideramos isso de grande importncia ao meio escolar e social, pois mostra uma de

tantas aplicaes prticas da Matemtica e pode influenciar outros professores a adotarem

novas metodologias de ensino.

Como relatamos na dissertao, ao aplicar projetos envolvendo Matemtica e Msica

em sala de aula, isso poder despertar o interesse dos alunos em fazer algum tipo de

apresentao musical escola. Em nosso projeto, alguns alunos tiveram a iniciativa de propor

uma apresentao; ensaiamos algumas msicas com o violo e convidamos dois msicos da

cidade para participarem da apresentao. Formamos um coral com os alunos do 2 ano

(participantes do projeto) e fizemos uma apresentao musical no dia em que ocorreu a

mostra dos trabalhos desenvolvidos. Isso propiciou um grande envolvimento dos alunos,

aumentando ainda mais seu interesse em mostrar o trabalho realizado. Se houver tempo, o

33

professor (caso tenha conhecimento mu0sical) ou algum professor de msica convidado

poder ensaiar algumas msicas nos prprios instrumentos dos alunos.

Finalizando, sugerimos ao leitor que, caso tenha dificuldades em alguma das etapas

desse projeto proposto, recorra leitura de nossa dissertao e de outras referncias que

disponibilizamos a seguir.

Esperamos ter contribudo de alguma forma com os professores que pretendem aplicar

esse tipo de projeto em sala de aula e que esse manual possa atrair cada vez mais novas ideias

envolvendo o tema Matemtica e Msica, que pode parecer, a alguns, tema to distante,

mas que cada vez mais, em nossa experincia, percebemos que novas possibilidades e novas

inspiraes tomam conta da singela centelha musical que habita nosso esprito investigativo.

3. Referncias Bibliogrficas

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estratgia de Modelagem. 2010. Dissertao de Mestrado. Universidade Federal de Ouro

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2009.

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Rangel, Cristiane Pederiva, Fbio da Luz, Fernanda Biscaro e Gustavo Zaghen. Elenco: Prof.

Luiz Barco, Edson Montenegro, Joyce Roma e outros. [S.l.]: Telecinagem Estdios Mega;

Cultura Marcas; TV Escola; Cultura - Fundao Padre Anchieta, 2005. Volume 3. 1 DVD (76

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de um framework. In: BARBOSA, J. C.; CALDEIRA, A. D.; ARAJO, J. L. (org.)

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